If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 10

გაკვეთილი 10: მამრავლებად დაშლის შესავალი
მათემატიკა
ალგებრა (ყველა მასალა)
მრავალწევრები, განტოლებები და ფუნქციები
მამრავლებად დაშლის შესავალი
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

გამყოფების და გაყოფადობის შესავალი

Google–ის საკლასო ოთახი
გაიგეთ, რას ნიშნავს, მრავალწევრი იყოს მეორე მრავალწევრის მამრავლი ან იყოფოდეს მასზე.

რა უნდა ვიცოდეთ ამ გაკვეთილისთვის

ერთწევრი არის გამოსახულება, რომელიც არის მუდმივი რიცხვებისა და x-ის არაუარყოფითი მთელი რიცხვების ხარისხების ნამრავლი, როგორიცაა 3, x, squared. მრავალწევრი არის გამოსახულება, რომელიც შედგება ერთწევრების ჯამისგან, როგორიცაა 3, x, squared, plus, 6, x, minus, 1.

რას ვისწავლით ამ გაკვეთილში

ამ გაკვეთილში, ჩვენ გამოვიკვლევთ, თუ რა კავშირია მამრავლებსა და გაყოფადობას შორის მრავალწევრებში და ასევე ვისწავლით, თუ როგორ დავადგინოთ, არის თუ არა ერთი მრავალწევრი მეორე მრავალწევრის მამრავლი.

მამრავლები და გაყოფადობა მთელ რიცხვებში

ზოგადად, ორი მთელი რიცხვი, რომელთა ერთმანეთზე გამრავლებითაც ვიღებთ მესამე რიცხვს, ითვლება ამ მესამე რიცხვის მამრავლად.
მაგალითად, რადგან 14, equals, 2, dot, 7, ჩვენ ვიცით, რომ 2 და 7 არის 14-ის მამრავლები.
ერთი რიცხვი გაყოფადია (ანუ, იყოფა) მეორე რიცხვზე, თუ ამ გაყოფის შედეგი არის მთელი რიცხვი.
მაგალითად, რადგან start fraction, 15, divided by, 3, end fraction, equals, 5 და start fraction, 15, divided by, 5, end fraction, equals, 3, ესე იგი, 15 იყოფა 3-ზე და 5-ზე. თუმცა რადგან start fraction, 9, divided by, 4, end fraction, equals, 2, comma, 25, ესე იგი, 9 არ იყოფა 4-ზე.
დააკვირდით ორმხრივ დამოკიდებულებას გაყოფადობასა და მამრავლებს შორის:

რადგან start color #e07d10, 14, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, 7 (რაც ნიშნავს, რომ 2 არის 14-ის მამრავლი), ვიცით, რომ start fraction, start color #e07d10, 14, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 2, end color #11accd, end fraction, equals, 7 (რაც ნიშნავს, რომ 14 იყოფა 2-ზე).
ამის საპირისპიროდ, რადგან start fraction, start color #e07d10, 15, end color #e07d10, divided by, start color #11accd, 3, end color #11accd, end fraction, equals, 5 (ანუ, 15 იყოფა 3-ზე), ვიცით, რომ start color #e07d10, 15, end color #e07d10, equals, start color #11accd, 3, end color #11accd, dot, 5 (ანუ, 3 არის 15-ის გამყოფი).
ზოგადად: თუ a არის b-ს მამრავლი, მაშინ b იყოფა a-ზე და პირიქით.

მამრავლები და გაყოფადობა მრავალწევრებში

ეს ცოდნა შეგვიძლია, მრავალწევრებზეც გამოვიყენოთ.
მაშინ, როცა ორ ან მეტ მრავალწევრს ერთმანეთზე ვამრავლებთ, თითოეულ ამ მრავალწევრს ნამრავლის მამრავლს ვუწოდებთ.
მაგალითად, ვიცით, რომ 2, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 2, x, squared, plus, 6, x. ეს ნიშნავს, რომ 2, x და x, plus, 3, 2, x, squared, plus, 6, x-ის მამრავლები არიან.
ასევე, ერთი მრავალწევრი იყოფა მეორე მრავალწევრზე, თუ განაყოფიც მრავალწევრია.
მაგალითად, რადგან start fraction, 6, x, squared, divided by, 3, x, end fraction, equals, 2, x და რადგან start fraction, 6, x, squared, divided by, 2, x, end fraction, equals, 3, x, 6, x, squared იყოფა 3, x-ზეც და 2, x-ზეც. მაგრამ, რადგან start fraction, 4, x, divided by, 2, x, squared, end fraction, equals, start fraction, 2, divided by, x, end fraction, ვიცით, რომ 4, x არ იყოფა 2, x, squared-ზე.
აქაც შეგვიძლია მამრავლებსა და გაყოფადობას შორის იმ დამოკიდებულების დანახვა, რომელიც მთელი რიცხვების შემთხვევაში შევამჩნიეთ:
ზოგადად, თუ p, q და r მრავალწევრებისათვის, p, equals, q, dot, r, მაშინ ვიცით, რომ:
  • q და r არის p–ს მამრავლები.
  • p იყოფა q-ზე და r-ზე.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

1) დაასრულეთ წინანადება დამოკიდებულებაზე, რომელიც ასეა გამოსახული: 3, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, equals, 3, x, squared, plus, 6, x.
x, plus, 2
3, x, squared, plus, 6, x და 3, x, squared, plus, 6, x
x, plus, 2.

2) მასწავლებელმა დაფაზე ეს ნამრავლი დაწერა:
left parenthesis, 3, x, squared, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, right parenthesis, equals, 12, x, cubed
მაილსმა დაასკვნა, რომ 3, x, squared არის 12, x, cubed მამრავლი.
ჯუდმა დაასკვნა, რომ 12, x, cubed იყოფა 4, x-ზე.
ვინ არის მართალი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

მამრავლების და გაყოფადობის დადგენა

მაგალითი 1: 24, x, start superscript, 4, end superscript იყოფა 8, x, cubed-ზე?

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად შეგვიძლია, ვიპოვოთ და გავამარტივოთ start fraction, 24, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 8, x, cubed, end fraction. პასუხად თუ ერთწევრს მივიღებთ დავასკვნით, რომ 24, x, start superscript, 4, end superscript იყოფა 8, x, cubed-ზე. თუ პასუხად არ მივიღებთ ერთწევრს, ესე იგი, 24, x, start superscript, 4, end superscriptარ იყოფა 8, x, cubed-ზე.
24x48x3=248⋅x4x3=3⋅x1aman=am−n=3x\begin{aligned}\dfrac{24x^4}{8x^3}&=\dfrac{24}{8}\cdot\dfrac{x^4}{x^3}\\ \\ &=3\cdot x^1&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=3x \end{aligned}
რაგდან პასუხი ერთწევრია, ვიცით, რომ 24, x, start superscript, 4, end superscript იყოფა 8, x, cubed-ზე. (ეს ასევე გულისხმობს, რომ 8, x, cubed არის 24, x, start superscript, 4, end superscript-ის მამრავლი.)

მაგალითი 2: 4, x, start superscript, 6, end superscript არის, თუ არა 32, x, cubed-ის მამრავლი?

თუ 4, x, start superscript, 6, end superscript არის 32, x, cubed-ის მამრავლი, მაშინ 32, x, cubed იყოფა 4, x, start superscript, 6, end superscript–ზე. ამიტომ, მოდით ვიპოვოთ და გავამარტივოთ start fraction, 32, x, cubed, divided by, 4, x, start superscript, 6, end superscript, end fraction.
32x34x6=324⋅x3x6=8⋅x−3aman=am−n=8⋅1x3a−m=1am=8x3\begin{aligned}\dfrac{32x^3}{4x^6}&=\dfrac{32}{4}\cdot\dfrac{x^3}{x^6}\\ \\ &=8\cdot x^{-3}&&\small{\gray{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}\\ \\ &=8\cdot \dfrac{1}{x^3}&&\small{\gray{a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}}}\\ \\ &=\dfrac{8}{x^3} \end{aligned}
დააკვირდით, რომ start fraction, 8, divided by, x, cubed, end fraction არ არის ერთწევრი, რადგან ის განაყოფია და არა ნამრავლი. აქედან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ 4, x, start superscript, 6, end superscript არ არის 32, x, cubed-ის მამრავლი.

შეჯამება

ზოგადად, იმისათვის, რომ დავადგინოთ, იყოფა, თუ არა ერთი მრავალწევრი p მეორე მრავალწევრ q-ზე, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არის თუ არა q p-ს მამრავლი, შეგვიძლია, ვიპოვოთ და შევამოწმოთ start fraction, p, left parenthesis, x, right parenthesis, divided by, q, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction.
თუ მისი გამარტივებული ფორმა მრავალწევრია, ესე იგი, p იყოფა q-ზე და q არის p-ს მამრავლი.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

3) 30, x, start superscript, 4, end superscript იყოფა, თუ არა 2, x, squared-ზე?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

4) 12, x, squared არის თუ არა 6, x-ის მამრავლი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

რთული ამოცანები

5*) შემდეგი ერთწევრებიდან, რომლებია 15, x, squared, y, start superscript, 6, end superscript-ის მამრავლები ?
მამრავლია
არ არის მამრავლი
3, x, squared, y, start superscript, 5, end superscript
5, x
10, x, start superscript, 4, end superscript, y, cubed

6*) მართკუთხედის სიგანეა x, plus, 1 ერთეული, ხოლო სიგრძე - x, plus, 4 ერთეული. მისი ფართობია x, squared, plus, 5, x, plus, 4.
რომლებია აქედან x, squared, plus, 5, x, plus, 4-ის მამრავლები?
მონიშნეთ ყველა შესაბამისი პასუხი:

რაში გვაინტერესებს მრავალწევრების მამრავლებად დაშლა?

მრავალწევრების მამრავლებად დაშლა ისეთივე გამოსადეგია, როგორიც მთელი რიცხვების მამრავლებად დაშლა აღმოჩნდა!
უფრო კონკრეტულად, მრავალწევრების მამრავლებად დაშლა ძალიან გამოსადეგია კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას და რაციონალური გამოსახულებების გამარტივებისას.
თუ გინდათ ამის ნახვა, ეს სტატიები წაიკითხეთ:

რა მოდის შემდეგ?

მამრავლებად დაშლის პროცესის შემდეგი ნაბიჯი ერთწევრების მამრავლებად დაწლის სწავლაა. შეგიძლიათ, ამის შესახებ ჩვენს შემდეგ სტატიაში ისწავლოთ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.