If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ინტეგრალური კალკულუსი

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 1: ცვლილების დაგროვების გაცნობა
მათემატიკა
ინტეგრალური კალკულუსი
ინტეგრალები
ცვლილების დაგროვების გაცნობა
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

ცვლილების დაგროვების გამოკვლევა

Google–ის საკლასო ოთახი
განსაზღვრული ინტეგრალების ინტერპრეტირება ხდება ოდენობების დაგროვებად. ისწავლეთ, რატომ არის ეს ასე და როგორ შეგვიძლია ამის გამოყენება რეალური სამყაროს კონტექსტების გასაანალიზებლად.
განსაზღვრული ინტეგრალი შეგვიძლია, გამოვიყენოთ, რომ გამოვსახოთ ინფორმაცია დაგროვებული და ჯამური ცვლილებების შესახებ რეალურ კონტექსტებში. ვნახოთ, როგორ კეთდება ეს.

დაგროვებაზე ფიქრი რეალური სამყაროს კონტექსტში

დავუშვათ, ავზი წყლით ივსება მუდმივი start color #11accd, 5, start text, space, ლ, slash, წ, თ, end text, end color #11accd (ლიტრი წუთში) ტემპით start color #ca337c, 6, start text, space, წ, უ, თ, ი, ს, end text, end color #ca337c განმავლობაში. წყლის მოცულობა (start text, ლ, end text-ებში) შეგვიძლია, ვიპოვოთ დროისა და ტემპის გადამრავლებით:
მოცულობა=დრო×ტემპი=6 წთ⋅5 ლწუთი=30წთ⋅ლწთ=30 ლ\begin{aligned} \text{მოცულობა}&=\maroonD{\text{დრო}}\times\blueD{\text{ტემპი}} \\ &=\maroonD{6\,\text{წთ}}\cdot\blueD{5\,\dfrac{\text{ლ}}{\text{წუთი}}} \\ &=30\dfrac{\cancel{\text{წთ}}\cdot\text{ლ}}{\cancel{\text{წთ}}} \\ &=30\,\text{ლ} \end{aligned}
ახლა ეს შემთხვევა გრაფიკულად განიხილეთ. ტემპი შეგვიძლია, გამოვსახოთ r, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5 მუდმივი ფუნქციით:
ამ გრაფიკში თითოეული ჰორიზონტალური ერთეული იზომება წუთებში და თითოეული ვერტიკალური ერთეული - ლიტრ წუთებში, ასე რომ, თითოეული კვადრატული ერთეულის ფართობი იზომება ლიტრებში:
start underbrace, start text, წ, თ, end text, end underbrace, start subscript, start text, ს, ი, გ, ა, ნ, ე, end text, end subscript, dot, start underbrace, start fraction, start text, ლ, end text, divided by, start text, წ, თ, end text, end fraction, end underbrace, start subscript, start text, ს, ი, მ, ა, ღ, ლ, ე, end text, end subscript, equals, start underbrace, start text, ლ, end text, end underbrace, start subscript, start text, ფ, ა, რ, თ, ო, ბ, ი, end text, end subscript
გარდა ამისა, r, start subscript, 1, end subscript-ის გრაფიკით შემოსაზღვრული მართკუთხედის ფართობი და t, equals, 0-სა და t, equals, 6-ს შორის ჰორიზონტალური ღერძი გვაძლევს წყლის მოცეულობას 6 წუთის შემდეგ:
ახლა დავუშვათ, რომ სხვა ავზი ივსება, მაგრამ ამჯერად ტემპი მუდმივი არ არის:
r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 6, sine, left parenthesis, 0, comma, 3, t, right parenthesis
როგორ შეგვიძლია, გავიგოთ წყლის მოცულობა ამ ავზში 6 წუთის შემდეგ? ამისთვის მოდით, ვიფიქროთ მრუდის ქვეშ ფართობის რიმანის ჯამის მიახლოებაზე t, equals, 0-სა და t, equals, 6-ს შორის. სიმარტივისთვის გამოვიყენოთ მიახლოება, სადაც თითოეული მართკუთხედი 1 წუთი სიგანისაა.
ვნახეთ, რომ თითოეული მართკუთხედი წარმოადგენს მოცულობას ლიტრებში. კონკრეტულად, ამ რიმანის ჯამში თითოეული მართკუთხედი არის ყოველ წუთში ავზში ჩასხმული წყლის მიახლოებითი მოცულობა. როცა ყველა ფართობს შევკრებთ, ანუ, როცა ყველა მოცულობა მოგროვდება, მივიღებთ წყლის ჯამური მოცულობის მიახლოებით მნიშვნელობას 6 წუთის შემდეგ.
რაც უფრო მეტი ოდენობის და ნაკლები სიგანის მართკუთხედს გამოვიყენებთ, მით უფრო ზუსტ მიახლოებით მნიშვნელობას მივიღებთ. თუ ამას მივიყვანთ უსასრულო რაოდენობის მართკუთხედების შეკრების ზღვრამდე, მივიღებთ integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t განსაზღვრულ ინტეგრალს. ეს იმას ნიშნავს, რომ წყლის ზუსტი მოცულობა 6 წუთის შემდეგ უდრის r, start subscript, 2, end subscript გრაფიკითა ჰორიზონტალური ღერძით შემოსაზღვრულ ფართობს t, equals, 0-სა და t, equals, 6-ს შორის .
ასე რომ, ინტეგრალური კალკულუსი საშუალებას გვაძლევს, ვიპოვოთ წყლის მოცულობა 6 წუთის შემდეგ:
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, comma, 5, start text, L, end text

ოდენობის ცვლილების ტემპის განსაზღვრული ინტეგრალი გვაძლევს ამ ოდენობის ჯამურ ცვლილებას.

მაგალითში ვნახეთ, რომ გვქონდა ფუნქცია, რომელიც აღწერდა ტემპს. ჩვენს შემთხვევაში ეს იყო მოცულობის ტემპი დროში. ამ ფუნქციის ინტეგრალი გვაძლევს მოცულობის—ანუ ოდენობის, რომლის ტემპიც იყო მოცემული—დაგროვებას.
აქ კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი თვისება იყო განსაზღვრული ინტეგრალის დროითი ინტერვალი. ჩვენს შემთხვევაში, დროითი ინტერვალი იყო საწყისი left parenthesis, t, equals, 0, right parenthesis და მას შემდეგ 6 წუთი left parenthesis, t, equals, 6, right parenthesis. ასე რომ, განსაზღვრული ინტეგრალი გვაძლევს ავზში წყლის მოცულობის ჯამურ ცვლილებას t, equals, 0-სა და t, equals, 6-ს შორის.
ინტეგრალებზე ფიქრის ორი გავრცელებული გზა არსებობს: ისინი აღწერენ ოდენობის დაგროვებას, ასე რომ, მთლიანი განსაზღვრული ინტეგრალი გვაძლევს ამ ოდენობის ჯამურ ცვლილებას.

რატომ ოდენობის „ჯამური ცვლილება“ და არა — უბრალოდ ოდენობა?

ზედა მაგალითის გათვალისწინებით შენიშნეთ, რომ არ გვეუბნებიან, იყო თუ არა ავზში წყლის რაიმე ოდენობა t, equals, 0-ზე ადრე. თუ ავზი ცარიელი იყო, მაშინ integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, approximately equals, 24, comma, 5, start text, L, end text სინამდვილეში არის წყლის ოდენობა 6 წუთის შემდეგ. მაგრამ თუ ავზში უკვე იყო, ვთქვათ, 7 ლიტრი წყალი, მაშინ ავზში წყლის ნამდვილი მოცულობა 6 წუთის შემდეგ არის:
start underbrace, 7, end underbrace, start subscript, start text, მ, ო, ც, უ, ლ, ო, ბ, ა, space, end text, t, equals, 0, minus, ზ, ე, end subscript, plus, start overbrace, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 6, end superscript, r, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, end overbrace, start superscript, start text, მ, ო, ც, უ, ლ, ო, ბ, ი, ს, space, ც, ვ, ლ, ი, ლ, ე, ბ, ა, space, end text, t, equals, 0, start text, negative, დ, ა, ნ, space, end text, t, equals, 6, minus, მ, დ, ე, end superscript
ეს არის დაახლოებით 7, plus, 24, comma, 5, equals, 31, comma, 5, start text, space, ლ, end text.
დაიმახსოვრეთ: განსაზღვრული ინტეგრალი ყოველთვის გვაძლევს ოდენობის ჯამურ ცვლილებას და არა — ამ ოდენობის ნამდვილ მნიშვნელობას. ნამდვილი ოდენობა რომ ვიპოვოთ, თავდაპირველი პირობა უნდა დავუმატოთ განსაზღვრულ ინტეგრალს.
ამოცანა 1.A
  • მიმდინარე
სავარჯიშოების ნაკრები 1-ში გააანალიზებთ კონტექსტებს, რომლებიც დაგროვებას შეიცავს:
t დროს ბაქტერიის პოპულაცია იზრდება დღეში r, left parenthesis, t, right parenthesis გრამით, სადაც t იზომება დღეებში.
რა ერთეული აქვს integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 8, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t განსაზღვრული ინტეგრალით წარმოდგენილ ოდენობას?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: არასათანადო ერთეულების გამოყენება

როგორც ნებისმიერ ამოცანაში, ერთეულები აქაც მნიშვნელოვან როლს თამაშობს. გახსოვდეთ, თუ r არის ტემპის ფუნქცია გაზომილი start fraction, start color #11accd, start text, ო, დ, ე, ნ, ო, ბ, ა, space, A, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, ო, დ, ე, ნ, ო, ბ, ა, space, B, end text, end color #ca337c, end fraction ერთეულლში, მაშინ განსაზღვრული ინტეგრალი იზომება start color #11accd, start text, ო, დ, ე, ნ, ო, ბ, ა, space, A, end text, end color #11accd ერთეულში.
მაგალითად, ამოცანების ნაკრებ 1-ში, r იზომება start fraction, start color #11accd, start text, გ, რ, ა, მ, ი, end text, end color #11accd, divided by, start color #ca337c, start text, დ, ღ, ე, end text, end color #ca337c, end fraction ერთეულში, ასე რომ, r გაიზომა start color #11accd, start text, გ, რ, ა, მ, ე, ბ, შ, ი, end text, end color #11accd.
ამოცანა 2
ედენმა იარა საათში r, left parenthesis, t, right parenthesis კილომეტრი (სადაც t არის დრო საათებში) სიჩქარით.
რას ნიშნავს integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 6?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: განსაზღვრის ინტეგრალის ინტერვალის არასწორად მითვლა

ნებისმიერი r ტემპის ფუნქციისთვის განსაზღვრული ინტეგრალი integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t აღწერს მნიშვნელობების დაგროვებას t, equals, a-სა და t, equals, b-ს შორის.
გავრცელებული შეცდომაა ერთ-ერთი ზღვრის უგულებელყოფა (როგორც წესი, ქვედა ზღვრის), რაც არასწორ ინტერპრეტაციას გვაძლევს.
მაგალითად, მე-2 ამოცანაში შეცდომა იქნებოდა, თუ integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t-ს აღვიქვამდით, როგორც ედენის მიერ 3 საათში განვლილ მანძილს. ქვედა ზღვარია 2, ასე რომ, integral, start subscript, 2, end subscript, cubed, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t არის ედენის მიერ განვლილი მანძილი მე-2, start superscript, start text, end text, end superscript და მე-3, start superscript, start text, end text, end superscript საათებს შორის. გარდა ამისა, ისეთ შემთხვევებში, სადაც ინტერვალი ზუსტად ერთი ერთეულია, ჩვეულებრივ ვამბობთ „მე-3, start superscript, start text, end text, end superscript საათის განმავლობაში“.
ამოცანა 3
ჯულიას შემოსავალი თვეში არის r, left parenthesis, t, right parenthesis ათასი დოლარი (სადაც t არის წელიწადის თვე). ჯულიამ წლის პირველ თვეს 3 ათასი დოლარი გამოიმუშავა.
რას ნიშნავს 3, plus, integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t, equals, 19?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: თავდაპირველი პირობების უგულებელყოფა

f ტემპის ფუნქციისა და F პირვანდელი ფუნქციისთვის integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, b, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t განსაზღვრული ინტეგრალი გვაძლევს F-ის ჯამურ ცვლილებას t, equals, a-სა და t, equals, b-ს შორის. თუ დავუმატებთ თავდაპირველ პირობას, მივიღებთ F-ის ნამდვილ მნიშვნელობას.
მაგალითად, მე-3 ამოცანაში integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, 5, end superscript, r, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t წარმოადგენს ჯულიას მიერ გამომუშავებული თანხის ოდენობის ცვლილებას 1, start superscript, start text, end text, end superscript-ლ და მე-5, start superscript, start text, t, h, end text, end superscript თვეებს შორის. მაგრამ, რადგან 3 დავუმატეთ, რაც ჯულიას მიერ 1, start superscript, start text, end text, end superscript-ლ თვეში გამომუშავებული თანხაა, მაშინ გამოსახულება ახლა წარმოადგენს მე-5, start superscript, start text, end text, end superscript თვეში ნამდვილ მნიშვნელობას.

რეალურ კონტექსტში ცვლილების სიჩქარეებთან დაკავშირება

დიფერენციალურ კალკულუსში ვისწავლეთ, რომ f-ის f, prime წარმოებული გვაძლევს მოცემული არგუმენტისთვის f-ის ცვლილების მყისიერ სიჩქარეს. ახლა სხვა გზით მივდივართ! ნებისმიერი f ტემპის ფუნქციისთვის მისი პირვანდელი F ფუნქცია გვაძლევს იმ ოდენობის დაგროვილ ცვლილებას, რომლის ტემპიცაა აღწერილი f-ით.
ოდენობატემპი
დიფერენციალური კალკულუსიf, left parenthesis, x, right parenthesisf, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
ინტეგრალური კალკულუსიF, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, tf, left parenthesis, x, right parenthesis
ამოცანა 4
k, left parenthesis, t, right parenthesis ფუნქცია გვაძლევს საწებლის ქარხანაში წარმოებული კეტჩუპის ოდენობას (კილოგრამებში) მოცემული დღის t დროისთვის (საათებში).
რას წარმოადგენს integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 4, end superscript, k, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ, მეტი ივარჯიშოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.