ძირითადი მასალა

ინტეგრალური კალკულუსი

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 7: დაგროვების ფუნქციების ქცების ინტერპრეტირება

დაგროვების ფუნქციების ქცების ინტერპრეტირება

შეგვიძლია, გამოვიყენოთ „კალკულუსზე დაფუძნებული მსჯელობა“, რომ ფუნქციის პირვანდელი ფუნქციის (ანტიწარმოებულის) თვისებები განვსაჯოთ თავდაპირველი ფუნქციის შესახებ ცოდნაზე დაყრდნობით.

დიფერენციალურ კალკულუსში

f

ფუნქციის თვისებები განვიხილეთ მისი წარმოებულის,

f^{'}

-ის, შესახებ მოცემულ ინფორმაციაზე დაყრდნობით. ინტეგრალურ კალკულუსში ფუნქციებსა და მათ წარმოებულებზე საუბრის ნაცვლად ვისაუბრებთ ფუნქციებსა და მათ პირვანდელ ფუნქციებზე.

$g$ ‍-ზე მსჯელობა $g^{'} = f$ ‍ გრაფიკის მიხედვით

ეს არის

f

ფუნქციის გრაფიკი.

დავუშვათ,

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

. ასე განსაზღვრული

g

არის

f

-ის პირვანდელი ფუნქცია. დიფერენციალურ კალკულუსში იგი უნდა ჩავწეროთ, როგორც

g^{'} = f

. რადგან

f

არის

g

-ს წარმოებული,

g

-ს თვისებებზე შეგვიძლია, ისევე ვიმსჯელოთ, როგორც დიფერენციალურ კალკულუსზე ვმსჯელობდით.

მაგალითად,

f

დადებითია

[0, 10]

ინტერვალზე, ასე რომ,

g

ინტერვალზე ზრდადი უნდა იყოს.

გარდა ამისა,

f

ნიშანს იცვლის

x = 10

-ზე, ასე რომ,

g

-ს აქ ექსტრემუმი უნდა ჰქონდეს. რადგან

f

დადებითიდან უარყოფითი ხდება, ეს წერტილი მაქსიმუმის წერტილი უნდა იყოს.

ზედა მაგალითებმა გვიჩვენა, როგორ შეიძლება, ვიმსჯელოთ ინტერვალებზე, სადაც

g

იზრდება ან მცირდება და სად აქვს ლოკალური მაქსიმუმი. ასევე შეგვიძლია, ვიმსჯელოთ

g

-ს ამოზნექილობა-ჩაზნექილობის შესახებ. რადგან

f

ზრდადია

[- 2, 5]

ინტერვალზე, ვიცით, რომ

g

ჩაზნექილია ამ ინტერვალზე. რადგან

f

კლებადია

[5, 13]

ინტერვალზე, ვიცით, რომ

g

ამოზნექილია ამ ინტერვალზე.

g

ჩაზნექილობა-ამოზნექილობას იცვლის

x = 5

-ზე, ასე რომ, აქ გვაქვს გადაღუნვის წერტილი.

ამოცანა 1

ეს არის

f

-ის გრაფიკი.

დავუშვათ,

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

როგორია კალკულუსზე დაფუძნებული სათანადო მსჯელობა იმის შესახებ, რომ $g$ ‍ ჩაზნექილია $(5, 10)$ ‍ ინტერვალზე?

(Choice A)
$f$ ‍ ზრდადია $(5, 10)$ ‍ ინტერვალზე.
(Choice B)
$f$ ‍ დადებითია $(5, 10)$ ‍ ინტერვალზე.
(Choice C)
$f$ ‍ ჩაზნექილია $(5, 10)$ ‍ ინტერვალზე.
(Choice D)
$g$ ‍-ს გრაფიკს აქვს $\cup$ ‍ თასის ფორმა $(5, 10)$ ‍ ინტერვალზე.

ამოცანა 2

ეს არის

f

-ის გრაფიკი.

დავუშვათ,

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

როგორია კალკულუსზე დაფუძნებული სათანადო მსჯელობა იმ ფაქტზე, რომ $g$ ‍-ს ლოკალური მინიმუმის წერტილი აქვს $x = 8$ ‍-ზე?

(Choice A)
$f (8) = 0$ ‍
(Choice B)
$f$ ‍ ჩაზნექილია $x = 6$ ‍-ის ირგვლივ ინტერვალზე.
(Choice C)
$f$ ‍ უარყოფითია $x = 8$ ‍-მდე და დადებითი — $x = 8$ ‍-ის შემდეგ.
(Choice D)
$g$ ‍-ს გრაფიკზე $x = 8$ ‍-ს ირგვლივ არის ინტერვალი, სადაც $g (8)$ ‍ უმცირესი მნიშვნელობაა.

გინდათ, მეტი ივარჯიშოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

მნიშვნელოვანია, არ აგვერიოს, ფუნქციის რომელი თვისებები უკავშირდება მისი პირვანდელი ფუნქციის რომელ თვისებებს. ბევრი მოსწავლე იბნევა და აკეთებს სხვადასხვა სახის მცდარ დასკვნას, როგორიცაა: პირვანდელი ფუნქცია დადებითია, რადგან ფუნქცია ზრდადია (სინამდვილეში, ეს პირიქითაა).

ეს ცხრილი აჯამებს ფუნქციისა და მისი წარმოებულის თვისებებს შორის დამოკიდებულებებს.

როცა ფუნქცია $f$ ‍ არის...	პირვანდელი ფუნქცია $g = \int_{a}^{x} f (t) d t$ ‍...
დადებითია $+$ ‍	ზრდადია $↗$ ‍
უარყოფითია $-$ ‍	კლებადია $↘$ ‍
ზრდადია $↗$ ‍	ჩაზნექილია $\cup$ ‍
კლებადია $↘$ ‍	ამოზნექილია $\cap$ ‍
იცვლის ნიშანს / კვეთს $x$ ‍ ღერძს	ექსტრემუმის წერტილზეა
ექსტრემუმის წერტილზეა	გადაღუნვის წერტილზეა

რთული ამოცანა

ეს არის

f

-ის გრაფიკი.

დავუშვათ,

g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

როგორია კალკულუსზე დაფუძნებული სათანადო მსჯელობა იმის შესახებ, რომ $g$ ‍ დადებითია $[7, 12]$ ‍ ინტერვალზე?

(Choice A)
$x$ ‍-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის $[7, 12]$ ‍ ინტერვალზე $f (x)$ ‍-ის მნიშვნელობა ნულია.
(Choice B)
$x$ ‍-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის $[7, 12]$ ‍ ინტერვალზე $g (x)$ ‍ დადებითია.
(Choice C)
$f$ ‍ დადებითია $[0, 7]$ ‍-ზე და არაუარყოფითი — $[7, 12]$ ‍-ზე.
(Choice D)
$f$ ‍ არც ჩაზნექილია და არც ამოზნექილი $[7, 12]$ ‍ ინტერვალზე.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ინტეგრალური კალკულუსი

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1

g‍ -ზე მსჯელობა g′=f‍ გრაფიკის მიხედვით

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

$g$ ‍-ზე მსჯელობა $g^{'} = f$ ‍ გრაფიკის მიხედვით