If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

სიმრუდე

როგორ ვზომავთ, რამდენად „იმრუდება" მრუდი?

რის აგებას ვცდილობთ

  • სიმრუდის რადიუსი მრუდის წერტილში არის, უხეშად რომ ვთქვათ, იმ წრის რადიუსი, რომელიც ყველაზე კარგად ერგება მრუდს ამ წერტილში.
  • სიმრუდე, აღნიშნული κ სიმბოლოთი, არის ერთი გაყოფილი სიმრუდის რადიუსზე.
  • ფორმულებში სიმრუდე განსაზღვრულია, როგორც ერთეულოვანი მხები ვექტორის ფუნქციის წარმოებული რკალის სიგრძის მიმართ:
    κ=||dTds||
    ნუ იღელვებთ, მე ვილაპარაკებ ამ მნიშვნელობის გამოთვლის თითოეულ ნაბიჯზე.
  • აქ ინტუიცია შემდეგია: ერთეულოვანი მხები ვექტორი გეუბნებათ, რა მიმართულებით მიდიხართ და ტემპი, რომლითაც ის იცვლებ ds მცირე ნაბიჯების მიმართ მრუდის გაყოლებაზე არის იმის კარგი ინდიკატორი, თუ რამდენად სწრაფად უხვევთ.

მოძრაობა მრუდზე

წარმოიდგინეთ გარკვეული მრუდი xy სიბრტყეზე. ჩვენ ყველაფერს ფორმულებით გავაკეთებთ, თუმცა ამჯერად წარმოიდგინეთ მხოლოდ სურათი.
წარმოიდგინეთ, რომ ამ მრუდის გასწვრივ მართავთ მანქანას და იფიქრეთ, თუ რამდენად დაგჭირდებათ საჭის მოტრიალება თითოეულ წერტილში. ზოგიერთ წერტილში მრუდი თითქმის სწორია და მოხვევა არ დაგჭირდებათ, ზოგიერთში კი საგრძნობლად უნდა მოუხვიოთ.
ახლა წარმოიდგინეთ, რომ გარკვეულ მომენტში თქვენი მანქანის საჭე გაიჭედა. თუ თქვენ განაგრძობთ ამ გაჭედილი საჭით მართვას, იმის გარდა, რომ გზიდან გადახვალთ, თქვენ ასევე შემოწერთ გარკვეულ წრეწირს, როგორც ეს ნაჩვნებია ქვემოთ მწვანედ:
თუ საჭე მაშინ გაიჭედა, როცა ის დიდზე იყო მოხვეული, მაშინ ამ წრეწირის რადიუსი პატარა იქნება. თუ თქვენ თითქმის საერთოდ არ უხვევდით, მაშინ წრეს ძალიან დიდი რადიუსი ექნება. შემდეგ ანიმაციაში ნაჩვენებია, თუ როგორი იქნებოდა ეს წრეწირები (დახატული მწვანედ) მრუდის სხვადასხვა წერტილში. თითოეული წრის რადიუსი დახატულია წითლად.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
თითოეულ წერტილთან ასოცირებული წრის რადიუსს ჩვენ სიმრუდის რადიუსს ვუწოდებთ. ეს არის ძალიან კარგი გამზომი იმისა, თუ რეალურად რამდენადაა მრუდი გამრუდებული თითოეულ წერტილში. ამ წრეებზე ფიქრის სხვა გზა არის, რომ ისინი თითოეულ წერტილში იმაზე კარგად ეხვევიან, ვიდრე ნებისმიერი სხვა წრე.
კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ტერმინი არის სიმრუდე, რომელიც არის ერთი გაყოფილი სიმრუდის რადიუსზე. მას ძირითადად აღნიშნავენ პატარა κ სიმბოლოთი.
κ=1R
კონცეპტის შემოწმება: როდესაც მრუდი ძალიან ჰგავს სწორ ხაზს, სიმრუდე იქნება
აირჩიეთ 1 პასუხი:

სიმრუდის გამოთვლა

წარმოიდგინეთ, რომ გაქვთ ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრავს მრუდს xy სიბრტყეზე. მაგალითად, მრუდი, რომელიც წინა სექციაში გამოვიყენე, განსაზღვრულია შემდეგი ვექტორული ფუნქციით:
s(t)=[tsin(t)1cos(t)]
ეს იგივეა, რომ ვთქვათ, რომ ის განსაზღვრულია შემდეგი პარამეტრული განტოლებებით:
x(t)=tsin(t)y(t)=1cos(t)
სიმრუდის გამოთვლა მოიცავს ორ ნაბიჯს:

ნაბიჯი 1: ერთეულოვანი მხები ვექტორის პოვნა

მრუდის „ერთეულოვანი მხები ვექტორი“ წერტილში არის 1 სიგრძის მქონე მხები ვექტორი. s(t)-ით განსაზღვრული პარამეტრული მრუდის კონტექსტში „ერთეულოვანი მხები ვექტორის პოვნა“ თითქმის ყოველთვის ნიშნავს ყველა ერთეულოვანი მხები ვექტორის პოვნას. ანუ, T(t) ვექტორული ფუნქციის განსაზღვრა, რომელიც იღებს იგივე პარამეტრს და გამოაქვს ერთეულოვანი ვექტორი, რომელიც არის მრუდის მხები წერტილში s(t).

ნაბიჯი 2: dTds-ის პოვნა

თუ თქვენ მრუდს მიყვებით s(t) კანონით, ერთეულოვანი ვექტორი მოხვევისას იცვლება. მკვეთრ მოსახვევებში ის ძალიან იცვლება, ხოლო შედარებით სწორ ადგილებში თითქმის უცვლელი რჩება. რეალურად კი, სიმრუდე κ განმარტებულია, როგორც მხები ერთეულოვანი ვექტორის წარმოებული.
თუმცა ეს არ არის წარმოებული t პარამეტრით, რადგან ეს თქვენი მოძრაობის სიჩქარეზე შეიძლება იყოს დამოკიდებული. ეს არის წარმოებული რკალის სიგრძით, რომელიც ჩვეულებრივ აღინიშნება s სიმბოლოთი.
κ=||dTds||
როგორც წესი, ამის გამოთვლას გზა არის ჯერ T-ის გაწარმოება t პარამეტრით, ხოლო შემდეგ მისი გაყოფა ||dsdt|| გამოსახულებაზე.
||dTds||=||dTdt||||dsdt||

ერთეულოვანი მხები ვექტორის პოვნა

მოდით, შევხედოთ ფუნქციას, რომელიც ზემოთ გვქონდა:
s(t)=[tsin(t)1cos(t)]
თუ თქვენ წაკითხული გაქვთ სტატია ვექტორული ფუნქციების გაწარმოება, მაშინ თქვენ იცით, რომ ამ ფუნქციის წარმოებულის განხილვა სიჩქარის ვექტორად შეგვიძლია.
dsdt=[ddt(tsin(t))ddt(1cos(t))]=[1cos(t)sin(t)]
მაგალითად, თუ ჩვენ გამოვთლით წარმოებულს რომელიმე კონკრეტულ t=π წერტილში, მივიღებთ შემდეგ ვექტორს:
[1cos(π)sin(π)]=[20]
თუ ამ ვექტორს ისე მოვათავსებთ, რომ მისი კუდი იყოს s(π) წერტილში, სადაც ნაწილაკი იმყოფება t=π მომენტში, მაშინ ის ამ წერტილში იქნება ნაწილაკის სიჩქარის ვექტორი.
თუმცა ამ ფუნქციას კიდევ სჭირდება რაღაც, რადგან ჩვენ გვინდა ერთეულოვანი ვექტორი. მაგალითად, ამ კონკრეტული მხები ვექტორის სიგრძე არის 2 და 21[საჭიროა ციტირება].
კონცეპტის შემოწმება: თუ მოცემულია s(t)-ის ფორმულა, რომელიც ახლახან გაჩვენეთ,
s(t)=[1cos(t)sin(t)]
რა არის ამ ვექტორის სიგრძე (როგორც დროის ფუნქცია)?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

კონცეპტის შემოწმება: რომელი ერთეულოვანი ვექტორი არის მიმართული იგივე მხარეს, საითაც v=[21]? (ეს კონკრეტული ვექტორი არ არის დაკავშირებული ჩვენს მიმდინარე ამოცანასთან, ეს უბრალოდ გავარჯიშებთ ერთეულოვან ვექტორებში).
აირჩიეთ 1 პასუხი:

საკვანძო კითხვა:ჩამოთვლილთაგან რომელი წარმოადგენს s–ის მიერ პარამეტრიზებული მრუდის (როგორც დროის ფუნქცია) მხებ ერთეულოვან ვექტორს?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

სიმრუდის მიღება ერთეულოვანი მხები ვექტორიდან

ახლა ჩვენ გვაქვს გამოსახულება ერთეულოვანი მხები ვექტორისთვის, როგორც დროის ფუნქცია. მას მე აღვნიშნავ T სიმბოლოთი (არ აგერიოთ პატარა t-ში, რომელსაც ვიყენებთ პარამეტრისთვის):
T(t)=s(t)||s(t)||
სიმრუდე κ არის ამ ერთეულოვანი მხები ვექტორის s რკალის სიგრძით, და არა t პარამეტრით, წარმოებული.
κ=||dTds||
თუმცაღა ამის გამოთვლის გავრცელებული გზა არის ჯერ T-ის გაწარმოება t პარამეტრით, ხოლო შემმდეგ გაყოფა ||s(t)|| სიგრძეზე, რომელიც შეიძლება განვიხილოთ, როგორც dsdt.
κ=||dTds||=||dTdt||||dsdt||

ინტუიცია

აქ ცოტა ხნით შევჩერდეთ და გამოვიმუშავოთ ინტუიცია. T(t)-ს წარმოებული გვეუბნება, როგორ იცვლება ერთეულოვანი მხები ვექტორი დროის განმავლობაში. ვინაიდან ის ყოველთვის არის ერთეულოვანი მხები ვექტორი, ის არასდროს იცვლის სიგრძეს და მხოლოდ იცვლის მიმართულებას.
გარკვეულ t0 მომენტში თქვენ შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ, რომ dTdt(t0) ვექტორი ზის T(t0) ვექტორის წვერში. წარმოიდგინეთ, რომ წარმოებული ვექტორი T(t0) ვექტორს ექაჩება ამა თუ იმ მიმართულებით, თითქოს ეუბნება "ჰეი! წამოდი ოდნავ ამ მიმართულებით."
რადგან T(t0)-ის სიგრძე არასდროს არ იცვლება, წარმოებული ვექტორი ყოველთვის T(t0)-ის მართობული უნდა იყოს; სხვა შემთხვევაში, ის მას უფრო გრძელს ან მოკლეს გახდიდა.
როცა ეს წარმოებული ვექტორი გრძელია, ის მართლაც ძალიან ძლიერად ექაჩება ერთეულოვან მხებ ვექტორს, რათა შეუცვალოს მას მიმართულება. შედეგად, მრუდი უფრო სწრაფად შეიცვლის მიმართულებას, რაც ნიშნავს, რომ მას ექნება უფრო პატარა სიმრუდის რადიუსი, ანუ დიდი სიმრუდე. ამისგან განსხვავებით, თუ წარმოებული ვექტორი მოკლეა, ის მხებ ვექტორის ძალიან სუსტად ექაჩება. შედეგად გვაქვს ძალიან ნელი მოხვევა და, შესაბამისად, მრუდს ექნება დიდი სიმრუდის რადიუსი, ანუ პატარა სიმრუდე.
თუმცა ჩენ არ გვინდა, რომ ჩვენი მოძრაობის სიცქარემ გავლენა მოახდინოს სიმრუდეზე, რადგან სიმრუდე არის დებულება თავად გეომეტრიის შესახებ და არა დროზე დამოკიდებულების შესახებ, რა ნაწილაკიც არ უნდა მოძრაობდეს მის გასწვრივ. სწორედ ამის გამო სიმრუდე მოითხოვს T=ის გაწარმოებას s რკალის სიგრძით და არა t პარამეტრით.

მაგალითი: სპირალის სიმრუდე

ორ განზომილებაში არაფერი იმისგან განსხვავებული არ ხდება, რაც აქამდე გავაკეთეთ. მაგალითად, მოდით, ვიპოვოთ შემდეგი სამგანზომილებიანი ფუნქციის სიმრუდე:
v(t)=[cos(t)sin(t)t/5]
ქვემოთ მოცემულია ანიმაცია ასახავს ამ მრუდს, რომელსაც სპირალი ჰქვია. მასზე ასევე წრეებით (მწვანედ) ასახულია სიმრუდის რადიუსი თითოეული წერტილისთვის, რომელიც ყველაზე კარგად "ეხვევა" მრუდის მოცემულ წერტილს. თითოეული წრის რადიუსი დახატულია წითლად.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ამას მე ვუწოდებ „ვექტორული ველის ჰულა-ჰუპას ცეკვას.“
შესაძლოა, თქვენ შენიშნეთ, რომ ამ წრეების რადიუსები არ იცვლება. ეს სიმართლისგან ძალიან შორსაა მრავალი სამგანზომილებიანი მრუდისთვის, რაც ჩვენს მაგალითს განსაკუთრებულს ხდის.
კონცეფციის შემოწმება: იმის გათვალისწინებით, რომ წრეების რადიუსიები არ იცვლება, რა არის მართებული κ(t) სიმრუდის ფუნქციისთვის?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

თუ თქვენ ასეთი სახის ამოცანებში ვარჯიში გინდათ, ეს ის დროა, როცა კალამი და ფურცელი უნდა მოიმარჯვოთ. ჩვენ ამ ყველაფერს ერთად გავაკეთებთ, მე და თქვენ, თუმცა სანამ პასუხებს გაჩვენებთ, თქვენ გაქვთ შანსი, რომ ყველა ნაბიჯი მარტომ მოსინჯოთ.

ნაბიჯი 1: წარმოებულის გამოთვლა

სიმრუდის პოვნის პირველი ნაბიჯი არის ჩვენი ფუნქციიდან წარმოებულის აღება,
v(t)=[cos(t)sin(t)t/5]
ეს ჩვენ მოგვცემს მხებ ვექტორს, რომლისგანაც ჩვენ ერთეულოვან მხებ ვექტორს მივიღებთ. გამოთვალეთ ეს წარმოებული.

ნაბიჯი 2: წარმოებულის ნორმალიზება

ერთეულოვანი მხები ვექტორის მისაღებად ჩვენ უნდა ვანორმიროთ ეს წარმოებული ვექტორი, რაც ნიშნავს თავისსავე სიგრძეზე გაყოფას. რა არის ამ წარმოებული სიგრძე?
საბედნიეროდ ეს მუდმივია. ყველაფერი რთულდება, როცა ეს ასე არაა. წინა ორ პასუხზე დაყრდნობით, რა არის ჩენი ერთეულოვანი მხები ვექტორი T(t), როგორც დროის ფუნქცია?

ნაბიჯი 3: ერთეულოვანი მხების წარმოებულის აღება

სიმრუდის საპოვნელად ჩენ უნდა ვიპოვოთ ამ ფუნქციის წარმოებული დროით და შემდეგ ავიღოთ მისი სიგრძე. რა არის ამ შემთხვევაში T(t)-ის წარმოებული?

ნაბიჯი 4: ამ მნიშვნელობის სიგრძის პოვნა

რა არის ამ ვექტორის სიგრძე?

Step 5: გაყავით ეს სიდიდე ||v(t)||-ზე

dTdt-დან dTds-ში გადასასვლელად, ეს უნდა გავყოთ თავდაპირველი პარამეტრული ფუნქციის წარმოებულის სიგრძეზე.
აღვნიშნოთ, რომ ეს მუდმივაა, ასე რომ, სიმრუდე ერთი და იგივეა მრუდის ყველა წერტილზე.

შეჯამება

  • სიმრუდის რადიუსი მრუდის წერტილში არის, უხეშად რომ ვთქვათ, იმ წრის რადიუსი, რომელიც ყველაზე კარგად ერგება მრუდს ამ წერტილში.
  • სიმრუდე, აღნიშნული κ სიმბოლოთი, არის ერთი გაყოფილი სიმრუდის რადიუსზე.
  • სიმრუდის საპოვნელად, როცა მოცემულია მრუდის განმსაზღვრელი პარამეტრული ფუნქცია s:
    • s-ის წარმოებულის ნორმალიზებით იპოვეთ ერთეულოვანი მხები ვექტორი:
      T(t)=s(t)||s(t)||
    • სიმრუდე განსაზღვრულია, როგორც რკალის s სიგრძის მიმართ ამ მნიშვნელობის წარმოებულის სიგრძე. ამის გამოთვლა შემდეგნაირად შეგიძლიათ:
κ=||dTds||=||dTdt||||dsdt||
  • აქ ინტუიცია შემდეგია: ერთეულოვანი მხები ვექტორი გეუბნებათ, რა მიმართულებით მიდიხართ და ტემპი, რომლითაც ის იცვლებ ds მცირე ნაბიჯების მიმართ მრუდის გაყოლებაზე არის იმის კარგი ინდიკატორი, თუ რამდენად სწრაფად უხვევთ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.