If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ორჯერადი ინტეგრალები არამართკუთხა არეებში

ორჯერად ინტეგრალებში სირთულეს წარმოადგენს არამართკუთხა არეებში ზღვრების პოვნა.  აქ მიმოვიხილავთ, რას ნიშნავს ეს და ვივარჯიშებთ რამდენიმე მაგალითში.

რის აგებას ვცდილობთ

არამართუთხა რეგიონის მაგალითი
  • თუ გინდათ ინტეგრება xy სიბრტყის ისეთ რეგიონზე, რომელიც მართკუთხა არ არის, შიდა ინტეგრალის თითოეული ზღვარი უნდა გამოხატოთ, როგორც გარე ცვლადის ფუნქცია.
    y1y2(x1(y)x2(y)f(x,y)dx)გამოთვლით მიიღება y-ის რაიმე ფუნქციაdy
    ან მეორენაირად,
    x1x2(y1(x)y2(x)f(x,y)dy)გამოთვლით მიიღება x-ის რაიმე ფუნქციაdx

სირთულებიი არამართკუთხა რეგიონებში

განიხილეთ ფუნქცია
x(t)=t3t
მისი გრაფიკი შემდეგნაირად გამოიყურება:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ჩვენ ვიპოვოთ მოცულობას ამ გრაფიკის ნაწილის ქვეშ. წინა სტატიისგან განსხვავებით, ეს მოცულობა არ იქნება მოთავსებული xy სიბრტყის მართკუთხა რეგიონის თავზე. ამის ნაცვლად, ჩვენ მოვძებნით მოცულობას, რომლის ფუძეცაა სამკუთხედი. უფრო კონკრეტულად, ეს იქნება ქვემოთ დახატული სამკუთხედი.
ეს არის მართკუთხა ტოლფერდა სამკუთხედი, რომლის ერთ-ერთი კათეტი აერთებს (0,0) და (2,0) წერტილებს x ღერძზე, ხოლო მეორე კათეტი აერთებს (2,0) და (2,2) წერტილებს. მოცულობა ამ სამკუთხედის ზევით და f(x,y)=xy2-ის გრაფიკის ქვევით ასე გამოიყურება:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ეს ჰგავს წინა სტატიაში ნაჩვენებ ამოცანას, რომელშიც გავიცანით ორჯერადი ინტეგრალი. დიახ, ამის ამოხსნის მეთოდი მსგავსია.
  • იპოვეთ ფართობის ნაჭრების ფორმულა ინტეგრალის გამოყენებით.
  • გამოიყენეთ ორჯერადი ინტეგრალი, რომ შეკრიბოთ ფართობების ეს უსასრულოდ ბევრი ნაჭერი მოცულობაში.
რთული შეიძლება, აღმოჩნდეს ზღვრები. მაგალითად, განიხილეთ ამ მოცულობის ნაჭრები, რომლებიც წარმოადგენს x-ის მუდმივ მნიშვნელობებს. შემდეგი ანიმაცია გვიჩვენებს, როგორ გამოიყურება ნაჭრები, როცა მუდმივი x მნიშვნელობა იცვლება 0-სა და 2-ს შორის.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ერთ-ერთი ასეთი ნაჭრის ზომა იცვლება f(x,y)=xy2-ის გრაფიკის ფუძიდან სიმაღლეზე დაყრდნობით, მაგრამ ამ ნაჭრის ფუძის სიგრძეც იცვლება. მაგალითად, როცა x=0,5, y-ის მნიშვნელობა ფუძეში შეიძლება, იცვლებოდეს 0-დან 0,5-მდე, როგორც - ქვემოთ გამოსახულ ვერტიკალურ წითელ ზოლში.
მეორენაირად, როცა x=1,5, y-ის მნიშვნელობა იცვლება 0-დან 1,5-მდე:
ეს ნიშნავს, რომ როცა ვაგებთ ინტეგრალს, რათა ვიპოვოთ ერთ-ერთი ასეთი მუდმივი x მნიშვნელობის მქონე ნაჭრის ფართობი, ზედა ზღვარი იწერება x-ით.
0xf(x,y)dy=0xxy2dy
ჩვენი გამოთვლებისთვის მშვენიერია, თუ ერთ-ერთი ზღვარი ჩაიწერება x-ის გამოყენებით. ბოლოს მაინც გვრჩება მხოლოდ x ცვლადით ჩაწერილი გამოსახულება. მიდით, თავად დაამუშავეთ ინტეგრალი:
0xxy2dy=

ამის შემდეგ ახალი აღარაფერია. ეს მნიშვნელობა გაამრავლეთ dx-ზე, რომ ცოტა უფრო ღრმად წახვიდეთ და გახადოთ უსასრულოდ პატარა მოცულობა. შემდეგ, როცა გავაინტეგრალებთ x-ის მიმართ, ზღვრები მუდმივია, x=0 და x=2, რადგან აქ დგას ჩვენი სამკუთხედის ფუძე x ღერძზე.
02x43dx=(x5(5)(3))02=25150515=3215
შესაბამისად, ჯამური მოცულობაა 32152,13

ინტეგრება დისკოზე

ახლა უფრო რთული რაღაც ვცადოთ: გრაფიკის ქვეშ ერთეულოვანი დისკოთი შემოსაზღვრული მოცულობის პოვნა. ერთეულოვანი დისკო xy სიბრტყეზე არის ყველა ისეთი (x,y) წერტილი, რომელთათვისაც
x2+y21
მაგალითად, მოცულობა შემდეგი გრაფიკის ქვეშ
f(x,y)=3+yx2
ერთეულოვანი დისკოთი წარმოდგენილი ზღვარი შემდეგნაირად გამოიყურება:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
კვლავ განიხილეთ ამ ნაჭრების, რომლებიც შეესაბამება მუდმივ x მნიშვნელობას, მოცულობა.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
იფიქრეთ, როგორ გამოიყურება თითოეული ასეთი ნაჭრის ფუძე xy სიბრტყეზე. თითოეული ნაჭერი შეესაბამება რაიმე ვერტიკალურ ზოლს ერთეულოვან დისკოზე.
პითაგორას თეორემის გამოყენებით შეგვიძლია, ვიპოვოთ y-ის ის მნიშვნელობები, რომლებიც განსაზღვრავს ამ ზოლის ბოლოსა და თავს, როგორც იმ ფუნქციის x - მნიშვნელობას, რომელსაც ზოლი წარმოადგენს.
ახლა შეგვიძლია, ვიპოვოთ ერთ-ერთი ასეთი მუდმივი x მნიშვნელობის მქონე ნაჭრის ფართობი f(x,y)-ის ინტეგრებით y-ის მიმართ. ვიმეორებთ, ეს მართკუთხა რეგიონების შემთხვევისგან იმით განსხვავდება, რომ თითოეული ზღვარი არის x-ის ფუნქცია.
კონცეფციის შემოწმება: შემდეგი ინტეგრალებიდან რომელი წარმოადგენს იმ მოცულობის, რომელსაც ვეძებთ, მუდმივი x მნიშვნელობის მქონე ნაჭრის ფართობს?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ამაზე მუშაობა: ეს წინა მაგალითებზე უფრო დატვირთული გამოთვლებია, მაგრამ თუ მზად ხართ, გამოთვალეთ ეს ინტეგრალი, რომ მიიღოთ მუდმივი x მნიშვნელობის მქონე ნაჭრის ფორმულა, როგორც x-ის ფუნქცია.
მუდმივი x მნიშვნელობის მქონე ნაჭრის ფართობი:

ერთეულოვან დისკოში x მნიშვნელობა მოძრაობს x=1-დან x=1-მდე, ასე რომ, საძიებელი მოცულობის საპოვნელად გააინტეგრალეთ გამოსახულება, რომელიც ახლა იპოვეთ x-ის 1-დან 1-მდე მნიშვნელობებს შორის. როგორც მანამდე, ეს შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ, როგორც ბევრი ქაღალდის სისქის მოცულობის შეკრება.
ეს რთული ინტეგრალი აღმოჩნდა, მაგრამ პრაგმატულად თუ მივუდგებით, შეგვიძლია, ამოვხსნათ კომპიუტერული ალგებრული სისტემით ან რიცხვობრივი ინტეგრების ინსტრუმენტით, როგორიცაა - ვოლფრამ ალფა.
სრული მოცულობა: 11(62x2)1x2dx=11π48,6394

ნაჭერი სხვანაირად: ზვიგენის ფარფლის რეგიონი

ზოგჯერ უფრო ადვილია მუდმივი y მნიშვნელობის მქონე ნაჭრების განხილვა, რაც მოიცავს თქვენი რეგიონის დაჭრას xy სიბრტყეში ჰორიზონტალური ზოლების გასწვრივ. მაგალითად, განიხილეთ xy სიბრტყის ის რეგიონი, რომელიც შემდეგ პირობებს აკმაყოფილებს:
  • xy2
  • xy+2
  • y0
ეს რეგიონი დაახლოებით ჰგავს ზვიგენის ზურგის ფარფლს:
რეგიონის ზედა მარჯვენა კუთხე არის, სადაც x=y2 მრუდი ხვდება x=y+2 წრფეს. ეს წერტილია (4,2).
მოდით, ვიპოვოთ იმ ფიგურის მოცულობა, რომლის ძირია ეს რეგიონი და რომლის სიმაღლე განსაზღვრულია შედარებით მარტივი მრავალცვლადიანი ფუნქციით:
f(x,y)=x+2y
აი, როგორ გამოიყურება მოცულობა:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ამჯერად წარმოიდგინეთ ამ მოცულობის მუდმივი y მნიშვნელობის მქონე ნაჭრების დაჭრა. ეს მოგვცემს ფართობს ჩვენი ზვიგენის ფარფლის რეგიონის ჰორიზონტალური ზოლის ზევით, რომელიც წითლადაა გამოსახული ქვემოთ.
კონცეფციის შემოწმება: თუ ერთ-ერთი ჰორიზონტალური ზოლი შეესაბამება y-ის მნიშვნელობას, რა იქნება ზღვრები ზოლის x მნიშვნელობაზე? ანუ, რა x კოორდინატები აქვს ამ მონაკვეთის, როგორც - y-ის ფუნქციის, მარცხენა და მარჯვენა ბოლოებს?
ქვედა ზღვარი: x=
ზედა ზღვარი: x=

კონცეფციის შემოწმება: შემდეგი ინტეგრალებიდან რომელი წარმოადგენს ერთ-ერთი ასეთი ზოლის ზევით და f(x,y)=x+2y-ის გრაფიკის, როგორც - y-ის ფუნქციის, ქვემოთ ფართობის მქონე ნაჭერს?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

კონცეფციის შემოწმება: ამოხსენით ეს ინტეგრალი, რომ იპოვოთ ჩვენი მოცულობის მუდმივი y მნიშვნელობის მქონე ნაჭრის ფართობი.
მუდმივი y მნიშვნელობის მქონე ნაჭრის ფართობი:

კონცეფციის შემოწმება: როცა y-ის ამ ფუნქციას ვაინტეგრალებთ, რომ მივიღოთ ჯამური მოცულობა, რა ზღვრები უნდა გამოვიყენოთ?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

წაიღეთ ეს სახლში: ამოხსენით ეს ინტეგრალი, რომ იპოვოთ იმ რეგიონის მოცულობა, რომელიც განსაზღვრულია ამ სექციის დასაწყისში. (შეგიძლიათ, კალკულატორი გამოიყენოთ).
მოცულობა:

შეჯამება

როცა ორჯერადი ინტეგრება გჭირდებათ არამართკუთხა რეგიონზე, მიჰყევით შემდეგ ნაბიჯებს.
  • დაიწყეთ რეგიონის დაჭრა ნაჭრებად, რომლებშიც ერთ-ერთი ცვლადი მუდმივი იქნება. მაგალითად, x-ის ფიქსირება რაიმე მუდმივ მნიშვნელობაზე მოგვცემს ჩვენი რეგიონის ვერტიკალურ ზოლს.
  • იპოვეთ, როგორ გამოსახოთ ამ ზოლების ზღვრები, როგორც - მეორე ცვლადის ფუნქციები. მაგალითად, ვერტიკალური ზოლის წვერო და ძირი გამოიხატებოდა, როგორც - x-ის რაიმე ფუნქცია.
  • როცა ორჯერად ინტეგრალს აგებთ, შიდა ინტეგრალი შეესამება ერთ-ერთ ასეთ ზოლზე ინტეგრებას და მისი თითოეული ზღვარი იქნება გარე ცვლადის ფუნქცია. თუ შიდა ინტეგრალი შეესაბამება მუდმივ x მნიშვნელობებს, ორჯერადი ინტეგრალი, როგორც - მთლიანი, შეიძლება, ასე გამოიყურებოდეს:
    x1x2(y1(x)y2(x)f(x,y)dy)გამოთვლით მიიღება y-ის რაიმე ფუნქციაdx
    მეორენაირად, რომ დაიწყოთ ჰორიზონტალური, მუდმივი y მნიშვნელობის მქონე ნაჭრებით, ორჯერადი ინტეგრალი ასე შეიძლება, გამოიყურებოდეს:
    y1y2(x1(y)x2(y)f(x,y)dx)გამოთვლით მიიღება x-ის რაიმე ფუნქციაdy

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.