ძირითადი მასალა

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 4: ბუნებრივი და იძულებითი რეაქცია

RLC ბუნებრივი რეაქცია — ვარიაციები

RLC ბუნებრივი რეაქცია სამ კატეგორიად იყოფა: ზეჩახშობილი, კრიტიკულად ჩახშობილი და ნაკლებ ჩახშობილი. ავტორი: უილი მაკალისტერი.

შესავალი

რეზისტორ-ინდუქტორ-კონდენსატორის

(RLC)

წრედის ბუნებრივ რეაქციას, შესაძლოა, სამი სხვადასხვა ფორმა ჰქონდეს. ეს წრედის კომპონენტების მნიშვნელობებზეა დამოკიდებული.

წინა ორ სტატიაში განვხილეთ

RLC

წრედის ქცევის ინტუიციური ნაწილი, ფორმალურად გამოვიყვანეთ წრედის მოდელი, რომელიც მე-

2

რიგის დიფერენციალური განტოლებაა, და ამოვხსენით კონკრეტული წრედის მაგალითი. ამ სტატიაში დეტალურად განვიხილავთ მახასიათებელ განტოლებას და სახელს დავაქმევთ სხვადასხვა ამონახსნს.

რის აგებას ვცდილობთ

გვაქვს

RLC

მახასიათებელი განტოლება:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

მახასიათებელი განტოლების ფესვებს კვადრატული განტოლებით გავიგებთ:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

α

და

ω_{o}

ცვლადების ჩანაცვლებით

s

-ის შედარებით მარტივად ჩაწერა შეგვიძლია:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

სადაც,

α = \frac{R}{2 L},

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

α

-ს ჩახშობის კოეფიციენტი ეწოდება და

ω_{o}

რეზონანსული სიხშირეა.

α

-სა და

ω_{o}

-ს შეფარდებაზეა დამოკიდებული

i (t)

-ის ამონახსნის სამი განსხვავებული ფორმა,

ზეჩახშობილი, როდესაც $α > ω_{0}$ ‍. ამ შემთხვევაში გვაქვს ორი კლებადი მაჩვენებლიანი (ექსპონენტური) ფუნქციის ჯამი.
კრიტიკულად ჩახშული, $α = ω_{0}$ ‍. ამ შემთხვევაში გვაქვს $t$ ‍ გამრავლებული კლებად მაჩვენებლიან ფუნქციაზე
ნაკლებ ჩახშული, $α < ω_{0}$ ‍, გვაქვს კლებადი სინუსოიდი.

წრედის მოდელირება და ამოხსნა — გამეორება

RLC

წრედის აღწერისთის წინა სტატიაში გამოვიყენეთ მე-

2

რიგის დიფერენციალური განტოლება. ის ასე გამოიყურება:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

შემდეგ ვივარაუდეთ ექსპონენტური ფორმის ამონახსნი (რომელმაც განტოლება დააკმაყოფილა) და მივიღეთ ამ ფორმის მახასიათებელი განტოლება:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

RLC

მახასიათებელი განტოლების ფესვები,

s

, კვადრატული განტოლებით ვიპოვეთ,

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

α

და

ω_{o}

ცვლადებს შემოტანით

s

ცოტათი უფრო მარტივად ჩავწერეთ:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

სადაც

α = \frac{R}{2 L}

და

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

α

-ს ჩახშობის კოეფიციენტი ეწოდება და

ω_{o}

რეზონანსული სიხშირეა.

სავაურაუდო ამონახსნს ასეთი ფორმა ჰქონდა,

i = K_{1} e^{s_{1} t} + K_{2} e^{s_{2} t}

ახლა სიღრმისეულად გავაანალიზებთ

RLC

მახასიათებელი განტოლების ფესვის,

s

-ის სხვადასხვა ფორმას და იმას, თუ რა გავლენა აქვს მას

i

-ს ამონახსნზე.

ზუსტი ამონახსნი

თუ გვსურს

R

-ს,

L

-ისა და

C

-ს ზუსტი მნიშვნელობების გაგება, წინა სტატიაში წრედის მაგალითის განხილვისას გამოყენებულ გამოთვლას გამოვიყენებთ. გარდა ამისა, ზუსტი მნიშვნელობების გასაგებად შეგვიძლია წრედი სიმულატორში ავაგოთ.

ზეჩახშობილი, კრიტიკულად ჩახშული, ნაკლებჩახშული

სამი შესაძლო ქცევის ხარისხობრივი შესწავლით შეგვიძლია ბუნებრივი რეაქციის სრული ნაყოფიარება ვიხილოთ.

s

-ის ამონახსნი ფესვში მოცემული სხვაობის ნიშანზეა დამოკიდებული:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

როგორ ფესვებს ვიღებთ:

კავშირი	$α^{2} - ω^{2}$ ‍ ნიშანი	მეტსახელი	$s$ ‍
$α > ω_{o}$ ‍	$+$ ‍	ზეჩახშობილი	2 რეალური ფესვი
$α = ω_{o}$ ‍	$0$ ‍	კრიტიკულად ჩახშული	2 განმეორებადი ფესვი
$α < ω_{o}$ ‍	$-$ ‍	ნაკლებ ჩახშული	2 კომპლექსური ფესვი

როგორ ამონახსნებს ვიღებთ,

i (t)

კავშირი	$α^{2} - ω^{2}$ ‍ ნიშანი	მეტსახელი	$i (t)$ ‍
$α > ω_{o}$ ‍	$+$ ‍	ზეჩახშობილი	2 კლებადი ექსპონენტური ფუნქცია
$α = ω_{o}$ ‍	$0$ ‍	კრიტიკულად ჩახშული	$t \cdot$ ‍ კლებადი ექსპონენტური ფუნქცია
$α < ω_{o}$ ‍	$-$ ‍	ნაკლებ ჩახშული	კლებადი სინუსოიდი

თუ ინჟინერიის შესწავლისას მართვის (კონტროლის) თეორიას გადაეყრებით, ეს ტერმინები დინამიური სისტემების ქცევის აღსაწერად გამოიყენება. მაგალითად, რობოტის მკლავის მოძრაობის აღწერა მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებითაა შესაძლებელი. თუ გვსურს, რობოტმა ობიექტისკენ მკლავი წაიღოს, მისი მკლავის მოძრაობა ამ ტერმინებით აღიწერება.

მოდით, ეს სამი შესაძლებლობა დეტალურად განვიხილოთ.

$α^{2} - ω^{2} > 0$ ‍ ზეჩახშობილი

როდესაც

ω_{o}^{2}

α^{2}

-ზე პატარაა, ფესვში სხვაობა დადებითი იქნება, ამიტომ ვიცით, რომ ფესვის მნიშვნელობა

α

-ზე მცირე იქნება. ეს ნიშნავს, რომ ორი ფესვი გვექნება. ანუ,

s

-ს ორი მნიშვნელობა ექნება, ორივე უარყოფითი.

s_{1, 2} = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

s_{1} = - {რეალური რიცხვი}_{1}

და

s_{2} = - {რეალური რიცხვი}_{2}

(სცადეთ, თქვენით დარწმუნდეთ, რომ ორივე,

s_{1}

და

s_{2}

, უარყოფითია)

დენი ორი მაჩვენებლიანი ფუნქციის სუპერპოზიცია იქნება. ორივე მაჩვენებლიანი ფუნქცია ნულამდე იკლებს.

i = K_{1} e^{- {რეალური}_{1} t} + K_{2} e^{- {რეალური}_{2} t}

წრედი ზეჩახშობილია, რადგან ამონახსნის ორივე წევრი კლებადი ექსპონენტური (მაჩვენებლიანი) ფუნქციაა, ანუ დენი ნულამდე ექსპონენტურად იკლებს. წრედი ზეჩახშობილია, როდესაც წინაღობა რეზონანსულ სიხშირეზე მაღალია.

მოცემულია

R = 10 Ω, L = 1 ჰ

და

C = 1 / 9 ფ

.
გვაქვს საწყისი მოცემულობა:

v_{c} (0) = 10 V

და

i_{L} = 0

ვიპოვოთ $i (t)$ ‍.

გამოვთვალოთ ჩახშობის კოეფიციენტი და რეზონანსული სიხშირე:

α = \frac{R}{2 L}

ან

α = \frac{10}{2 \cdot 1} = 5

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

, ანუ

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 / 9}} = 3

ვიპოვოთ მახასიათებელი განტოლების (უარყოფითი) ფესვები:

s_{1, 2} = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

s_{1, 2} = - 5 \pm \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = - 5 \pm \sqrt{16} = - 1, - 9

ავაწყოთ სავარაუდო ამონახსნი:

i = K_{1} e^{s_{1} t} + K_{2} e^{s_{2} t}

i = K_{1} e^{- t} + K_{2} e^{- 9 t}

ორი საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით (როგორც წინა მაგალითში):

i (0^{+}) = 0

\frac{d i}{d t} (0^{+}) = 10

პირველი საწყისი მონაცემის გამოყენებით ჩავწეროთ

K_{1}

და

K_{2}

-ს გამოსახულებები

t = 0

დროს:

i (0) = 0 = K_{1} e^{- 0} + K_{2} e^{0}

0 = K_{1} + K_{2}

გავაწარმოოთ ამონახსნი და გამოვიყენოთ მეორე საწყისი მდგომარეობა:

\frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} [K_{1} e^{- t} + K_{2} e^{- 9 t}] = - K_{1} e^{- t} - 9 K_{2} e^{- 9 t}

\frac{d i}{d t} (0) = 10 = - K_{1} e^{- 0} - 9 K_{2} e^{0}

10 = - K_{1} - 9 K_{2}

ახლა ორ საწყისი მოცემულობის განტოლებას ამოვხსნით. პირველი საწყისი მოცემულობიდან გვაქვს:

K_{1} = - K_{2}

ჩავსვათ მეორე საწყის მდგომარეობაში:

10 = - (- K_{2}) - 9 K_{2}

10 = - 8 K_{2}

K_{2} = - 1.25,

და, შესაბამისად,

K_{1} = + 1.25

დენის ძალის ამონახსნი არის:

i = 1.25 e^{- t} - 1.25 e^{- 9 t}

$α^{2} - ω^{2} = 0$ ‍ კრიტიკულად ჩახშული

ნაკლებჩახშული და ზეჩახშული ამონახსნების ზღვარი გვაქვს, როდესაც

α = ω_{o}

. ჩახშობის კოეფიციენტი და რეზონანსული სიხშირე ტოლია, ფესვის წევრების სხვაობა არის

0

. მახასიათებელი განტოლების ფესვები,

s

, იდენტური რეალური რიცხვებია, განმეორებადი ფესვები:

s_{1, 2} = - α \pm {\sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}}^{0}

s_{1, 2} = - α

განმეორებადფესვებიანი მე-

2

რიგის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა ცოტა რთულია. აქ გამოყვანას არ ვაჩვენებთ, თუმცა მისი ნახვა განმეორებადი ფესვების შესახებ ვიდეოში შეგიძლიათ. განმეორებადფესვებიანი განტოლების ამონახსნია ექსპონენტური (მაჩვენებლიანი) ფუნქციის და

t

-ს ნამრავლი.

i = \frac{V_{0}}{L} t e^{- α t}

ამ რეაქციას კრიტიკულად ჩახშული ეწოდება.

მოცემულია

R = 4 Ω

, L = 1 ჰ

და

C = 1 / 4 ფ

.
გვაქვს საწყისი მოცემულობა:

v_{c} (0) = 10 V

და

i_{L} = 0

ვიპოვოთ $i (t)$ ‍.

წრედის დიფერენციალური განტოლებაა:

\frac{d^{2} i}{d t^{2}} + 4 \frac{d i}{d t} + 4 i = 0

ეს მახასიათებელ განტოლებას გვაძლევს:

s^{2} + 4 s + 4 = 0

ეს შეგვიძლია პირდაპირ დავშალოთ (კვადრატული ფორმულა საჭირო არ არის),

(s + 2) (s + 2) = 0

ვიღებთ განმეორებად ფესვებს,

s_{1} = - 2

და

s_{2} = - 2

რეალური განმეორებადი ფესვებით, ამონახსნი არის,

i = \frac{V_{0}}{L} t e^{- α t}

i = \frac{10}{1} t e^{- 2 t}

i = 10 t e^{- 2 t}

კრიტიკულად ჩახშული რეაქცია ზეჩახშობილ რეაქციას წააგავს. თვალით განსხვავების დანახვა რთულია. კრიტიკულად ჩახშული რეაქცია ყველა შესაძლო კლებადი რეაქციის ზღვარზეა.

$α^{2} - ω^{2} < 0$ ‍ ნაკლებჩახშული

როდესაც

α

ω_{o}

-ზე პატარაა, ფესვში უარყოფითი რიცხვი გვაქვს და

s

იძენს ორი კომპლექსური შეუღლებული რიცხვის მნიშვნელობას, რომლებსაც რეალური და წარმოსახვითი წევრები აქვთ. წრედის მაგალითი, რომელიც RLC ბუნებრივი რეაქციის გამოყვანის სტატიაში განვიხილეთ, ნაკლებჩახშული სისტემაა.

დენის ძალა სინუსოიდია, რომელიც დროსთან ერთად იკლებს. წარმოიდგინეთ ხმა, რომელსაც ზარი რეკვისას გამოსცემს. ზარის ხმა ნელ-ნელა მიილევა. ის არის ნაკლებ ჩახშული მეორე რიგის მექანიკური სისტემა. მეორე რიგის ელექტრული სისტემების აღსაწერად, ტერმინს ვსესხულობთ და ვამბობთ, რომ ნაკლებ ჩახშული სისტემა მიახლოებით

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

სიხშირეზე „ირხევა“.

ჩამხშობი წევრის გამო, სიხშირე მხოლოდ მიახლოებითაა

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

. სინუსოიდის კლებასთან ერთად ყოველი მომდევნო პერიოდი ცოტა უფრო გრძელია. თუ ზარის ხმას ყურადღებით მოუსმენთ, რაც უფრო დიდხანს გრძელდება ტონი, ის ცოტათი უფრო დაბალი სიხშირისაა.

ω_{o}

არის ზარის სიხშირე, როდესაც ის რეკვას იწყებს.

თუ წინაღობის მნიშვნელობას შევამცირებთ და

0

-ისკენ გავუშვებთ, მაშინ

α = R / 2 L

ნულისკენ მიისწრაფის და

s_{1, 2}

ხდება

ω_{o}

. წრედი

LC

კონფიგურაციის ხდება. როდესაც LC წრედის ბუნებრივი რეაქცია გავაანალიზეთ, ჩვენ მივიღეთ სინუს ტალღა, რომელიც არასოდეს იკლებდა (რეალობაში,

R

არასოდესაა

0

, ამიტომ ყოველთვის გვაქვს ენერგიის დანაკარგი. ზარი მუდამ არ რეკავს).

ამ სტატიაში განხილულ პირველ წრედის მაგალითს ჰქონდა

R = 2 Ω, L = 1 ჰ,

და

C = 1 / 5 ფ .

ამონახსნს არ გავიმეორებთ, მაგრამ შეგვიძლია

α

და

ω_{o}

-ს ნოტაციის გამოყენებით რამდენიმე დაკვირვება გავაკეთოთ.

ჩახშობის კოეფიციენტი

α

არის

α = \frac{R}{2 L} = \frac{2}{2 \cdot 1} = 1

რეზონანსული სიხშირე

ω_{o}

არის

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1 / 5}} = \sqrt{5}

ფესვის წევრებს თუ შევხედავთ:

α^{2} - ω^{2} = 1^{2} - \sqrt{5}^{2} = - 4 =

უარყოფითი რიცხვია, რომელიც ამონახსნად კლებად სინუსოიდს გვაძლევს. შესაბამისად, მაგალითის წრედი ნაკლებ ჩახშული სისტემაა.

შეჯამება

RLC

წრედი ხახუნის მქონე მოქანავე მექანიკური ქანქარას ელექტრული შესატყვისია. წრედის მოდელირება მე-

2

რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებითაა შესაძლებელი:

L \frac{d^{2} i}{d t^{2}} + R \frac{d i}{d t} + \frac{1}{C} i = 0

შედეგად ვიღებთ მახასიათებელ განტოლებას:

s^{2} + \frac{R}{L} s + \frac{1}{LC} = 0

მახასიათებელი განტოლების ფესვები კვადრატული განტოლებით ვიპოვეთ:

s = \frac{- R \pm \sqrt{R^{2} - 4 L / C}}{2 L}

α

და

ω_{o}

ცვლადებს შემოტანით

s

ცოტათი უფრო მარტივად ჩავწერეთ:

s = - α \pm \sqrt{α^{2} - ω_{o}^{2}}

სადაც

α = \frac{R}{2 L}

და

ω_{o} = \frac{1}{\sqrt{LC}}

α

-სა და

ω_{o}

-ს სხვადასხვა თანაფარდობით ამონახსნის სამი განსხვავებული ფორმა ვიპოვეთ:

ზეჩახშობილი, როდესაც $α > ω_{0}$ ‍. ამ შემთხვევაში გვაქვს ორი კლებადი მაჩვენებლიანი ფუნქციის ჯამი.
კრიტიკულად ჩახშული, $α = ω_{0}$ ‍. ამ შემთხვევაში გვაქვს $t$ ‍-ს და კლებადი მაჩვენებლიანი ფუნქციის ნამრავლი
ნაკლებ ჩახშული, $α < ω_{0}$ ‍, გვაქვს კლებადი სინუსოიდი

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ელექტროინჟინერია