If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა II

კურსი: ალგებრა II > თემა 2

გაკვეთილი 5: კომპლექსურ რიცხვთა გამრავლება
მათემატიკა
ალგებრა II
კომპლექსური რიცხვები
კომპლექსურ რიცხვთა გამრავლება
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

კომპლექსურ რიცხვთა გამრავლება

Google–ის საკლასო ოთახი
ისწავლეთ ორი კომპლექსური რიცხვის გამრავლება. მაგალითად, გაამრავლეთ (1+2i)⋅(3+i).
კომპლექსური რიცხვი არის ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ჩაიწერება, როგორც start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, სადაც i არის წარმოსახვითი ერთეული და start color #1fab54, a, end color #1fab54 და start color #11accd, b, end color #11accd ნამდვილი რიცხვებია.
კომპლექსური რიცხვების გამრავლებისას სასარგებლოა, დავიმახსოვროთ, რომ თვისებები, რომელთაც ვიყენებდით ნამდვილ რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებებისას, კომპლექსურ რიცხვებშიც მსგავსად მოქმედებს.
ხანდახან სასარგებლოა, i მივიჩნიოთ x–ის მსგავს ცვლადად. მხოლოდ რამდენიმე ცვლილების შეტანის შემდეგ შეგვიძლია, ისე გავამრავლოთ, როგორც მოველით. მოდით უფრო ახლოს ვნახოთ ეს, დავაკვირდეთ რამდენიმე მაგალითს.

ნამდვილი რიცხვის კომპლექსურ რიცხვზე გამრავლება

მაგალითი

გაამრავლეთ minus, 4, left parenthesis, 13, plus, 5, i, right parenthesis. მიღებული რიცხვი ჩაწერეთ a, plus, b, i ფორმით.

ამოხსნა

თუ ინტუიცია გეუბნებათ, რომ minus, 4 უნდა გაამრავლოთ ფრჩხილებში თითოეულ წევრზე, თქვენი ინტუიცია სწორია! მოდით, გავაკეთოთ ეს!
−4(13+5i)=−4(13)+(−4)(5i)=−52−20i\begin{aligned}\tealD{-4}(13+5i)&=\tealD{-4}(13)+\tealD{(-4)}(5i)\\ \\ &=-52-20i \end{aligned}
სულ ეს არის! ჩვენ, განრიგებადობის კანონის გამოყენებით, ნამდვილი რიცხვი გავამრავლეთ კომპლექსურ რიცხვზე. ახლა რამე უფრო რთული ვცადოთ.

წმნიდა წარმოსახვითი რიცხვის კომპლექსურ რიცხვზე გამრავლება

მაგალითი

გაამრავლეთ 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis. მიღებული რიცხვი ჩაწერეთ a, plus, b, i ფორმით.

ამოხსნა

კიდევ ერთხელ, დავიწყოთ ფრჩხილების გახსნა 2, i-ის თითოეულ წევრზე გამრავლებით.
2i(3−8i)=2i(3)−2i(8i)=6i−16i2\begin{aligned}\tealD{2i}(3-8i)&=\tealD{2i}(3)-\tealD{2i}(8i)\\ \\ &=6i-16i^2 \end{aligned}
ახლა პასუხი არ არის a, plus, b, i ფორმის, რადგან ის შეიცავს i, squared-ს.
მაგრამ, ჩვენ ვიცით, რომ start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10. ჩავსვათ და ვნახოთ, რა გამოვა.
2i(3−8i)=6i−16i2=6i−16(−1)=6i+16\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &=6i-16\goldD{i^2}\\ \\ &=6i-16(\goldD{-1})\\ \\ &=6i+16\\ \end{aligned}
გადანაცვლებადობის კანონის გამოყენებით, შეგვიძლია, პასუხი 16, plus, 6, i სახით ჩავწეროთ და გვექნება 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis, equals, 16, plus, 6, i.

შეამოწმეთ თქვენი ცოდნა

ამოცანა 1

გაამრავლეთ 3, left parenthesis, minus, 2, plus, 10, i, right parenthesis.
პასუხი დაწერეთ a, plus, b, i ფორმით.

ამოცანა 2

გაამრავლეთ minus, 6, i, left parenthesis, 5, plus, 7, i, right parenthesis.
პასუხი დაწერეთ a, plus, b, i ფორმით.

მშვენიერია! ახლა შეგვიძლია კიდევ ერთი ნაბიჯი გადავდგათ! შემდეგ მოდის ის შემთხვევა, რომელიც უფრო ხშირად შეგხვდებათ, თუ საქმე კომპლექსური რიცხვების გამრავლებას შეეხება.

ორი კომპლექსური რიცხვის გამრავლება

მაგალითი

გაამრავლეთ left parenthesis, 1, plus, 4, i, right parenthesis, left parenthesis, 5, plus, i, right parenthesis. მიღებული რიცხვი ჩაწერეთ a, plus, b, i ფორმით.

ამოხსნა

ამ მაგალითში ზოგიერთს ძალიან ეხმარება i–ის წარმოდგენა ცვლადის სახით.
სინამდვილეში, ამ ორი კომპლექსური რიცხვის გამრავლება ძალიან გავს ორი ორწევრის გამრავლებას! პირველი რიცხვის თითოეული წევრი გაამრავლეთ მეორე რიცხვის თითოეულ წევრზე.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2\begin{aligned}(\tealD{1}+\maroonD{4i}) (5+i)&=(\tealD{1})(5)+(\tealD{1})(i)+(\maroonD{4i})(5)+(\maroonD{4i})(i)\\ \\ &=5+i+20i+4i^2\\ \\ &=5+21i+4i^2 \end{aligned}
რადგან start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10, შეგვიძლია i, squared შევცვალოთ minus, 1-ით, რათა სასურველი a, plus, b, i ფორმა მივიღოთ.
(1−5i)(−6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(−1)=5+21i−4=1+21i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=5+21i+4\goldD{i^2}\\ \\ &=5+21i+4(\goldD{-1})\\ \\ &=5+21i-4\\ \\ &=1+21i \end{aligned}

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

ამოცანა 3

გაამრავლეთ left parenthesis, 1, plus, 2, i, right parenthesis, left parenthesis, 3, plus, i, right parenthesis.
პასუხი დაწერეთ a, plus, b, i ფორმით.

ამოცანა 4

გაამრავლეთ left parenthesis, 4, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 7, minus, 3, i, right parenthesis.
პასუხი დაწერეთ a, plus, b, i ფორმით.

ამოცანა 5

გაამრავლეთ left parenthesis, 2, minus, i, right parenthesis, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis.
პასუხი დაწერეთ a, plus, b, i ფორმით.

ამოცანა 6

გაამრავლეთ left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis.
პასუხი დაწერეთ a, plus, b, i ფორმით.

რთული ამოცანები

ამოცანა 1

ვთქვათ, a და b ნამდვილი რიცხვებია. რა იქნება left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis?

ამოცანა 2

შეასრულეთ აღნიშნული მოქმედება და გაამარტივეთ. left parenthesis, 1, plus, 3, i, right parenthesis, squared, dot, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis
პასუხი ჩაწერეთ a, plus, b, i ფორმით.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.