ძირითადი მასალა

ზღვრები და უწყვეტობა

ზღვრები შესავალი

ისწავლეთ
ზღვრები შესავალი
(გახსნის ფანჯარას)
ზღვრები შესავალი
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
ზღვრები შესავალიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

ზღვრების მიახლოებით პოვნა გრაფიკებით

ისწავლეთ
ზღვრების მნიშვნელობების მიახლოებითი პოვნა გრაფიკებიდან
(გახსნის ფანჯარას)
უსასრულო ზღვრები
(გახსნის ფანჯარას)
ზღვრების მნიშვნელობების მიახლოებითი პოვნა გრაფიკებიდან
(გახსნის ფანჯარას)
ცალმხრივი ზღვრები გრაფიკებიდან: ასიმპტოტი
(გახსნის ფანჯარას)
ზღვრებისა და გრაფიკული ქცევის დაკავშირება
(გახსნის ფანჯარას)
ზღვრებისა და გრაფიკული ქცევის დაკავშირება (მეტი მაგალითი)
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
ზღვრების მნიშვნელობების მიახლოებითი პოვნა გრაფიკებიდანმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
ცალმხრივი ზღვრები გრაფიკებიდანმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
ზღვრებისა და გრაფიკული ქცევის დაკავშირებამოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

ზღვრების მიახლოებით პოვნა ცხრილებით

ისწავლეთ
ზღვრების მიახლობით პოვნა ცხრილებით
(გახსნის ფანჯარას)
ცხრილების გამოყენება ზღვრების მიახლოებითი მნიშვნელობების საპოვნელად
(გახსნის ფანჯარას)
ცალმხრივი ზღვრები ცხრილებიდან
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
ცხრილების აგება ზღვრების მიახლოებითი მნიშვნელობების საპოვნელადმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
ზღვრების მიახლოებით პოვნა ცხრილებითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
ცალმხრივი ზღვრები ცხრილებიდანმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

ზღვრების ფორმალური განსაზღვრება (ეფსილონ–დელტა)

ისწავლეთ
ზღვრების ფორმალური განსაზღვრება, ნაწილი 1: ინტუიციური მიმოხილვა
(გახსნის ფანჯარას)
ზღვრების ფორმალური განსაზღვრება, ნაწილი 2: იდეის აგება
(გახსნის ფანჯარას)
ზღვრების ფორმალური განმარტება, ნაწილი 3: განმარტება
(გახსნის ფანჯარას)

ზღვრების თვისებები

ისწავლეთ
ზღვრის თვისებები
(გახსნის ფანჯარას)
გაერთიანებული ფუნქციების ზღვრები: უბან-უბან განსაზღვრული ფუნქციები
(გახსნის ფანჯარას)
შედგენილი ფუნქციების ზღვრები
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
გაერთიანებული ფუნქციების ზღვრები: ჯამები და სხვაობებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
გაერთიანებული ფუნქციების ზღვრები: ნამრავლები და განაყოფებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
შედგენილი ფუნქციების ზღვრებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

ზღვრები პირდაპირი ჩასმით

ისწავლეთ
ზღვრები პირდაპირი ჩასმით
(გახსნის ფანჯარას)
განუსაზღვრელი ზღვრები პირდაპირი ჩასმით
(გახსნის ფანჯარას)
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ზღვრები
(გახსნის ფანჯარას)
უბან-უბან ფუნქციების ზღვრები
(გახსნის ფანჯარას)
უბან-უბან განსაზღვრული ფუნქციების ზღვრები: მოდული
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
ზღვრები პირდაპირი ჩასმითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
პირდაპირი ჩასმა იმ ზღვრებით, რომლებიც არ არსებობსმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ზღვრებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
უბან-უბან ფუნქციების ზღვრებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

ზღვრები ალგებრული გარდაქმნის გამოყენებით

ისწავლეთ
ზღვრები მამრავლებად დაშლით
(გახსნის ფანჯარას)
ზღვრები რაციონალიზაციით
(გახსნის ფანჯარას)
ტრიგონომეტრიული ზღვარი პითაგორას იგივეობის გამოყენებით
(გახსნის ფანჯარას)
ტრიგონომეტრიული ზღვრები ორმაგი კუთხის იგივეობის გამოყენებით
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
ზღვრები მამრავლებად დაშლითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
ზღვრები შეუღლებულების გამოყენებითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
ზღვრები ტრიგონომეტრიული იგივეობების გამოყენებითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

ზღვრების პოვნის სტრატეგია

ისწავლეთ
ზღვრების პოვნის სტრატეგია
(გახსნის ფანჯარას)
ზღვრების პოვნის სტრატეგია
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
დასკვნები პირდაპირი ჩასმისგან (ზღვრების პოვნა)მოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
განუსაზღვრელი ფორმის შემდეგ მომდევნო ნაბიჯი (ზღვრების პოვნა)მოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
ზღვრების პოვნის სტრატეგიამოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

სენდვიჩის თეორემა

ისწავლეთ
შესავალი სენდვიჩის თეორემაში
(გახსნის ფანჯარას)
sin(x)/x-ის ზღვარი, როცა x უახლოვდება 0-ს
(გახსნის ფანჯარას)
(1-cos(x))/x-ის ზღვარი, როცა x უახლოვდება 0-ს
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
სენდვიჩის თეორემამოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

წყვეტების სახეები

ისწავლეთ
წყვეტების სახეები
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
წყვეტების კლასიფიცირებამოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

წერტილში უწყვეტობა

ისწავლეთ
წერტილში უწყვეტობა
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითი: უწყვეტობა წერტილზე (გრაფიკულად)
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითი: წერტილი, სადაც ფუნქცია უწყვეტია
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითი: წერტილი, სადაც ფუნქცია არ არის უწყვეტი
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
უწყვეტობა წერტილზე (გრაფიკულად)მოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
უწყვეტობა წერტილზე (ალგებრულად)მოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

უწყვეტობა ინტერვალზე

ისწავლეთ
უწყვეტობა ინტერვალზე
(გახსნის ფანჯარას)
ფუნქციიის უწყვეტობა ყველა ნამდვილ რიცხვზე
(გახსნის ფანჯარას)
ფუნქციის უწყვეტობა კონკრეტულ x მნიშვნელობებზე
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
უწყვეტობა ინტერვალზემოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
უწყვეტობა და გავრცელებული ფუნქციებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

წყვეტების მოცილება

ისწავლეთ
წყვეტების მოცილება (მამრავლებად დაშლა)
(გახსნის ფანჯარას)
წვეტების მოშორება (რაციონალიზაცია)
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
მოცილებადი წყვეტებიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

უსასრულო ზღვრები

ისწავლეთ
უსასრულო ზღვრების შესავალი
(გახსნის ფანჯარას)
ზღვრების დაკავშირება უსასრულობის ჩანაწერთან და გრაფიკთან
(გახსნის ფანჯარას)
უსასრულო ზღვრების გაანალიზება: რაციონალური ფუნქცია
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
უსასრულო ზღვრები: გრაფიკულადმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
უსასრულო ზღვრები: ალგებრულადმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

ზღვრები და უსასრულობა

ისწავლეთ
ფუნქციები უსასრულობაში ტოლი ზღვრით
(გახსნის ფანჯარას)
განაყოფების ზღვრები უსასრულობაში (ნაწილი 1)
(გახსნის ფანჯარას)
განაყოფების ზღვრები უსასრულობაში (ნაწილი 2)
(გახსნის ფანჯარას)
კვადრატულ ფესვიანი განაყოფების ზღვრები უსასრულობაში (კენტი ხარისხი)
(გახსნის ფანჯარას)
კვადრატულფესვიანი განაყოფების ზღვრები უსასრულობაში (ლუწი ხარისხი)
(გახსნის ფანჯარას)
განაყოფების ზღვრები უსასრულობაში ტრიგონომეტრიით
(გახსნის ფანჯარას)
განაყოფების ზღვრები უსასრულობაში ტრიგონომეტრიით (განუსაზღვრელი ზღვარი)
(გახსნის ფანჯარას)
ფუნქციების სხვაობის ზღვარი უსასრულობაში
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
ზღვრები უსასრულობაში: გრაფიკულადმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
განაყოფების ზღვრები უსასრულობაშიმოიპოვეთ 5 პასუხი 7 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
კვადრატულფესვიანი განაყოფების ზღვრები უსასრულობაშიმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
განაყოფების ზღვრები უსასრულობაში ტრიგონომეტრიითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

შუალედური მნიშვნელობის თეორემა

ისწავლეთ
შუალედური მნიშვნელობის თეორემა
(გახსნის ფანჯარას)
დამუშავებული მაგალითი: შუალედური მნიშვნელობის თეორემის გამოყენება
(გახსნის ფანჯარას)
მსჯელობა შუალედური მნიშვნელობის თეორემით: ცხრილი
(გახსნის ფანჯარას)
მსჯელობა შუალედური მნიშვნელობის თეორემით: განტოლება
(გახსნის ფანჯარას)
შუალედური მნიშვნელობის თეორემის მიმოხილვა
(გახსნის ფანჯარას)
ივარჯიშეთ
შუალედური მნიშვნელობის თეორემის გამოყენებამოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!
მსჯელობა შუალედური მნიშვნელობის თეორემითმოიპოვეთ 3 პასუხი 4 პასუხიდან, რომ გადახვიდეთ შემდეგ დონეზე!

ამ თემის შესახებ

ზღვრები აღწერს ფუნქციის ქცევას, როცა ვუახლოებით არგუმენტის კონკრეტულ მნიშვნელობას, მიუხედავად იმისა, თუ რა მნიშვნელობა აქვ ფუნქციას ამ დროს. უწყვეტობისთვის საჭიროა, რომ ფუნქციის ქცევა წერტილზე ემთხვეოდეს მის მნიშვნელობას ამავე წერტილზე. ეს მარტივი თუმცა ძლიერი იდეები მთავარ როლს თამაშობს მთელ კალკულუსში.