კუთხეები, პარალელური ხაზები, & გადამკვეთი ხაზები

ვთქვათ, გვაქვს ორი წრფე ამ წრფეს ვუწოდოთ AB. A და B არის ამ წრფეზე. ვთქვათ, გვაქვს მეორე წრფეც. ვუწოდოთ მას CD. გადის C და D წერტილზე და გრძელდება უსასრულოდ. ახლა, ვთქვათ, რომ ორივე წრფე მდებარეობს ერთსა და იმავე სიბრტყეზე-- და ამ შემთხვევაში, სიბრტყე არის ჩვენი ეკრანი ანუ ქაღალდის ეს ნაწილი. --და ისინი არასოდეს გადაიკვეთებიან. ერთსა და იმავე სიბრტყეზე არიან, მაგრამ არ კვეთენ ერთმანეთს. თუ ეს ორი მართალია: არ არიან ერთი და იგივე წრფეები, არასოდეს გადაიკვეთებიან, შესაძლოა იყვნენ ერთ სიბრტყეზე, მაშინ ვიტყვით, რომ ისინი პარალელურები არიან. ზუსტად ერთნაირი მიმართულება აქვთ. ალგებრული თვალსაზრისი, მათ ერთნაირი დახრილობა აქვთ მაგრამ, მათ განსხვავებული y გადაკვეთის წერტილი აქვთ. სხვა წერტილებს შეიცავენ. საკოორდინატო ღერძი რომ დაგვეხაზა სხვადასხვა წერტილებში გადაკვეთდნენ. მაგრამ ზუსტად იგივე დახრილობა ექნებოდათ. ახლა მინდა გავიგო კუთხეების დამოკიდებულება პარალელურ წრფეებთან. გვაქვს ორი პარალელური წრფე. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ AB წრფე CD წრფის პარალელურია. ზოგჯერ ამას ასეთი გეომეტრიული ნახაზებით გამოსახავენ. პატარა ისარს სვამენ, რათა გაჩვენოთ, რომ ეს წრფეები პარალელურია. თუ უკვე გამოიყენეთ ერთი ისარი, შეგიძლიათ ორმაგი ისარი ჩასვათ რათა აჩვენოთ, რომ ეს წრფე ამ წრფის პარალელურია. ახლა მინდა დავხაზო წრფე, რომელიც ამ ორივე პარალელურ წრფეს კვეთს. აი წრფე, რომელიც კვეთს ორივე მათგანს. --ვეცდენი, ოდნავ უკეთ დავხაზო-- ვუწოდებ l წრფეს. ამ წრფეს, რომელიც ორივე პარალელურ წრფეს კვეთს, ვუწოდებთ მკვეთს. ის ორივე პარალელურ წრფეს კვეთს. მინდა გავიგო, შედგენილი კუთხები და მათი ურთიერთდამოკიდებულება. კუთხეები, რომლებიც ორი პარალელური წრფისა და მკვეთის გადაკვეთით მიიღება. შეგვიძლია ამ კუთხით დავიწყოთ. ამ კუთხეს შეგვიძლია ვუწოდოთ-- აღნიშნვებს თუ გავაკეთებდით ეს წერტილი იქნებოდა D, ეს- რაღაც სხვა მაგრამ უბრალოდ "ამ კუთხეს" ვუწოდებ. ვიცით, რომ ის მისი ვერტიკალური კუთხის ტოლი იქნება. ეს კუთხე ამის ვერტიკალურია. ანუ, აი ამ კუთხის ტოლი იქნება. ასევე ვიცით, რომ ეს კუთხე თავისი ვერტიკალური კუთხის ტოლი იქნება. ანუ კუთხე, რომელიც კვეთის მოპირდაპირეა. ზოგწერ ორმაგი კუთხოვანი აღნიშვნით შეგხვდებათ. ზოგჯერ კი ასეთ რამეს წერენ იმისთვის, რომ გაჩვენონ, რომ ეს ორი არის ტოლი და ეს ორიც არის ტოლი. ვიცით, რომ ზუსტად იმავე რამის გაკეთება შეგვიძლია აქ. ეს ორი იქნება ერთმანეთის ტოლი და ეს ორი იქნება ერთმანეთის ტოლი. ყველა ვერტიკალური კუთხეა. საინტერესოა კავშირი აი ამ კუთხესა და ამ კუთხეს შორის. შეხედვითაც ცხადია რა სახის კავშირია მათ შორის. ორივე ზუსტად ერთი და იგივე კუთხეა. ეს კუთხე რომ ტრანსპორტირით გაგეზომათ ზუსტად იმავე მნიშვნელობას მიიღებდით, რასაც აქ. პარალელური წრფეები რომ დამეხაზა-- ასე უფრო ცხადი იქნება. დავუშვათ, რომ ეს ორი წრფე პარალელურია. აქ კი მკვეთი მაქვს. იმის თქმა მინდა, რომ ეს კუთხე ზუსტად იმავე სიდიდის იქნება, რაც ეს. წარმოიდგინეთ, ამ წრფის დახრა. ასე თუ აიღებთ წრფეს, ცხადია რომ ეს ამას უდრის. სხვათა შორის ამის დამტკიცება არ გვაქვს. ასეთ საკითხებს მათემატიკოსები ინტუიციურად ცხადს უწოდებენ. ეს წრფე რომ დაგეხარათ, იტყოდით, რომ ეს კუთხეები ტოლია. კუთხეების გასაზომად ტრანსპორტირის გამოყენებაც შეგიძლიათ. ტრანსპორტირს აქ თუ დაამაგრებით, კუთხის ერთი კათეტი ნულ გრადუსზე იქნებოდა მეორე კი ამ წერტილს განსაზღვრავდა. ხოლო, ტრანსპორტირს აქ თუ დაამაგრებდით ზუსტად იგივე მოხდებოდა. ერთი მხარე ამ პარალელურ წრფეზე იქნებოდა, მეორე მხარე კი ზუსტად იმავე წერტილზე მიანიშნებდა. ამგვარად, ვიცით რომ ეს მხარე ამ მხარესთან ერთად ამ მხრის ტოლიცაა. ეს იმას გვეუბნება, რომ ესეც ამის ტოლია. ანუ, ყველა მწვანეთი აღნიშნული ტოლია. და ზოსტად იმავე არგუმენტით ამ კუთხეს იგივე სიდიდე ექნება, რაც ამას. ხოლო ეს ამის ტოლი იქნება. იმიტომ რომ მოპირდაპირე, ანუ ვერტიკალურები არიან. მნიშვნელოვანია გავიაზროთ ის, რაც დავასკვენით. ვერტიკალური კუთხეები ტოლია და შესაბამისი კუთხეებიც -- მსგავს გადაკვეთის წერტილებზე-- ტოლია. ახალი ტერმინი გაგაცანით. ეს და ეს შესაბამისი კუთხეებია. ისინი გადაკვეთის მარჯვენა, ზედა კუთხეებს წარმოადგენენ. ისინი აქაც გადაკვეთის მარჯვენა ზედა კუთხეს წარმოადგენენ. ეს იქნებოდა მარცხენა ზედა კუთხე, ესეც. ისინი ყოველთვის ტოლი, შესაბამისი იქნება. კიდევ ერთხელ, ეს ცხადი ჭეშმარიტებაა. ამასთან, სხვა ტერმინებიც გვხვდება. ჩვენ დავამტკიცეთ არა მარტო ის რომ ეს კუთხე ამ კუთხის ტოლია, არამედ ის ამ კუთხესაც უდრის. და ეს ორი კუთხე -- აღნიშვნებით წინ წავიდეთ -- პატარა ასოებით კუთხეებს აღვნიშავ. დავარქვათ a, b, c, d ამათ კი e, f, g, h. ვერტიკალური კუთხეების თვისებიდან ვიცით, რომ b უდრის c-ს. ჩვენ ასევე ვიცით, რომ b f-ის ტოლია, რადგან შესაბამისი კუთხეებია. ხოლო f g-ს უდრის. ანუ, ვერტიკალური და შესაბამისი კუთხეები ტოლია. ასევე, ვიცი, რომ b g-ს ტოლია ანუ ვამბობთ, რომ შიგაჯვარედინი კუთხეები ტოლია. --ხედავთ, რომ ისინი გადაკვეთის შიგნით არიან, ორ წრფეს შორის, მკვეთის მოპირდაპირე მხარეებზე. არ არის აუცილებელი იცოდეთ შიგაჯვარედინი კუთხეების ტერმინი უბრალოდ, უნდა მიხვდეთ, რომ ვერტიკალური და შესაბამისი კუთხეები ტოლია. ასევეა სხვა კუთხეებისთვისაც. ვიცით, რომ a უდრის d-ს, რაც უდრის h-ს, ასევე e-ს.