ცხრილების გამოყენება ზღვრების მიახლოებითი მნიშვნელობების საპოვნელად

ზღვრები არის იარაღი ფუნქციის ქცევაზე მსჯელობისთვის, ხოლო ცხრილები არის იარაღი ზღვრებზე მსჯელობისთვის. ერთ-ერთი კარგი რამ ცხრილების შესახებ არის ის, რომ შეგვიძლია, ზღვრების უფრო ზუსტი შეფასებები მივიღოთ, ვიდრე გრაფიკებზე თვალით დაკვირვების შედეგად მივიღებდით.

ზღვრების მიახლოებით გამოთვლისას ცხრილების გამოყენების დროს მნიშვნელოვანია, მისი იმ ფორმით შექმნა, რომელიც სიმულაციას უკეთებს „უსასრულოდ მიახლოებას“ მოცემულ $x$‍-მნიშვნელობასთან.

წარმოიდგინეთ, რომ გვთხოვენ ამ ზღვრის მიახლოებით გამოთვლას:

შენიშვნა: ფუნქცია განუსაზღვრელია $x=2$‍-ში, რადგან მნიშვნელი 0-ის ტოლია, მაგრამ ზღვარი, როცა $x$‍ მიისწრაფვის $2$‍-ისკენ, მაინც არსებობს.

ნაბიჯი 1: გვინდა, რომ ავირჩიოთ მნიშვნელობა, რომელიც $x=2$‍-ზე ოდნავ ნაკლებია (ანუ, მნიშვნელობა, რომელიც $2$‍-ის „მარცხენა მხარეს“ არის, როდესაც წარმოვიდგენთ სტანდარტულ $x$‍ ღერძს), ასე რომ, იქნებ დავიწყოთ $x=1,9$‍-ით.

ნაბიჯი 2: სცადეთ კიდევ ერთი-ორი $x$‍-მნიშვნელობა, რათა სიმულაცია გაუკეთოთ $x=2$‍-თან მარცხნიდან უსასრულოდ მიახლოებას.

ხედავთ, ჩვენი $x$‍-მნიშვნელობები $\{1,9,1,99,\mathrm{1,999}9\}$‍ როგორ „უახლოვდებიან“ $x=2$‍-ს. $x$‍-მნიშვნელობების ცუდი არჩევანი იქნებოდა თანაბარი მნიშვნელობით ზრდა, როგორიცაა $\{-1,0,1\}$‍, რაც დიდად ვერ დაგვეხმარება, როდესაც $x=2$‍-თან უსასრულოდ მიახლოებაზე ვფიქრობთ.

ნაბიჯი 3: მივუახლოვდეთ $x=2$‍-ს ზუსტად ისე, როგორც მარცხნიდან ვქენით. გვინდა, ეს ისე გავაკეთოთ, რომ $x=2$‍-თან უსასრულოდ მიახლოების სიმულაცია შევქმნათ.

(შენიშვნა: ჩვენ $x=2$‍ ამოვიღეთ ცხრილიდან ადგილის ეკონომიისთვის და აგრეთვე იმიტომ, რომ ის არ არის საჭირო ზღვრის მნიშვნელობაზე მსჯელობისას)

როდესაც ჩვენ მიერ შექმნილ ცხრილს ვუყურებთ, გვაქვს საკმაოდ მყარი არგუმენტი იმისთვის, რომ ზღვარი არის $0,25$‍. მაგრამ, თუ საკუთარ თავთან გულახდილი ვიქნებით, ვაღიარებთ, რომ ჩვენ რაც გვაქვს, მხოლოდ გონივრული მიახლოებაა. დაზუსტებით ვერ ვიტყვით, რომ ეს არის ზღვრის ნამდვილი მნიშვნელობა.

აი, თუ რას უნდა მიაქციოთ ყურადღება ზღვრების მისაახლოებელი ცხრილების შექმნისას:

მიჩნევა იმისა, რომ ფუნქციის მნიშვნელობა არის ზღვრის მნიშვნელობა: ზემოთ მოცემული მაგალითი ხაზს უსვამს შემთხვევას, რომელშიც ფუნქცია განუსაზღვრელია, მაგრამ ზღვარი მაინც არსებობს. თავი აარიდეთ ზღვრების შესახებ დასკვნების ნაჩქარევად გაკეთებას ფუნქციის მნიშვნელობის მიხედვით.

უსასრულოდ არმიახლოება: უსასრულოდ მიახლოება ნიშნავს, რომ ვცდილობთ მოცემულ $x$‍-მნიშვნელობასთან იმდენად ახლოს მისვლას, რომ არის ძალიან მცირე ადგილი დარჩენილი ჩვენი ყოფნის ადგილსა და მოცემულ მნიშვნელობას შორის — საკმარისად ახლოს იმისთვის, რომ შეფასება, რომელსაც ვიღებთ, სავარაუდოდ, იგივეა, როგორიც ზღვარი.

ორივე მხრიდან არმიახლოება: გახსოვდეთ, რომ თქვენთვის სასურველ $x$‍-მნიშვნელობას მარცხნიდანაც უნდა მიუახლოვდეთ და მარჯვნიდანაც. გახსოვდეთ, ზღვრის არსებობისთვის აუცილებელია, მარცხენა და მარჯვენა მხრიდან მიღებული ზღვრები ერთმანეთის ტოლი იყოს. თავი აარიდეთ ზღვრის მნიშვნელობის შესახებ დასკვნების ნაჩქარევად გაკეთებას თქვენთვის სასურველი $x$‍-მნიშვნელობისაკენ მხოლოდ ერთი მხრიდან მიახლოებით.

დაშვება, რომ „მარცხენა მხარე“ ნიშნავს „უარყოფითს“: ზოგიერთ მოსწავლეს შეცდომით ჰგონია, რომ, როდესაც მარცხენა მხრიდან უახლოვდებიან, უნდა გამოიყენონ უარყოფითი რიცხვები. ზემოთ მოცემულ მაგალითში ჩვენ მივუახლოვდით $x=2$‍-ს მარცხნიდან დადებითი მნიშვნელობების გამოყენებით, რომლებიც ოდნავ ნაკლები იყო $2$‍-ზე, როგორიცაა $1,9$‍ და $1,99$‍. ნუ ჩათვლით, რომ უარყოფითი $x$‍-მნიშვნელობები უნდა გამოიყენოთ, როცა მარცხნიდან უახლოვდებით.

ზღვრის მნიშვნელობისა და ფუნქციის მნიშვნელობის ერთმანეთში არევა: გახსოვდეთ, რომ ფუნქციის ზღვარი კონკრეტულ წერტილში არ არის აუცილებლად ამ ფუნქციის მნიშვნელობის ტოლი ამ წერტილში. მაგალითად, ამოცანა 2-ში, $g(5)=6,37$‍, მაგრამ ${\displaystyle \underset{x\to 5}{lim}g(x)}$‍ არის დაახლოებით $3,68$‍.

მიჩნევა იმისა, რომ ზღვრის მნიშვნელობა ყოველთვის მთელი რიცხვია: ზოგიერთი ზღვარი არის „კარგი“ და აქვს მთელი რიცხვის მნიშვნელობა ან „კარგი“ წილადი მნიშვნელობა. მაგალითად, ჩვენს მაგალითში ზღვარი არის $0,25$‍. ზოგიერთი ზღვარი არის ნაკლებად კარგი, როგორიცაა ზღვარი ამოცანა 2-ში, რომელიც არის დაახლოებით $3,68$‍.