ძირითადი მასალა

ელექტროინჟინერია

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 4: ბუნებრივი და იძულებითი რეაქცია

LC ბუნებრივი რეაქცია — გამოყვანა

Google–ის საკლასო ოთახი

LC ბუნებრივი რეაქციის ფორმალური გამოყვანა, სადაც რხევის სიხშირეს აღმოვაჩენთ. ავტორი:უილი მაკალისტერი.

ამ სტატიაში ინდუქტორ-კონდენსატორის, start text, L, C, end text-ის, წრედის ბუნებრივ რეაქციას გამოვიყვანთ.

სინუსოიდური ტალღები აქ წარმოიშობიან.

მიმოხილვა

ამ სტატიაში მე-2 რიგის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა ნაბიჯ-ნაბიჯაა განხილული. ალბათ, ასეთ განტოლებებთან მუშაობის გამოცდილება არ გაქვთ. აქ შეგიძლიათ მე-2 რიგის განტოლებების შესახებ ვიდეო იხილოთ. 1-ლი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა ამ სტატიებშია მოცემულიstart underline, start text, R, C, end text, end underline და start underline, start text, R, L, end text, end underline ბუნებრივი რეაქცია. ასევე შეგიძლიათ, 1-ლი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ვიდეოებიც ნახოთ.

რის აგებას ვცდილობთ

start text, L, C, end text წრედის ბუნებრივი რეაქცია მეორე რიგის ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებითაა აღწერილი:

start text, L, end text, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, i, equals, 0

ამონახსნი დენისთვის არის:

სადაც omega, start subscript, circle, end subscript, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root არის start text, L, C, end text წრედის ბუნებრივი რეაქცია და start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript კონდენსატორზე მოდებული საწყისი ძაბვაა.

ელექტროინჟინერიაში, square root of, minus, 1, end square root წარმოსახვით ერთეულს j ასოთი აღვნიშნავთ.
(ასო i დენისთვისაა გამოყენებული)

შესავალი

პირველი რიგის სისტემები

აქამდე პირველი რიგის სისტემები გავაანალიზეთ, start underline, start text, R, C, end text, end underline და start underline, start text, R, L, end text, end underline, რომლებშიც მხოლოდ ერთი ენერგიის შემნახველი კომპონენტია, start text, C, end text ან start text, L, end text. პირველი რიგის წრედების ბუნებრივ რეაქციას მაჩვენებლიანი ფუნქციის ფორმა აქვს. სისტემაში შენახულ საწყის ენერგიას რეზისტორი ფანტავს.

მეორე რიგის სისტემები

ახლა გავაანალიზებთ წრედს, რომელშიც რეზისტორი არ არის და ორი ენერგიის შემნახველი კომპონენტია. წრედები ორი ენერგიის შემნახველი კომპონენტით მეორე რიგის სისტემებია, რადგან ისინი მეორე ხარისხის წარმოებულის მქონე განტოლებას გვაძლევენ.

ამ სტატიაში start text, L, C, end text წრედს განვიხილავთ. ეს ერთ-ერთია ბოლო ორი წრედიდან, რომლებსაც დიფერენციალური განტოლებების გამოყენებით ამოვხსნით. ასეთი ბოლო წრედი start text, R, L, C, end text წრედი იქნება (შემდეგ სტატიაში). დიფერენციალური განტოლებების მათემატიკა უფრო და უფრო რთულდება. საბედნიეროდ, როდესაც start text, L, C, end text და start text, R, L, C, end text წრედების ანალიზს დავასრულებთ, ვისწავლით მეთოდს, რომელიც წრედებთან მუშაობასა და მათ ანალიზს გაგვიმარტივებს.

ამჯერად კვლავ განვაგრძობთ დიფერენციალური განტოლებების გამოყენებას, სანამ ახალ მეთოდზე გადავალთ. ამგვარად, ვიხილავთ, სად წარმოიშობა სინუსოიდური ტალღები ელექტრონიკაში. სინუსოიდური ტალღები მეორე რიგის განტოლების ამონახსნებში ჩნდება. ისინი ძალიან მნიშვნელოვანი ტიპის სიგნალებია და მათი გამოყენებით ყველა სხვა სიგნალის აგებაა შესაძლებელი.

მეორე რიგის სისტემები პირველი ისეთი სისტემებია, რომლებიც ირხევიან, ოსცილირებენ. მეორე რიგის მექანიკური სისტემის კლასიკური მაგალითი ქანქარიანი საათია. ელექტრონიკაში, კლასიკური მეორე რიგის სისტემა start text, L, C, end text წრედია.

ბუნებრივი რეაქცია

ჩვენ გვსურს start text, L, C, end text წრედის ბუნებრივი რეაქციის პოვნა. ბუნებრივი რეაქცია აღწერს წრედის ქცევას, როდესაც მასზე გარე ძალა არ მოქმედებს. ბუნებრივი რეაქცია წრედის სრული რეაქციის მნიშვნელოვანი ნაწილია.

მე-2 რიგის წრედის ბუნებრივი რეაქცია

ზუსტი ბუნებრივი რეაქციის საპოვნად, მოდით, წრედში რაღაც საწყისი ენერგია მოვათავსოთ. კომპონენტები ფრთხილათ აღბნიშნოთ პასიური კომპონენტების ნიშნების კონვენციის გამოყენებით. ინდუქტორში საწყისი დენია 0, start text, A, end text, რადგან საწყის მომენტში ჩამრთველი ღიაა. დავუშვებთ, რომ ჩამრთველის დახურვამდე კონდენსატორზე მოდებულია ძაბვა v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, minus, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript ( ყურადღება მიაქციეთ, რომ v, start subscript, start text, C, end text, end subscript-ს plus ნიშანი ქვევით აქვს). ჩამრთველს t, equals, 0 წამს დავხურავთ.

ისევე, როგორც ყველა სხვა წრედის ანალიზისას, აქაც კირხოფის კანონების ჩაწერით ვიწყებთ. ამ შემთხვევაში, წრედის გარშემო კირხოფის ძაბვის კანონს ჩავწერთ, წრედის ქვედა მარცხენა წერტილიდან დავიწყებთ და საათის ისრის მიმართულებით მივყვებით.

v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, plus, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, 0

start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, i, d, t, equals, 0

ეს კირხოფის განტოლება ინტეგრალს შეიცავს, რომელთან მუშაობაც რთულია. ინტეგრალი (იგივე ანტიწარმოებული) შეგვიძლია გაწარმოებით მოვიშოროთ. ამ განტოლების ყველა წევრს გავაწარმოებთ.

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, i, d, t, right parenthesis, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, 0

ეს start text, L, end text წევრის მეორე წარმოებულს გვაძლებს, 1, slash, start text, C, end text წევრის ინტეგრალს გვაშორებს და მარჯვენა მხარეს კვლავ 0-ს გვიტოვებს.

start text, L, end text, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, i, equals, 0

განტოლება უფრო სუფთად გამოიყურება, თუ პირველ წევრს კოეფიციენტი არ აქვს, ამიტომ განტოლებას start text, L, end text-ზე ვყოფთ. ეს მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება ჩვენი წრედის არსს აღწერს.

start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, i, equals, 0

ამონახსნის გამოცნობა

როდესაც პირველი რიგის start text, R, C, end text და start text, R, L, end text წრედები ამოვხსენით, ჩვენ i, left parenthesis, t, right parenthesis-სთვის ექსპონენტური ფორმის ამონახსნი გამოვიცანით. გამოცნობამეორე რიგის განტოლებებისთვისაც მუშობს. ჩვენს მეორე რიგის განტოლებასაც იგივე მოთხოვნები აქვს: გვჭირდება ფუნქცია, რომლის წარმოებულები მისნაირად გამოიყურება, რათა განტოლების წევრების ჯამი 0 იყოს. ასეთი ფუნქცია მაჩვენებლიანი (ექსპონენტური) ფუნქციაა. ამჯერადაც ამონახსნად მაჩვენებლიან ფუნქციას ვივარაუდებთ, რომელსაც ცვლადი პარამეტრები ექნება:

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript

K ამპლიტუდაა, რომელიც დენის ძალის ზომას განსაზღვრავს.

s ექსპონენტში t-ს გვერდითაა მოთავსებული. რადგან ექსპონენტს განზომილება ვერ ექნება, s-ს იგივე ერთეულები უნდა ჰქონდეს, რაც 1, slash, t-ს, ანუ სიხშირეს. რადგან ბუნებრივ რეაქციას ვეძებთ, s ბუნებრივი სიხშირეა.

ახლა ჩვენს გამოცნობილ ფუნქციას დიფერენციალურ განტოლებაში ჩავსვამთ და ვნახავთ, აკმაყოფილებს თუ არა ის განტოლებას.

start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, i, equals, 0

start fraction, d, squared, divided by, d, t, squared, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, 0

პირველი წევრით დავიწყოთ, ის ორჯერ უნდა გავაწარმოოთ. პირველი წარმოებული გვაძლევს:

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, s, K, e, start superscript, s, t, end superscript

ახლა მეორე წარმოებული ვნახოთ:

start fraction, d, squared, divided by, d, t, squared, end fraction, left parenthesis, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, s, K, e, start superscript, s, t, end superscript, right parenthesis, equals, s, squared, K, e, start superscript, s, t, end superscript

ჩვენი მეორე წარმოებული უკან ჩავსვათ განტოლებაში:

s, squared, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0

ახლა K, e, start superscript, s, t, end superscript საერთო წევრი ფრჩხილებს გარეთ გავიტანოთ:

K, e, start superscript, s, t, end superscript, left parenthesis, s, squared, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, right parenthesis, equals, 0

ამ განტოლების დაკმაყოფილების რამდენი გზა არსებობს?

K, equals, 0 ძალიან მოსაწყენია. 0, equals, 0, მერე რა?

e, start superscript, s, t, end superscript არასოდესაა ნული სასრული დროისთვის.

შესაბამისად, ერთადერთი საინტერესო ამონახსნია, თუკი (s, plus, 1, slash, start text, L, C, right parenthesis, end text უდრის 0-ს:

s, squared, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, equals, 0

ამ განტოლებას წრედის მახასიათებელი განტოლება ეწოდება. ჩვენ ამ მახასიათებელი განტოლების ფესვების პოვნა გვსურს (s-ის ის მნიშვნელობები, რომლებიც განტოლების მარცხენა მხარეს ნულად აქცევს).

s, squared, equals, minus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction

შეხედეთ, ახლა რა მოხდება. ახლა უარყოფითი რიცხვიდან ფესვს ამოვიღებთ და წარმოსახვით რიცხვს „შევქმნით“.

s-ს ორი შესაძლო მნიშვნელობა აქვს:

s, start subscript, 1, end subscript, equals, plus, j, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root

s, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, j, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root

ელექტროინჟინერიაში წარმოსახვით ერთეულს, square root of, minus, 1, end square root-ს, ასო j აღნიშნავს, რადგან i დენისთვისაა გამოყენებული.

მოკლედ ჩაწერისთვის, ფესვიან წევრს სახელს დავარქმევთ:

omega, start subscript, circle, end subscript, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root

[რა სიმბოლოა მომრგვალებული w?]

მახასიათებელი განტოლების ფესვები შეგვიძლია omega, start subscript, start text, o, end text, end subscript-ს გამოყენებით ასე ჩავწეროთ:

s, start subscript, 1, end subscript, equals, plus, j, omega, start subscript, circle, end subscript

s, start subscript, 2, end subscript, equals, minus, j, omega, start subscript, circle, end subscript

ესეც ასე! start text, L, C, end text წრედი ორ კომპლექსურ სიხშირეს წარმოშობს, s, start subscript, 1, end subscript და s, start subscript, 2, end subscript. ამათგან ერთ-ერთი სიხშირე უარყოფითია. ძალიან საინტერესოა.

s, start subscript, 1, end subscript და s, start subscript, 2, end subscript, ორივე განტოლების ფესვებია. ჩვენ ამონახსნში, ორივე ბუნებრივ სიხშირეს, s, start subscript, 1, end subscript-ს და s, start subscript, 2, end subscript-ს, გამოვიყენებთ. ანუ, ზოგად ამონახსნს ჩავწერთ, როგორც ორი წევრის წრფივ კომბინაციას ორი ცვლადი K მუდმივათი.

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, plus, j, omega, start subscript, circle, end subscript, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, j, omega, start subscript, circle, end subscript, t, end superscript

ალბათ, ბევრი კითხვა გაქვთ: „კომპლექსური ექსპონენტები? უარყოფითი სიხშირეები? ეს ნამდვილად ხდება?“. კი, ეს ყველაფერი სიმართლეა. ცოტაც და ამ გამოსახულებებთან მუშაობისას ეს ყველაფერი ნათელი გახდება.

ოილერის იგივეობები

კომპლექსურ ექსპონენტებთან მუშაობისთვის ამ ძალიან მნიშვნელოვან იგივეობას ვიყენებთ.

ოილერის იგივეობების გამოყვანა e, start superscript, j, x, end superscript, sine, j, x, და cosine, j, x ფუნქციების მაკლორინის მწკრივების გამოყენებითაა შესაძლებელი:

e, start superscript, plus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, plus, j, sine, x

e, start superscript, minus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, minus, j, sine, x

ბმულში მითითებულ ვიდეოში, როდესაც i არის ნახსენები, ჩვენ j-ს ვგულისხმობთ.

ამ იგივეობების გამოყენებით შეგვიძლია უცნაური e, start superscript, წ, ა, რ, მ, ო, ს, ა, ხ, ვ, ი, თ, ი, end superscript ჩვეულებრივ კომპლექსურ რიცხვად ვაქციოთ. რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები კოსინუს და სინუს ფუნქციებიდან მოდიან. ანუ, ორივე რეალური და წარმოსახვითი კომპონენტების მნიშვნელობები minus, 1-დან plus, 1-მდე არიან.

ოილერის იგივეობების გამოყენება

ოილერის იგივეობებს ჩვენს ვანარაუდებ ამონასნში ვიყენებთ.

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, j, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, right parenthesis, plus, K, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, minus, j, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, right parenthesis

გადავამრავლოთ მუდმივებზე:

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, start subscript, 1, end subscript, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, j, K, start subscript, 1, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, K, start subscript, 2, end subscript, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, minus, j, K, start subscript, 2, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, comma

კოსინუს და სინუს წევრებს თავი მოვუყაროთ:

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t

ჩვენ არ ვიცით K, start subscript, 1, end subscript და K, start subscript, 2, end subscript, არც მათი ჯამი და სხვაობა. საქმის გამარტივებისთვის შეგვიძლია, უცნობი K ცვლადები ასევე უცნობი A ცვლადებით ჩავანაცვლოთ.

დავუშვათ, რომ A, start subscript, 1, end subscript, equals, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis და A, start subscript, 2, end subscript, equals, j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript), მაშინ i, left parenthesis, t, right parenthesis არის:

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t

ჩვენ ოილერის იგივეობების გამოყენებით კომპლექსური ესპონენტური ფუნქციები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამად გადავწერეთ. პირველად ელექტრონიკაში გვაქვს განტოლება, რომელიც დროზე დამოკიდებული სინუსებისა და კოსინუსებისგან (სინუსოიდური ტალღებისგან) შედგება.

(ყურადღება მიაქციეთ, როგორ განვსაზღვრეთ A, start subscript, 2, end subscript, რომ ის მოიცავდეს j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis-ს, რათა j ამონახსნში პირდაპირ აღარ ჩანდეს)

გამოვცადოთ გამოცნობილი ამონახსნი

შემდეგ, ჩვენს ნავარაუდებ ამონახსნს მეორე რიგის დიფერენციალურ განტოლებაში ჩასმით გამოვცდით. თუ შევძლებთ ისეთი მუდმივების პოვნას, რომელიც დიფერენციალურ განტოლებას დააკმაყოფილებს, ჩვენი ამონახსნი გამარჯვებულია.

საწყისი მდგომარეობის პოვნა

მეორე რიგის წრედისთვის საწყისი მდგომარეობის პოვნა ცოტათი უფრო ჩახლართულია, ვიდრე პირველი რიგის წრედითვის. როდესაც ეს პირველი რიგის start text, R, C, end text და start text, R, L, end text წრედებისთვის გავაკეთეთ, საწყისი ძაბვის ან საწყისი დენის ერთი მნიშვნლეობის ცოდნა გვჭირდებოდა. მეორე რიგის start text, L, C, end text წრედის შემთხვევაში ორი რამის ცოდნაა საჭირო: საწყისი დენის და საწყისი დენის წარმოებულის ჩამრთველის ჩაკეტვისას.

ეს ვიცით t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript დროის შესახებ (ჩამრთველის დაკეტვის წინა მომენტი):

ჩამრთველი ღაა, ამიტომ i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
კონდენსატორის საწყისი ძაბვაა: v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript.

t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript ჩამრთველის ჩაკეტვის შემდეგი მომენტია, ჩვენი მიზანია i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis და d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis ვიპოვით.

ჩვენ ვიცით იმ კონდენსატორებისა და ინდუქტორიების ზოგიერთი თვისება, რომლებიც t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript დროდან t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript დროში გადასვლაში დაგვეხმარებიან:

ინდუქტორის დენი უცაბედად ვერ შეიცვლება, ამიტომ
i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
კონდენსატორის ძაბვა უცაბედად ვერ შეიცვლება, ამიტომ
v, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, v, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

(ჩემრთველის დახურვის შემდეგ მხოლოდ ერთი v გვაქვს, ამიტომ მხოლოდ v ცვლადს გამოვიყენებთ)

წრედის მდგომარეობა ჩამრთველის დაკეტვის შემდეგ, t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript დროს. ახლა მხოლოდ ერთი ძაბვა გვაქვს, v, equals, v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, minus, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript. კონდენსატორის საწყისი ძაბვაა v, equals, plus, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript.

უკვე გვაქვს i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, მაგრამ d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis ჯერ არ ვიცით. საიდან შეგვიძლია ამ წარმოებულის გაგება? ინდუქტორის i-v განტოლება ხომ არ გვეცადა?

v, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, v, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

ესეც ჩვენი მეორე საწყისი მდგომარეობა. ეს ამბობს, რომ ჩამრთველის დახურვის შემდეგ მომენტში ინდუქტორის დენი start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, slash, start text, L, end text ამპერი წამში სისწრაფით იცვლება.

საწყისი მდგომარეობის შეჯამება

i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით A, start subscript, 1, end subscript-ს და A, start subscript, 2, end subscript-ს ვიპოვით

საწყის მდგომარეობას მუდმივების საპოვნელად გამოვიყენებთ. პირველი საწყისი მდგომარეობაა i, equals, 0, t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript დროს. მოდით, ეს ნავარაუდებ ამონახსნში ჩავსვათ და ვნახოთ, რას მივიღებთ:

0, equals, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, left parenthesis, omega, start subscript, circle, end subscript, dot, 0, right parenthesis, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, left parenthesis, omega, start subscript, circle, end subscript, dot, 0, right parenthesis

0, equals, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, 0, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, 0

\begin{array}{r} 1 \\ 0=A_1\cancel{\cos 0} \end{array} \begin{array}{r} 0 \\ + \,A_2 \cancel{\sin 0} \end{array}

0, equals, A, start subscript, 1, end subscript

A, start subscript, 1, end subscript უდრის 0-ს, ანუ ამონახსნს კოსინუს წევრი ჩამოშორდა. ახლა გვაქვს:

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, A, start subscript, 2, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t

ახლა A, start subscript, 2, end subscript-ს გავარკვევთ მეორე საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით. i-ს წარმოებული t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript დროს არის:

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

გავაწარმოოთ ნავარაუდები i, left parenthesis, t, right parenthesis:

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, A, start subscript, 2, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, right parenthesis

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, omega, start subscript, circle, end subscript, A, start subscript, 2, end subscript, cosine, omega, start subscript, circle, end subscript, t

ამ განტოლების t, equals, 0 დროს შეფასება გვაძლევს:

start fraction, 1, divided by, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, omega, start subscript, circle, end subscript, A, start subscript, 2, end subscript, cosine, left parenthesis, omega, start subscript, circle, end subscript, dot, 0, right parenthesis

A, start subscript, 2, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, omega, start subscript, circle, end subscript, start text, L, end text, end fraction, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

შეგვიძლია omega, start subscript, circle, end subscript ჩავწეროთ start text, L, end text-სა და start text, C, end text-ს გამოყენებით:

[მაჩვენე ალგებრა]

A, start subscript, 2, end subscript, equals, square root of, start fraction, start text, C, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, end square root, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

საბოლოოდ, ბევრი მუშაობის შემდეგ, დენის ამონახსნი არის:

რეალური კომპონენტების მნიშვნელობები

ამონახსნის სადემონსტრაციოდ რეალურ კომპონენტების მნიშვნელობებს გამოვიყენებთ: start text, L, end text, equals, 1 ჰენრი და start text, C, end text, equals, 1, slash, 4 ფარადა, კონდენსატორის საწყის ძაბვაა 10, start text, V, end text.

ბუნებრივი სიხშირე omega, start subscript, circle, end subscript არის:

omega, start subscript, circle, end subscript, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root, equals, square root of, start fraction, 1, divided by, 1, dot, 1, slash, 4, end fraction, end square root, equals, 2, start text, რ, ა, დ, ი, ა, ნ, ი, slash, წ, ა, მ, ი, end text

დენის ძალის დროზე დამოკიდებული ფუნქციაა:

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, square root of, start fraction, start text, C, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, end square root, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t, equals, square root of, start fraction, start text, 1, end text, slash, 4, divided by, 1, end fraction, end square root, 10, sine, omega, start subscript, circle, end subscript, t

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 5, sine, 2, t

დენი ზრდას ჩამრთველის დახურვის მომენტში იწყებს:

დენს სინუს ტალღის ფორმა აქვს და ეს უსასრულოდ ნარჩუნდება (იდეალურ წრედში რეზისტორი არ გვაქვს, ამიტომ ენერგია არასოდეს იფანტება. რეალურ წრედს ყოველთვის აქვს პატარა წინაღობა, რაც საბოლოოდ ენერგიის გაფანტვას იწვევს).

სინუს ტალღის ბუნებრივი სიხშირე არის omega, start subscript, circle, end subscript, equals, 2, start text, რ, ა, დ, ი, ა, ნ, ი, end text, slash, start text, წ, ა, მ, ი, end text. რადიან/წამი სიხშირე შეგვიძლია ციკლი/წამი სიხშირედ გარდავქმნათ (რომელსაც ჰერცი ეწოდება, start text, H, z, end text), რადგან ვიცით, რომ სინუსის 1 სრული ციკლი 2, pi რადიანს შეესაბამება. როგორც წესი, სიმბოლო f-ს სიხშირის ციკლი/წამში ვერსიის აღსანიშნად ვიყენებთ. გადაყვანა შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც:

omega, equals, 2, pi, f

ციკლი/წამი სიხშირის ფორმით მოცემული წრედის ბუნებრივი სიხშირე, ჰერცებში, start text, H, z, end text, არის:

f, equals, start fraction, 2, start text, რ, ა, დ, ი, ა, ნ, ი, slash, წ, ა, მ, ი, end text, divided by, 2, pi, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, pi, end fraction, start text, H, z, comma, end text

შესაბამისად, დენი ერთ სრულ ციკლს ყოველ pi წამში ასრულებს.

გადავხედოთ საწყის მდგომარეობას

მოდით, საწყის მომენტს დავაკვირდეთ და გამოვარკვიოთ, როგორ შეესაბამება ამონახსნი საწყის მდგომარეობებს. სინუს ტალღა სათავეში იწყება, i, equals, 0. ლურჯი სინუს ტალღის დახრილობა სათავესთან სწორი შავი წრფის დახრილობას შეესაბამება, i, equals, 10, start text, A, end text, slash, start text, წ, ა, მ, ი, end text.

ძაბვა, v, left parenthesis, t, right parenthesis

დენი უკვე ვიპოვეთ. ახლა შეგვიძლია, ძაბვა v, left parenthesis, t, right parenthesis გავარკვიოთ.

იპოვეთ გამოსახულება v, left parenthesis, t, right parenthesis-სთვის ჩამრთველის ჩაკეტვის შემდეგ.

ამისთვის ყველაზე სწრაფი გზა ინდუქტორის i-v განტოლების გამოყენება და მისი v-სთვის ამოხსნაა (რომელიც ძაბვის d, i, slash, d, t-სთან დამოკიდებულებას გვაჩვენებს).

v, left parenthesis, t, right parenthesis, equals

[მაჩვენე პასუხი]

შეჯამება

ჩვენ გამოვიყვანეთ start text, L, C, end text წრედის ბუნებრივი რეაქცია. ამისთვის დასწყისში ჩავწერეთ ჰომოგენური მეორე რიგის ფინერენციალური განტოლება:

start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, i, equals, 0

შემდეგ, დავუშვით, რომ ამონახსნს K, e, start superscript, s, t, end superscript ფორმა ჰქონდა, რომელმაც მოგვცა წრედის მახასიათებელი განტოლება:

s, squared, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, equals, 0

მახასიათებელი განტოლების ფესვების გამოთვლისას გადავეყარეთ ძალიან უცნაურ გამოსახულებას: e, start superscript, j, omega, start subscript, circle, end subscript, t, end superscript მაჩვენებლიან ფუნქციას, რომელსაც კომპლექსური ექსპონენტი აქვს. ამის გამოსარკვევად გამოვიყენეთ:

ოილერის იგივეობები

e, start superscript, plus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, plus, j, sine, x
e, start superscript, minus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, minus, j, sine, x

ამ იგივეობების გამოყენებით კომპლექსური მაჩვენებლიანი ფუნქციები სინუსებისა და კოსინუსების კომბინაციად გადავწერეთ (ელექტროინჟინერიაში წარმოსახვითიsquare root of, minus, 1, end square root ერთეულის ჩასაწერად ასო j-ს ვიყენებთ).

შემდეგ წრედიდან საწყისი მდგომარეობები გავიგეთ. მეორე რიგის სისტემისთვის დაგვჭირდა საწყისი i და საწყისი d, i, slash, d, t გვეპოვა.

ვიპოვეთ ფუნქცია i, left parenthesis, t, right parenthesis, რომელიც დიფერენციალური განტოლებას აკმაყოფილებდა:

omega, start subscript, circle, end subscript, \equiv, square root of, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, end square root არის start text, L, C, end text წრედის ბუნებრივი სიხშირე.

start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript კონდენსატორზე მოდებული საწყისი ძაბვაა.

(ამონახსნი მუშაობს, როდესაც ინდუქტორის საწყისი დენია 0.)

[საავტორო უფლებების შესახებ]

დავალაგოთ:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ელექტროინჟინერია

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

მიმოხილვა

რის აგებას ვცდილობთ

შესავალი

პირველი რიგის სისტემები

მეორე რიგის სისტემები

ბუნებრივი რეაქცია

მე-2222 რიგის წრედის ბუნებრივი რეაქცია

ამონახსნის გამოცნობა

ოილერის იგივეობები

ოილერის იგივეობების გამოყენება

გამოვცადოთ გამოცნობილი ამონახსნი

საწყისი მდგომარეობის პოვნა

საწყისი მდგომარეობის შეჯამება

საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით A1A_1A1​A, start subscript, 1, end subscript-ს და A2A_2A2​A, start subscript, 2, end subscript-ს ვიპოვით

რეალური კომპონენტების მნიშვნელობები

გადავხედოთ საწყის მდგომარეობას

ძაბვა, v(t)v(t)v(t)v, left parenthesis, t, right parenthesis

შეჯამება

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

მე-2 რიგის წრედის ბუნებრივი რეაქცია

საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით A, start subscript, 1, end subscript-ს და A, start subscript, 2, end subscript-ს ვიპოვით

ძაბვა, v, left parenthesis, t, right parenthesis