If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა
მიმდინარე დრო:0:00მთლიანი ხანგრძლივობა:10:19

კვადრატული ფესვები და ნამდვილი რიცხვები (ძველი)

ვიდეოს აღწერა

აქ არის რამდენიმე ფესვიანი გამოსახულება მოდით, სათითაოდ ჩამოვყვეთ და გავამარტივოთ. და ასევე გავარჩიოთ, რაციონალურია თუ არა მოცემული რიცხვები. დავიწყოთ A-თი. A არის კვადრატული ფესვი 25-დან ეს იგივეა რაც კვადრატული ფესვი ხუთჯერ ხუთიდან, რაც, ცხადია, იქნება ხუთის ტოლი. არ დაგავიწყდეთ, ამ მაგალითებში დადებითი კვადრატული ფესვებია. გადავიდეთ B-ზე. -- B-ს განსხვავებულ ფერში გავაკეთებ. საქმე გვაქვს დადებით კვადრატულ ფესვებთან. B-ში არის კვადრატული ფესვი 24-დან. საჭიროა მარტივ მამრავლებად დავშალოთ ეს რიცხვი. დავშალოთ 24 მარტივ მამრავლებად. ეს იქნება ორი გამრავლებული 12-ზე. 12 არის ორჯერ ექვსი. ექვსი არის ორჯერ სამი. ესე იგი, კვადრატული ფესვი 24-დან, ეს იგივეა, რაც კვადრატული ფესვი ორჯერ ორჯერ ორჯერ სამიდან. ეს იგივეა, რაც 24. ჩანს, რომ აქ გვაქვს ერთი სრული კვადრატი, ასე რომ, ეს შეგვიძლია გადავწეროთ ასე, ეს იგივეა რაც კვადრატული ფესვი ორჯერ ორიდან, გამრავლებული კვადრატულ ფესვზე ორჯერ სამიდან. ცხადია, ეს იქნება ორის ტოლი, რადგან კვადრატული ფესვია ოთხიდან, რაც არის ორის ტოლი. ამის გამარტივება მეტად არ შეგვიძლია, რადგან აღარ გვაქვს რიცხვი გამრავლებული თავის თავზე, ამიტომ, გავამრავლებთ ექვსის კვადრატულ ფესვზე, ან, კვადრატული ფესვი ორიდან გამრავლებული სამის კვადრატულ ფესვზე. ასევე, უნდა გავიგოთ, რომელია რაციონალური და რომელი - არა. ეს რაციონალურია, A მაგალითი შეგვიძლია გამოვსახოთ, როგორც ორი მთელი რიცხვის შეფარდება, რაც ამ შემთხვევაში არის 5/1. ესე იგი, ეს რაციონალურია. ეს არის ირაციონალური. ამას ამ ვიდეოში არ დავამტკიცებ, მაგრამ ეს არის ირაციონალური რიცხვების ნამრავლი, კვადრატული ფესვი ნებისმიერი მარტივი რიცხვიდან კი ირაციონალურია. ეს არის კვადრატული ფესვი ორიდან, გამრავლებული კვადრატულ ფესვზე სამიდან ანუ, ექვსის კვადრატული ფესვი ამიტომ, ეს ირაციონალურია, შეუძლებელია მისი გამოსახვა რაიმე წილადად არ შეგვიძლია, გამოვსახოთ როგორც რამე მთელი რიცხვი, გაყოფილი სხვა მთელ რიცხვზე, როგორც ეს აქ ვქენით. აქ არაფერს ვამტკიცებთ, მხოლოდ ვვარჯიშობთ. უფრო სწრაფად ასე შეიძლება გავაკეთოთ, აქ ოთხი შედის, ოთხი სრული კვადრატია, ამიტომ, გავიტანოთ. გამოვა ოთხჯერ ექვსი. ოთხის კვადრატული ფესვი ორია, ექვსი შიგნით დარჩება გამოვა ორჯერ კვადრატული ფესვი ექვსიდან ეს ყველაფერი მიჩვევის ამბავია, საჭიროა სისტემატურობა. გადავიდეთ C-ზე. კვადრატული ფესვი 20-დან. 20 არის ორჯერ ათი, ათი კი - ორჯერ ხუთი, ესე იგი, ეს იგივეა, რაც კვადრატული ფესვი ორჯერ ორჯერ ხუთიდან. კვადრატული ფესვი ორჯერ ორიდან, ცხადია, ორია. კვადრატული ფესვების ნამრავლი. ორჯერ კვადრატული ფესვი ხუთიდან. ამის გაკეთება ცოტა ვარჯიშით ზეპირადაც შეიძლება, კვადრატული ფესვი -- 20 არის ოთხჯერ ხუთი, კვადრატული ფესვი ოთხიდან არის ორი ხუთს ფესვში ვტოვებთ. გადავიდეთ D-ზე. კვადრატული ფესვი 200-დან. ეს იგივე პროცედურაა, დავშალოთ მარტივ მამრავლებად. ეს არის ორჯერ 100, 100 არის ორჯერ 50, ეს არის ორჯერ 25, 25 კი არის ხუთჯერ ხუთი. ანუ, შეგვიძლია გადავწეროთ, როგორც -- ოდნავ მარჯვნივ გავწევ -- ეს იგივეა, რაც კვადრატული ფესვი ორჯერ ორჯერ ორჯერ ხუთჯერ ხუთიდან. ერთი სრული კვადრატი ესაა, მეორე კი - ეს. ნაბიჯ-ნაბიჯ თუ გვინდა გავაკეთოთ, მაშინ ეს იქნება კვადრატული ფესვი ორჯერ ორიდან გამრავლებული კვადრატულ ფესვზე ორიდან, გამრავლებული კვადრატულ ფესვზე ხუთჯერ ხუთიდან. კვადრატული ფესვი ორჯერ ორიდან არის ორი. ორის კვადრატული ფესვი ორის კვადრატული ფესვია. კვადრატული ფესვი ხუთჯერ ხუთიდან, ანუ 25-დან, არის ხუთი. შეგვიძლია, გადავწეროთ, ასე: -- ორჯერ ხუთი არის ათი -- ათი გამრავლებული ორის კვადრატულ ფესვზე. და ისევ, ეს ირაციონალურია. არ შეგვიძლია, ეს რიცხვი გამოვსახოთ წილადის სახით. რომ ვცადოთ ამ რიცხვის ათწილადის სახით გამოსახვა, გაგრძელდება უსასრულოდ და არასდროს გამეორდება. გადავიდეთ E-ზე. კვადრატული ფესვი 2000-დან. -- აქ გავაკეთებ -- მაგალითი E, კვადრატული ფესვი 2000-დან. ისევ, იგივე პროცედურაა, რასაც აქამდე ვაკეთებდით. დავშალოთ მარტივ მამრავლებად. ეს იქნება ორჯერ 1000, რაც არის 2-ჯერ 500, ეს არის ორჯერ 250, 250 არის ორჯერ 125, რომელიც არის ხუთჯერ 25 25 კი არის ხუთჯერ ხუთი. მორჩა, დავშალეთ. ესე იგი, ეს იქნება შემდეგი გამოსახულების კვადრატული ფესვი -- ფრჩხილებში ჩავსვამ -- ორჯერ ორი გამრავლებული ორჯერ ორზე, გამრავლებული ხუთჯერ ხუთზე და გამრავლებული ხუთზე. -- გვაქვს 1, 2, 3, 4 ორიანი და სამი ხუთიანი. -- და გამრავლებული ხუთზე. რისი ტოლი იქნება ეს? დავუკვირდეთ, რომ ამისი გადაწერა შეიძლება სხვანაირად, ეს არის ოთხი, ესეც არის ოთხი, ესე იგი, ოთხიანი მეორდება, ანუ, გვაქვს კვადრატული ფესვი ოთხჯერ ოთხიდან, გამრავლებული ხუთჯერ ხუთის კვადრატულ ფესვზე და გამრავლებული ხუთის კვადრატულ ფესვზე. ეს, ცხადია, იქნება ოთხი, ეს კი იქნება ხუთი. გამრავლებული ხუთის კვადრატულ ფესვზე. ოთხჯერ ხუთი არის 20, მივიღეთ 20 გამრავლებული ხუთის კვადრატულ ფესვზე და ესეც არის ირაციონალური. გავაკეთოთ F. კვადრატული ფესვი 1/4-დან, რაც იგივეა, რაც კვადრატული ფესვი ერთიდან, გაყოფილი კვადრატულ ფესვზე ოთხიდან, რაც უდრის 1/2-ს. ეს კი რაციონალურია, რადგან გამოსახულია, როგორც წილადი, ანუ, არის რაციონალური. გადავიდეთ G-ზე. კვადრატული ფესვი 9/4-დან. იგივე ლოგიკაა, ეს იგივეა, რაც კვადრატული ფესვი ცხრიდან გაყოფილი კვადრატულ ფესვზე ოთხიდან, რაც უდრის 3/2-ს. შემდეგი მაგალითია H. კვადრატული ფესვი 0.16-დან. ეს ზეპირადაც შეიძლება გაკეთდეს, თუ გავიხსენებთ, რომ 0.4 გამრავლებული 0.4-ზე იქნება 0.16. მე მაინც გაჩვენებთ გზას, თუ როგორ კეთდება მსგავსი მაგალითი, როცა პასუხი საზეპირო არაა. ეს იგივეა, რაც კვადრატული ფესვი 16/100-დან. 0.16 ხომ სწორედ ესაა. ესე იგი, ეს იგივეა, რაც კვადრატული ფესვი 16-დან, შეფარდებული კვადრატულ ფესვთან 100-დან. ეს, ცხადია, უდრის 4/10-ს, ანუ 0.4-ს. მოდით, კიდევ რამდენიმე მსგავსი გავაკეთოთ. მაგალით I. ვიპოვოთ კვადრატული ფესვი 0.1-დან. ეს იგივეა, რაც კვადრატული ფესვი 1/10-დან, რაც არის კვადრატული ფესვი ერთიდან გაყოფილი ათის კვადრატულ ფესვზე, რაც უდრის ერთი შეფარდებული ათის კვადრატულ ფესვზე, ათი არის ორჯერ ხუთი, რაც დიდად არ გვეხმარება. ასე რომ, დავტოვოთ კვადრატული ფესვი ათიდან. ბევრ მასწავლებელს არ მოსწონს ფესვის მნიშვნელში დატოვება. ავტომატურად გამოდის, რომ ეს რიცხვი ირაციონალურია. რიცხვები უსასრულოდ გაგრძელდება. სცადეთ კალკულატორზე, ნახავთ რომ არაფერი გამეორდება, დაწერს მხოლოდ მიახლოებას რადგან ზუსტი პასუხისთვის უსასრულოდ ბევრი ციფრია საჭირო. მაგრამ თუ გვინდა, ეს გავხადოთ რაციონალური, -- ახლავე გაჩვენებთ -- თუ გვინდა, მნიშვნელი გახდეს რაციონალური, გავამრავლოთ 10ის კვადრატულ ფესვზე და გავყოთ 10-ის კვადრატულ ფესვზე. მივიღებთ ათის კვადრატული ფესვი გაყოფილი ათზე. ორივე გამოსახულება იდენტურია და ცხადია, ირაციონალური. ირაციონალური რიცხვი გაყოფილი ათზე ირაციონალური დარჩება. გავაკეთოთ J. კვადრატული ფესვი 0.01-დან. ეს იგივეა, რაც კვადრატული ფესვი 1/100-დან, რაც უდრის კვადრატული ფესვი ერთიდან, გაყოფილი 100-ის კვადრატულ ფესვზე. მივიღებთ 1/10-ს, ანუ 0.1-ს. ცხადია, ეს არის რაციონალური, რადგან ჩაიწერება, როგორც წილადი. ეს ასევე რაციონალურია, რადგან ისიც იწერება წილადის სახით.