თუ თქვენ ხედავთ ამ შეტყობინებას, ესე იგი საიტზე გარე რესურსების ჩატვირთვისას მოხდა შეფერხება.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

ძირითადი მასალა

მხები სიბრტყეები

ისევე, როგორც ერთცვლადიანი წარმოებულის გამოყენებით შეგვიძლია მრუდის მხები წრფის პოვნა, კერძო წარმოებულის გამოყენებით შეგვიძლია ზედაპირის მხები სიბრტყის პოვნა.

რის აგებას ვცდილობთ

  • ორცვლადიანი f(x,y) ფუნქციის მხები სიბრტყე არის სიბრტყე, რომელიც მის გრაფიკს ეხება.
  • f(x,y) ორცვლადიანი ფუნქციის კონკრეტულ (x0,y0) წერტილზე მხები სიბრტყის განტოლება გამოიყურება შემდეგნაირად:
    T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)

მოცემული გვაქვს დავალება

იფიქრეთ სკალარულ ფუნქციაზე ორი კოორდინატის მქონე არგუმენტით, როგორიც ეს არის:
f(x,y)=x2y2+3
ინტუიციურად გავრცელებულია ფუნქციიის ასე გამოსახვა სამგანზომლიებიანი გრაფიკით.
გახსოვდეთ, ამ გრაფიკის უფრო ტექნიკურად აღწერა შეგიძლიათ მისი აღწერით წერტილების ერთობლიობად სამგანზომილებიან სივრცეში. კონკრეტულად, ეს ყველა ის წერტილია, რომელიც ასე გამოიყურება:
(x,y,f(x,y))=(x,y,x2y2+3)
აქ x-ისა და y-ის მნიშვნელობების დიაპაზონი ყველა ნამდვილი რიცხვია.
ამ გრაფიკის მხები სიბრტყე არის სიბრტყე, რომელიც გრაფიკის მხებია. ეს არ არის კარგი ახსნა. ამის სიტყვებით აღწერა რთულია, ასე რომ, უბრალოდ გაჩვენებთ ვიდეოს, სადაც სხვადასხვა მხები სიბრტყეებია.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
საკვანძო შეკითხვა: როგორ შეგიძლიათ, იპოვოთ განტოლება, რომელიც წარმოადგენს ფუნქციის გრაფიკის მხებ სიბრტყეს კონკრეტულ (x0,y0,f(x0,y0)) წერტილზე სამგანზომილებიან სივრცეში?

სიბრტყეების გრაფიკის სახით წარმოდგენა

პირველ რიგში, რომელ g(x,y) ფუნქციებს აქვთ ისეთი გრაფიკები, რომლებიც სიბრტყეებს წარმოადგენენ?
(2, 2, 2)-ზე გამავლი სიბრტყე
სიბრტყის დახრილობა ყველა მიმართულებაში მუდმივია არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის, ასე რომ, ორივე კერძო წარმოებული, gx და gy, უნდა იყოს მუდმივა. ფუნქციები მუდმივი კერძო წარმოებულით შემდეგნაირად გამოიყურება:
g(x,y)=ax+by+c
აქ a, b და c მუდმივებია. მათ ასევე ეწოდებათ წრფივი ფუნქციები. მეცნიერული ენით, ისინი აფინური ფუნქციებია, რადგან წრფივი ფუნქცია უნდა გადიოდეს სათავეზე, მაგრამ მათთვის წრფივის წოდებაა გავრცელებული.
კითხვა: როგორ შეგიძლიათ, დარწმუნდეთ, რომ წრფივი ფუნქციის გრაფიკი გადის კონკრეტულ (x0,y0,z0) წერტილზე სივრცეში?
ამის გაკეთების უსაფრთხო გზაა, წრფივი ფუნქცია შემდეგნაირად ჩავწეროთ
g(x,y)=a(xx0)+b(yy0)+z0
კონცეფციის შემოწმება: ასე განსაზღვრული g-სთვის გამოთვლაეთ g(x0,y0).
აირჩიეთ 1 პასუხი:

g(x,y)-ის ასე ჩაწერა ნათელს ხდის, რომ g(x0,y0)=z0. ეს გარანტიას გვაძლევს, რომ g-ს გრაფიკი უნდა გადიოდეს (x0,y0,z0)-ზე:
(x0,y0,g(x0,y0))=(x0,y0,z0)
დანარჩენი მუდმივები, a და b, რაც გვინდა ის იქნება. a-ისა და b-ის განსხვავებული არჩევანი გვაძლევს განსხვავებულ სიბრტყეებს, რომლებიც გადიან (x0,y0,z0) წერტილზე. ქვემოთ მოცემული ვიდეო გვიჩვნებს, როგორ იცვლება ეს სიბრტყეები, როცა a-სა და b-ს ვცვლით:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

განტოლება მხები სიბრტყისთვის

დავუბრუნდეთ მოცემულ დავალებას. ჩვენ გვინდა T(x,y) ფუნქცია, რომელიც წარმოადგენს სიბრტყის კვეთას რაღაც f(x,y) ფუნქციის გრაფიკთან (x0,y0,f(x0,y0)) წერტილზე, ასე რომ, f(x0,y0)-ს ვსვამთ z0-ს ნაცვლად სიბრტყის ზოგად განტოლებაში.
T(x,y)=f(x0,y0)+a(xx0)+b(yy0)
a-ისა და b-ის მნიშვნელობების ცვლასთან ერთად განტოლება მოგვცემს სხვადასხვა სიბრტყეებს, რომლებიც f-ის გრაფიკზე გადის სასურველ წერტილზე, მაგრამ მხოლოდ ერთი მათგანი იქნება მხები სიბრტყე.
(x0,y0,f(x0,y0))-ზე გამავალ ყველა სიბრტყეს შორის f გრაფიკის მხებს ექნება იგივე კერძო წარმოებულები, რაც - f-ს. საბედნიეროდ, ჩვენი წრფივი ფუნქციის კერძო წარმოებულები მოცემულია a და b მუდმივების სახით.
  • სცადეთ! აიღეთ განტოლების კერძო წარმოებული ზემოთ მოცემული T(x,y)-ისთვის.
შესაბამისად, a=fx(x0,y0)-ისა და b=fy(x0,y0)-ის აგება გარანტიას იძლევა, რომ ჩვენი T წრფივი ფუნქციის კერძო წარმოეუბული შეესაბამება f-ის კერძო წარმოებულს. ყოველ შემთხვევაში, ისინი შეესბამებიან (x0,y0) არგუმენტისთვის, მაგრამ ჩვენ მხოლოდ ეს გვაინტერესებს. ამ ყველაფრის შეჯამებით ვიღებთ მხები სიბრტყის გამოსადეგ ფორმულას.
T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)

მაგალითი: მხები სიბრტყის პოვნა

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ამოცანა:
მოცემული ფუნქცია
f(x,y)=sin(x)cos(y),
იპოვეთ f გრაფიკის მხები სიბრტყე (π6,π4) წერტილს ზევით.
მხებ სიბრტყეს ექნება ეს ფორმა
T(x,y)=fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)+f(x0,y0)
ნაბიჯი 1: იპოვეთ f-ის ორივე კერძო წარმოებული.
fx(x,y)=
fy(x,y)=

ნაბიჯი 2: გამოთვალეთ f ფუნქცია, ისევე როგორც, ეს ორივე კერძო წარმოებული (π6,π4) წერტილზე:
f(π/6,π/4)=
fx(π/6,π/4)=
fy(π/6,π/4)=

ამ სამი რიცხვის ჩასმით მხები სიბრტყის ზოგად განტოლებაში მიიღებთ საბოლოო პასუხს
T(x,y)=

შეჯამება

  • ორცვლადიანი f(x,y) ფუნქციის მხები სიბრტყე არის სიბრტყე, რომელიც მის გრაფიკს ეხება.
  • f(x,y) ორცვლადიანი ფუნქციის კონკრეტულ (x0,y0) წერტილზე მხები სიბრტყის განტოლება გამოიყურება შემდეგნაირად:
T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.