If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ცვლილების დაგროვების გამოკვლევა

განსაზღვრული ინტეგრალების ინტერპრეტირება ხდება ოდენობების დაგროვებად. ისწავლეთ, რატომ არის ეს ასე და როგორ შეგვიძლია ამის გამოყენება რეალური სამყაროს კონტექსტების გასაანალიზებლად.
განსაზღვრული ინტეგრალი შეგვიძლია, გამოვიყენოთ, რომ გამოვსახოთ ინფორმაცია დაგროვებული და ჯამური ცვლილებების შესახებ რეალურ კონტექსტებში. ვნახოთ, როგორ კეთდება ეს.

დაგროვებაზე ფიქრი რეალური სამყაროს კონტექსტში

დავუშვათ, ავზი წყლით ივსება მუდმივი 5 ლ/წთ (ლიტრი წუთში) ტემპით 6 წუთის განმავლობაში. წყლის მოცულობა (-ებში) შეგვიძლია, ვიპოვოთ დროისა და ტემპის გადამრავლებით:
მოცულობა=დრო×ტემპი=6წთ5წუთი=30წთწთ=30
ახლა ეს შემთხვევა გრაფიკულად განიხილეთ. ტემპი შეგვიძლია, გამოვსახოთ r1(t)=5 მუდმივი ფუნქციით:
ამ გრაფიკში თითოეული ჰორიზონტალური ერთეული იზომება წუთებში და თითოეული ვერტიკალური ერთეული - ლიტრ წუთებში, ასე რომ, თითოეული კვადრატული ერთეულის ფართობი იზომება ლიტრებში:
წთსიგანეწთსიმაღლე=ფართობი
გარდა ამისა, r1-ის გრაფიკით შემოსაზღვრული მართკუთხედის ფართობი და t=0-სა და t=6-ს შორის ჰორიზონტალური ღერძი გვაძლევს წყლის მოცეულობას 6 წუთის შემდეგ:
ახლა დავუშვათ, რომ სხვა ავზი ივსება, მაგრამ ამჯერად ტემპი მუდმივი არ არის:
r2(t)=6sin(0,3t)
როგორ შეგვიძლია, გავიგოთ წყლის მოცულობა ამ ავზში 6 წუთის შემდეგ? ამისთვის მოდით, ვიფიქროთ მრუდის ქვეშ ფართობის რიმანის ჯამის მიახლოებაზე t=0-სა და t=6-ს შორის. სიმარტივისთვის გამოვიყენოთ მიახლოება, სადაც თითოეული მართკუთხედი 1 წუთი სიგანისაა.
ვნახეთ, რომ თითოეული მართკუთხედი წარმოადგენს მოცულობას ლიტრებში. კონკრეტულად, ამ რიმანის ჯამში თითოეული მართკუთხედი არის ყოველ წუთში ავზში ჩასხმული წყლის მიახლოებითი მოცულობა. როცა ყველა ფართობს შევკრებთ, ანუ, როცა ყველა მოცულობა მოგროვდება, მივიღებთ წყლის ჯამური მოცულობის მიახლოებით მნიშვნელობას 6 წუთის შემდეგ.
რაც უფრო მეტი ოდენობის და ნაკლები სიგანის მართკუთხედს გამოვიყენებთ, მით უფრო ზუსტ მიახლოებით მნიშვნელობას მივიღებთ. თუ ამას მივიყვანთ უსასრულო რაოდენობის მართკუთხედების შეკრების ზღვრამდე, მივიღებთ 06r2(t)dt განსაზღვრულ ინტეგრალს. ეს იმას ნიშნავს, რომ წყლის ზუსტი მოცულობა 6 წუთის შემდეგ უდრის r2 გრაფიკითა ჰორიზონტალური ღერძით შემოსაზღვრულ ფართობს t=0-სა და t=6-ს შორის .
ასე რომ, ინტეგრალური კალკულუსი საშუალებას გვაძლევს, ვიპოვოთ წყლის მოცულობა 6 წუთის შემდეგ:
06r2(t)dt24,5L

ოდენობის ცვლილების ტემპის განსაზღვრული ინტეგრალი გვაძლევს ამ ოდენობის ჯამურ ცვლილებას.

მაგალითში ვნახეთ, რომ გვქონდა ფუნქცია, რომელიც აღწერდა ტემპს. ჩვენს შემთხვევაში ეს იყო მოცულობის ტემპი დროში. ამ ფუნქციის ინტეგრალი გვაძლევს მოცულობის—ანუ ოდენობის, რომლის ტემპიც იყო მოცემული—დაგროვებას.
აქ კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი თვისება იყო განსაზღვრული ინტეგრალის დროითი ინტერვალი. ჩვენს შემთხვევაში, დროითი ინტერვალი იყო საწყისი (t=0) და მას შემდეგ 6 წუთი (t=6). ასე რომ, განსაზღვრული ინტეგრალი გვაძლევს ავზში წყლის მოცულობის ჯამურ ცვლილებას t=0-სა და t=6-ს შორის.
ინტეგრალებზე ფიქრის ორი გავრცელებული გზა არსებობს: ისინი აღწერენ ოდენობის დაგროვებას, ასე რომ, მთლიანი განსაზღვრული ინტეგრალი გვაძლევს ამ ოდენობის ჯამურ ცვლილებას.

რატომ ოდენობის „ჯამური ცვლილება“ და არა — უბრალოდ ოდენობა?

ზედა მაგალითის გათვალისწინებით შენიშნეთ, რომ არ გვეუბნებიან, იყო თუ არა ავზში წყლის რაიმე ოდენობა t=0-ზე ადრე. თუ ავზი ცარიელი იყო, მაშინ 06r2(t)dt24,5L სინამდვილეში არის წყლის ოდენობა 6 წუთის შემდეგ. მაგრამ თუ ავზში უკვე იყო, ვთქვათ, 7 ლიტრი წყალი, მაშინ ავზში წყლის ნამდვილი მოცულობა 6 წუთის შემდეგ არის:
7მოცულობა t=0+06r2(t)dtმოცულობის ცვლილება t=0-დან t=6
ეს არის დაახლოებით 7+24,5=31,5 ლ.
დაიმახსოვრეთ: განსაზღვრული ინტეგრალი ყოველთვის გვაძლევს ოდენობის ჯამურ ცვლილებას და არა — ამ ოდენობის ნამდვილ მნიშვნელობას. ნამდვილი ოდენობა რომ ვიპოვოთ, თავდაპირველი პირობა უნდა დავუმატოთ განსაზღვრულ ინტეგრალს.
ამოცანა 1.A
სავარჯიშოების ნაკრები 1-ში გააანალიზებთ კონტექსტებს, რომლებიც დაგროვებას შეიცავს:
t დროს ბაქტერიის პოპულაცია იზრდება დღეში r(t) გრამით, სადაც t იზომება დღეებში.
რა ერთეული აქვს 08r(t)dt განსაზღვრული ინტეგრალით წარმოდგენილ ოდენობას?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: არასათანადო ერთეულების გამოყენება

როგორც ნებისმიერ ამოცანაში, ერთეულები აქაც მნიშვნელოვან როლს თამაშობს. გახსოვდეთ, თუ r არის ტემპის ფუნქცია გაზომილი ოდენობა Aოდენობა B ერთეულლში, მაშინ განსაზღვრული ინტეგრალი იზომება ოდენობა A ერთეულში.
მაგალითად, ამოცანების ნაკრებ 1-ში, r იზომება გრამიდღე ერთეულში, ასე რომ, r გაიზომა გრამებში.
ამოცანა 2
ედენმა იარა საათში r(t) კილომეტრი (სადაც t არის დრო საათებში) სიჩქარით.
რას ნიშნავს 23r(t)dt=6?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: განსაზღვრის ინტეგრალის ინტერვალის არასწორად მითვლა

ნებისმიერი r ტემპის ფუნქციისთვის განსაზღვრული ინტეგრალი abr(t)dt აღწერს მნიშვნელობების დაგროვებას t=a-სა და t=b-ს შორის.
გავრცელებული შეცდომაა ერთ-ერთი ზღვრის უგულებელყოფა (როგორც წესი, ქვედა ზღვრის), რაც არასწორ ინტერპრეტაციას გვაძლევს.
მაგალითად, მე-2 ამოცანაში შეცდომა იქნებოდა, თუ 23r(t)dt-ს აღვიქვამდით, როგორც ედენის მიერ 3 საათში განვლილ მანძილს. ქვედა ზღვარია 2, ასე რომ, 23r(t)dt არის ედენის მიერ განვლილი მანძილი მე-2 და მე-3 საათებს შორის. გარდა ამისა, ისეთ შემთხვევებში, სადაც ინტერვალი ზუსტად ერთი ერთეულია, ჩვეულებრივ ვამბობთ „მე-3 საათის განმავლობაში“.
ამოცანა 3
ჯულიას შემოსავალი თვეში არის r(t) ათასი დოლარი (სადაც t არის წელიწადის თვე). ჯულიამ წლის პირველ თვეს 3 ათასი დოლარი გამოიმუშავა.
რას ნიშნავს 3+15r(t)dt=19?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გავრცელებული შეცდომა: თავდაპირველი პირობების უგულებელყოფა

f ტემპის ფუნქციისა და F პირვანდელი ფუნქციისთვის abf(t)dt განსაზღვრული ინტეგრალი გვაძლევს F-ის ჯამურ ცვლილებას t=a-სა და t=b-ს შორის. თუ დავუმატებთ თავდაპირველ პირობას, მივიღებთ F-ის ნამდვილ მნიშვნელობას.
მაგალითად, მე-3 ამოცანაში 15r(t)dt წარმოადგენს ჯულიას მიერ გამომუშავებული თანხის ოდენობის ცვლილებას 1-ლ და მე-5th თვეებს შორის. მაგრამ, რადგან 3 დავუმატეთ, რაც ჯულიას მიერ 1-ლ თვეში გამომუშავებული თანხაა, მაშინ გამოსახულება ახლა წარმოადგენს მე-5 თვეში ნამდვილ მნიშვნელობას.

რეალურ კონტექსტში ცვლილების სიჩქარეებთან დაკავშირება

დიფერენციალურ კალკულუსში ვისწავლეთ, რომ f-ის f წარმოებული გვაძლევს მოცემული არგუმენტისთვის f-ის ცვლილების მყისიერ სიჩქარეს. ახლა სხვა გზით მივდივართ! ნებისმიერი f ტემპის ფუნქციისთვის მისი პირვანდელი F ფუნქცია გვაძლევს იმ ოდენობის დაგროვილ ცვლილებას, რომლის ტემპიცაა აღწერილი f-ით.
ოდენობატემპი
დიფერენციალური კალკულუსიf(x)f(x)
ინტეგრალური კალკულუსიF(x)=axf(t)dtf(x)
ამოცანა 4
k(t) ფუნქცია გვაძლევს საწებლის ქარხანაში წარმოებული კეტჩუპის ოდენობას (კილოგრამებში) მოცემული დღის t დროისთვის (საათებში).
რას წარმოადგენს 04k(t)dt?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ, მეტი ივარჯიშოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.