If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 4: ბუნებრივი და იძულებითი რეაქცია

RL ბუნებრივი რეაქცია

RL წრედის ბუნებრივი რეაქცია.  ავტორი: უილი მაკალისტერი.
ჩვენ რეზისტორისა და ინდუქტორის წრედის ბუნებრივ რეაქციას გამოვიკვლევთ. ეს განხილვა RC წრედის ანალიზს შეესაბამება.
ეს RL წრედი საკმაოდ ხშირად გვხვდება. ეს წრედი ჩნდება, როდესაც წრედში დახვეული კაბელი გვაქვს, მაგალითად, როდესაც მექანიკური რელეს გამოძრავება გვსურს (რელე ხვიას შეიცავს, რომელიც ელექტრომაგნიტის როლს ასრულებს). ინდუქტორები თითქმის ყველა კვების წყაროს წრედსა და უამრავ ფილტრში გვხვდება. ყველა სადენსა და წრედის დაფას მცირე თვითინდუქციურობა ახლავს, რომელიც ძალიან სწრაფ წრედებში მნიშვნელოვან როლს ასრულებს.
ეს წრედია, რომლის გასაანალიზებლად დროის გათვალისწინება გვიწევს. ამ წრედის შესახებ ზუსტ გააზრებებამდე მისასვლელად კალკულუსის მეთოდების გამოყენება დაგვჭირდება. RL წრედის აღწერისთვის წარმოებულებს გამოვიყენებთ.

რის აგებას ვცდილობთ

რეზისტორ-ინდუქტორის წრედში, თუ ინდუქტორს საწყისი დენი I0 აქვს, დენი ექსპონენტურად დაიკლებს, როგორც:
i(t)=I0eRt/L
სადაც I0 დენის ძალაა t=0 დროს. ამას ბუნებრივი რეაქცია ეწოდება.
RL წრედის დროის მუდმივა არის τ=LR.
დროის მუდმივა მაჩვენებლიანი ფუნქციის დახრილობას აღწერს. მისი ერთეული წამებია.

წრედის ბუნებრივი რეაქცია გვაქვს, როდესაც წრედზე გარე ფაქტორები არ ზემოქმედებენ (ენერგია სისტემაში არ შემოდის). ეს წრედის საბაზისო ქცევაა. დიდი წრედის შემადგენელ ნაწილად ყოფნისას ბუნებრივი რეაქცია წრედის სრულ ქცევაში დიდ როლს ასრულებს.

RL ბუნებრივი რეაქციის აგება

RL წრედმა, რომ რაიმე ქმედება განახორციელოს, მასში საწყისი ენერგია შეგვაქვს, შემდეგ კი ვაკვირდებით, რას აკეთებს ის.
სქემის მარჯვენა მხარეს ინდუქტორი L და რეზისტორი R გვაქვს. ჩვენ ამ წრედის შესწავლა გვსურს. მარცხენა მხარეს გვაქვს „გარე დამხმარე“, რომელიც წრედის წყაროსგან, I-ისგან, რეზისტორისგან, R0-ისგან, და ჩაკეტილ მდგომარეობაში მყოფი ჩამრთველისგან შედგება.
თუ დავუშვებთ, რომ ჩამრთველი დიდი ხნის განმავლობაში ჩაკეტილი იყო, ლურჯი კონტური წრედში დენის მიდინებას აჩვენებს:
საიდან ვიცით, რომ მთელი დენი მხოლოდ ინდუქტორში გაედინება და რეზისტორებში — არა? ინდუქტორის განტოლება გვეუბნება:
v=Ldidt
წყაროდან წამოსული დენი მუდმივია, ის დროში არ იცვლება.
ეს ნიშნავს, რომ დენის ცვლილება დროში არის: didt=0.
ამას თუ ინდუქტორის განტოლებაში ჩავსვამთ, მივიღებთ, რომ v=L0=0. ინდუქტორზე (და, შესაბამისად, რეზისტორზე) მოდებული ძაბვა 0 ვოლტია. ომის კანონის მიხედვით კი რეზისტორში, რომლის ძაბვა 0 ვოლტია, 0 ამპერი დენი გაედინება.
როდესაც ინდუქტორში მუდმივი დენი გადის, ვამბობთ: ინდუქტორი დამოკლებასავით „გამოიყურება“, რადგან მის ტერმინალებზე 0 ვოლტი ძაბვაა მოდებული, ისევე როგორც იდეალურ სადენზე.

საწყისი მონაცემები

ახლა ჩვენს ინდუქტორში დენი გაედინება. ჩამრთველს t=0 დროს გავხსნით და საწყის მონაცემებს გამოვარკვევთ.
გახსნილი ჩამრთველი დამხმარე წრედსა (I,R0) და RL რეგიონს შორის კონტაქტს წყვეტს. დამხმარე წრედის მხარეს დენი I რეზისტორში R0 გადინებას იწყებს, (დამხმარე წრედმა თავისი სამუშაო შეასრულა და ყურადღებას აღარ მივაქცევთ). RL წრედის მხარეს, L-ში გადინებული დენი მყისიერად იცვლის მიმართულებას და R-ში გადინებას იწყებს:

საწყისი მდგომარეობის შეჯამება

ჩამრთველის გახსნის წინა მომენტში, t=0, ინდუქტორში დენი I0 გაედინება, ინდუქტორსა და რეზისტორზე კი 0 ვოლტი ძაბვაა მოდებული.
ჩამრთველის გახსნის შემდეგ, t=0+, დენი I0 კვლავ გაედინება L-ში და ახლა R-ში გადინებასაც იწყებს.
ინდუქტორში გამავალი დენი მყისიერად არ იცვლება, ის მყისიერად ვერ შეიცვლება. ანუ, ინდუქტორში გამავალი დენი ჩამრთველის გახსნის შემდეგ მომენტში იგივეა, რაც ჩამრთველის გახსნამდე მომენტში.
t=0+ დრომდე ინდუქტორში გამავალი დენი არის I0:

RL ბუნებრივი რეაქცია — ინტუიციური აღწერა

მოდით, ვიმსჯელოთ იმაზე, თუ რა ხდება შემდეგ. ჩვენ გვინდა, i-სა და v-ს დროზე დამოკიდებულების ფუნქციები ვიპოვოთ.
ზემოთ აღვნიშნეთ, რომ ჩამრთველის გახსნის შემდეგ მომენტში დენი, I0, ინდუქტორში გაედინება. რა მოსდის ძაბვას?
რეზისტორში გამავალი დენი 0-დან I0-მდე იზრდება, ანუ ძაბვა მყისიერად v(0+)=I0R ხდება.
ახლა ჩამრთველის გახსნის შემდეგ ორივე, დენის ძალაც და ძაბვაც, ვიცით. მოდით, იმაზე დავფიქრდეთ, რა მდგომარეობაში იქნება წრედი დიდი დროის გასვლის შემდეგ.
რეზისტორი (იდეალური ინდუქტორისა და კონდენსატორისგან განსხვავებით) ენერგიას სითბოდ გარდაქმნის. ეს სითბო ინდუქტორის მაგნიტურ ველში შენახული ენერგიიდან მოდის (ინდუქტორი ჩვენს ბუნებრივი რეაქციის წრედში ერთადერთი ენერგიის შემნახველი კომპონენტია). თუ დიდხანს დავიცდით, ინდუქტორში შენახული მთელი ენერგია საბოლოოდ რეზისტორის მეშვეობით სითბოდ გარდაიქმნება. როდესაც მთელი ენერგია მიილევა, i გაუტოლდება 0-ს და v-ც ასევე 0 ვოლტი იქნება. ესაა ჩვენი წრედის საბოლოო მდგომარეობა.
რეაქციის საბოლოო მდგომარეობის გათვალისწინებით i(t) და v(t) ასე გამოიყურებიან:

რა ხდება შუალედში?

ახლა შევეცდებით, გავიგოთ, რა ხდება t(0+)-იდან საბოლოო მდგომარეობამდე დროის მონაკვეთში. სავარაუდოდ მრუდის ორ მონაკვეთს გლუვი მრუდი აკავშირებს. ასევე, ალბათ ცვლილების სისწრაფე დასაწყისში უფრო მაღალია, როდესაც დენის ძალა დიდია და რეზისტორში ენერგია უფრო სწრაფად იფანტება. ამ ინტუიციის გამოყენებით შეგვიძლია დენის და ძაბვის სავარაუდო მრუდები დავხაზოთ.
ეს RL წრედის ბუნებრივი რეაქციისთვის კარგი პროგნოზია. ინტუიციურად შევძელით საწყისი და საბოლოო მდგომარეობების გაგება და ვივარაუდეთ დენისა და ძაბვის მრუდები გარდამავალ ინტერვალში. ჩვენ დაზუსტებით არ ვიცით, რა სისწრაფით ეცემა მრუდი ან რა დროის ინტერვალია საწყისიდან საბოლოო მდგომარეობამდე.
შემდეგ ზუსტ ამონახსნს ვიპოვით, რომლის გასაგებადაც კალკულუსის გამოყენება დაგვჭირდება.

RL ბუნებრივი რეაქციის ფორმალური გამოყვანა

ჩვენ გვსურს RL ბუნებრივი რეაქცია გამოვიყვანოთ, i და v დროზე დამოკიდებულების ფუნქციები. ამ გამოყვანისას იმავე ნაბიჯებს გადავდგამთ, რომლებიც RC ბუნებრივი რეაქციის გამოყვანაშია გამოყენებული.
დავუშვათ, რომ საწყისი დენი I0 მიედინება L-ში.

კომპონენტების მოდელირება

ორი კომპონენტის მოდელირება მათი მახასიათებელი i-v განტოლებებითაა შესაძლებელი.
რეზისტორს ომის კანონით აღვწერთ:
vR=iR
ინდუქტორი ინდუქტორის i-v განტოლებას აკმაყოფილებს:
vL=Ldidt

წრედის მოდელირება

შეგვიძლია კირხჰოფის ძაბვის კანონის ჩაწერა სქემის ზედა მარცხენა კუთხიდან დავიწყოთ და საათის ისრის საწყინააღმდეგო მიმართულებით მივყვეთ:
vL+vR=0
Ldidt+iR=0
ეს დიფერენციალური განტოლება წრედს აღწერს.
ამის შემდეგ vR-ს უბრალოდ v-ს დავუძახებთ.

წრედის ამოხსნა

წინა განტოლება პირველი რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებაა.
ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის მეთოდს ნაბიჯ-ნაბიჯ გავივლით. ამოხსნის ერთ-ერთი გზაა ამონახსნის გამოცნობა და მისი განტოლებაში ცდა. ახლაც, როგორც RC ბუნებრივი რეაქციის ანალიზში, ამ მეთოდს გამოვიყენებთ.
დიფერენციალური განტოლების ამოსახსნელად დენის, i(t)-ს, ფუნქციას ვვარაუდობთ, მას დიფერენციალურ განტოლებაში ვსვამთ და ვნახულობთ, აკმაყოფილებს თუ არა ამონახსნი განტოლებას.
Ldidt+iR=0 (დიფერენციალური განტოლება)
როგორც RC წრედის შემთხვევაში, მაჩვენებლიან ფუნქციას გამოვიყენებთ, რომელსაც ცვლადი პარამეტრები, K და s, გააჩნია.
i(t)=Kest
  • t არის დრო
  • i(t) დენის დროზე დამოკიდებულების ფუნქცია
  • K და s მუდმივები არიან, რომლებიც უნდა გავიგოთ
  • K დენის ძალის ამპლიტუდაა
  • s-ის ერთეულები 1/t უნდა იყოს, რათა ექსპონენტს ერთეულები არ ჰქონდეს.
ჩვენი სავარაუდო ამონახსნი დიფერენციალურ განტოლებაში ჩავსვათ და ვნახოთ, თუ იმუშავებს:
Lddt(Kest)+R(Kest)=0
გამოვთვალოთ პირველი წევრის წარმოებული:
ddt(Kest)=sKest
ჩავსვათ წარმოებული უკან დიფერენციალურ განტოლებაში:
sLKest+RKest=0
ახლა შეგვიძლია, საერთო Kest წევრი ფრჩხილებს გარეთ გავიტანოთ.
(sL+R)Kest=0
ეს განტოლება აღწერს ჩვენს წრედს, რომელშიც i(t)-ს მაჩვენებლიანი ფორმა აქვს.
ახლა ორ მუდმივას, K-სა და s-ს, ვიპოვით, რათა შევამოწმოთ, დაკმაყოფილდება თუ არა განტოლება.
ამონახსნის საპოვნად შეგვიძლია ავიღოთ K=0. მაგრამ ეს მოსაწყენია. წრედში არაფერი შედის და, შესაბამისად, არაფერი გამოდის.
კიდევ ერთი ამონახსნი შეგვიძლია მივიღოთ, თუ est=0. ესეც მოსაწყენია. ამ შემთხვევაში, s უარყოფითი რიცხვია და t +-ისკენ მიდის, ანუ დენის ძალის განულებას უსასრულოდ დიდხანს უნდა ველოდოთ.
განტოლების დაკმაყოფილების მესამე გზაა: sL+R=0. ეს უფრო საინტერესოა. ეს განტოლება სრულდება, თუ:
s=RL
აქედან s-ს ვიგებთ და ჩვენი დენის ძალის ფუნცია ასე გამოიყურება:
i(t)=KeRt/L
საბოლოო ნაბიჯი K-ს, ამპლიტუდის, პოვნაა. ამას საწყისი მდგომარეობით გავიგებთ. ჩამრთველის გადართვის მომენტში ინდუქტორის დენი ცნობილია. იმისთვის, რომ K ვიპოვოთ, განტოლებაში ჩავსვამთ ყველაფერს, რაც t=0+ დროს ვიცით. ამ დროს დენი არის i(0+)=I0.
i(0)=I0=KeR0/L
I0=Ke0
K=I0
ესეც ასე! ჩვენ ვიპოვეთ ფუნქცია და ორი მუდმივა, რომლებიც დიფერენციალურ განტოლებას აკმაყოფილებენ. ჩვენ გვაქვს დენის ამონახსნი, რომელიც ჩამრთველის გახსნის შემდეგ ნებისმიერი დროისთვის მუშაობს.
RL წრედის ბუნებრივი რეაქციის ზოგადი ამონახსნია,
i(t)=I0eRt/L
ძაბვა v(t)-ის გამოთვლა პირდაპირ ომის კანონითაა შესაძლებელი:
v(t)=Ri(t)
v(t)=RI0eRt/L

RL ბუნებრივი რეაქცია ასე გამოიყურება

ეს გრაფიკები გვიჩვენებენ RL ბუნებრივი რეაქციის ფორმას. t0 დროს გვაქვს დენი I0. t=0-ის შემდეგ დენი ექსპონენტურად იკლებს, სანამ 0 არ გახდება. ცვლილების სიჩქარე (დახრილობა) დასაწყისში ყველაზე დიდია, როდესაც დენიც დიდია. შეფარდება R/L ექსპონენტური რეაქციის დახრილობას განსაზღვრავს.
ინდუქტორზე მოდებული ძაბვა t0 დროს უცვლელად 0 ვოლტია. ის t=0 დროს, როდესაც დენის ცვლილება იწყება, უეცრად ხტება. მაქსიმალური მიღწეული ძაბვა საწყის დენზე, I0-ზე, და წინაღობაზე, R-ზე, არის დამოკიდებული (უცნაურია, რომ ის ინდუქციურობაზე, L-ზე, არ არის დამოკიდებული). ძაბვაც დენის მრუდისნაირ მაჩვენებლიან მრუდს მიყვება და 0-მდე მიილევა.
შეადარეთ ეს გამოთვლილი გრაფიკები ზემოთ აგებულ გრაფიკებს. ინტუიციურად აგებულ ამ გრაფიკებს სწორი ფორმა აქვთ.

რეზისტორ-ინდუქტორის კომბინაციის დროის მუდმივა

ექსპონენტი უბრალო რიცხვი უნდა იყოს, მას განზომილება ვერ ექნება. ეს ნიშნავს, რომ შეფარდებას R/L უნდა ჰქონდეს 1/time-ის ერთეულები, რათა t-ს ერთეულები გააბათილოს. შესაბამისად, L/R ერთეული წამია.
L/R შეფარდებას რეზისტორ-ინდუქტორის წრედის დროის მუდმივა ეწოდება. მას იგივე თვისებები აქვს, რაც შესაბამის RC ნამრავლს, რომელიც რეზისტორ-კონდენსატორის წრედის დროის მუდმივაა. ასევე, დროის მუდმივის სიმბოლოდ ბერძნულ ასოს τ (ტაუ) ვიყენებთ. რეზისტორ-ინდუქტორის წყვილისთვის:
τ=LR
ინდუქტორ-რეზისტორის დროის მუდმივა იზრდება ინდუქტორის ინდუქციურობის ზრდასთან ერთად და მცირდება რეზისტორის წინაღობის წრდასთან ერთად (RC დროის მუდმივისგან განსხვავებით, რომელიც იზრდება ორივეს, C-სა და R-ს, ზრდასთან ერთად).
τ-ს გამოყენებით შეგვიძლია ბუნებრივი რეაქციის განტოლების შემდეგნაირად ჩაწერა:
i(t)=I0et/τ
როცა t დროის მუდმივას ტოლია, e-ს ექსპონენტი 1 ხდება, ანუ ფუნქციის მნიშვნელობაა 1/e, დაახლოებით 0.37. დროის მუდმივა განსაზღვრავს, რამდენად სწრაფად ეცემა ექსპონენტის მრუდი ნულისკენ. 1 დროის მუდმივა დროის გავლის შემდეგ ძაბვა საწყისი მნიშვნელობის 37%-მდე ეცემა.

RL ბუნებრივი რეაქცია, მაგალითი

მოდით, ამ წრედის მაგალითი განვიხილოთ:
ამოცანა 1
რა არის i, თუკი ჩამრთველი დაკეტილია?
i=
მა

ამოცანა 2
რა არის v, როდესაც ჩამრთველი დაკეტილია?
v=
V

ჩამრთველი t=0 დროს იხსნება.
ამოცანა 3
რა არის i ინდუქტორში ჩამრთველის გახსნის შემდეგ მომენტში?
i=
მა

ამოცანა 4
რა არის დროის მუდმივა, τ ?
τ=
წამი

ჩაწერეთ გამოსახულება i(t) და v(t)-სთვის t=0 დროის შემდეგ.
i(t)=____, v(t)=____
წრედის ბუნებრივი რეაქცია ასე გამოიყურება:

შეჯამება

RL წრედის ბუნებრივი რეაქცია მაჩვენებლიანი ფუნქციაა:
i(t)=I0eRt/L
სადაც I0 საწყისი დენია t=0 წამზე.
RL წრედის დროის მუდმივა არის τ=LR.

აპენდიქსი — განცილებადცვლადიანი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა

გახსენებისთვის, LC წრედის დიფერენციალური განტოლებაა:
Ldidt+iR=0
ეს არის განცილებადცვლადიანი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის ნაბიჯები. თუ ეს მეთოდი კალკულუსის შესწავლისას გაიარეთ, შეგიძლიათ RL და RC პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები ამონახსნის გამოცნობის გარეშე ამოხსნათ.
Ldidt=iRLdii=Rdt0tLdii=0tRdtL[lni(t)lni(0)]=RtLln(i(t)/I0)=Rtln(i(t)/I0)=Rt/Li(t)/I0=eRt/Li(t)=I0eRt/L
ეს იგივე შედეგია, რაც სტატიის მთავარ ნაწილში ამონახსნის გამოცნობით მივიღეთ.
ხანის აკადემიაზე შეგიძლიათ იხილოთ ვიდეოების სერია ასეთი განცილებადცვლადიანი დიფერენციალური განტოლებების შესახებ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.