ძირითადი მასალა

დიფერენციალური კალკულუსი

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 2

გაკვეთილი 11: განაყოფის წესი

განაყოფის წესის მიმოხილვა

მიმოიხილეთ თქვენი ცოდნა წარმოებულების განაყოფის წესის შესახებ და ამოხსენით ამოცანები მისი გამოყენებით.

რა არის განაყოფის წესი?

განაყოფის წესი (იგივე ფარდობის წესი) გვეუბნება, თუ როგორ გავაწარმოოთ გამოსახულებები, რომლებიც ორი სხვა, უფრო მარტივი გამოსახულების ფარდობებია:

start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, close bracket, equals, start fraction, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, f, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, dot, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, dot, start fraction, d, divided by, d, x, end fraction, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction

ვიღებთ f-ის წარმოებულის ნამრავლს g-ზე, ვაკლებთ f-ის ნამრავლს g-ს წარმოებულზე და ამ ყველაფერს ვყოფთ open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared-ზე.

გინდათ, მეტი გაიგოთ წარმოებულის წესზე? ნახეთ ეს ვიდეო.

როგორი ამოცანების ამოხსნა შემიძლია განაყოფის წესის გამოყენებით?

მაგალითი 1

განიხილეთ start fraction, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, x, squared, end fraction-ის შემდეგი გაწარმოება:

\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\sin(x)}{x^2}\right) \\\\ &=\dfrac{\dfrac{d}{dx}(\sin(x))x^2-\sin(x)\dfrac{d}{dx}(x^2)}{(x^2)^2}&&\gray{\text{განაყოფის წესი}} \\\\ &=\dfrac{\cos(x)\cdot x^2-\sin(x)\cdot 2x}{(x^2)^2}&&\gray{\text{გააწარმოეთ }\sin(x)\text{ და }x^2} \\\\ &=\dfrac{x\left(x\cos(x)-2\sin(x)\right)}{x^4}&&\gray{\text{გაამარტივეთ}} \\\\ &=\dfrac{x\cos(x)-2\sin(x)}{x^3}&&\gray{\text{შეკვეცეთ საერთო მამრავლები}} \end{aligned}

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ამოცანა 1

მიმდინარე

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, e, start superscript, x, end superscript, end fraction

f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

მაგალითი 2

დავუშვათ, მოცემული გვაქვს მნიშვნელობათა ეს ცხრილი:

x	f, left parenthesis, x, right parenthesis	g, left parenthesis, x, right parenthesis	f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis	g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
4	minus, 4	minus, 2	0	8

H, left parenthesis, x, right parenthesis განსაზღვრულია, როგორც start fraction, f, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction, და გვთხოვენ, ვიპოვოთ H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis.

განაყოფის წესი გვეუბნება, რომ H, prime, left parenthesis, x, right parenthesis არის start fraction, f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, x, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction. ეს იმას ნიშნავს, რომ H, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis არის start fraction, f, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, 4, right parenthesis, g, prime, left parenthesis, 4, right parenthesis, divided by, open bracket, g, left parenthesis, 4, right parenthesis, close bracket, squared, end fraction. ახლა, მოდით, ცხრილიდან მნიშვნელობები ჩავსვათ გამოსახულებაში:

\begin{aligned} H'(4)&=\dfrac{f'(4)g(4)-f(4)g'(4)}{[g(4)]^2} \\\\ &=\dfrac{(0)(-2)-(-4)(8)}{(-2)^2} \\\\ &=\dfrac{32}{4} \\\\ &=8 \end{aligned}

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ამოცანა 1

მიმდინარე

x	g, left parenthesis, x, right parenthesis	h, left parenthesis, x, right parenthesis	g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis	h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 2	4	1	minus, 1	2

F, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, g, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, h, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction

F, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.