ძირითადი მასალა
ალგებრა II
კურსი: ალგებრა II > თემა 4
გაკვეთილი 12: მრავალწევრიანი ფუნქციის ქცევა უსასრულობაშიმრავალწევრების ქცევა უსასრულობაში
გაიგეთ, რა არის მრავალწევრის ქცევა უსასრულობაში და როგორ დავადგინოთ ის მრავალწევრის განტოლებიდან.
ამ გაკვეთილში ისწავლით, რა არის მრავლაწევრის „ქცევა უსასრულობაში" და როგორ გაანალიზოთ ის გრაფიდან ან მრავალწევრის განტოლებიდან.
რა არის „ქცევა უსასრულობაში"?
f ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში აღწერს ფუნქციის ქცევას x ღერძის „ბოლოებში".
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში აღწერს ფუნქციის გრაფიკის მიმართულების ცვლილებას x ღერძის მარჯვენა ბოლოსა (როდესაც x უახლოვდება plus, infinity-ს) და x ღერძის მარცხენა ბოლოში (როდესაც x უახლოვდება minus, infinity).
მაგალითისთვის განვიხილოთ მრავალწევრას ფუნქციის გრაფიკი f. ყურადღება მიაქციეთ, რომ როდესაც გადაადგილდებით მარჯვნივ x ღერძზე, f გრაფიკი ადის ზემოთ. ეს ნიშნავს, რომ x ზრდასთან ერთად იზრდება f, left parenthesis, x, right parenthesis-იც.
მათემატიკურად ვწერთ: x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. (სიტყვიერად ვამბობთ, „როდესაც x უახლოვდება დადებით უსასრულობას, f, left parenthesis, x, right parenthesis უახლოვდება დადებით უსასრულობას.")
გრაფიკის მეორე ბოლოში, როდესაც ჩვენ გადავაადგილდებით მარცხნივ x ღერძის გასწვრივ (წარმოიდგინეთ, რომ x უახლოვდება minus, infinity-ს), f-ის გრაფიკი მიდის ქვემოთ. ეს ნიშნავს, რომ როდესაც x ხდება უფრო და უფრო უარყოფითი, f, left parenthesis, x, right parenthesis-იც, აგრეთვე, ხდება უფრო და უფრო უარყოფითი.
მათემატიკურად ვწერთ: როდესაც x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity. (თქმით კი ვამბობთ, „როდესაც x უახლოვდება უარყოფით უსასრულობას, f, left parenthesis, x, right parenthesis უახლოვდება უარყოფით უსასრულობას.")
შეამოწმეთ თქვენი ცოდნა
უსასრულობაში ქცევის ალგებრულად განსაზღვრა
ასევე, შეგვიძლია. განვსაზღვროთ მრავალწევრა ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში მისივე განტოლებიდან. ეს სასრგებლოა მაშინ, როდესაც ფუნქციის გრაფიკის აგებას ვცდილობთ, ვინაიდან გრაფიკის უსასრულობაში ქცევის ცოდა გვეხმარება, წარმოვადგინოთ გრაფიკი
„ბოლოებში."
იმისათვის, რომ მოცემული განტოლებიდან განვსაზღვროთ f მრავალწევრის ქცევა უსასრულობაში, დავაკვირდეთ ფუნქციის მნიშვნელობებს მაშინ, როდესაც x-ს ვანიჭებთ დიდი დადებითი ან დიდი უარყოფითი რიცხვის მნიშვნელობას.
ვუპასუხოთ ქვემოთ საგანგებოდ მოყვანილ ორ შეკითხვას:
- როდესაც x, right arrow, plus, infinity, რას უახლოვდება f, left parenthesis, x, right parenthesis?
- როდესაც x, right arrow, minus, infinity, რას უახლოვდება f, left parenthesis, x, right parenthesis?
გამოკვლევა: ერთწევრების ქცევა უსასრულობაში
ერთწევრა ფუნქცია არის y, equals, a, x, start superscript, n, end superscript ფორმის მრავალწევრი, სადაც a არის ნამდვილი რიცხვი და n არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი.
მოდით, ალგებრულად გამოვიკვლიოთ რამდენიმე ერთწევრის ქცევა უსასრულობაში და ვნახოთ, თუ შეგვიძლია გამოვიტანოთ რაიმე დასკვნა.
2) განიხილეთ შემდეგი ერთწევრი f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared.
3) განიხილეთ შემდეგი ერთწევრი g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared.
4) განიხილეთ შემდეგი ერთწევრი h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed.
5) განიხილეთ შემდეგი ერთწევრი: j, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, x, cubed.
გამოკვლევის დასკვნა
ყურადღება მიაქციეთ, უსასრულობაში ქცევაზე როგორ გავლენას ახდენს ერთწევრის left parenthesis, start color #11accd, n, end color #11accd, right parenthesis ხარისხი და პირველი კოეფიციენტი left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, right parenthesis.
როდესაც n არის ლუწი, ფუნქციის ქცევა ორივე ბოლოში იგივეა. პირველი კოეფიციენტის ნიშანი განსაზღვრავს, ორივე ბოლო უახლოვდება plus, infinity-ს თუ ორივე ბოლო უახლოვდება minus, infinity-ს.
როდესაც n არის კენტი, ფუნქციის ქცევა სხვადასხვა ბოლოში ერთმანეთის საპირისპიროა. მთავარი კოეფიციენტის ნიშანი განსაზღვრავს, რომელია plus, infinity და რომელია minus, infinity.
ეს შეჯამებულია ქვემოთ ცხრილში.
| start color #11accd, n, end color #11accd ლუწია და start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0 | start color #11accd, n, end color #11accd ლუწია და start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0 |
|---|---|
| როცა x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, და როცა x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. | როცა x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, და როცა x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point |
| start color #11accd, n, end color #11accd კენტია და start color #1fab54, a, end color #1fab54, is greater than, 0 | start color #11accd, n, end color #11accd კენტია და start color #1fab54, a, end color #1fab54, is less than, 0 |
|---|---|
| როცა x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, და როცა x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity. | როცა x, right arrow, minus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, plus, infinity, და როცა x, right arrow, plus, infinity, f, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, point |
შეამოწმეთ თქვენი ცოდნა
მრავალწევრების ქცევა უსასრულობაში
ჩვენ ახლა ვიცით, როგორ ვიპოვოთ ერთწევრის ქცევა უსასრულობაში. მაგრამ როგორ გავუმკლავდეთ მრავალწევრებს, რომლებიც ერთწევრები არ არიან? რას იტყვით ამ ტიპის ფუნქციებზე g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x?
ზოგადად, მრავალწევრა ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში იგივეა, რაც მისი წამყვანი წევრის, ან იმ წევრის ქცევა უსასრულობაში, რომელსაც ყველაზე მღალი ხარისხის მაჩვენებელი აქვს.
მაშასადამე ფუნქციის g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x ქცევა უსასრულობაში იგივეა, რაც ერთწევრის minus, 3, x, squared ქცევა უსასრულობაში.
რადგანაც start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, x, start superscript, start color #11accd, 2, end color #11accd, end superscript-ის ხარისხის მაჩვენებელი ლუწია, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis და მთავარი კოეფიციენტი არის უარყოფითი left parenthesis, start color #1fab54, minus, 3, end color #1fab54, right parenthesis, g-ის ქცევა უსასრულობაში არის: როდესაც x, right arrow, minus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity, და როდესაც x, right arrow, plus, infinity, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right arrow, minus, infinity.
შეამოწმეთ თქვენი ცოდნა
რატომ განსაზღვრავს წამყვანი წევრი ქცევას უსასრულობაში?
ამის მიზეზი ისაა, რომ x-ისათვის დიდი მნიშვნელობების მინიჭებისას ყველაზე დიდი გავლენა ფუნქციის მნიშვნელობაზე აქვს პირველ წევრს.
მოდით, უფრო სიღრმისეულად გამოვიკვლიოთ ეს: ფუნქციაში g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 3, x, squared, plus, 7, x, x-ს მივანიჭოთ დიდი დადებითი მნიშვნელობები და გავაანალიზოთ ის.
როდესაც x უახლოვდება plus, infinity-ს, ჩვენ ვიცით რომ minus, 3, x, squared უახლოვდება minus, infinity-ს და 7, x უახლოვდება plus, infinity-ს.
მაგრამ რა არის მათი ჯამის ქცევა უსასრულობაში? იმისათვის რომ ეს გამოვარკვიოთ, მოდით ჩავსვათ x-ის რამდენიმე მნიშვნელობა.
| x | minus, 3, x, squared | 7, x | minus, 3, x, squared, plus, 7, x |
|---|---|---|---|
| 1 | minus, 3 | 7 | 4 |
| 10 | minus, 300 | 70 | minus, 230 |
| 100 | minus, 30, comma, 000 | 700 | minus, 29, comma, 300 |
| 1000 | start color #ca337c, minus, 3, comma, 000, comma, 000, end color #ca337c | 7000 | start color #ca337c, minus, 2, comma, 993, comma, 000, end color #ca337c |
ყურადღება მიაქციეთ რომ როდესაც x იზრდება, მრავალწევრი იქცევა minus, 3, x, squared, point-ის მსგავსად.
მაგრამ, ვიგულისხმოთ რომ x წევრს ჰქონდა ოდნავ მეტი წონა. რა მოხდებოდა 7, x-ის ნაცვლად რომ 999, x გვქონოდა?
| x | minus, 3, x, squared | 999, x | minus, 3, x, squared, plus, 999, x |
|---|---|---|---|
| 10 | minus, 300 | 9, comma, 990 | 9, comma, 690 |
| 100 | minus, 30, comma, 000 | 99, comma, 900 | 69, comma, 900 |
| 1000 | minus, 3, comma, 000, comma, 000 | 999, comma, 000 | minus, 2, comma, 001, comma, 000 |
| 10, comma, 000 | start color #ca337c, minus, 300, comma, 000, comma, 000, end color #ca337c | 9, comma, 990, comma, 000 | start color #ca337c, minus, 290, comma, 010, comma, 000, end color #ca337c |
კიდევ ერთხელ, ვხედავთ რომ x-ის დიდი მნიშვნელობებისათვის მრავალწევრი იქცევა ისე, როგორც minus, 3, x, squared. ამ ტენდენციის დასანახადაც x-ის დიდი მნიშვნელობა გვჭირდებოდა, მაგრამ ამ შემთხვევაშიც იგივე მდგომარეობა გვაქვს.
სინამდვილეში მნიშვნელობა არ აქვს, რა არის x-ის კოეფიციენტი, x-ის საკმაოდ დიდი მნიშვნელობებისთვის ფუნქციის ქცევას მაინც minus, 3, x, squared გააკონტროლებს!
რთული ამოცანები
გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?
პოსტები ჯერ არ არის.