If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

თემა: ინტეგრალები

0

დახელოვნების შესაძლო ქულები

ცვლილების დაგროვების გაცნობა

ისწავლეთ
ინტეგრალური კალკულუსის გაცნობა
(გახსნის ფანჯარას)
შესავალი განსაზღვრულ ინტეგრალში
(გახსნის ფანჯარას)
ცვლილების დაგროვების გამოკვლევა
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითი: ცვლილების დაგროვება
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
ცვლილების დაგროვებამოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

მიახლოებითი მნიშვნელობის პოვნა რიმანის ჯამის გამოყენებით

ისწავლეთ
რიმანის მიახლოების გაცნობა
(გახსნის ფანჯარას)
რიმანის ჯამით გადაჭარბებით და ნაკლებობით შეფასება
(გახსნის ფანჯარას)
მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამები
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითი: რიმანის ჯამის პოვნა ცხრილის გამოყენებით
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითი: რიმანის ჯამით გადაჭარბებით და ნაკლებობით შეფასება
(გახსნის ფანჯარას)
შუაწერტილების ჯამები
(გახსნის ფანჯარას)
ტრაპეციული ჯამები
(გახსნის ფანჯარას)
ტრაპეციის წესის გაგება
(გახსნის ფანჯარას)
რიმანის ჯამების მიმოხილვა
(გახსნის ფანჯარას)
ამოცანები გადაადგილებაზე რიმანის ჯამის მიახლოებით
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
მარცხენა და მარჯვენა რიმანის ჯამებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
რიმანის ჯამით გადაჭარბებით და ნაკლებობით შეფასებამოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
შუაწერტილი და ტრაპეციული ჯამიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

დაჯამების ჩანაწერის მიმოხილვა

ისწავლეთ
სიგმა-ჩანაწერი
(გახსნის ფანჯარას)
სიგმა-ჩანაწერი
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითები: დაჯამების ჩანაწერი
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
სიგმა-ჩანაწერიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

რიმანის ჯამები დაჯამების ჩანაწერში

ისწავლეთ
რიმანის ჯამები დაჯამების ჩანაწერში
(გახსნის ფანჯარას)
რიმანის ჯამები დაჯამების ჩანაწერში
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითი: რიმანის ჯამები დაჯამების ჩანაწერში
(გახსნის ფანჯარას)
შუაწერტილი და ტრაპეციული ჯამი სიგმა ჩანაწერში
(გახსნის ფანჯარას)
რიმანის ჯამი დაჯამების ჩანაწერში: რთული ამოცანა
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
რიმანის ჯამები დაჯამების ჩანაწერშიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

განსაზღვრული ინტეგრალები რიმანის ჯამით

ისწავლეთ
განსაზღვრული ინტეგრალი, როგორც რიმანის ჯამის ზღვარი
(გახსნის ფანჯარას)
განსაზღვრული ინტეგრალი, როგორც რიმანის ჯამის ზღვარი
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითი: განსაზღვრული ინტეგრალის ჩაწერა რიმანის ჯამის ზღვარის სახით
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითი: რიმანის ჯამის ჩაწერა განსაზღვრული ინტეგრალის სახით
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
განსაზღვრული ინტეგრალი, როგორც რიმანის ჯამის ზღვარიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

შუალედური ტესტი 1

განივითარეთ ზედა უნარები და მოაგროვეთ დახელოვნების მაქსიმუმ 700 ქულა

კალკულუსის ძირითადი თეორემა და დაგროვების ფუნქციები

ისწავლეთ
კალკულუსის ძირითადი თეორემა და დაგროვების ფუნქციები
(გახსნის ფანჯარას)
განსაზღვრული ინტეგრალებით განსაზღვრული ფუნქციები (დაგროვების ფუნქციები)
(გახსნის ფანჯარას)
წარმოებულის პოვნა კალკულუსის ძირითადი თეორემის გამოყენებით
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
განსაზღვრული ინტეგრალებით განსაზღვრული ფუნქციები (დაგროვების ფუნქციები)მოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
წარმოებულის პოვნა კალკულუსის ძირითადი თეორემის გამოყენებითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
წარმოებულის პოვნა კალკულუსის ძირითადი თეორემის გამოყენებით: ჯაჭვური წესიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

დაგროვების ფუნქციების ქცების ინტერპრეტირება

ისწავლეთ
დაგროვების ფუნქციების ქცების ინტერპრეტირება
(გახსნის ფანჯარას)
დაგროვების ფუნქციების ქცების ინტერპრეტირება
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
დაგროვების ფუნქციების ქცების ინტერპრეტირებამოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

სასრული ინტეგრალების თვისებები

ისწავლეთ
უარყოფითი განსაზღვრული ინტეგრალები
(გახსნის ფანჯარას)
იპოვეთ განსაზღვრული ინტეგრალები ფართობის ფორმულების გამოყენებით
(გახსნის ფანჯარას)
განსაზღვრული ინტეგრალი ერთ წერტილზე
(გახსნის ფანჯარას)
ფუნქციის ზომაშეცვლილი ვერსიის ინტეგრება
(გახსნის ფანჯარას)
განსაზღვრული ინტეგრალის საზღვრების გაცვლა
(გახსნის ფანჯარას)
ფუნქციების ჯამების ინტეგრება
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითები: განსაზღვრული ინტეგრალების პოვნა ალგებრული თვისებების გამოყენებით
(გახსნის ფანჯარას)
განსაზღვრული ინტეგრალები მოსაზღვრე ინტერვალებზე
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითი: ინტეგრალის ინტერვალის დაშლა
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითი: განსაზღვრული ინტეგრალების შერწყმა მოსაზღვრე ინტერვალებზე
(გახსნის ფანჯარას)
ინტეგრალებით განსაზღვრული ფუნქციები: შებრუნებული ინტერვალი
(გახსნის ფანჯარას)
წარმოებულის პოვნა კალკულუსის ძირითადი თეორემის გამოყენებით: x არის ქვედა ზღვარზე
(გახსნის ფანჯარას)
წარმოებულის პოვნა კალკულუსის ძირითადი თეორემის გამოყენებით: x არის ორივე ზღვარზე
(გახსნის ფანჯარას)
ინტეგრალებით განსაზღვრული ფუნქციები: რთული ამოცანა
(გახსნის ფანჯარას)
განსაზღვრული ინტეგრალის თვისებების მიმოხილვა
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
იპოვეთ განსაზღვრული ინტეგრალები ფართობის ფორმულების გამოყენებითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
განსაზღვრული ინტეგრალების პოვნა ალგებრული თვისებების გამოყენებითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
განსაზღვრული ინტეგრალები მოსაზღვრე ინტერვალებზემოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

შუალედური ტესტი 2

განივითარეთ ზედა უნარები და მოაგროვეთ დახელოვნების მაქსიმუმ 700 ქულა

კალკულუსის ძირითადი თეორემა და განსაზღვრული ინტეგრალები

ისწავლეთ
კალკულუსის ძირითადი თეორემა და განსაზღვრული ინტეგრალები
(გახსნის ფანჯარას)
ანტიწარმოებულები და განუსაზღვრელი ინტეგრალები
(გახსნის ფანჯარას)
კალკულუსის ძირითადი თეორემის დამტკიცება
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
კალკულუსის ძირითადი თეორემა და განსაზღვრული ინტეგრალებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
ანტიწარმოებულები და განუსაზღვრელი ინტეგრალებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

შებრუნებული ხარისხის წესი

ისწავლეთ
შებრუნებული ხარისხის წესი
(გახსნის ფანჯარას)
განუსაზღვრელი ინტეგრალები: ჯამები და მამრავლები
(გახსნის ფანჯარას)
ინტეგრებამდე გადაწერა
(გახსნის ფანჯარას)
ინტეგრებამდე გადაწერა: რთული ამოცანა
(გახსნის ფანჯარას)
შებრუნებული ხარისხის წესის მიმოხილვა
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
შებრუნებული ხარისხის წესიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
შებრუნებული ხარისხის წესი: უარყოფითი და წილადი ხარისხებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
შებრუნებული ხარისხის წესი: ჯამები და მამრავლებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
შებრუნებული ხარისხის წესი: ინტეგრებამდე გადაწერამოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

შუალედური ტესტი 3

განივითარეთ ზედა უნარები და მოაგროვეთ დახელოვნების მაქსიმუმ 600 ქულა

ხშირად გამოყენებადი ფუნქციების განუსაზღვრელი ინტეგრალები

ისწავლეთ
1/x-ის განუსაზღვრელი ინტეგრალი
(გახსნის ფანჯარას)
sin(x)-ის, cos(x)-ისა და eˣ-ის განუსაზღვრელი ინტეგრალები
(გახსნის ფანჯარას)
გავრცელებული ინტეგრალების მიმოხილვა
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
განუსაზღვრელი ინტეგრალები: eˣ და 1/xმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
განუსაზღვრელი ინტეგრალები: სინუსი და კოსინუსიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრებამოიპოვეთ 5 პასუხი 7 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

გავრცელებული ფუნქციების განსაზღვრული ინტეგრალები

ისწავლეთ
განსაზღვრული ინტეგრალები: შებრუნებული ხარისხის წესი
(გახსნის ფანჯარას)
რაციონალური ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი
(გახსნის ფანჯარას)
ფესვქვეშა ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი
(გახსნის ფანჯარას)
ტრიგონომეტრიული ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი
(გახსნის ფანჯარას)
ნატურალური ლოგარითმის შემცველი განსაზღვრული ინტეგრალი
(გახსნის ფანჯარას)
უბან-უბან ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი
(გახსნის ფანჯარას)
აბსოლუტური მნიშვნელობის ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
განსაზღვრული ინტეგრალები: შებრუნებული ხარისხის წესიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
განსაზღვრული ინტეგრალები: გავრცელებული ფუნქციებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
უბან-უბან ფუნქციების განსაზღვრული ინტეგრალებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

შუალედური ტესტი 4

განივითარეთ ზედა უნარები და მოაგროვეთ დახელოვნების მაქსიმუმ 600 ქულა

ინტეგრება u-ჩასმით

ისწავლეთ
𝘶-ჩასმა. შესავალი
(გახსნის ფანჯარას)
𝘶-ჩასმა: მუდმივაზე გამრავლება
(გახსნის ფანჯარას)
𝘶-ჩასმა: 𝘶-ს განსაზღვრა
(გახსნის ფანჯარას)
𝘶-ჩასმა: 𝘶-ს განსაზღვრა (მეტი მაგალითი)
(გახსნის ფანჯარას)
𝘶-ჩასმა
(გახსნის ფანჯარას)
𝘶-ჩასმა: რაციონალური ფუნქციები
(გახსნის ფანჯარას)
𝘶-ჩასმა: ლოგარითმული ფუნქცია
(გახსნის ფანჯარას)
𝘶-ჩასმა. გახურება
(გახსნის ფანჯარას)
𝘶-ჩასმა: განსაზღვრული ინტეგრალები
(გახსნის ფანჯარას)
𝘶-ჩასმა განსაზღვრული ინტეგრალებით
(გახსნის ფანჯარას)
𝘶-ჩასმა: მაჩვენებლიანი ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი
(გახსნის ფანჯარას)
𝘶-ჩასმა: განსაკუთრებული გამოყენება
(გახსნის ფანჯარას)
𝘶-ჩასმა: ორმაგი ჩასმა
(გახსნის ფანჯარას)
𝘶-ჩასმა: რთული გამოყენება
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
𝘶-ჩასმა: 𝘶-ს განსაზღვრამოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
𝘶-ჩასმა: განუსაზღვრელი ინტეგრალებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
𝘶-ჩასმა: განსაზღვრული ინტეგრალებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

ინტეგრება ქვეშმიწერით გაყოფისა და სრულ კვადრატამდე შევსების გამოყენებით

ისწავლეთ
ინტეგრება გრძელი ქვეშმიწერის გამოყენებით
(გახსნის ფანჯარას)
ინტეგრება სრულ კვადრატამდე შევსებისა და arctan(x)-ის წარმოებულის გამოყენებით
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
ინტეგრება გრძელი ქვეშმიწერის გამოყენებითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
ინტეგრება სრულ კვადრატამდე შევსების გამოყენებითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

ინტეგრება ტრიგონომეტრიული იგივეობების გამოყენებით

ისწავლეთ
cos^3(x)-ის ინტეგრალი
(გახსნის ფანჯარას)
Isin^2(x) cos^3(x)-ის ინტეგრალი
(გახსნის ფანჯარას)
sin^4(x)-ის ინტეგრალი
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
ინტეგრება ტრიგონომეტრიული იგივეობების გამოყენებითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

შუალედური ტესტი 5

განივითარეთ ზედა უნარები და მოაგროვეთ დახელოვნების მაქსიმუმ 600 ქულა

ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ჩასმა

ისწავლეთ
ტრიგონომეტრიული ჩასმის გაცნობა
(გახსნის ფანჯარას)
ჩასმა x=sin(theta)
(გახსნის ფანჯარას)
მეტი ვარჯიში ტრიგონომეტრიულ ჩასმაზე
(გახსნის ფანჯარას)
ტრიგონომეტიული და u-ჩასმა ერთად (ნაწილი 1)
(გახსნის ფანჯარას)
ტრიგონომეტიული და u-ჩასმა ერთად (ნაწილი 2)
(გახსნის ფანჯარას)
ტრიგონომეტრიული ჩასმა ტანგენსით
(გახსნის ფანჯარას)
მეტი ტრიგონომეტრიული ჩასმა ტანგენსით
(გახსნის ფანჯარას)
ამოცანა გრძელ ტრიგონომეტრიულ ჩასმაზე
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ჩასმამოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

ნაწილობითი ინტეგრალი

ისწავლეთ
ნაწილობითი ინტეგრება. შესავალი
(გახსნის ფანჯარას)
ნაწილობითი ინტეგრება: ∫x⋅cos(x)dx
(გახსნის ფანჯარას)
ნაწილობითი ინტეგრება: ∫ln(x)dx
(გახსნის ფანჯარას)
ნაწილობითი ინტეგრება: ∫x²⋅𝑒ˣdx
(გახსნის ფანჯარას)
ნაწილობითი ინტეგრება: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx
(გახსნის ფანჯარას)
ნაწილობითი ინტეგრება: განსაზღვრული ინტეგრალები
(გახსნის ფანჯარას)
ნაწილობითი ინტეგრება. რთული
(გახსნის ფანჯარას)
ნაწილობითი ინტეგრების მიმოხილვა
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
ნაწილობითი ინტეგრალიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
ნაწილობითი ინტეგრება: განსაზღვრული ინტეგრალებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

ინტეგრება წრფივი ნაწილობითი წილადების გამოყენებით

ისწავლეთ
ინტეგრება ნაწილობითი წილადებით
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
ინტეგრება ნაწილობითი წილადებითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

არაწესიერი ინტეგრალები

ისწავლეთ
არასაკუთრივი ინტეგრალების გაცნობა
(გახსნის ფანჯარას)
განშლადი არასაკუთრივი ინტეგრალები
(გახსნის ფანჯარას)
არასაკუთრივი ინტეგრალების მიმოხილვა
(გახსნის ფანჯარას)
არასაკუთრივი ინტეგრალები ორი უსასრულო ზღვრით
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
არაწესიერი ინტეგრალებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

შუალედური ტესტი 6

განივითარეთ ზედა უნარები და მოაგროვეთ დახელოვნების მაქსიმუმ 500 ქულა

ვიდეოები დამტკიცებაზე

ისწავლეთ
კალკულუსის ძირითადი თეორემის დამტკიცება
(გახსნის ფანჯარას)
ინტუიცია კალკულუსის ძირითადი თეორემის მეორე ნაწილისთვის
(გახსნის ფანჯარას)
შემდეგ თქვენთვის:

თემის ტესტი

განივითარეთ თემის ყველა უნარი და მოაგროვეთ დახელოვნების მაქსიმუმ 3700 ქულა!

ამ თემის შესახებ

ფუნქციის განსაზღვრული ინტეგრალი გვაძლევს ამ ფუნქციის ქვეშ ფართობს. სხვა გავრცელებული ინტერპრეტაციით, ტემპის ფუნქციის ინტეგრალი აღწერს იმ ოდენობის დაგროვებას, რომლის ტემპიცაა მოცემული. ინტეგრალების მიახელოებით მნიშვნელობას ვპოულობთ რიმანის ჯამი და განსაზღვრულ ინტეგრალს განვსაზღვრავთ რიმანის ჯამების ზღვრების გამოყენებით. კალკულუსის ძირითადი თეორემა ერთმანეთთან აკავშირებს ინტეგრალებსა და წარმოებულებს და შეგვიძლია, გამოვიყენოთ სხვადასხვა განსაზღვრული ინტეგრალების გამოსათვლელად.