If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

დიფერენციალური კალკულუსი

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 1: ზღვრები შესავალი
მათემატიკა
დიფერენციალური კალკულუსი
ზღვრები და უწყვეტობა
ზღვრები შესავალი
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

ზღვრები შესავალი

Google–ის საკლასო ოთახი
ზღვრები აღწერს, თუ როგორ იქცევა ფუნქცია წერტილთან ახლოს და არა უშუალოდ წერტილზე. ეს მარტივი, თუმცა ძლიერი იდეა, მთლიანად კალკულუსის საფუძველია.
მოდით, შევხედოთ მაგალითს, რათა გავიგოთ, რა არის ზღვრები. ვიწყებთ ფუნქციით f(x)=x+2.
f-ის ზღვარი x=3-ში არის მნიშვნელობა, რომელსაც f უახლოვდება, როცა უფრო და უფრო ვუახლოვდებით x=3-ს. გრაფიკულად ეს არის y-მნიშვნელობა, რომელსაც ვუახლოვდებით, როდესაც ვუყურებთ f-ს გრაფიკს და მივდივართ უფრო და უფრო ახლოს გრაფიკის იმ წერტილთან, სადაც x=3.
მაგალითად, თუ დავიწყებთ (1,3) წერტილში და გადავაადგილდებით გრაფიკზე მანამ, სანამ ძალიან ახლოს არ მივალთ x=3-თან, მაშინ ჩვენი y-მნიშვნელობა (ანუ, ფუნქციის მნიშვნელობა) მიდის ძალიან ახლოს 5-თან.
შექმნილია Geogebra-ს გამოყენებით.
ანალოგიურად, თუ დავიწყებთ (5,7)-ში და გადავაადგილდებით მარცხნივ მანამ, სანამ ძალიან არ მივუახლოვდებით x=3-ს, y-მნიშვნელობა კვლავ იქნება ძალიან ახლოს 5-თან.
შექმნილია Geogebra-ს გამოყენებით.
ამ მიზეზების გამო ვამბობთ, რომ f-ის ზღვარი x=3-ში არის 5.
შეიძლება, თქვენს თავს ეკითხებით, რა განსხვავებაა f-ის x=3-ში ზღვარსა და f-ის x=3-ში მნიშვნელობას შორის, ანუ f(3).
ასე რომ, დიახ, f(x)=x+2-ის ზღვარი x=3-ში არის f(3)-ის ტოლი, მაგრამ ყოველთვის ასე არ ხდება. ამის გაგებისთვის, მოდით, შევხედოთ g ფუნქციას. ეს ფუნქცია იგივეა, რაც f, იმ გამონაკლისით, რომ ის განუსაზღვრელია x=3-ში.
ისევე, როგორც f-ის შემთხვევაში, g-ის ზღვარი x=3-ში არის 5. ეს იმიტომ, რომ ჩვენ ისევ შეგვიძლია, ძალიან მივუახლოვდეთ x=3-ს და ფუნქციის მნიშვნელობები ძალიან ახლოს მივა 5-თან.
ასე რომ, g-ის ზღვარი x=3-ში არის 5-ის ტოლი, მაგრამ g-ის მნიშვნელობა x=3-ში არის განუსაზღვრელი! ისინი ერთი და იგივე არ არის!
ეს არის ზღვრების სილამაზე: ისინი არ არიან დამოკიდებულნი ფუნქციის მნიშვნელობაზე ზღვარში. ისინი აღწერენ, როგორ იქცევა ფუნქცია, როდესაც ის უახლოვდება ზღვარს.
ამოცანა 1
ეს არის h-ის გრაფიკი.
რა არის h-ის გონივრული შეფასება x=3-ში?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ზღვრებზე სალაპარაკოდ სპეციალური ნოტაციაც გვაქვს. აი, ასე ჩავწერდით f-ის ზღვარს, როცა x მიისწრაფვის 3-ისკენ:
"ზღვარი…""…ფუნქციისა f…"↘↙limx→3f(x)↗"…როცა x მიისწრაფვის 3-ისკენ."
სიმბოლო lim ნიშნავს, რომ ვსაუბრობთ რაღაცის ზღვარზე.
lim-ის მარჯვნივ არსებული გამოსახულება არის გამოსახულება, რომლის ზღვარსაც ვიღებთ. ჩვენს შემთხვევაში ეს არის f ფუნქცია.
გამოსახულება x→3, რომელიც lim-ის ქვემოთ გვხვდება, ნიშნავს, რომ ვიღებთ f-ის ზღვარს, როცა x-ის მნიშვნელობები უახლოვდებიან 3-ს.
ამოცანა 2
ეს არის f-ის გრაფიკი.
რა არის limx→6f(x)-ის გონივრული შეფასება?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ამოცანა 3
რომელი გამოსახულება წარმოადგენს x2-ის ზღვარს, როცა x მიისწრაფვის 5-ისკენ?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

ზღვრებში ჩვენ გვინდა, რომ უსასრულოდ მივუახლოვდეთ.

რას ვგულისხმობთ, როცა ვამბობთ „უსასრულოდ ახლოს“? მოდით, შევხედოთ f(x)=x+2-ის მნიშვნელობებს, როცა x-მნიშვნელობები უფრო და უფრო უახლოვდებიან 3-ს (შეხსენება: ვინაიდან ზღვრებთან ვმუშაობთ, არ გვაინტერესებს თვითონ f(3)).
xf(x)
2,94,9
2,994,99
2,999⏟ახლოს 3−თან4,999⏟ახლოს 5−თან
ვხედავთ, რომ როცა x-მნიშვნელობები 3-ზე ნაკლებია, მაგრამ უფრო და უფრო უახლოვდებიან მას, f უფრო და უფრო უახლოვდება 5-ს.
xf(x)
3,15,1
3,015,01
3,001⏟ახლოს 3−თან5,001⏟ახლოს 5−თან
აგრეთვე ვხედავთ, რომ როცა x-მნიშვნელობები 3-ზე მეტია, მაგრამ უფრო და უფრო უახლოვდებიან მას, f უფრო და უფრო უახლოვდება 5-ს.
აღვნიშნოთ, რომ ყველაზე უფრო მეტად მივუახლოვდით 5-ს f(2,999)=4,999-ისა და f(3,001)=5,001-ის შემთხვევებში, რომლებიც 0,001 ერთეულით არიან დაშორებულნი 5-ს.
თუ გვინდა, შეგვიძლია, მეტად მივუახლოვდეთ. მაგალითად, წარმოიდგინეთ, რომ გვინდა, 0,00001 ერთეულით ვიყოთ 5-იდან დაშორებული, მაშინ შეგვიძლია, ავიღოთ x=3,00001 და მაშინ f(3,00001)=5,00001.
ეს დაუსრულებელია. ყოველთვის შეგვიძლია, უფრო და უფრო ახლოს მივიდეთ 5-თან. მაგრამ „უსასრულოდ ახლოს“ სწორედ ამაზეა! ვინაიდან „უსასრულოდ ახლოს“ ყოფნა რეალობაში შეუძლებელია, limx→3f(x)=5-ით ვგულისხმობთ, რომ მნიშვნელობა არა აქვს, რამდენად მივუახლოვდებით 5-ს, არსებობს 3-თან ძალიან ახლოს მყოფი x-მნიშვნელობა, რომელიც იქ მიგვიყვანს.
თუ ამის გაგება გიძნელდებათ, შეიძლება, ეს დაგეხმაროთ: საიდან ვიცით, რომ უსასრულოდ ბევრი განსხვავებული მთელი რიცხვია? ჩვენ არასდროს დაგვითვლია ყველა მათგანი და არასდროს ავსულვართ უსასრულობამდე. ვიცით, რომ უსასრულოდ ბევრი მთელი რიცხვი არსებობს, რადგან ნებისმიერი მთელი რიცხვისათვის მოიძებნება სხვა მთელი რიცხვი, რომელიც მასზე მეტია. ყოველთვის არსებობს სხვა და კიდევ სხვა.
ზღვრების შემთხვევაში ჩვენ არ ვსაუბრობთ უსასრულოდ დიდზე, ჩვენ ვსაუბრობთ უსასრულოდ მიახლოებაზე. როდესაც ვამბობთ limx→3f(x)=5, ვგულისხმობთ, რომ ყოველთვის შეგვიძლია, უფრო და უფრო მივუახლოვდეთ 5-ს.
ამოცანა 4
xg(x)
−7,16,32
−7,016,1
−7,0016,03
−6,9996,03
−6,996,1
−6,96,32
რა არის limx→−7g(x)-ის გონივრული შეფასება?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

სხვა მაგალითი: limx→2x2

მოდით, გავაანალიზოთ limx→2x2, რომელიც არის x2 გამოსახულების ზღვარი, როცა x უახლოვდება 2-ს.
ვხედავთ, როცა გრაფიკზე ვუახლოვდებით წერტილს, სადაც x=2, y-მნიშვნელობები უფრო და უფრო უახლოვდებიან 4-ს.
შექმნილია Geogebra-ს გამოყენებით.
აგრეთვე შეგვიძლია, შევხედოთ მნიშვნელობების ცხრილს:
xx2
1,93,61
1,993,9601
1,999⏟ახლოს 2−თან3,996001⏟ახლოს 4−თან
xx2
2,14,41
2,014,0401
2,001⏟ახლოს 2−თან4,004001⏟ახლოს 4−თან
აგრეთვე შეგვიძლია, ვნახოთ, როგორ შეგვიძლია, იმდენად ახლოს მივუახლოვდეთ 4-ს, რამდენადაც გვინდა. ვთქვათ, გვინდა, 0,001-ით ნაკლები ერთეულით ვიყოთ 4-იდან. x=2-თან ახლოს მყოფი რომელი x-მნიშვნელობის ამორჩევა შეგვიძლია?
ვცადოთ x=2,001:
2,0012=4,004001
ეს 0,001 ერთეულზე მეტითაა 4-იდან შორს. კარგი, მაშინ ვცადოთ x=2,0001:
2,00012=4,00040001
ეს საკმარისად ახლოსაა! x-მნიშვნელობების ცდით, რომლებიც უფრო და უფრო ახლოსაა x=2-თან, შეგვიძლია, კიდევ უფრო ახლოს მივიდეთ 4-თან.
საბოლოოდ, limx→2x2=4.

ზღვარი უნდა იყოს ერთი და იგივე ორივე მხრიდან.

დავუბრუნდეთ f(x)=x+2-სა და limx→3f(x)-ს. ვხედავთ, რომ ვუახლოვდებით 5-ს, იმის მიუხედავად, x-მნიშვნელობები იზრდებიან 3-ისკენ (ამას ეწოდება „მარცხნიდან მიახლოება“ ან „მიისწრაფვის მარცხნიდან“) თუ იკლებენ 3-ისკენ (ამას ეწოდება „მარჯვნიდან მიახლოება“ ან „მიისწრაფვის მარჯვნიდან“).
ახლა ავიღოთ, მაგალითად, h ფუნქცია. y-მნიშვნელობა, რომელსაც ვუახლოვდებით, როცა x-მნიშვნელობები უახლოვდებიან x=3-ს, დამოკიდებულია იმაზე, მარცხნიდან გავაკეთებთ ამას თუ მარჯვნიდან.
როდესაც x=3-ს ვუახლოვდებით მარცხნიდან, ფუნქცია უახლოვდება 4-ს. როდესაც x=3-ს ვუახლოვდებით მარჯვნიდან, ფუნქცია უახლოვდება 6-ს.
როდესაც ზღვარი არ უახლოვდება ერთსა და იმავე მნიშვნელობას ორივე მხრიდან, ვამბობთ, რომ ზღვარი არ არსებობს.
ამოცანა 5
ეს არის g ფუნქციის გრაფიკი.
რომელი ზღვარი არსებობს?
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.