ძირითადი მასალა

ელექტროინჟინერია

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 4: ბუნებრივი და იძულებითი რეაქცია

RLC ბუნებრივი რეაქცია — ვარიაციები

RLC ბუნებრივი რეაქცია სამ კატეგორიად იყოფა: ზეჩახშობილი, კრიტიკულად ჩახშობილი და ნაკლებ ჩახშობილი. ავტორი: უილი მაკალისტერი.

შესავალი

რეზისტორ-ინდუქტორ-კონდენსატორის left parenthesis, start text, R, L, C, right parenthesis, end text წრედის ბუნებრივ რეაქციას, შესაძლოა, სამი სხვადასხვა ფორმა ჰქონდეს. ეს წრედის კომპონენტების მნიშვნელობებზეა დამოკიდებული.

წინა ორ სტატიაში განვხილეთ start text, R, L, C, end text წრედის ქცევის ინტუიციური ნაწილი, ფორმალურად გამოვიყვანეთ წრედის მოდელი, რომელიც მე-2 რიგის დიფერენციალური განტოლებაა, და ამოვხსენით კონკრეტული წრედის მაგალითი. ამ სტატიაში დეტალურად განვიხილავთ მახასიათებელ განტოლებას და სახელს დავაქმევთ სხვადასხვა ამონახსნს.

რის აგებას ვცდილობთ

გვაქვს start text, R, L, C, end text მახასიათებელი განტოლება:

s, squared, plus, start fraction, start text, R, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, s, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, equals, 0

მახასიათებელი განტოლების ფესვებს კვადრატული განტოლებით გავიგებთ:

s, equals, start fraction, minus, start text, R, end text, plus minus, square root of, start text, R, end text, squared, minus, 4, start text, L, end text, slash, start text, C, end text, end square root, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction

alpha და omega, start subscript, o, end subscript ცვლადების ჩანაცვლებით s-ის შედარებით მარტივად ჩაწერა შეგვიძლია:

s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root

სადაც,

alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction, comma omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction

alpha-ს ჩახშობის კოეფიციენტი ეწოდება და omega, start subscript, o, end subscript რეზონანსული სიხშირეა.

alpha-სა და omega, start subscript, o, end subscript-ს შეფარდებაზეა დამოკიდებული i, left parenthesis, t, right parenthesis-ის ამონახსნის სამი განსხვავებული ფორმა,

ზეჩახშობილი, როდესაც alpha, is greater than, omega, start subscript, 0, end subscript. ამ შემთხვევაში გვაქვს ორი კლებადი მაჩვენებლიანი (ექსპონენტური) ფუნქციის ჯამი.
კრიტიკულად ჩახშული, alpha, equals, omega, start subscript, 0, end subscript. ამ შემთხვევაში გვაქვს t გამრავლებული კლებად მაჩვენებლიან ფუნქციაზე
ნაკლებ ჩახშული, alpha, is less than, omega, start subscript, 0, end subscript, გვაქვს კლებადი სინუსოიდი.

წრედის მოდელირება და ამოხსნა — გამეორება

start text, R, L, C, end text წრედის აღწერისთის წინა სტატიაში გამოვიყენეთ მე-2 რიგის დიფერენციალური განტოლება. ის ასე გამოიყურება:

start text, L, end text, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start text, R, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, i, equals, 0

შემდეგ ვივარაუდეთ ექსპონენტური ფორმის ამონახსნი (რომელმაც განტოლება დააკმაყოფილა) და მივიღეთ ამ ფორმის მახასიათებელი განტოლება:

start text, R, L, C, end text მახასიათებელი განტოლების ფესვები, s, კვადრატული განტოლებით ვიპოვეთ,

alpha და omega, start subscript, o, end subscript ცვლადებს შემოტანით s ცოტათი უფრო მარტივად ჩავწერეთ:

s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root

სადაც alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction და omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction

alpha-ს ჩახშობის კოეფიციენტი ეწოდება და omega, start subscript, o, end subscript რეზონანსული სიხშირეა.

სავაურაუდო ამონახსნს ასეთი ფორმა ჰქონდა,

i, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, s, start subscript, 1, end subscript, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, s, start subscript, 2, end subscript, t, end superscript

ახლა სიღრმისეულად გავაანალიზებთ start text, R, L, C, end text მახასიათებელი განტოლების ფესვის, s-ის სხვადასხვა ფორმას და იმას, თუ რა გავლენა აქვს მას i-ს ამონახსნზე.

ზუსტი ამონახსნი

თუ გვსურს start text, R, end text-ს, start text, L, end text-ისა და start text, C, end text-ს ზუსტი მნიშვნელობების გაგება, წინა სტატიაში წრედის მაგალითის განხილვისას გამოყენებულ გამოთვლას გამოვიყენებთ. გარდა ამისა, ზუსტი მნიშვნელობების გასაგებად შეგვიძლია წრედი სიმულატორში ავაგოთ.

ზეჩახშობილი, კრიტიკულად ჩახშული, ნაკლებჩახშული

სამი შესაძლო ქცევის ხარისხობრივი შესწავლით შეგვიძლია ბუნებრივი რეაქციის სრული ნაყოფიარება ვიხილოთ.

s-ის ამონახსნი ფესვში მოცემული სხვაობის ნიშანზეა დამოკიდებული:

s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root

როგორ ფესვებს ვიღებთ:

კავშირი	alpha, squared, minus, omega, squared ნიშანი	მეტსახელი	s
alpha, is greater than, omega, start subscript, o, end subscript	plus	ზეჩახშობილი	2 რეალური ფესვი
alpha, equals, omega, start subscript, o, end subscript	0	კრიტიკულად ჩახშული	2 განმეორებადი ფესვი
alpha, is less than, omega, start subscript, o, end subscript	minus	ნაკლებ ჩახშული	2 კომპლექსური ფესვი

როგორ ამონახსნებს ვიღებთ, i, left parenthesis, t, right parenthesis:

კავშირი	alpha, squared, minus, omega, squared ნიშანი	მეტსახელი	i, left parenthesis, t, right parenthesis
alpha, is greater than, omega, start subscript, o, end subscript	plus	ზეჩახშობილი	2 კლებადი ექსპონენტური ფუნქცია
alpha, equals, omega, start subscript, o, end subscript	0	კრიტიკულად ჩახშული	t, dot კლებადი ექსპონენტური ფუნქცია
alpha, is less than, omega, start subscript, o, end subscript	minus	ნაკლებ ჩახშული	კლებადი სინუსოიდი

თუ ინჟინერიის შესწავლისას მართვის (კონტროლის) თეორიას გადაეყრებით, ეს ტერმინები დინამიური სისტემების ქცევის აღსაწერად გამოიყენება. მაგალითად, რობოტის მკლავის მოძრაობის აღწერა მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებითაა შესაძლებელი. თუ გვსურს, რობოტმა ობიექტისკენ მკლავი წაიღოს, მისი მკლავის მოძრაობა ამ ტერმინებით აღიწერება.

მოდით, ეს სამი შესაძლებლობა დეტალურად განვიხილოთ.

alpha, squared, minus, omega, squared, is greater than, 0 ზეჩახშობილი

როდესაც omega, start subscript, o, end subscript, squared alpha, squared-ზე პატარაა, ფესვში სხვაობა დადებითი იქნება, ამიტომ ვიცით, რომ ფესვის მნიშვნელობა alpha-ზე მცირე იქნება. ეს ნიშნავს, რომ ორი ფესვი გვექნება. ანუ, s-ს ორი მნიშვნელობა ექნება, ორივე უარყოფითი.

s, start subscript, 1, comma, 2, end subscript, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root

s, start subscript, 1, end subscript, equals, minus, start text, რ, ე, ა, ლ, უ, რ, ი, space, რ, ი, ც, ხ, ვ, ი, end text, start subscript, 1, end subscript და s, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, start text, რ, ე, ა, ლ, უ, რ, ი, space, რ, ი, ც, ხ, ვ, ი, end text, start subscript, 2, end subscript

(სცადეთ, თქვენით დარწმუნდეთ, რომ ორივე, s, start subscript, 1, end subscript და s, start subscript, 2, end subscript, უარყოფითია)

დენი ორი მაჩვენებლიანი ფუნქციის სუპერპოზიცია იქნება. ორივე მაჩვენებლიანი ფუნქცია ნულამდე იკლებს.

i, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, minus, start text, რ, ე, ა, ლ, უ, რ, ი, end text, start subscript, 1, end subscript, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, start text, რ, ე, ა, ლ, უ, რ, ი, end text, start subscript, 2, end subscript, t, end superscript

წრედი ზეჩახშობილია, რადგან ამონახსნის ორივე წევრი კლებადი ექსპონენტური (მაჩვენებლიანი) ფუნქციაა, ანუ დენი ნულამდე ექსპონენტურად იკლებს. წრედი ზეჩახშობილია, როდესაც წინაღობა რეზონანსულ სიხშირეზე მაღალია.

[ზეჩახშობილობის მაგალითი]

alpha, squared, minus, omega, squared, equals, 0 კრიტიკულად ჩახშული

ნაკლებჩახშული და ზეჩახშული ამონახსნების ზღვარი გვაქვს, როდესაც alpha, equals, omega, start subscript, o, end subscript. ჩახშობის კოეფიციენტი და რეზონანსული სიხშირე ტოლია, ფესვის წევრების სხვაობა არის 0. მახასიათებელი განტოლების ფესვები, s, იდენტური რეალური რიცხვებია, განმეორებადი ფესვები:

s, start subscript, 1, comma, 2, end subscript, equals, minus, alpha, plus minus, start cancel, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root, end cancel, start superscript, 0, end superscript

s, start subscript, 1, comma, 2, end subscript, equals, minus, alpha

განმეორებადფესვებიანი მე-2 რიგის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა ცოტა რთულია. აქ გამოყვანას არ ვაჩვენებთ, თუმცა მისი ნახვა განმეორებადი ფესვების შესახებ ვიდეოში შეგიძლიათ. განმეორებადფესვებიანი განტოლების ამონახსნია ექსპონენტური (მაჩვენებლიანი) ფუნქციის და t-ს ნამრავლი.

i, equals, start fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, divided by, start text, L, end text, end fraction, t, e, start superscript, minus, alpha, t, end superscript

ამ რეაქციას კრიტიკულად ჩახშული ეწოდება.

[კრიტიკულად ჩახშობის მაგალითი]

alpha, squared, minus, omega, squared, is less than, 0 ნაკლებჩახშული

როდესაცalpha omega, start subscript, o, end subscript-ზე პატარაა, ფესვში უარყოფითი რიცხვი გვაქვს და s იძენს ორი კომპლექსური შეუღლებული რიცხვის მნიშვნელობას, რომლებსაც რეალური და წარმოსახვითი წევრები აქვთ. წრედის მაგალითი, რომელიც RLC ბუნებრივი რეაქციის გამოყვანის სტატიაში განვიხილეთ, ნაკლებჩახშული სისტემაა.

დენის ძალა სინუსოიდია, რომელიც დროსთან ერთად იკლებს. წარმოიდგინეთ ხმა, რომელსაც ზარი რეკვისას გამოსცემს. ზარის ხმა ნელ-ნელა მიილევა. ის არის ნაკლებ ჩახშული მეორე რიგის მექანიკური სისტემა. მეორე რიგის ელექტრული სისტემების აღსაწერად, ტერმინს ვსესხულობთ და ვამბობთ, რომ ნაკლებ ჩახშული სისტემა მიახლოებით omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction სიხშირეზე „ირხევა“.

[რატომ მიახლოებით?]

თუ წინაღობის მნიშვნელობას შევამცირებთ და 0-ისკენ გავუშვებთ, მაშინ alpha, equals, start text, R, end text, slash, 2, start text, L, end text ნულისკენ მიისწრაფის და s, start subscript, 1, comma, 2, end subscript ხდება omega, start subscript, o, end subscript. წრედი start text, L, C, end text კონფიგურაციის ხდება. როდესაც LC წრედის ბუნებრივი რეაქცია გავაანალიზეთ, ჩვენ მივიღეთ სინუს ტალღა, რომელიც არასოდეს იკლებდა (რეალობაში, start text, R, end text არასოდესაა 0, ამიტომ ყოველთვის გვაქვს ენერგიის დანაკარგი. ზარი მუდამ არ რეკავს).

ამ სტატიაში განხილულ პირველ წრედის მაგალითს ჰქონდა start text, R, end text, equals, 2, \Omega, comma, start text, L, end text, equals, 1, start text, ჰ, end text, comma და start text, C, end text, equals, 1, slash, 5, start text, ფ, end text, point

ამონახსნს არ გავიმეორებთ, მაგრამ შეგვიძლია alpha და omega, start subscript, o, end subscript-ს ნოტაციის გამოყენებით რამდენიმე დაკვირვება გავაკეთოთ.

ჩახშობის კოეფიციენტი alpha არის

alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, 2, dot, 1, end fraction, equals, 1

რეზონანსული სიხშირე omega, start subscript, o, end subscript არის

omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 1, dot, 1, slash, 5, end square root, end fraction, equals, square root of, 5, end square root

ფესვის წევრებს თუ შევხედავთ:

alpha, squared, minus, omega, squared, equals, 1, squared, minus, square root of, 5, end square root, squared, equals, minus, 4, equals უარყოფითი რიცხვია, რომელიც ამონახსნად კლებად სინუსოიდს გვაძლევს. შესაბამისად, მაგალითის წრედი ნაკლებ ჩახშული სისტემაა.

შეჯამება

start text, R, L, C, end text წრედი ხახუნის მქონე მოქანავე მექანიკური ქანქარას ელექტრული შესატყვისია. წრედის მოდელირება მე-2 რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებითაა შესაძლებელი:

შედეგად ვიღებთ მახასიათებელ განტოლებას:

მახასიათებელი განტოლების ფესვები კვადრატული განტოლებით ვიპოვეთ:

alpha და omega, start subscript, o, end subscript ცვლადებს შემოტანით s ცოტათი უფრო მარტივად ჩავწერეთ:

s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root

alpha-სა და omega, start subscript, o, end subscript-ს სხვადასხვა თანაფარდობით ამონახსნის სამი განსხვავებული ფორმა ვიპოვეთ:

ზეჩახშობილი, როდესაც alpha, is greater than, omega, start subscript, 0, end subscript. ამ შემთხვევაში გვაქვს ორი კლებადი მაჩვენებლიანი ფუნქციის ჯამი.
კრიტიკულად ჩახშული, alpha, equals, omega, start subscript, 0, end subscript. ამ შემთხვევაში გვაქვს t-ს და კლებადი მაჩვენებლიანი ფუნქციის ნამრავლი
ნაკლებ ჩახშული, alpha, is less than, omega, start subscript, 0, end subscript, გვაქვს კლებადი სინუსოიდი

[საავტორო უფლებების შესახებ]

დავალაგოთ:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ელექტროინჟინერია

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

შესავალი

რის აგებას ვცდილობთ

წრედის მოდელირება და ამოხსნა — გამეორება

ზუსტი ამონახსნი

ზეჩახშობილი, კრიტიკულად ჩახშული, ნაკლებჩახშული

α2−ω2>0\alpha^2 - \omega^2 > 0\quadα2−ω2>0alpha, squared, minus, omega, squared, is greater than, 0 ზეჩახშობილი

α2−ω2=0\alpha^2 - \omega^2 = 0 \quadα2−ω2=0alpha, squared, minus, omega, squared, equals, 0 კრიტიკულად ჩახშული

α2−ω2<0\alpha^2 - \omega^2 <0\quadα2−ω2<0alpha, squared, minus, omega, squared, is less than, 0 ნაკლებჩახშული

შეჯამება

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

alpha, squared, minus, omega, squared, is greater than, 0 ზეჩახშობილი

alpha, squared, minus, omega, squared, equals, 0 კრიტიკულად ჩახშული

alpha, squared, minus, omega, squared, is less than, 0 ნაკლებჩახშული