სრული კვადრატის მამრავლებად დაშლა

დაშალეთ: 25 x კვადრატს მინუს 30 x მინუს ცხრა. გვაქვს მთავარი კოეფიციენტი, რომელიც არ უდრის ერთს და როგორც ჩანს არ გვაქვს საერთო გამყოფები. 25-იც და 30-იც ხუთზე იყოფიან, თუმცა ხუთზე ცხრა არ იყოფა ამის დაშლა დაჯგუფებით შეგვეძლო, თუმცა თუ დავაკვირდებით, რაღაც საინტერსოს შევამჩნევთ 25 სრული კვადრატია 25 x კვადრატიც სრული კვადრატია ის ხუთი x-ის კვადრატია, ცხრაც სრული კვადრატია, ის არის სამი კვადრატში, თუმცა ორივე შესძლოა მინუს სამის ან მინუს ხუთი x-ის კვადრატებიც იყოს ამიტომ შეიძება ეს მთლიანი გამოსახულება სრული კვადრატი იყოს. დავფიქრდეთ თუ რა ხდება, როცა ორწევრის კვადრატს ვიღებთ, მითუმეტეს ისეთის სადაც x-იანი ელემენტის კოეფიციენტი არ არის ერთი. ax-ს პლუს b რა ფორმას მიიღებს, როცა სამწევრად გავშლით? ეს არის იგივე, რაც: ax-ს პლუს b გამრავლებული ax-ს პლუს b-ზე. ax გამრავლებული ax-ზე იქნება a კვადრატი b კვადრატი, პლუს ax-ჯერ b, რაც უდრის abx-ს, პლუს b გამრავლებული ax-ზე, ანუ კიდევ ერთი abx, პლუს b-ჯერ b, ანუ b კვადრატი, ეს უდრის: a კვადრატი b კვადრატი-- ეს ორივე ერთიდაიგივე ელემენტია პლუს ორი abx, პლუს b კვადრატი. ეს მიიღება ორწევრის აკვადრატებისას. ახლა ჩვენს გამოსახულებას ქვემოთ მივუწერ 25x კვადრატს მინუს 30x პლუს ცხრა თუ ეს სრული კვადრატია, მაშინ a კვადრატი უნდა იყოს 25, b კვადრატი კი უნდა იყოს ცხრა. ეს ნიშნავს, რომ a შეიძლება იყოს პლუს ან მინუს ხუთი, b კი შეიძლება იყოს პლუს ან მინუს სამი. ვნახოთ ახლა ეს შუა ელემენტიც თუ გვაქვს. ორი ab უნდა იყოს მინუს 30-ის ტოლი, ან, თუ ორივე მხარეს ორზე გავყოფთ: ab უნდა იყოს მინუს 15-ის ტოლი, რადგან ნამრავლი უარყოფითია, ერთ-ერთი უნდა იყოს დადებითი, მეორე კი - უარყოფითი. საბედნიეროდ, ხუთის და სამის ნამრავლი მართლაც 15-ია, ამიტომ თუ ერთს გავხდით დადებითს ხოლო მეორეს - უარყოფითს, თითქოს გამოვა. მოდი a უდრიდეს ხუთს, b კი - მინუს სამს, ამ მნიშვნელობებით ab, მართლაც, მინუს 15-ის ტოლი იქნება, ან a შეიძლება იყოს მინუს ხუთის ტოლი ხოლო b - სამის. ორივე ვარიანტი გაამართლებს, ამიტომ თუ დავშლით ამ გამოსახულებას მივიღებთ: იქნება ან a უდრის ხუთს და b მინუს სამს და მივიღებდით ხუთ x-ს მინუს სამს კვადრატში, აქ a არის ხუთი, b კი - მინუს სამი, ან a შეიძლება იყოს მინუს ხუთი და b იყოს სამი. გვექნება მინუს ხუთ x-ს პლუს სამი კვადრატში, ორივე ამ გამოსახულების დაშლის შესაფერისი გზაა, თუმცა, როგორ შეიძლება, რომ ორივე ერთსა და იმავე რაღაცას უდრიდეს? მეორე გამოსახულებიდან შეგვიძლია მინუს ერთი გამოვიტანოთ: მინუს ერთი გამრავლებული ხუთ x-ს მინუს სამზე, ეს ყველაფერი ავაკვადრატოთ, ეს იგივეა, რაც: მინუს ერთი კვადრატში გამრავლებული ხუთ x-ს მინუს სამზე კვადრატში. მინუს ერთის კვადრატი კი ერთს უდრის. ამიტომაც, ეს ორი არის ერთი და იგივე, ორივე უდრის ხუთ x-ს მინუს სამს, ორივე არის შესაძლებელი პასუხი.