ძირითადი მასალა

ელექტროინჟინერია

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 4: ბუნებრივი და იძულებითი რეაქცია

RC ბუნებრივი რეაქცია

RC წრედის ბუნებრივი რეაქცია. R და C-ს ნამრავლს დროის მუდმივა ეწოდება. ავტორი: უილი მაკალისტერი.

რეზისტორ-კონდენსატორის left parenthesis, start text, R, C, end text, right parenthesis წრედი ერთ-ერთი საინტერესო წრედია, რომლის შექმნა და ანალიზი შეგვიძლია. ამ წრედის ქცევის გააზრება აუცილებელია ელექტროინჟინერიის შესწავლისთვის. ასეთ წრედებს ყველგან ვხვდებით. ზოგჯერ ამ წრედს განზრახ ვქმით, ხანდახან კი ის თავისით წარმოიშობა.

[თავისით?]

ეს პირველი წრედია, რომლის გასაანალიზებლადაც დროის გათვალისწინება გვიწევს. ამ წრედის შესახებ ზუსტ გააზრებებამდე მისასვლელად კალკულუსის მეთოდების გამოყენება დაგვჭირდება. ჩვენ start text, R, C, end text წრედის აღწერისთვის წარმოებულებს გამოვიყენებთ.

ჩვენ გვსურს, ამ წრედის ბუნებრივი რეაქცია შევისწავლოთ.

რის აგებას ვცდილობთ

რეზისტორ-კონდენსატორის წრედში, რომელშიც კონდენსატორს საწყისი ძაბვა V, start subscript, 0, end subscript აქვს, ძაბვა ექსპონენტურად დაიკლებს:

$v(t) = \text V_0\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text{RC}}}}$

სადაც start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript ძაბვაა t, equals, 0 დროს. ამას ბუნებრივი რეაქცია ეწოდება.

start text, R, C, end text წრედის დროის მუდმივა არის tau, equals, start text, R, end text, dot, start text, C, end text

წრედი, რომელსაც შევისწავლით, მიმდევრობით დაერთებული რეზისტორისგან და კონდენსატორისგან შედგება. როგორ რეაგირებს ეს წრედი მოდებულ ძაბვაზე?

პირველ ყოვლისა, ინტუიციურად ვივარაუდოთ, რა მოხდება

წრედი, რომელსაც ამ სექციაში გამოვიკვლევთ:

გვსურს, გავიგოთ, რა მოსდის კონდენსატორის ძაბვას, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript-ს, გადამრთველის ჩართვა-გამორთვისას.

[ძაბვების და დენების სახელები]

ამ კითხვებს ნაბიჯ-ნაბიჯ ვუპასუხებთ:

რა არის კონდენსატორზე მოდებული ძაბვა, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript,

სანამ გადამრთველს ჩავრთავთ?
გადამრთველის ჩართვის შემდეგ?
გადამრთველის გამორთვის შემდეგ?

გადამრთველის ჩართვამდე

ანალიზს წრედის საწყისი მდგომარეობის განსაზღვრით დავიწყებთ, სანამ რაიმე მოხდება. როდესაც გადამრთველი გამორთულ მდგომარეობაშია, შეგვიძლია შემდეგი ეკვივალენტური წრედის დახატვა. v, start subscript, i, n, end subscript 0 ვოლტია და start text, R, end text-ის მარცხენა ტერმინალი start text, C, end text-ს ქვედა დერმინალზეა დაერთებული.

დავუშვათ, რომ წრედი ამ მდგომარეობაში დიდი ხანია იმყოფება, შესაბამისად, ყველა მუხტი, რომელიც ოდესმე კონდენსატორზე ინახებოდა რეზისტორის გავლით გაილია და საწყის მომენტში გვაქვს q, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, 0. აქედან ვიცით, რომ კონდენსატორის ძაბვა 0 ვოლტია, რადგან v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, q, slash, start text, C, end text, equals, 0, slash, start text, C, end text, equals, 0.

რადგან კონდენსატორზე 0 ვოლტია მოდებული, რეზისტორის ძაბვაც ნულოვანია, ამიტომ start text, R, end text-ში გავლილი დენი (და კონდენსატორში გამავალი დენი) 0 ამპერია. ეს წრედი 'სტაციონარულ მდგომარეობაშია', ან 'უმოქმედო', ან 'გაწონასწორებულ' მდგომარეობაშია. ჩვენ პირველ კითხვას, „რა არის start text, C, end text-ზე მოდებული ძაბვა გადამრთველის ჩართვამდე“, უკვე გავეცით პასუხი.

გადამრთველის ჩართვის შემდეგ

ახლა გადამრთველს ჩავრთავთ. ძაბვა v, start subscript, i, n, end subscript ხდება start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript და სულ მალე რაღაც უნდა შეიცვალოს.

ბატარეის დადებითი ტერმინალიდან დენი გამოდინებას იწყებს და ის start text, R, end text-სა და start text, C, end text-ში გადის. კონდენსატორზე მუხტი გროვდება. აკუმულირებული მუხტი კონდენსატორზე ძაბვის მატებას იწვევს (v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, q, slash, start text, C, end text). დროის ინტერვალს, როდესაც v, start subscript, C, end subscript იცვლება, გარდამავალი პერიოდი ეწოდება.

რატომ არ იზრდება v, start subscript, start text, C, end text, end subscript უსასრულოდ? კონდენსატორზე მუხტი მანამ გროვდება, სანამ ძაბვა v, start subscript, start text, C, end text, end subscript ბატარეის ძაბვას არ უთანაბრდება: v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript. ამ მომენტში რეზისტორზე მოდებული ძაბვა 0 ვოლტია და დენი რეზისტორში აღარ გაედინება (ომის კანონი). ეს ასევე იმას ნიშნავს, რომ დენი (და მუხტი) კონდენსატორისკენ აღარ მიემართება. კონდენსატორზე დაგროვილი მუხტის რაოდენობა აღარ იცვლება და, შესაბამისად, მასზე მოდებული ძაბვა მუდმივია: v, start subscript, start text, c, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript. გარდამავალი პერიოდი დასრულდა.

მეორე კითხვასაც ვუპასუხეთ, „რა არის start text, C, end text-ზე მოდებული ძაბვა გადამრთველის ჩართვის შემდეგ?“. გარდამავალი პერიოდის შემდეგ წრედი ახალ სტაციონარულ მდგომარეობამდე მიდის, რომელშიც v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript. ეს მდგომარეობა იქამდე ნარჩუნდება, სანამ რაიმე ამ იდილიას დაარღვევს.

გადამრთველის გამორთვის შემდეგ

ახლა გადამრთველს ისევ გამოვრთვათ, რომ მას ბატარეის უარყოფით ტერმინალზე დავაბრუნებთ (v, start subscript, i, n, end subscript, equals, 0). რა მოხდება ახლა?

ეს იგივე წრედია, რომლითაც დავიწყეთ, მაგრამ ამჯერად start text, C, end text-ზე მუხტია შენახული და, შესაბამისად, მასზე ძაბვაა მოდებული. ამის გამო ახლა start text, R, end text-ზე ძაბვაა მოდებული. გადამრთველის გამორთვის მომენტში ძაბვა v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript. შესაბამისად, ომის კანონის მიხედვით, start text, R, end text-ში დენის გადინება უნდა დაიწყოს. ამ დენის მომწოდებელი მუხტი start text, C, end text-ში შენახული მუხტიდან მოდის. მუხტები იქამდე განაგრძობენ მოძრაობას, სანამ საწყის მომენტში start text, C, end text შენახული მუხტი სრულად არ განილევა. v, start subscript, start text, C, end text, end subscript ნულოვან მნიშვნელობაზე ჩამოდის. start text, R, end text-ს ძაბვის სხვაობა ასევე ნულზე ჩამოდის. წრედი საწყის სტაციონარულ მდგომარეობას უბრუნდება. და, როგორც იქნა, მესამე შეკითხვასაც ვუპასუხეთ: „რა არის start text, C, end text-ზე მოდებული ძაბვა გადამრთველის გამორთვის შემდეგ?"

შეჯამება

მხოლოდ ჩვენი ინტუიციის გამოყენებით, ვიცით, რომ კონდენსატორის ძაბვა, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, დასაწყისში 0 ვოლტია. შემდეგ ის start text, V, end text, start subscript, start text, B, A, T, end text, end subscript ვოლტამდე იზრდება, მერე კი ისევ 0 ვოლტს უბრუნდება. სხვაგვარად რომ ვთქვათ, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript საწყისი სტაციონარული მდგომარეობიდან გარდამავალი პერიოდის გავლით ახალ სტაციონარულ მდგომარეობამდე მიდის, შემდეგ კი მეორე გარდამავალი პერიოდის გავლით საწყის სტაციონარულ მდგომარეობას უბრუნდება. ჩვენ ზუსტად ვიცით ორივე გარდამავალი პერიოდის საწყისი და საბოლოო ძაბვა. ეს ცუდი არაა, მაგრამ... რა არ ვიცით? ჩვენ არ ვიცით, რამდენი ხანი გრძელდება გარდამავალი პერიოდი ან რა ფორმა აქვს მას. ზუსტი ამონახსნის გასაგებად კალკულუსის გამოყენების დრო მოვიდა.

start text, R, C, end text ბუნებრივი რეაქციის ფორმალური გამოყვანა

ყველაზე მარტივი შემხვევით დავიწყოთ. წრედში მხოლოდ მიერთებული start text, R, end text და start text, C, end text კომპონენტები გვაქვს. „რეაქციის პოვნაში“ ვგულისხმობთ start color #e07d10, v, end color #e07d10-სა და start color #11accd, i, end color #11accd-ს დროის ფუნქციების პოვნას.

იმისთვის, რომ წრედმა უქმად ყოფნის გარდა რაიმე გააკეთოს, კონდენსატორზე საწყის მუხტს ვათავსებთ. ამას გარე წრედი აკეთებს, რომელიც არაა ნაჩვენები. სისტემაში ენერგიის შეტანის შემდეგ მას მივუშვებთ და დავაკვირდებით, რას გააკეთებს ბუნებრივად. წარმოიდგინეთ, რომ კონდენსატორი გარე წრედმა დამუხტა და მას რაღაც საწყისი ძაბვა start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript მისცა, ამის შემდეგ კი გარე წრედი გამოვაერთეთ.

მიღებულ ქცევას, რომელსაც ახლა გამოვიყვანთ, start text, R, C, end text წრედის ბუნებრივი რეაქცია ეწოდება. ბუნებრივი რეაქცია ისაა, რაცას წრედი აკეთებს, როდესაც მხოლოდ საწყისი მდგომარეობა გვაქვს მოცემული და წრედზე სხვა არაფერი არ მოქმედებს.

კომპონენტების მოდელირება

წრედის start text, R, end text და start text, C, end text კომპონენტების აღწერა მახასიათებელი ძაბვა-დენის განტოლებებითაა შესაძლებელი.

რეზისტორისთვის ომის კანონის შემდეგ ფორმას ვირჩევთ:

i, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, start fraction, v, divided by, start text, R, end text, end fraction

კონდენსატორისთვის შესაბამისი ძაბვა-დენის დამოკიდებულებაა:

i, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction

[საიდან მოდის ეს განტოლება?]

წრედის მოდელირება

კირხოფის დენის კანონის გამოყენებით შეგვიძლია ზედა კვანძიდან გამოდინებული ორი დენისთვის განტოლება ჩავწეროთ.

i, start subscript, start text, C, end text, end subscript, plus, i, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, 0

start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, v, equals, 0

წრედის ამოხსნა

წინა განტოლება პირველი ხარისხის ორდინალური დიფერენციალური განტოლებაა. ჩვენ გვაქვს საკმარისი მათემატიკური უნარები, რომ ასეთი განტოლებები ამოვხსნათ.

[რას ნიშნავს ეს ტერმინები?]

დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი რაიმე ფუნქციაა, ჩვენს შემთხვევაში, ძაბვის დროზე დამოკიდებულის ფუნქცია, v, left parenthesis, t, right parenthesis. v, left parenthesis, t, right parenthesis ამონახსნია, რომელიც დიფერენციალურ განტოლებას აკმაყოფილებს.

start text, C, end text, start fraction, d, v, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, v, equals, 0

(დიფერენციალური განტოლება)

საიდან ვიღებთ ორდინალური დიფერენციალური განტოლების ამონახსნებს? ამის ერთ-ერთი გზაა, ამონახსნის ფორმა გამოვიცნოთ და შემდეგ ის ვცადოთ.

[არის სხვა გზაც?]

როდესაც დიფერენციალურ განტოლებას დააკვირდებით, გამოიყენებთ თქვენი მთელი ცოდნა ფუნქციების შესახებ.

განტოლების ორი წევრის ჯამი ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ ფუნქციის პირველ წარმოებულს იგივე ფორმა უნდა ჰქონდეს, რაც თვითონ ფუნქციას. გაიხსენეთ რაიმე ფუნქცია, რომლის პირველი წარმოებულიც ფუნქციისავით გამოიყურება. ჰმმ...

ფუნქციას, რომელიც ამ წინაპირობას აკმაყოფილებს, მაჩვენებლიანი ფორმა აქვს, e, start superscript, x, end superscript, რადგან მაჩვენებლიანი ფუნქციის წარმოებული სხვა მაჩვენებლიანი ფუნქციაა.

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, e, start superscript, alpha, t, end superscript, equals, alpha, e, start superscript, alpha, t, end superscript

[გამეორება: მაჩვენებლიანი ფუნქციის წარმოებული]

დიფერენციალური განტოლების ამოსახსნელად, გაბედულად გამოვიცნოთ ამონახსნის ფორმა (ეს სიმამაცეს მოითხოვს). შემდეგ ჩვენს გამოცნობილ ამონახსნს განტოლებაში ჩავსვამთ და ჩვენი წრედის შესაბამის რამდენიმე მუდმივას გამოვითვლით (ეს ნაწილი მათემატიკას მოითხოვს). თუ შევძლებთ ისედი მუდმივების პოვნას, რომლებიც განტოლებას აკმაყოფილებს, მაშინ ჩვენი გამოცნობილი ფუნქცია განტოლების ამონახსნია, გავიმარჯვეთ.

ჩვენი გამოცნობილი განტოლება მაჩვენებლიანი ფუნქციაა, რომელსაც რამდენიმე ცვლად პარამეტრს დავუმატებთ, K-სა და s-ს.

v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript

t დროის ცვლადია.
v, left parenthesis, t, right parenthesis ძაბვაა, რომელიც დროის ფუნქციაა.
K და s მუდმივები არიან, რომელთა მნიშვნელობებიც უნდა გავიგოთ.
- K ამპლიტუდაა, რომელიც ძაბვას ზრდის ან ამცირებს.
- s ექსპონენტშია. მისი ერთეული დროის ერთეულს უნდა აბათილებდეს. ანუ, s-ის ერთეულია 1, slash, t.

მოდით, შევამოწმოთ, მუშაობს თუ არა ჩვენი ნავარაუდები ამონახსნი...

v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript დიფერენციალურ განტოლებაში ჩავსვათ:

start text, C, end text, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, 0

გამოვთვალოთ პირველი წევრის წარმოებული

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, s, start text, K, end text, e, start superscript, s, t, end superscript

s, start text, K, end text, e, start superscript, s, t, end superscript დიფერენციალური განტოლებაში ჩავსვათ:

s, start text, C, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0

ახლა შეგვიძლია, K, e, start superscript, s, t, end superscript ფრჩხილებს გარეთ გავიტანოთ

left parenthesis, s, start text, C, end text, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, right parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0

ეს განტოლება ჩვენს წრედს აღწერს ჩვენივე გამოცნობილი განტოლებით. თითქმის მოვრჩით. შემდეგ, გვჭირდება ჩვენი გამოცნობილი ამონახსნის ორი მუდმივა ვიპოვოთ.

რამდენნაირადაა შესაძლებელი, რომ ტოლობის მარცხენა მხარე ნულს უდრიდეს? ამის სამი გზაა: ამ სამი წევრიდან ნებისმიერი შეიძლება უდრიდეს ნულს: K, e, start superscript, s, t, end superscript ან left parenthesis, s, start text, C, end text, plus, 1, slash, start text, R, end text, right parenthesis.

K, equals, 0 ტრივიალური ამონახსნია. ეს იგივეა, რომ კონდენსატორზე განლაგებული საწყისი მუხტი 0 იყოს, ამ დროს წრედი უძრავ, სტაციონარულ მდგომარეობაშია, მასში არაფერი არ ხდება. ეს მოსაწყენია.

კიდევ ერთი ტრივიალური ამონახსნია e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0, სადაც s უარყოფითი მნიშვნელობისაა და t მიდის plus, infinity-სკენ. მაჩვენებლიანი ფუნქცია e, start superscript, minus, infinity, end superscript ნულოვან მნიშვნელობამდეა ჩამოსული, რაც იმას ნიშნავს, რომ კონდენსატორის სრულ განმუხტვას უსასრულოდ დიდი დრო უნდა ველოდოთ. არც ეს არის საინტერესო.

მეტად საინტერესო ამონახსნი მესამე შემთხვევიდან მოდის:

s, start text, C, end text, plus, start fraction, 1, divided by, start text, R, end text, end fraction, equals, 0

ეს განტოლება ჭეშმარიტია, თუკი:

s, equals, minus, start fraction, 1, divided by, start text, R, C, end text, end fraction

[საოცარი მომენტი]

ჯერჯერობით ჩვენი ნავარაუდები ამონახსნია:

$v(t) = K\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text{RC}}}}$

თითქმის დავასრულეთ, მხოლოდ K მუდმივას მნიშვნელობის პოვნა დაგვრჩა. ამისთვის წრედის საწყის მდგომარეობას გამოვიყენებთ. გაიხსენეთ, რომ საწყის მომენტში კონდენსატორზე start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript ძაბვა არის მოდებული. ამ მომენტს თუ t, equals, 0 წამს დავუძახებთ, მაშინ:

$v(0) = \text V_0 = Ke\^{\displaystyle{-\frac 0 {\text{RC}}}}$

ეს გვაძლევს K, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript-ს.

ვიპოვეთ s და K, რომლებიც დიფერენციალურ განტოლებას აკმაყოფილებენ. დავასრულეთ. სულ ეს არის...

start text, R, C, end text წრედის ბუნებრივი რეაქციის ზოგადი ამონახსნია,

$\large v(t) = \text V_0\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text{RC}}}}$

დროის მუდმივა

არ შეიძლება ექსპონენტში ერთეულები გვქონდეს. ეს იმას ნიშნავს, რომ e, start superscript, minus, t, slash, start text, R, C, end text, end superscript-ს ექსპონენტში start text, R, C, end text ნამრავლს დროის ერთეული უნდა ჰქონდეს, რათა t-ს ერთეულები გააბათილოს. შესაბამისად, start text, ო, მ, ი, end text, dot, start text, ფ, ა, რ, ა, დ, ა, =, space, წ, ა, მ, ი, end text.

start text, R, end text და start text, C, end text-ს ნამრავლს წრედის დროის მუდმივა ეწოდება, ის ბერძნული ასოთი tau (ტაუთი) აღიწერება.

tau, equals, start text, R, C, end text

ჩვენი ამონახსნი შეგვიძლია ასე ჩავწეროთ:

$v(t) = \text V_0\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\tau}}}$

როცა t დროის მუდმივას ტოლია, e-ს ექსპონენტი minus, 1 ხდება, ანუ ფუნქციის მნიშვნელობაა 1, slash, e, დაახლოებით 0, point, 37. დროის მუდმივა განსაზღვრავს, რამდენად სწრაფად ეცემა ექსპონენტის მრუდი ნულისკენ. 1 დროის მუდმივა დროის გავლის შემდეგ ძაბვა საწყისი მნიშვნელობის 37, percent-მდე ეცემა.

მაგალითი 1

ბუნებრივი რეაქციის წრედისთვის დავუშვათ,
let start text, R, end text, equals, 3, start text, k, end text, \Omega, start text, C, end text, equals, 1, mu, start text, F, end text, და start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, 1, point, 4, start text, V, end text.

a. დაწერეთ გამოსახულება v, left parenthesis, t, right parenthesis-სთვის
b. რა არის v, left parenthesis, t, right parenthesis, როდესაც t, equals, start text, R, C, end text ?
c. ააგეთ v, left parenthesis, t, right parenthesis-ს გრაფიკი

მაგალითი 1: ამოხსნა

a. დაწერეთ გამოსახულება v, left parenthesis, t, right parenthesis-სთვის

$v(t) = \text V_0\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text{RC}}}}$

$v(t) = 1.4\,\,e \^{\displaystyle-\dfrac t {3 \,\text{k}\Omega \cdot 1 \,\mu\text{F}}}$

$v(t) = 1{,}4\,\,e \^{\displaystyle-\dfrac t {3\times10^{3} \cdot 1\: \times10^{-6}}}$

$v(t) = 1{,}4\,e \^{\displaystyle-\dfrac t {3\times10^{-3}}}$

$v(t) = 1.4\,e \^{\displaystyle-\dfrac t {3 \:\text{მწმ}}}$

b. რა არის v, left parenthesis, t, right parenthesis, როდესაც t, equals, start text, R, C, end text ?

start text, R, C, end text ნამრავლის ერთეული წამია.

tau, equals, start text, R, C, end text, equals, 3, times, 10, cubed, dot, 1, times, 10, start superscript, minus, 6, end superscript

tau, equals, 3, times, 10, start superscript, minus, 3, end superscript, equals, 3, start text, მ, წ, მ, end text

v, left parenthesis, 3, start text, მ, წ, მ, end text, right parenthesis, equals, 1, point, 4, e, start superscript, minus, start fraction, 3, start text, მ, წ, მ, end text, divided by, 3, start text, მ, წ, მ, end text, end fraction, end superscript

v, left parenthesis, 3, start text, მ, წ, მ, end text, right parenthesis, equals, 1, point, 4, e, start superscript, minus, 1, end superscript

v, left parenthesis, 3, start text, m, წ, მ, end text, right parenthesis, equals, 1, point, 4, dot, 0, point, 3679

v, left parenthesis, 3, start text, მ, წ, მ, end text, right parenthesis, equals, 0, point, 515, start text, ვ, ო, ლ, ტ, ი, end text (ქვემოთა გრაფიკზეა მონიშნული)

c. ააგეთ v, left parenthesis, t, right parenthesis-ს გრაფიკი

start color #ff8482, start text, წ, რ, ე, შ, ი, end text, end color #ff8482 b ნაწილის პასუხია ნაჩვენები: v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 0, point, 515, start text, V, end text when t, equals, start text, R, C, end text, equals, 3, start text, მ, წ, მ, end text.

გამოსადეგი ზოგადი პრინციპი:

როცა დრო დროის მუდმივის, start text, R, C, end text-ს, ტოლია, ძაბვა საწყისი მნიშვნელობიდან 1, slash, e-თია დაკლებული, რაც საწყისი მნიშვნელობის დაახლოებით 37, percent-ა. ეს ყველა საწყისი ძაბვის მნიშვნელობისა და ყველა start text, R, C, end text ნამრავლისთვის ჭეშმარიტია.

მაგალითი 2

დავუშვათ, რომ start text, R, end text, equals, 1, start text, კ, end text, \Omega, start text, C, end text, equals, 1, start text, პ, ფ, end text, და start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, 1, point, 0, start text, V, end text.

a. ჩაწერეთ გამოსახულება v(t)-სთის.
b. რა არის დროის მუდმივა?
c. ააგეთ v, left parenthesis, t, right parenthesis-ს გრაფიკი.
d. რამდენი დროის მუდმივაა საჭირო საწყისი მნიშვნელობიდან ძაბვის 95, percent-ით კლებისთვის?

მაგალითი 2: ამოხსნა

a. ჩაწერეთ გამოსახულება v(t)-სთის.

$v(t) = \text V_0\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text{RC}}}}$

$v(t) = 1.0 \,e \^{\displaystyle-\dfrac t {1 \:\text{კ}\Omega \cdot 1 \:\text{პფ}}}$

$v(t) = 1{,}0 \,e \^{\displaystyle-\dfrac t {1 \times 10^{-9}}}$

$v(t) = 1.0 \,e \^{\displaystyle-\dfrac t {1 \:\text{ნწმ}}}$

b. რა არის დროის მუდმივა?

tau, equals, start text, R, C, end text, equals, 1, start text, კ, end text, \Omega, dot, 1, start text, პ, ფ, end text

tau, equals, 1, times, 10, start superscript, plus, 3, end superscript, dot, 1, times, 10, start superscript, minus, 12, end superscript

tau, equals, 1, times, 10, start superscript, minus, 9, end superscript, equals, 1, start text, ნ, წ, მ, end text

c. ააგეთ v, left parenthesis, t, right parenthesis-ს გრაფიკი.

start color #ff8482, start text, წ, რ, ე, შ, ი, end text, end color #ff8482 d ნაწილის პასუხია ნაჩვენები.

d. რამდენი დროის მუდმივაა საჭირო საწყისი მნიშვნელობიდან ძაბვის 95, percent-ით კლებისთვის?

ზედა გრაფიკზე ვხედავთ, რომ ძაბვა left parenthesis, 1, minus, 0, point, 95, right parenthesis, dot, 1, start text, V, end text, equals, 0, point, 05 ვოლტამდე დაახლოებით 3 ნანოწამში ეცემა, რაც 3 დროის მუდმივას შეესაბამება. ეს წერტილი start color #ff8482, start text, წ, რ, ი, თ, ა, ა, end text, end color #ff8482 მონიშნული.

კიდევ ერთი ზოგადი პრინციპი

ნებისმიერი start text, R, C, end text გარდამავალი პროცესი დაახლოებით 3 დროის მუდმივის შემდეგ სრულდება. ეს ჭეშმარიტია ნებისმიერი საწყისი ძაბვისთვის და დროის მუდმივასთვის, start text, R, C, end text.

შეჯამება

start text, R, C, end text წრედის ბუნებრივი რეაქცია მაჩვენებლიანი ფუნქციაა:

$v(t) = \text V_0\,e^{\displaystyle{\raise{.6em}{-t}\raise{.4em}{ /}\raise{.1em}{\text{RC}}}}$

სადაც, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript საწყისი ძაბვაა t, equals, 0 წამზე.

start text, R, C, end text წრედის დროის მუდმივაა tau, equals, start text, R, C, end text

ეპილოგი

e, start superscript, x, end superscript ფუნქცია

e, start superscript, x, end superscript ფუნქცია იზრდება (x, is greater than, 0) ან იკლებს (x, is less than, 0) რაღაც სისწრაფით, ეს x-ზეა დამოკიდებული. უამრავი სხვა ფუნქცია არსებობს, რომლებსაც დაახლოებით იგივე ზოგადი ფორმა აქვთ. ნებისმიერ ფუნქციას, რომელიც y, start superscript, x, end superscript-ვით გამოიყურება, ასეთივე მრუდი ფორმა აქვს. თუ იმავე ფორმის მიღება ნებისმიერი y მნიშვნელობისთვის შეგვიძლია, როგორიცაა 2, start superscript, x, end superscript ან 10, start superscript, x, end superscript, რითია განსაკუთრებული არარაციონალური რიცხვი e? e სხვა შესაძლებლობაზე მეტად იმიტომ გვიყვარს, რომ e არის ერთადერთი რიცხვი, რომლისთვისაც y, start superscript, x, end superscript-ის წარმოებული იგივეა, რაც თვითონ ფუნქცია. ანუ, ნებისმიერ წერტილში ნებისმიერი x-ისთვის e, start superscript, x, end superscript-ს დახრილობა e, start superscript, x, end superscript-ის ტოლია.

start fraction, empty space, start text, d, end text, e, start superscript, x, end superscript, divided by, empty space, start text, d, end text, x, empty space, end fraction, equals, e, start superscript, x, end superscript

არაფერი ზედმეტი, ზუსტად იგივეა.

მაჩვენებლიანი ფუნქციები ბუნებაში

RC წრედის ბუნებრივი რეაქციის პოვნის ამოცანა, რომელიც ახლა ამოვხსნეთ, ბუნებაში მიმდინარე სხვა მოვლენებსაც შეეფერება. მაჩვენებლიანი ფუნქცია ძალიან კარგი მათემატიკური მოდელია ბუნებაში რაღაცების ზრდის ან შემცირების აღსაწერად. ურანის დაშლა, პოპულაციის ზრდა, სესხის გადახდები, გათბობა და გაციება, და სხვა ბუნებრივი მოვლენები.ზოგადად: მაჩვენებლიანი ფუნქციები წარმოიშობიან სიტუაციებში, რომლებშიც ცვლილების სისწრაფე პროპორციულია იმ რაღაცის რაოდენობის, რაც იცვლება. RC წრედის შემთხვევაში ძაბვის ცვლილების სისწრაფე ძაბვის პროპორციულია. მრუდის დახრილობა დიდია, როდესაც ძაბვაა დიდი და ძაბვის კლებასთან ერთად ძაბვის მრუდის დახრილობაც იკლებს.

[საავტორო უფლებების შესახებ]

დავალაგოთ:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ელექტროინჟინერია

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

რის აგებას ვცდილობთ

პირველ ყოვლისა, ინტუიციურად ვივარაუდოთ, რა მოხდება

გადამრთველის ჩართვამდე

გადამრთველის ჩართვის შემდეგ

გადამრთველის გამორთვის შემდეგ

შეჯამება

RC\text{RC}RCstart text, R, C, end text ბუნებრივი რეაქციის ფორმალური გამოყვანა

კომპონენტების მოდელირება

წრედის მოდელირება

წრედის ამოხსნა

დროის მუდმივა

მაგალითი 1

მაგალითი 1: ამოხსნა

გამოსადეგი ზოგადი პრინციპი:

მაგალითი 2

მაგალითი 2: ამოხსნა

კიდევ ერთი ზოგადი პრინციპი

შეჯამება

ეპილოგი

exe^xexe, start superscript, x, end superscript ფუნქცია

მაჩვენებლიანი ფუნქციები ბუნებაში

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

start text, R, C, end text ბუნებრივი რეაქციის ფორმალური გამოყვანა

e, start superscript, x, end superscript ფუნქცია