ძირითადი მასალა

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 4: ბუნებრივი და იძულებითი რეაქცია

RC ბუნებრივი რეაქცია

RC წრედის ბუნებრივი რეაქცია. R და C-ს ნამრავლს დროის მუდმივა ეწოდება. ავტორი: უილი მაკალისტერი.

რეზისტორ-კონდენსატორის

(RC)

წრედი ერთ-ერთი საინტერესო წრედია, რომლის შექმნა და ანალიზი შეგვიძლია. ამ წრედის ქცევის გააზრება აუცილებელია ელექტროინჟინერიის შესწავლისთვის. ასეთ წრედებს ყველგან ვხვდებით. ზოგჯერ ამ წრედს განზრახ ვქმით, ხანდახან კი ის თავისით წარმოიშობა.

რეალურ წრედებში კონდენსატორების სიახლოვეში სხვა გამტარობის უნარის მქონე ელემენტებიც არიან, მაგალითად: სხვა სადენები, დამიწება, მეტალის კორპუსი, რომელშიც წრედია განთავსებული. გამტარობის უნარის მქონე ნებისმიერი ორი კომპონენტი, რომელთა შორისაც იზოლატორია განთავსებული, კონდენსატორივით იქცევა. ეს (როგორც, წესი პატარა და არასასურველი) კონდენსატორები, შესაძლოა, წრედის მნიშვნელოვან სადენებს უკავშირდებოდნენ. უმეტეს შემთხვევაში შეგვიძლია, მათ ყურადღება არ მივაქციოთ, თუმცა ხანდახან ეს პარატიზული კონდენსატორები წრედის მუშაობაში მნიშვნელოვან როლს თამაშობენ.

ეს პირველი წრედია, რომლის გასაანალიზებლადაც დროის გათვალისწინება გვიწევს. ამ წრედის შესახებ ზუსტ გააზრებებამდე მისასვლელად კალკულუსის მეთოდების გამოყენება დაგვჭირდება. ჩვენ

RC

წრედის აღწერისთვის წარმოებულებს გამოვიყენებთ.

ჩვენ გვსურს, ამ წრედის ბუნებრივი რეაქცია შევისწავლოთ.

რის აგებას ვცდილობთ

რეზისტორ-კონდენსატორის წრედში, რომელშიც კონდენსატორს საწყისი ძაბვა

V_{0}

აქვს, ძაბვა ექსპონენტურად დაიკლებს:

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

სადაც

V_{0}

ძაბვაა

t = 0

დროს. ამას ბუნებრივი რეაქცია ეწოდება.

RC

წრედის დროის მუდმივა არის

τ = R \cdot C

წრედი, რომელსაც შევისწავლით, მიმდევრობით დაერთებული რეზისტორისგან და კონდენსატორისგან შედგება. როგორ რეაგირებს ეს წრედი მოდებულ ძაბვაზე?

პირველ ყოვლისა, ინტუიციურად ვივარაუდოთ, რა მოხდება

წრედი, რომელსაც ამ სექციაში გამოვიკვლევთ:

გვსურს, გავიგოთ, რა მოსდის კონდენსატორის ძაბვას,

v_{C}

-ს, გადამრთველის ჩართვა-გამორთვისას.

ძაბვებისა და დენების სახელების შერჩევის მიღებული კონვენციაა პატარა ლათინური ასოების გამოყენება,

v

ან

i (t)

. დიდ ასოებს მუდმივი მნიშვნელობების აღსანიშნად ვიტოვებთ,

V

ან

I

. მაგალითად, ბატარეას ან კვების წყაროს ძაბვა შეიძლება დიდი ასოებით ჩავწეროთ,

VDD

ან

VSS

. დიდი

V

გვახსენებს, რომ ძაბვა უცვლელია. ეს სახელების კონვენცია საყოველთაო არ არის და ყველა სქემაში არ იქნება გამოყენებული, მაგრამ მისი გამოყენება კარგი პრაქტიკაა.

ამ კითხვებს ნაბიჯ-ნაბიჯ ვუპასუხებთ:

რა არის კონდენსატორზე მოდებული ძაბვა, $v_{C}$ ‍,

სანამ გადამრთველს ჩავრთავთ?
გადამრთველის ჩართვის შემდეგ?
გადამრთველის გამორთვის შემდეგ?

გადამრთველის ჩართვამდე

ანალიზს წრედის საწყისი მდგომარეობის განსაზღვრით დავიწყებთ, სანამ რაიმე მოხდება. როდესაც გადამრთველი გამორთულ მდგომარეობაშია, შეგვიძლია შემდეგი ეკვივალენტური წრედის დახატვა.

v_{i n}

0

ვოლტია და

R

-ის მარცხენა ტერმინალი

C

-ს ქვედა დერმინალზეა დაერთებული.

დავუშვათ, რომ წრედი ამ მდგომარეობაში დიდი ხანია იმყოფება, შესაბამისად, ყველა მუხტი, რომელიც ოდესმე კონდენსატორზე ინახებოდა რეზისტორის გავლით გაილია და საწყის მომენტში გვაქვს

q_{C} = 0

. აქედან ვიცით, რომ კონდენსატორის ძაბვა

0

ვოლტია, რადგან

v_{C} = q / C = 0 / C = 0

რადგან კონდენსატორზე

0

ვოლტია მოდებული, რეზისტორის ძაბვაც ნულოვანია, ამიტომ

R

-ში გავლილი დენი (და კონდენსატორში გამავალი დენი)

0

ამპერია. ეს წრედი 'სტაციონარულ მდგომარეობაშია', ან 'უმოქმედო', ან 'გაწონასწორებულ' მდგომარეობაშია. ჩვენ პირველ კითხვას, „რა არის

C

-ზე მოდებული ძაბვა გადამრთველის ჩართვამდე“, უკვე გავეცით პასუხი.

გადამრთველის ჩართვის შემდეგ

ახლა გადამრთველს ჩავრთავთ. ძაბვა

v_{i n}

ხდება

V_{BAT}

და სულ მალე რაღაც უნდა შეიცვალოს.

ბატარეის დადებითი ტერმინალიდან დენი გამოდინებას იწყებს და ის

R

-სა და

C

-ში გადის. კონდენსატორზე მუხტი გროვდება. აკუმულირებული მუხტი კონდენსატორზე ძაბვის მატებას იწვევს (

v_{C} = q / C

). დროის ინტერვალს, როდესაც

v_{C}

იცვლება, გარდამავალი პერიოდი ეწოდება.

რატომ არ იზრდება

v_{C}

უსასრულოდ? კონდენსატორზე მუხტი მანამ გროვდება, სანამ ძაბვა

v_{C}

ბატარეის ძაბვას არ უთანაბრდება:

v_{C} = V_{BAT}

. ამ მომენტში რეზისტორზე მოდებული ძაბვა

0

ვოლტია და დენი რეზისტორში აღარ გაედინება (ომის კანონი). ეს ასევე იმას ნიშნავს, რომ დენი (და მუხტი) კონდენსატორისკენ აღარ მიემართება. კონდენსატორზე დაგროვილი მუხტის რაოდენობა აღარ იცვლება და, შესაბამისად, მასზე მოდებული ძაბვა მუდმივია:

v_{c} = V_{BAT}

. გარდამავალი პერიოდი დასრულდა.

მეორე კითხვასაც ვუპასუხეთ, „რა არის

C

-ზე მოდებული ძაბვა გადამრთველის ჩართვის შემდეგ?“. გარდამავალი პერიოდის შემდეგ წრედი ახალ სტაციონარულ მდგომარეობამდე მიდის, რომელშიც

v_{C} = V_{BAT}

. ეს მდგომარეობა იქამდე ნარჩუნდება, სანამ რაიმე ამ იდილიას დაარღვევს.

გადამრთველის გამორთვის შემდეგ

ახლა გადამრთველს ისევ გამოვრთვათ, რომ მას ბატარეის უარყოფით ტერმინალზე დავაბრუნებთ (

v_{i n} = 0

). რა მოხდება ახლა?

ეს იგივე წრედია, რომლითაც დავიწყეთ, მაგრამ ამჯერად

C

-ზე მუხტია შენახული და, შესაბამისად, მასზე ძაბვაა მოდებული. ამის გამო ახლა

R

-ზე ძაბვაა მოდებული. გადამრთველის გამორთვის მომენტში ძაბვა

v_{C} = V_{BAT}

. შესაბამისად, ომის კანონის მიხედვით,

R

-ში დენის გადინება უნდა დაიწყოს. ამ დენის მომწოდებელი მუხტი

C

-ში შენახული მუხტიდან მოდის. მუხტები იქამდე განაგრძობენ მოძრაობას, სანამ საწყის მომენტში

C

შენახული მუხტი სრულად არ განილევა.

v_{C}

ნულოვან მნიშვნელობაზე ჩამოდის.

R

-ს ძაბვის სხვაობა ასევე ნულზე ჩამოდის. წრედი საწყის სტაციონარულ მდგომარეობას უბრუნდება. და, როგორც იქნა, მესამე შეკითხვასაც ვუპასუხეთ: „რა არის

C

-ზე მოდებული ძაბვა გადამრთველის გამორთვის შემდეგ?"

შეჯამება

მხოლოდ ჩვენი ინტუიციის გამოყენებით, ვიცით, რომ კონდენსატორის ძაბვა,

v_{C}

, დასაწყისში

0

ვოლტია. შემდეგ ის

V_{BAT}

ვოლტამდე იზრდება, მერე კი ისევ

0

ვოლტს უბრუნდება. სხვაგვარად რომ ვთქვათ,

v_{C}

საწყისი სტაციონარული მდგომარეობიდან გარდამავალი პერიოდის გავლით ახალ სტაციონარულ მდგომარეობამდე მიდის, შემდეგ კი მეორე გარდამავალი პერიოდის გავლით საწყის სტაციონარულ მდგომარეობას უბრუნდება. ჩვენ ზუსტად ვიცით ორივე გარდამავალი პერიოდის საწყისი და საბოლოო ძაბვა. ეს ცუდი არაა, მაგრამ... რა არ ვიცით? ჩვენ არ ვიცით, რამდენი ხანი გრძელდება გარდამავალი პერიოდი ან რა ფორმა აქვს მას. ზუსტი ამონახსნის გასაგებად კალკულუსის გამოყენების დრო მოვიდა.

$RC$ ‍ ბუნებრივი რეაქციის ფორმალური გამოყვანა

ყველაზე მარტივი შემხვევით დავიწყოთ. წრედში მხოლოდ მიერთებული

R

და

C

კომპონენტები გვაქვს. „რეაქციის პოვნაში“ ვგულისხმობთ

v

-სა და

i

-ს დროის ფუნქციების პოვნას.

იმისთვის, რომ წრედმა უქმად ყოფნის გარდა რაიმე გააკეთოს, კონდენსატორზე საწყის მუხტს ვათავსებთ. ამას გარე წრედი აკეთებს, რომელიც არაა ნაჩვენები. სისტემაში ენერგიის შეტანის შემდეგ მას მივუშვებთ და დავაკვირდებით, რას გააკეთებს ბუნებრივად. წარმოიდგინეთ, რომ კონდენსატორი გარე წრედმა დამუხტა და მას რაღაც საწყისი ძაბვა

V_{0}

მისცა, ამის შემდეგ კი გარე წრედი გამოვაერთეთ.

მიღებულ ქცევას, რომელსაც ახლა გამოვიყვანთ,

RC

წრედის ბუნებრივი რეაქცია ეწოდება. ბუნებრივი რეაქცია ისაა, რაცას წრედი აკეთებს, როდესაც მხოლოდ საწყისი მდგომარეობა გვაქვს მოცემული და წრედზე სხვა არაფერი არ მოქმედებს.

კომპონენტების მოდელირება

წრედის

R

და

C

კომპონენტების აღწერა მახასიათებელი ძაბვა-დენის განტოლებებითაა შესაძლებელი.

რეზისტორისთვის ომის კანონის შემდეგ ფორმას ვირჩევთ:

i_{R} = \frac{v}{R}

კონდენსატორისთვის შესაბამისი ძაბვა-დენის დამოკიდებულებაა:

i_{C} = C \frac{d v}{d t}

კონდენსატორის

i

v

განტოლება კონდენსატორის მუხტსა და ძაბვას შორის არსებული დამოკიდებულებისგან წარმოიშობა:

q = C v

შეგვიძლია განტოლების ორივე მხარე გავაწარმოოთ დროის მიმართ:

\frac{d q}{d t} = C \frac{d v}{d t}

მარცხენა მხარეს გვაქვს

d q / d t

— მუხტის ცვლილება შეფარდებული დროის ცვლილებასთან. ეს მოძრავ მუხტს, ანუ ელექტრულ დენს, აღწერს. ეს წევრი პირველად ანდრე-მარი ამპერმა გამოიყენა. დენის სიმბოლო „

i

“ ფრანგული ფრაზის „intensité du courant électrique-ის“ პირველი ასოდან მომდინარეობს.

d q / d t

-ს თუ

i

ჩაანაცვლებს, ჩვენთვის ნაცნობ კონდენსატორის დენ-ძაბვის დამოკიდებულებას მივიღებთ:

i = C \frac{d v}{d t}

წრედის მოდელირება

კირხოფის დენის კანონის გამოყენებით შეგვიძლია ზედა კვანძიდან გამოდინებული ორი დენისთვის განტოლება ჩავწეროთ.

i_{C} + i_{R} = 0

C \frac{d v}{d t} + \frac{1}{R} v = 0

წრედის ამოხსნა

წინა განტოლება პირველი ხარისხის ორდინალური დიფერენციალური განტოლებაა. ჩვენ გვაქვს საკმარისი მათემატიკური უნარები, რომ ასეთი განტოლებები ამოვხსნათ.

ეს დიფერენციალური განტოლებაა, რადგან ის წარმოებულებს შეიცავს. ის „პირველი ხარისხისაა“, რადგან მხოლოდ პირველი ხარისხის წარმოებული არის მასში

(d v / d t)

. ის „ორდინალურია“, რადგან მასში მხოლოდ ერთი დამოუკიდებელი ცვლადია —

t

(კერძო წარმოებულების შემთხვევისგან განსხვავებით, სადაც რამდენიმე დამოუკიდებელი ცვლადი გვაქვს).

გასაოცარია, რომ სქემის სიმბოლოები დიფერენციალური განტოლებების დეტალებია. მარტივი სიმბოლოები, დახვეწილი იდეები.

დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი რაიმე ფუნქციაა, ჩვენს შემთხვევაში, ძაბვის დროზე დამოკიდებულის ფუნქცია,

v (t)

v (t)

ამონახსნია, რომელიც დიფერენციალურ განტოლებას აკმაყოფილებს.

C \frac{d v}{d t} + \frac{1}{R} v = 0

(დიფერენციალური განტოლება)

საიდან ვიღებთ ორდინალური დიფერენციალური განტოლების ამონახსნებს? ამის ერთ-ერთი გზაა, ამონახსნის ფორმა გამოვიცნოთ და შემდეგ ის ვცადოთ.

ორდინარული დიფერენციალური განტოლებები განცალებადცვლადიანია. ასეთი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდი RL ბუნებრივი რეაქციის დანართშია მოცემული. ამ მეთოდით ამოხსნისას ამონახსნის გამოცნობა საჭირო არ არის.

ამოხსნის ამ მეთოდის დეტალური განმარტება განცალებადცვლადიან დიფერენციალურ განტოლებებზე აქ შეგიძლიათ იხილოთ. გამოცნობის მეთოთით ამოხსნაზე მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებების შესახებ ვიდეოშია მონათხრობი.

როდესაც დიფერენციალურ განტოლებას დააკვირდებით, გამოიყენებთ თქვენი მთელი ცოდნა ფუნქციების შესახებ.

განტოლების ორი წევრის ჯამი ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის პირველ წარმოებულს იგივე ფორმა უნდა ჰქონდეს, რაც თვითონ ფუნქციას. გაიხსენეთ რაიმე ფუნქცია, რომლის პირველი წარმოებულიც ფუნქციისავით გამოიყურება. ჰმმ...

ფუნქციას, რომელიც ამ წინაპირობას აკმაყოფილებს, მაჩვენებლიანი ფორმა აქვს,

e^{x}

, რადგან მაჩვენებლიანი ფუნქციის წარმოებული სხვა მაჩვენებლიანი ფუნქციაა.

\frac{d}{d t} e^{α t} = α e^{α t}

დიფერენციალური განტოლების ამოსახსნელად, გაბედულად გამოვიცნოთ ამონახსნის ფორმა (ეს სიმამაცეს მოითხოვს). შემდეგ ჩვენს გამოცნობილ ამონახსნს განტოლებაში ჩავსვამთ და ჩვენი წრედის შესაბამის რამდენიმე მუდმივას გამოვითვლით (ეს ნაწილი მათემატიკას მოითხოვს). თუ შევძლებთ ისედი მუდმივების პოვნას, რომლებიც განტოლებას აკმაყოფილებს, მაშინ ჩვენი გამოცნობილი ფუნქცია განტოლების ამონახსნია, გავიმარჯვეთ.

ჩვენი გამოცნობილი განტოლება მაჩვენებლიანი ფუნქციაა, რომელსაც რამდენიმე ცვლად პარამეტრს დავუმატებთ,

K

-სა და

s

-ს.

v (t) = K e^{s t}

$t$ ‍ დროის ცვლადია.
$v (t)$ ‍ ძაბვაა, რომელიც დროის ფუნქციაა.
$K$ ‍ და $s$ ‍ მუდმივები არიან, რომელთა მნიშვნელობებიც უნდა გავიგოთ.
- $K$ ‍ ამპლიტუდაა, რომელიც ძაბვას ზრდის ან ამცირებს.
- $s$ ‍ ექსპონენტშია. მისი ერთეული დროის ერთეულს უნდა აბათილებდეს. ანუ, $s$ ‍-ის ერთეულია $1 / t$ ‍.

მოდით, შევამოწმოთ, მუშაობს თუ არა ჩვენი ნავარაუდები ამონახსნი...

v (t) = K e^{s t}

დიფერენციალურ განტოლებაში ჩავსვათ:

C \frac{d}{d t} (K e^{s t}) + \frac{1}{R} (K e^{s t}) = 0

გამოვთვალოთ პირველი წევრის წარმოებული

\frac{d}{d t} (K e^{s t}) = s K e^{s t}

s K e^{s t}

დიფერენციალური განტოლებაში ჩავსვათ:

s C K e^{s t} + \frac{1}{R} K e^{s t} = 0

ახლა შეგვიძლია,

K e^{s t}

ფრჩხილებს გარეთ გავიტანოთ

(s C + \frac{1}{R}) K e^{s t} = 0

ეს განტოლება ჩვენს წრედს აღწერს ჩვენივე გამოცნობილი განტოლებით. თითქმის მოვრჩით. შემდეგ, გვჭირდება ჩვენი გამოცნობილი ამონახსნის ორი მუდმივა ვიპოვოთ.

რამდენნაირადაა შესაძლებელი, რომ ტოლობის მარცხენა მხარე ნულს უდრიდეს? ამის სამი გზაა: ამ სამი წევრიდან ნებისმიერი შეიძლება უდრიდეს ნულს:

K

e^{s t}

ან

(s C + 1 / R)

K = 0

ტრივიალური ამონახსნია. ეს იგივეა, რომ კონდენსატორზე განლაგებული საწყისი მუხტი

0

იყოს, ამ დროს წრედი უძრავ, სტაციონარულ მდგომარეობაშია, მასში არაფერი არ ხდება. ეს მოსაწყენია.

კიდევ ერთი ტრივიალური ამონახსნია

e^{s t} = 0

, სადაც

s

უარყოფითი მნიშვნელობისაა და

t

მიდის

+ \infty

-სკენ. მაჩვენებლიანი ფუნქცია

e^{- \infty}

ნულოვან მნიშვნელობამდეა ჩამოსული, რაც იმას ნიშნავს, რომ კონდენსატორის სრულ განმუხტვას უსასრულოდ დიდი დრო უნდა ველოდოთ. არც ეს არის საინტერესო.

მეტად საინტერესო ამონახსნი მესამე შემთხვევიდან მოდის:

s C + \frac{1}{R} = 0

ეს განტოლება ჭეშმარიტია, თუკი:

s = - \frac{1}{RC}

ეს საოცარი და დასამახსოვრებელი მომენტია, როდესაც

R

და

C

ნამრავლის სახით ერთად იყრიან თავს.

RC

ნამრავი ძალიან მნიშვნელოვან როლს ასრულებს თითქმის ყველა ელექტროწრედში, ანალოგურშიც და ციფრულშიც.

ჯერჯერობით ჩვენი ნავარაუდები ამონახსნია:

v (t) = K e^{- t / RC}

თითქმის დავასრულეთ, მხოლოდ

K

მუდმივას მნიშვნელობის პოვნა დაგვრჩა. ამისთვის წრედის საწყის მდგომარეობას გამოვიყენებთ. გაიხსენეთ, რომ საწყის მომენტში კონდენსატორზე

V_{0}

ძაბვა არის მოდებული. ამ მომენტს თუ

t = 0

წამს დავუძახებთ, მაშინ:

v (0) = V_{0} = K e^{- \frac{0}{RC}}

ეს გვაძლევს

K = V_{0}

-ს.

ვიპოვეთ

s

და

K

, რომლებიც დიფერენციალურ განტოლებას აკმაყოფილებენ. დავასრულეთ. სულ ეს არის...

RC

წრედის ბუნებრივი რეაქციის ზოგადი ამონახსნია,

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

დროის მუდმივა

არ შეიძლება ექსპონენტში ერთეულები გვქონდეს. ეს იმას ნიშნავს, რომ

e^{- t / RC}

-ს ექსპონენტში

RC

ნამრავლს დროის ერთეული უნდა ჰქონდეს, რათა

t

-ს ერთეულები გააბათილოს. შესაბამისად,

ომი \cdot ფარადა= წამი

R

და

C

-ს ნამრავლს წრედის დროის მუდმივა ეწოდება, ის ბერძნული ასოთი

τ

(ტაუთი) აღიწერება.

τ = RC

ჩვენი ამონახსნი შეგვიძლია ასე ჩავწეროთ:

v (t) = V_{0} e^{- t / τ}

როცა

t

დროის მუდმივას ტოლია,

e

-ს ექსპონენტი

- 1

ხდება, ანუ ფუნქციის მნიშვნელობაა

1 / e

, დაახლოებით

0.37

. დროის მუდმივა განსაზღვრავს, რამდენად სწრაფად ეცემა ექსპონენტის მრუდი ნულისკენ.

1

დროის მუდმივა დროის გავლის შემდეგ ძაბვა საწყისი მნიშვნელობის

37 %

-მდე ეცემა.

მაგალითი 1

ბუნებრივი რეაქციის წრედისთვის დავუშვათ,
let

R = 3 k Ω

C = 1 μ F

, და

V_{0} = 1.4 V

a. დაწერეთ გამოსახულება $v (t)$ ‍-სთვის
b. რა არის $v (t)$ ‍, როდესაც $t = RC$ ‍ ?
c. ააგეთ $v (t)$ ‍-ს გრაფიკი

მაგალითი 1: ამოხსნა

a. დაწერეთ გამოსახულება $v (t)$ ‍-სთვის

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

v (t) = 1.4 e^{- \frac{t}{3 k Ω \cdot 1 μ F}}

v (t) = 1, 4 e^{- \frac{t}{3 \times 10^{3} \cdot 1 \times 10^{- 6}}}

v (t) = 1, 4 e^{- \frac{t}{3 \times 10^{- 3}}}

v (t) = 1.4 e^{- \frac{t}{3 მწმ}}

b. რა არის $v (t)$ ‍, როდესაც $t = RC$ ‍ ?

RC

ნამრავლის ერთეული წამია.

τ = RC = 3 \times 10^{3} \cdot 1 \times 10^{- 6}

τ = 3 \times 10^{- 3} = 3 მწმ

v (3 მწმ) = 1.4 e^{- \frac{3 მწმ}{3 მწმ}}

v (3 მწმ) = 1.4 e^{- 1}

v (3 mწმ) = 1.4 \cdot 0.3679

v (3 მწმ) = 0.515 ვოლტი

(ქვემოთა გრაფიკზეა მონიშნული)

c. ააგეთ $v (t)$ ‍-ს გრაფიკი

წრეში

b ნაწილის პასუხია ნაჩვენები:

v (t) = 0.515 V

when

t = RC = 3 მწმ

გამოსადეგი ზოგადი პრინციპი:

როცა დრო დროის მუდმივის,

RC

-ს, ტოლია, ძაბვა საწყისი მნიშვნელობიდან

1 / e

-თია დაკლებული, რაც საწყისი მნიშვნელობის დაახლოებით

37 %

-ა. ეს ყველა საწყისი ძაბვის მნიშვნელობისა და ყველა

RC

ნამრავლისთვის ჭეშმარიტია.

მაგალითი 2

დავუშვათ, რომ

R = 1 კ Ω

C = 1 პფ

, და

V_{0} = 1.0 V

a. ჩაწერეთ გამოსახულება v(t)-სთის.
b. რა არის დროის მუდმივა?
c. ააგეთ $v (t)$ ‍-ს გრაფიკი.
d. რამდენი დროის მუდმივაა საჭირო საწყისი მნიშვნელობიდან ძაბვის $95 %$ ‍-ით კლებისთვის?

მაგალითი 2: ამოხსნა

a. ჩაწერეთ გამოსახულება v(t)-სთის.

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

v (t) = 1.0 e^{- \frac{t}{1 კ Ω \cdot 1 პფ}}

v (t) = 1, 0 e^{- \frac{t}{1 \times 10^{- 9}}}

v (t) = 1.0 e^{- \frac{t}{1 ნწმ}}

b. რა არის დროის მუდმივა?

τ = RC = 1 კ Ω \cdot 1 პფ

τ = 1 \times 10^{+ 3} \cdot 1 \times 10^{- 12}

τ = 1 \times 10^{- 9} = 1 ნწმ

c. ააგეთ $v (t)$ ‍-ს გრაფიკი.

წრეში

d ნაწილის პასუხია ნაჩვენები.

d. რამდენი დროის მუდმივაა საჭირო საწყისი მნიშვნელობიდან ძაბვის $95 %$ ‍-ით კლებისთვის?

ზედა გრაფიკზე ვხედავთ, რომ ძაბვა

(1 - 0.95) \cdot 1 V = 0.05

ვოლტამდე დაახლოებით

3

ნანოწამში ეცემა, რაც

3

დროის მუდმივას შეესაბამება. ეს წერტილი

წრითაა

მონიშნული.

კიდევ ერთი ზოგადი პრინციპი

ნებისმიერი

RC

გარდამავალი პროცესი დაახლოებით

3

დროის მუდმივის შემდეგ სრულდება. ეს ჭეშმარიტია ნებისმიერი საწყისი ძაბვისთვის და დროის მუდმივასთვის,

RC

შეჯამება

RC

წრედის ბუნებრივი რეაქცია მაჩვენებლიანი ფუნქციაა:

v (t) = V_{0} e^{- t / RC}

სადაც,

V_{0}

საწყისი ძაბვაა

t = 0

წამზე.

RC

წრედის დროის მუდმივაა

τ = RC

ეპილოგი

$e^{x}$ ‍ ფუნქცია

e^{x}

ფუნქცია იზრდება (

x > 0

) ან იკლებს (

x < 0

) რაღაც სისწრაფით, ეს

x

-ზეა დამოკიდებული. უამრავი სხვა ფუნქცია არსებობს, რომლებსაც დაახლოებით იგივე ზოგადი ფორმა აქვთ. ნებისმიერ ფუნქციას, რომელიც

y^{x}

-ვით გამოიყურება, ასეთივე მრუდი ფორმა აქვს. თუ იმავე ფორმის მიღება ნებისმიერი

y

მნიშვნელობისთვის შეგვიძლია, როგორიცაა

2^{x}

ან

10^{x}

, რითია განსაკუთრებული არარაციონალური რიცხვი

e

e

სხვა შესაძლებლობაზე მეტად იმიტომ გვიყვარს, რომ

e

არის ერთადერთი რიცხვი, რომლისთვისაც

y^{x}

-ის წარმოებული იგივეა, რაც თვითონ ფუნქცია. ანუ, ნებისმიერ წერტილში ნებისმიერი

x

-ისთვის

e^{x}

-ს დახრილობა

e^{x}

-ის ტოლია.

\frac{d e^{x}}{d x} = e^{x}

არაფერი ზედმეტი, ზუსტად იგივეა.

მაჩვენებლიანი ფუნქციები ბუნებაში

RC წრედის ბუნებრივი რეაქციის პოვნის ამოცანა, რომელიც ახლა ამოვხსნეთ, ბუნებაში მიმდინარე სხვა მოვლენებსაც შეეფერება. მაჩვენებლიანი ფუნქცია ძალიან კარგი მათემატიკური მოდელია ბუნებაში რაღაცების ზრდის ან შემცირების აღსაწერად. ურანის დაშლა, პოპულაციის ზრდა, სესხის გადახდები, გათბობა და გაციება, და სხვა ბუნებრივი მოვლენები.ზოგადად: მაჩვენებლიანი ფუნქციები წარმოიშობიან სიტუაციებში, რომლებშიც ცვლილების სისწრაფე პროპორციულია იმ რაღაცის რაოდენობის, რაც იცვლება. RC წრედის შემთხვევაში ძაბვის ცვლილების სისწრაფე ძაბვის პროპორციულია. მრუდის დახრილობა დიდია, როდესაც ძაბვაა დიდი და ძაბვის კლებასთან ერთად ძაბვის მრუდის დახრილობაც იკლებს.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ელექტროინჟინერია

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

რის აგებას ვცდილობთ

პირველ ყოვლისა, ინტუიციურად ვივარაუდოთ, რა მოხდება

გადამრთველის ჩართვამდე

გადამრთველის ჩართვის შემდეგ

გადამრთველის გამორთვის შემდეგ

შეჯამება

RC‍ ბუნებრივი რეაქციის ფორმალური გამოყვანა

კომპონენტების მოდელირება

წრედის მოდელირება

წრედის ამოხსნა

დროის მუდმივა

მაგალითი 1

მაგალითი 1: ამოხსნა

გამოსადეგი ზოგადი პრინციპი:

მაგალითი 2

მაგალითი 2: ამოხსნა

კიდევ ერთი ზოგადი პრინციპი

შეჯამება

ეპილოგი

ex‍ ფუნქცია

მაჩვენებლიანი ფუნქციები ბუნებაში

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

$RC$ ‍ ბუნებრივი რეაქციის ფორმალური გამოყვანა

$e^{x}$ ‍ ფუნქცია