ძირითადი მასალა

დიფერენციალური კალკულუსი

კურსი: დიფერენციალური კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 2: ზღვრების მიახლოებით პოვნა გრაფიკებით

ზღვრების მნიშვნელობების მიახლოებითი პოვნა გრაფიკებიდან

ზღვრებზე მსჯელობის დაწყების საუკეთესო გზაა გრაფიკების გამოყენება. ისწავლეთ, თუ როგორ ვაანალიზებთ ზღვარს გრაფიკულად, და ნახეთ შემთხვევები, როცა ზღვარი არ არსებობს.

მნიშვნელოვანი განსხვავებაა იმ მნიშვნელობებს შორის, რომლისკენაც ფუნქცია მიისწრაფვის — რომელსაც ზღვარს ვეძახით — და რომელიც ფუნქციას აქვს. ამ განსხვავების გაგებისთვის მშვენიერი იარაღია გრაფიკები.

ზემოთ მოცემულ მაგალითში ვხედავთ, რომ ფუნქციის მნიშვნელობა განუსაზღვრელია, მაგრამ ზღვრის მნიშვნელობა არის დაახლოებით

0, 25

უბრალოდ, გახსოვდეთ, რომ საქმე გვაქვს მიახლოებასთან და არა — ზუსტ მნიშვნელობასთან. თუ გვინდა, შეგვიძლია, გავადიდოთ ვიზუალი უკეთესი მიახლოების მისაღებად.

მაგალითები

ქვემოთ მოცემულია ზღვრების დაახლოებით გამოსათვლელად ზღვრების გამოყენების საინტერესო შემთხვევები. რამდენიმე მაგალითში ზღვრის მნიშვნელობა და ფუნქციის მნიშვნელობა ერთმანეთის ტოლია, ხოლო სხვა მაგალითებში — არა.

ზოგჯერ ზღვრის მნიშვნელობა უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას.

ამოცანა 1

რა არის $lim_{x \to 1} g (x)$ ‍-ის გონივრული შეფასება?

მაგრამ ზოგჯერ ზღვრის მნიშვნელობა არ უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას.

როდესაც უბან-უბან ფუნქციასთან მუშაობთ, შესაძლებელია, ქვემოთ მოცემული გრაფიკის მსგავსი გრაფიკი მიიღოთ.

ამოცანა 2

რა არის $lim_{x \to 1} g (x)$ ‍-ის გონივრული შეფასება?

[რას ნიშნავს ეს წრეები?]

ძირითადი არსი: შესაძლებელია, ფუნქციის მნიშვნელობა განსხვავდებოდეს ზღვრის მნიშვნელობისგან.

და თუ ფუნქცია განუსაზღვრელია რაიმე $x$ ‍-მნიშვნელობისათვის, ეს არ ნიშნავს, რომ ზღვარი არ არსებობს.

ხვრელები გრაფიკებში გვხვდება რაციონალურ ფუნქციებში, რომლებიც ხდებიან განუსაზღვრელი, როდესაც მათი მნიშვნელი არის ნული. აი, კლასიკური მაგალითი:

ამ მაგალითში, როგორც ჩანს, ზღვარი არის

1

, რადგან

y

-მნიშვნელობები, სავარაუდოდ, სწორედ მას უახლოვდებიან, როცა ჩვენი

x

-მნიშვნელობები უფრო და უფრო ახლოს მიდიან

0

-თან. მნიშვნელობა არა აქვს, რომ ფუნქცია განუსაზღვრელია

x = 0

-ში. ზღვარი მაინც არსებობს.

აი, კიდევ ერთი ამოცანა თქვენთვის:

ამოცანა 3

რა არის $lim_{x \to - 4} f (x)$ ‍-ის გონივრული შეფასება?

მთავარი იდეის გამყარება: ფუნქციის მნიშვნელობა

x = - 4

-ში არ არის კავშირში ზღვრის პოვნასთან. მხოლოდ ის გვაინტერესებს, თუ რა მნიშვნელობას უახლოვდებიან

y

-მნიშვნელობები, როცა უფრო და უფრო ვუახლოვდებით

x = - 4

-ს.

ამავდროულად, თუ ფუნქცია განსაზღვრულია რაიმე $x$ ‍-მნიშვნელობისათვის, ეს არ ნიშნავს, რომ ზღვარი აუცილებლად არსებობს.

როგორც წინა მაგალითში, ეს გრაფიკი აჩვენებს ისეთ რამეს, რაც შეიძლება, მოხდეს, როდესაც უბან-უბან ფუნქციასთან ვმუშაობთ. აღვნიშნოთ, რომ არ ვუახლოვდებით ერთსა და იმავე

y

-მნიშვნელობას

x = 3

-ის ორივე მხრიდან.

ამოცანა 4

რა არის $lim_{x \to 3} g (x)$ ‍-ის გონივრული შეფასება?

მეტი ვარჯიში გსურთ? სცადეთ ეს სავარჯიშო.

გრაფიკების ამგები კალკულატორები დღეს საკმაოდ მაგრად მუშაობს.

გრაფიკების ამგებ კალკულატორებს, როგორიცაა Desmos, შეუძლიათ, ინტუიციური აღქმა მოგცენ იმისა, თუ რა მოსდის

y

-მნიშვნელობებს, როცა უფრო და უფრო უახლოვდებით

x

-მნიშვნელობას. სცადეთ გრაფიკების ამგები კალკულატორის გამოყენება ამ ზღვრების შესაფასებლად:

\begin{aligned} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \\ lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x^{2} - 9} \end{aligned}

ორივე შემთხვევაში ზღვარი არ არის განსაზღვრული იმ

x

-მნიშვნელობაში, რომლისკენაც მივისწრაფვით, მაგრამ ზღვარი მაინც არსებობს და მისი შეფასება შეგვიძლია.

შემაჯამებელი კითხვები

ამოცანა 5

ყოველთვის ჭეშმარიტია, რომ $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ ‍?

ამოცანა 6

რომელი წინადადება აღწერს საუკეთესოდ იმას, თუ როგორ გვეხმარება გრაფიკები ზღვრებზე ფიქრისას?

(Choice A)
გრაფიკებს შეუძლიათ, დაგვეხმარონ ზღვრის დაახლოებით გამოთვლაში იმ სასრული $y$ ‍-მნიშვნელობების შეფასების შესაძლებლობის მოცემით, რომელსაც ვუახლოვდებით, როცა უფრო და უფრო ახლოს მივდივართ რაიმე $x$ ‍-მნიშვნელობისაკენ (ორივე მხრიდან).
(Choice B)
გრაფიკი დიდებული იარაღია ზღვრის ზუსტი მნიშვნელობის ყოველთვის საპოვნელად.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.