ნაკადი სამ განზომილებაში

ფონი

• ვექტორული ველები
• ზედაპირის ინტეგრალები
• ზედაპირის ნორმალური (მართობული) ერთეულოვანი ვექტორი

• ორგანზომილებიანი ნაკადი

რის აგებას ვცდილობთ

• როცა მოცემული გაქვთ სითხის დინება სამგანზომილებიან სივრცეში და ამ სივრცეში მოთავსებული ზედაპირი, ამ ზედაპირში გამავალი ნაკადი ზომავს ტემპს, რომლითაც სითხე გადის მასში.
• ნაკადის გამოთვლა შეიძლება შემდეგი ზედაპირის ინტეგრალით:

  $\begin{aligned} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} \end{aligned}$

  სადაც
  • $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612-ით იწერება ზედაპირი, რომელში გამავალი სითხის ნაკადსაც ვზომავთ.
  • $\blueE{F(x, y,z)}$start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99 არის სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი, რომელიც აღწერს სითხის დინებას.
  • $\greenE{\hat{\textbf{n}}(x, y, z)}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0d923f არის ფუნქცია, რომელიც იძლევა ერთეულოვან ნორმალურ (მართობულ) ვექტორს $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612-ის თითოეულ წერტილზე.
  • $\redE{d\Sigma}$start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612-ში შეგვიძლია, წარმოვადგინოთ $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612 ზედაპირის პატარა ერთეულოვანი ფართობი.

ლაქაში სითხის მასის ცვლილება

საკვანძო შეკითხვა: რა ოდენობის სითხე შედის/გამოდის ამ წვეთში, როცა სითხე მიედინება $\blueE{F(x, y, z)}$start color #0c7f99, F, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99-ით განსაზღვრული ვექტორული ველის გასწვრივ?

უფრო დეტალური ფორმულირება: როგორია ლაქის შიგნით მასის ცვლილების სიჩქარე, როგორც - დროის ფუნქცია? დავუშვათ, სითხის თითოეული ნაწილაკის სიჩქარე მოცემულია $\blueE{\textbf{F}(x, y, z)}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #0c7f99 ვექტორით, სადაც $(x, y, z)$left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis ნაწილაკის კოორდინატებია. ასევე დავუშვათ, რომ სითხეს აქვს $1 \, \text{კგ}/\text{მ}^3$1, start text, კ, გ, end text, slash, start text, მ, end text, cubed-ის ტოლი მუდმივი სიმკვრივე მთელ ზედაპირზე.

დინება ზედაპირის თითოეულ პატარა ნაწილში

• ნაბიჯი 1: $S$S ზედაპირი დაშალეთ ბევრ პატარა ნაწილად.
• ნაბიჯი 2: ნახეთ, რა ოდენობის სითხე გადის/შედის თითოეულ ნაწილში.
• ნაბიჯი 3: ეს ყველა ოდენობა დააჯამეთ ზედაპირის ინტეგრალით.

ნაბიჯი 1: დაშალეთ ზედაპირი

ნაბიჯი 2: გაზომეთ თითოეულ ნაწილში გამავალი სითხის დინება

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$

  A

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$
• (Choice B)  

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big) \big(\Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$

  B

  $\begin{aligned} \big(\blueE{\textbf{F}}(x_0, y_0, z_0) \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\big) \big(\Delta t\big) \big(d\Sigma\big) \end{aligned}$

შემოწმება

[პასუხი]

შენიშვნა: მიმართულებას მნიშვნელობა აქვს

ნაბიჯი 3: ეს ყველაფერი დააჯამეთ ინტეგრალით

• $\blueE{\textbf{F}}(x, y,z)$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, რომელიც იძლევა წერტილზე სითხის ნაწილაკის სიჩქარეს.
• $\greenE{\hat{\textbf{n}}}(x, y, z)$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, რომელიც იძლევა გარეთ მიმართულ ერთეულოვან ნორმალურ ვექტორს ზედაპირის ზოგად წერტილზე.

ნაკადი

შეჯამება

• წარმოიდგინეთ ზედაპირის დაშლა ბევრ პატარა ნაწილად, იმდენად პატარად, რომ თითოეული ნაწილი ბრტყელად შეიძლება, ჩაითვალოს.
• გამოთვალეთ, რამდენად მიედინება სითხე თითოეულ ნაწილში, როგორც - ამ ნაწილის $\redE{d\Sigma}$start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612 ფართობის, $\greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორის და ამ რეგიონში სითხის $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 სიჩქარის ფუნქცია.
• „დააჯამეთ“ ზედაპირის ინტეგრალის დინების ყველა ტემპი, რომ მიიღოთ მთლიანი ნაკადი.

  $\begin{aligned} \underbrace{ \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} }_{\text{ნაკადი $\redE{S}$-ის გავლით}} \end{aligned}$

• თუ შეცვლით ზედაპირის ორიენტაციას საპირსიპიროდ მიმართული ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორის არჩევით, ამ ინტეგრალის ნიშანი შებრუნდება.