If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 3

გაკვეთილი 2: კვადრატული მიახლოებები (აპროქსიმაციები)
მათემატიკა
მრავალცვლადიანი კალკულუსი
მრავალცვლადიანი წარმოებულის გამოყენება
კვადრატული მიახლოებები (აპროქსიმაციები)
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

ჰესეს მატრიცა

Google–ის საკლასო ოთახი
ჰესეს მატრიცა არის მატრიცა, რომელიც ორგანიზებას უწევს ფუნქციის ყველა მეორე რიგის კერძო წარმოებულს.

ფონი:

ჰესეს მატრიცა

მრავალცვლადიანი ფუნქციის "ჰესეს მატრიცა" f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, comma, dots, right parenthesis, რომელსაც სხვადასხვა ავტორი წერს სხვადასხვანაირად: start bold text, H, end bold text, left parenthesis, f, right parenthesis, start bold text, H, end bold text, f, ან start bold text, H, end bold text, start subscript, f, end subscript, თავს უყრის ყველა მეორე რიგის წარმოებულს ერთ მატრიცაში:
Hf=[∂2f∂x2∂2f∂x∂y∂2f∂x∂z⋯∂2f∂y∂x∂2f∂y2∂2f∂y∂z⋯∂2f∂z∂x∂2f∂z∂y∂2f∂z2⋯⋮⋮⋮⋱]\textbf{H}f = \left[ \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x}^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x} \partial \redD{y}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x} \partial \greenE{z}} & \cdots \\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y} \partial \blueD{x}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y}^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y} \partial \greenE{z}} & \cdots \\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial \greenE{z} \partial \blueD{x}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \greenE{z} \partial \redD{y}} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \greenE{z}^2} & \cdots \\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right]
ასე რომ, 2 რამ, რაც აქ უნდა შევნიშნოთ:
  • ამას აზრი აქვს მხოლოდ სკალარული მნიშვნელობის მქონე ფუნქციებისთვის.
  • ეს ობიექტი start bold text, H, end bold text, f არ არის ჩვეულებრივი მატრიცა; ის არის მატრიცა, რომელშიც ფუნქციები წერია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის უნდა იყოს გამოთვლილი რაიმე left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis-ში.
    Hf(x0,y0,… )=[∂2f∂x2(x0,y0,… )∂2f∂x∂y(x0,y0,… )⋯∂2f∂y∂x(x0,y0,… )∂2f∂y2(x0,y0,… )⋯⋮⋮⋱]\textbf{H}f(x_0, y_0, \dots) = \left[ \begin{array}{ccc} \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x}^2}(x_0, y_0, \dots) & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueD{x} \partial \redD{y}}(x_0, y_0, \dots) & \cdots \\\\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y} \partial \blueD{x}}(x_0, y_0, \dots) & \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redD{y}^2}(x_0, y_0, \dots) & \cdots \\\\ \vdots & \vdots & \ddots \end{array} \right]
ასე რომ, ამ ობიექტს შეგიძლიათ, დაუძახოთ start bold text, H, end bold text, f "მატრიცული მნიშვნელობის მქონე" ფუნქცია.
კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი რამ, სიტყვა "ჰესე" ზოგჯერ აგრეთვე მიუთითებს მატრიცის დეტერმინანტზე და არა თვითონ მატრიცას.

მაგალითი: ჰესეს გამოთვლა

ამოცანა: გამოთვალეთ f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, cubed, minus, 2, x, y, minus, y, start superscript, 6, end superscript-ის ჰესე left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis წერტილში:
ამოხსნა: საბოლოოდ ჩვენ გვჭირდება f-ის მეორე რიგის ყველა კერძო წარმოებული, ასე რომ, ჯერ გამოვთვალოთ ორივე კერძო წარმოებული:
fx(x,y)=∂∂x(x3−2xy−y6)=3x2−2yfy(x,y)=∂∂y(x3−2xy−y6)=−2x−6y5\begin{aligned} \quad f_x(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} (x^3 - 2xy - y^6) = 3x^2 - 2y \\\\ f_y(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial y} (x^3 - 2xy - y^6) = -2x - 6y^5 \end{aligned}
ამით ჩვენ გამოვთვლით ოთხივე მეორე რიგის კერძო წარმოებულს:
fxx(x,y)=∂∂x(3x2−2y)=6xfxy(x,y)=∂∂y(3x2−2y)=−2fyx(x,y)=∂∂x(−2x−6y5)=−2fyy(x,y)=∂∂y(−2x−6y5)=−30y4\begin{aligned} f_{xx}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2 - 2y) = 6x \\\\ f_{xy}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2 - 2y) = -2 \\\\ f_{yx}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial x} (-2x - 6y^5) = -2 \\\\ f_{yy}(x, y) &= \dfrac{\partial}{\partial y} (-2x - 6y^5) = -30y^4 \end{aligned}
ჰესე მატრიცა ამ შემთხვევაში არის 2, times, 2 მატრიცა, რომელიც შედგება ამ ფუნქციებისგან:
Hf(x,y)=[fxx(x,y)fyx(x,y)fxy(x,y)fyy(x,y)]=[6x−2−2−30y4]\textbf{H}f(x, y) = \left[ \begin{array}{cc} f_{xx}(x, y) & f_{yx}(x, y) \\ f_{xy}(x, y) & f_{yy}(x, y) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 6x & -2 \\ -2 & -30y^4 \end{array} \right]
ჩვენ გვთხოვენ, რომ გამოვთვალით ის left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 1, comma, 2, right parenthesis წერტილში, ასე რომ, ვსვამთ ამ მნიშვნელობებს:
Hf(1,2)=[6(1)−2−2−30(2)4]=[6−2−2−480]\textbf{H}f(1, 2) = \left[ \begin{array}{cc} 6(1) & -2 \\ -2 & -30(2)^4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 6 & -2 \\ -2 & -480 \end{array} \right]
ახლა ამოცანა არაცალსახაა, რადგან "ჰესე" შეიძლება, ნიშნავდეს მატრიცასაც და მის დეტერმინანტსაც. ის, თუ რისი გამოთვლა გსურთ, დამოკიდებულია კონტექსტზე. მაგალითად, მრავალცვლადიანი ფუნქციების ოპტიმიზაციისას არსებობს „მეორე რიგის კერძო წარმოებულის ტესტი", რომელიც იყენებს ჰესეს დეტერმინანტს. როდესაც ჰესე გამოიყენება ფუნქციების მიახლოებაში, თვითონ მატრიცას იყენებთ.
თუ დეტერმინანტი გვინდა, მაშინ ამას ვიღებთ:
დეტ([6−2−2−480])=6(−480)−(−2)(−2)=−2884\text{დეტ}\left( \left[ \begin{array}{cc} 6 & -2 \\ -2 & -480 \end{array} \right] \right) = 6(-480) - (-2)(-2) = -2884

გამოყენებები

მრავალცვლადიანი ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებულის ყველანაირი ინფორმაციის მიღების შემდეგ ჰესეს მატრიცა ხშირად თამაშობს იგივე როლს, რასაც ერთცვლადიან კალკულუსში თამაშობს მეორე რიგის წარმოებული. განსაკუთრებით აღსანიშნავია, რომ ის ამ ორ შემთხვევაში იჩენს თავს:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.