ძირითადი მასალა

კურსი: მათემატიკა II > თემა 3

გაკვეთილი 2: ერთწევრების მამრავლებად დაშლა

ერთწევრების მამრავლებად დაშლა

ისწავლეთ, როგორ უნდა დაშალოთ სრულად ერთწევრა გამოსახულებები, ან როგორ უნდა იპოვოთ გამოტოვებული გამყოფი ერთწევრების დაშლის დროს.

რა უნდა იცოდეთ, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

ერთწევრი არის გამოსახულება, რომელიც არის მუდმივი რიცხვებისა და

x

-ის არაუარყოფითი მთელი რიცხვების ხარისხების ნამრავლი, როგორიცაა

3 x^{2}

. მრავალწევრი არის გამოსახულება, რომელიც შედგება ერთწევრების ჯამისგან, როგორიცაა

3 x^{2} + 6 x - 1

თუ

A = B \cdot C

, ესე იგი,

B

და

C

არის

A

-ს მამრავლები, ხოლო

A

იყოფა

B

-ზე და

C

-ზე. ამ მასალის გადასამეორებლად, ნახეთ ჩვენი სტატია: მამრავლებად დაშლა და გაყოფადობა.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ გაკვეთილში ისწავლით, თუ როგორ დაშალოთ მამრავლებად ერთწევრები. ამაში დაგეხმარებათ მთელი რიცხვების მამრავლებად დაშლის გამოცდილება.

შესავალი: რას ნიშნავს ერთწევრის მამრავლებად დაშლა?

ერთწევრის მამრავლებად დაშლა ნიშნავს მის გამოსახვას ორი ან მეტი ერთწევრის ნამრავლით.

მაგალითად, ქვემოთ ნაჩვენებია

8 x^{5}

-ის მამრავლებლად დაშლის რამდენიმე შესაძლო ვარიანტი.

$8 x^{5} = (2 x^{2}) (4 x^{3})$ ‍
$8 x^{5} = (8 x) (x^{4})$ ‍
$8 x^{5} = (2 x) (2 x) (2 x) (x^{2})$ ‍

დააკვირდით, რომ როცა გამოსახულების მარჯვენა მხარეს ამრავლებთ, იღებთ

8 x^{5}

-ს.

დასაფიქრებელი შეკითხვა

ანდრეის, ამიტსა და ენდრიუს დაავალეს

20 x^{6}

-ის მამრავლებად დაშლა და გამოსახვა ორი ერთწევრის ნამრავლად. მათი პასუხები ქვემოთაა ნაჩვენები.

ანდრეი			ამიტი			ენდრიუ
$20 x^{6} = (2 x) (10 x^{5})$ ‍			$20 x^{6} = (4 x^{3}) (5 x^{3})$ ‍			$20 x^{6} = (20 x^{2}) (x^{3})$ ‍

1) რომელმა სტუდენტმა დაშალა $20 x^{6}$ ‍ სწორ მამრავლებად?

ანდრეის, ამიტისა და ენდრიუს პასუხების შესამოწმებლად შეგვიძლია, მამრავლები გადავამრავლოთ.

მოდით, ვიპოვოთ

(2 x) (10 x^{5})

, რომ შევამოწმოთ ანდრეის ნამუშევარი:

$\begin{aligned} (2 x) (10 x^{5}) & = 2 \cdot 10 \cdot x \cdot x^{5} \\ = 20 x^{6} \end{aligned}$ ‍

ანდრეი სწორია.

მოდით, ვიპოვოთ

(4 x^{3}) (5 x^{3})

, რომ შევამოწმოთ ამიტის ნამუშევარი:

$\begin{aligned} (4 x^{3}) (5 x^{3}) & = 4 \cdot 5 \cdot x^{3} \cdot x^{3} \\ = 20 x^{6} \end{aligned}$ ‍

ამიტიც მართალია.

და ბოლოს, მოდით ვიპოვოთ

(20 x^{2}) (x^{3})

, რომ შევამოწმოთ ენდრიუს ნამუშევარი:

$\begin{aligned} (20 x^{2}) (x^{3}) & = 20 \cdot x^{2} \cdot x^{3} \\ = 20 x^{5} \end{aligned}$ ‍

ენდრიუ მართალია.

ანდრეიც და ამიტიც მართლები არიან.

ერთწევრების სრულად დაშლა მამრავლებად

გამეორება: მთელი რიცხვების მამრავლებად დაშლა

იმისათვის, რომ მთელი რიცხვი სრულად დავშალოთ მამრავლებად, ის უნდა გამოვსახოთ მარტივი რიცხვების ნამრავლად.

მაგალითად, ვიცით, რომ

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

ახლა კი ერთწევრები...

იმისათვის, რომ ერთწევრი სრულად დავშალოთ მამრავლებად, მისი კოეფიციენტი უნდა გამოვსახოთ მარტივი რიცხვების ნამრავლად და მისი ცვლადის ნაწილი უნდა განვავრცოთ.

მაგალითად, იმისათვის, რომ

10 x^{3}

სრულად დავშალოთ მამრავლებად, შეგვიძლია,

10

-ის მარტივ მამრავლებად დაშლა ჩავწეროთ, როგორც

2 \cdot 5

და

x^{3}

ჩავწეროთ, როგორც

x \cdot x \cdot x

. ესე იგი,

10 x^{3}

სრულად ასე დაიშლება მამრავლებად:

$10 x^{3} = 2 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

2) რომელი წარმოადგენს $6 x^{2}$ ‍-ის სრულად დაშლას მამრავლებად?

იმისათვის, რომ

6 x^{2}

სრულად დავშალოთ მამრავლებად, შეგვიძლია,

6

დავშალოთ მარტივ მამრავლებად და ჩავწეროთ, როგორც

2 \cdot 3

, ხოლო

x^{2}

ჩავწეროთ, როგორც

x \cdot x

. ქვემოთ ნაჩვენებია

6 x^{2}

-ის სრულად დაშლა მამრავლებად:

$6 x^{2} = 2 \cdot 3 \cdot x \cdot x$ ‍

2) რომელი წარმოადგენს $14 x^{4}$ ‍-ის სრულად დაშლას მამრავლებად?

იმისათვის, რომ

14 x^{4}

სრულად დავშალოთ მამრავლებად, შეგვიძლია,

14

დავშალოთ მარტივ მამრავლებად და ჩავწეროთ, როგორც

2 \cdot 7

, ხოლო

x^{4}

ჩავწეროთ, როგორც

x \cdot x \cdot x \cdot x

. ქვემოთ ნაჩვენებია

14 x^{4}

-ის სრულად დაშლა მამრავლებად:

$14 x^{4} = 2 \cdot 7 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ ‍

ერთწევრების გამოტოვებული მამრავლების პოვნა

გამეორება: მთელი რიცხვების მამრავლებად დაშლა

ვთქვათ, ვიცით, რომ

b

მთელი რიცხვისათვის

56 = 8 b

. როგორ ვიპოვოთ მეორე მამრავლი?

შეგვიძლია

b

-სთვის ამოვხსნათ განტოლება

56 = 8 b

. ამისათვის განტოლების ორივე მხარე უნდა გავყოთ

8

-ზე. გამოდის, რომ გამოტოვებული მამრავლი არის

7

ახლა კი ერთწევრები...

ეს იდეები შეგვიძლია, ერთწევრებზეც განვავრცოთ. მაგალითად, ვთქვათ, რომელიღაც

C

ერთწევრისთვის

8 x^{5} = (4 x^{3}) (C)

. ასეთ დროს, შეგვიძლია,

8 x^{5}

გავყოთ

4 x^{3}

-ზე და ვიპოვოთ

C

$\begin{aligned} 8 x^{5} & = (4 x^{3}) (C) \\ \frac{8 x^{5}}{4 x^{3}} & = \frac{(4 x^{3}) (C)}{4 x^{3}} & გაყავით ორივე მხარე 4 x^{3} - ზ ე \\ 2 x^{2} & = C & გაამარტივეთ ხარისხების თვისებების გამოყენებით \end{aligned}$ ‍

ორი ერთწევრის გასაყოფად შეგვიძლია, ხარისხების თვისებები გამოვიყენოთ. ასევე, ჭკვიანური იქნება, ერთწევრის კოეფიციენტსა და ცვლადს თუ ერთმანეთისგან გამოვყოფთ.

\begin{aligned} \frac{8 x^{5}}{4 x^{3}} & = \frac{8}{4} \cdot \frac{x^{5}}{x^{3}} \\ = 2 \cdot x^{2} & რადგან \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \end{aligned}

ჩვენი ნამუშევრის გადასამოწმებლად შეგვიძლია, ვაჩვენოთ, რომ

4 x^{3}

-ისა და

2 x^{2}

-ის ნამრავლი ნამდვილად

8 x^{5}

-ა.

$\begin{aligned} (4 x^{3}) (2 x^{2}) & = 4 \cdot 2 \cdot x^{3} \cdot x^{2} \\ = 8 x^{5} \end{aligned}$ ‍

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

4) იპოვეთ გამოტოვებული მამრავლი $B$ ‍, რომლისთვისაც შემდეგი ტოლობა ჭეშმარიტია .

28 x^{5} = (B) (7 x)

5) იპოვეთ გამოტოვებული მამრავლი $C$ ‍, რომლისთვისაც შემდეგი ტოლობა ჭეშმარიტია .

40 x^{9} = (C) (4 x^{3})

C =

მამრავლებად დაშლის სხვადასხვა მეთოდების შესახებ

განვიხილოთ რიცხვი

12

. ამ რიცხვის მამრავლებად დაშლა შეგვიძლია, ოთხნაირად ჩავწეროთ.

$12 = 2 \cdot 6$ ‍
$12 = 3 \cdot 4$ ‍
$12 = 12 \cdot 1$ ‍
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ‍

მაგრამ

12

-ის მარტივ მამრავლებად დაშლის მხოლოდ ერთი გზა გვაქვს. აი, ასე:

2 \cdot 2 \cdot 3

იგივე ეხება ერთწევრებსაც.

18 x^{3}

შეგვიძლია, ბევრნაირად დავშალოთ მამრავლებად. აი, რამდენიმე მაგალითი.

$18 x^{3} = 2 \cdot 9 \cdot x^{3}$ ‍
$18 x^{3} = 3 \cdot 6 \cdot x \cdot x^{2}$ ‍
$18 x^{3} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x^{3}$ ‍

მაგრამ მამრავლებად სრულად დაშლისას მხოლოდ ერთი შედეგის მიღება შეგვიძლია!

18 x^{3} = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot x \cdot x \cdot x

რთული ამოცანები

6*) სრულად დაშალეთ $22 x y^{2}$ ‍.

22 x y^{2} =

ეს გამოსახულება ბევრ ცვლადს შეიცავს, თუმცა შეგვიძლია, იგივე მეთოდი გამოვიყენოთ, რაც ზემოთ გამოვიყენეთ და სრულად დავშალოთ გამოსახულება.

ამ შემთხვევაში მნიშვნელოვანია, რომ შევნიშნოთ, რომ

22 x y^{2} \neq 22 (x y)^{2}

22 x y^{2}

-ის სრულად დასაშლელად, შეგვიძლია,

22

-ის მარტივ მამრავლებად დაშლა

2 \cdot 11

სახით და

y^{2}

-ის ჩაწერა

y \cdot y

სახით.

x

-ის მეტად დაშლა არ შეგვიძლია.

$22 x y^{2} = 2 \cdot 11 \cdot x \cdot y \cdot y$ ‍

7*) ქვემოთ მოცემული მართკუთხედის ფართობია

24 x^{3}

კვადრატული მეტრი, ხოლო სიგრძეა

4 x^{2}

მეტრი.

რას უდრის მართკუთხედის ფართობი?

სიგანე =

მეტრი

მართკუთხედის ფართობი

(A)

არის

სიგრძე (l) \times სიგანეზე (w)

განტოლებაში იმის ჩასმა, რაც ვიცით, გვაძლევს:

$\begin{aligned} A & = l \cdot w \\ 24 x^{3} & = (4 x^{2}) (w) \end{aligned}$ ‍

24 x^{3}

-ის გამოტოვებული მამრავლის პოვნა, ანუ, მართკუთხედის სიგანის პოვნა, შეგვიძლია განტოლების ორივე მხარის

4 x^{2}

გაყოფის საშუალებით.

$\begin{aligned} 24 x^{3} & = (4 x^{2}) (w) \\ \frac{24 x^{3}}{4 x^{2}} & = \frac{(4 x^{2}) (w)}{4 x^{2}} & გაყავით ორივე მხარე სიდიდეზე 4 x^{2} \\ 6 x & = w \end{aligned}$ ‍

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.