თუ თქვენ ხედავთ ამ შეტყობინებას, ესე იგი საიტზე გარე რესურსების ჩატვირთვისას მოხდა შეფერხება.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 3

გაკვეთილი 2: კვადრატული მიახლოებები (აპროქსიმაციები)

ჰესეს მატრიცა

ჰესეს მატრიცა არის მატრიცა, რომელიც ორგანიზებას უწევს ფუნქციის ყველა მეორე რიგის კერძო წარმოებულს.

ჰესეს მატრიცა

მრავალცვლადიანი ფუნქციის "ჰესეს მატრიცა" f(x,y,z,), რომელსაც სხვადასხვა ავტორი წერს სხვადასხვანაირად: H(f), Hf, ან Hf, თავს უყრის ყველა მეორე რიგის წარმოებულს ერთ მატრიცაში:
Hf=[2fx22fxy2fxz2fyx2fy22fyz2fzx2fzy2fz2]
ასე რომ, 2 რამ, რაც აქ უნდა შევნიშნოთ:
  • ამას აზრი აქვს მხოლოდ სკალარული მნიშვნელობის მქონე ფუნქციებისთვის.
  • ეს ობიექტი Hf არ არის ჩვეულებრივი მატრიცა; ის არის მატრიცა, რომელშიც ფუნქციები წერია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის უნდა იყოს გამოთვლილი რაიმე (x0,y0,)-ში.
    Hf(x0,y0,)=[2fx2(x0,y0,)2fxy(x0,y0,)2fyx(x0,y0,)2fy2(x0,y0,)]
ასე რომ, ამ ობიექტს შეგიძლიათ, დაუძახოთ Hf "მატრიცული მნიშვნელობის მქონე" ფუნქცია.
კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი რამ, სიტყვა "ჰესე" ზოგჯერ აგრეთვე მიუთითებს მატრიცის დეტერმინანტზე და არა თვითონ მატრიცას.

მაგალითი: ჰესეს გამოთვლა

ამოცანა: გამოთვალეთ f(x,y)=x32xyy6-ის ჰესე (1,2) წერტილში:
ამოხსნა: საბოლოოდ ჩვენ გვჭირდება f-ის მეორე რიგის ყველა კერძო წარმოებული, ასე რომ, ჯერ გამოვთვალოთ ორივე კერძო წარმოებული:
fx(x,y)=x(x32xyy6)=3x22yfy(x,y)=y(x32xyy6)=2x6y5
ამით ჩვენ გამოვთვლით ოთხივე მეორე რიგის კერძო წარმოებულს:
fxx(x,y)=x(3x22y)=6xfxy(x,y)=y(3x22y)=2fyx(x,y)=x(2x6y5)=2fyy(x,y)=y(2x6y5)=30y4
ჰესე მატრიცა ამ შემთხვევაში არის 2×2 მატრიცა, რომელიც შედგება ამ ფუნქციებისგან:
Hf(x,y)=[fxx(x,y)fyx(x,y)fxy(x,y)fyy(x,y)]=[6x2230y4]
ჩვენ გვთხოვენ, რომ გამოვთვალით ის (x,y)=(1,2) წერტილში, ასე რომ, ვსვამთ ამ მნიშვნელობებს:
Hf(1,2)=[6(1)2230(2)4]=[622480]
ახლა ამოცანა არაცალსახაა, რადგან "ჰესე" შეიძლება, ნიშნავდეს მატრიცასაც და მის დეტერმინანტსაც. ის, თუ რისი გამოთვლა გსურთ, დამოკიდებულია კონტექსტზე. მაგალითად, მრავალცვლადიანი ფუნქციების ოპტიმიზაციისას არსებობს „მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტი", რომელიც იყენებს ჰესეს დეტერმინანტს. როდესაც ჰესე გამოიყენება ფუნქციების მიახლოებაში, თვითონ მატრიცას იყენებთ.
თუ დეტერმინანტი გვინდა, მაშინ ამას ვიღებთ:
დეტ([622480])=6(480)(2)(2)=2884

გამოყენებები

მრავალცვლადიანი ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებულის ყველანაირი ინფორმაციის მიღების შემდეგ ჰესეს მატრიცა ხშირად თამაშობს იგივე როლს, რასაც ერთცვლადიან კალკულუსში თამაშობს მეორე რიგის წარმოებული. განსაკუთრებით აღსანიშნავია, რომ ის ამ ორ შემთხვევაში იჩენს თავს:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.