შუალედური მნიშვნელობის თეორემის მიმოხილვა

შუალედური (ბოლცანო-კოშის) მნიშვნელობის თეორემა: ნებისმიერი $f$‍ უწყვეტი ფუნქციისთვის $[a,b]$‍ ინტერვალზე, ფუნქცია ამ ინტერვალზე მიიღებს $f(a)$‍-სა და $f(b)$‍-ს შორის ნებისმიერ მნიშვნელობას.

უფრო ფორმალურად რომ ვთქვათ, ეს იმას ნიშნავს, რომ $f(a)$‍-სა და $f(b)$‍-ს შორის ნებისმიერი $L$‍-ისთვის არსებობს ისეთი $c$‍ მნიშვნელობა $[a,b]$‍-ზე, რომლისთვისაც $f(c)=L$‍.

ეს თეორემა ლოგიკური ხდება, თუ გავითვალისწინებთ იმ ფაქტს, რომ უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკი ფანქრის აღების გარეშე იხაზება. თუ ვიცით, რომ გრაფიკი $(a,f(a))$‍-სა და $(b,f(b))$‍-ზე გადის...

... მაშინ იგი უნდა გადიოდეს $f(a)$‍-სა და $f(b)$‍-ს შორის $y$‍-ის ნებისმიერ მნიშვნელობაზე.

განიხილეთ $f$‍ უწყვეტი ფუნქცია მნიშვნელობათა შემდეგი ცხრილით. მოდით დავადგინოთ, $f(x)=2$‍-ს აუცილებლად აქვს თუ არა ამონახსნი.

ყურადღება მიაქციეთ, რომ $f(-1)=3$‍ და $f(0)=-1$‍. მაშინ ფუნქციამ $[-1,0]$‍ ინტერვალზე ნებისმიერი მნიშვნელობა უნდა მიიღოს $-1$‍-სა და $3$‍-ს შორის.

$2$‍ არის $-1$‍-სა და $3$‍-ს შორის, ასე რომ $[-1,0]$‍-ზე უნდა იყოს ისეთი $c$‍ მნიშვნელობა, რომლისთვისაც $f(c)=2$‍.