If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 4: ბუნებრივი და იძულებითი რეაქცია

LC ბუნებრივი რეაქცია — გამოყვანა

LC ბუნებრივი რეაქციის ფორმალური გამოყვანა, სადაც რხევის სიხშირეს აღმოვაჩენთ. ავტორი:უილი მაკალისტერი.
ამ სტატიაში ინდუქტორ-კონდენსატორის, LC-ის, წრედის ბუნებრივ რეაქციას გამოვიყვანთ.
ინდუქტორი კონდენსატორის პარალელურადაა დაერთებული
სინუსოიდური ტალღები აქ წარმოიშობიან.

მიმოხილვა

ამ სტატიაში მე-2 რიგის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა ნაბიჯ-ნაბიჯაა განხილული. ალბათ, ასეთ განტოლებებთან მუშაობის გამოცდილება არ გაქვთ. აქ შეგიძლიათ მე-2 რიგის განტოლებების შესახებ ვიდეო იხილოთ. 1-ლი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა ამ სტატიებშია მოცემულიRC და RL ბუნებრივი რეაქცია. ასევე შეგიძლიათ, 1-ლი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ვიდეოებიც ნახოთ.

რის აგებას ვცდილობთ

LC წრედის ბუნებრივი რეაქცია მეორე რიგის ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებითაა აღწერილი:
Ld2idt2+1Ci=0
ამონახსნი დენისთვის არის:
i(t)=CLV0sinωt
სადაც ω=1LC არის LC წრედის ბუნებრივი რეაქცია და V0 კონდენსატორზე მოდებული საწყისი ძაბვაა.
ელექტროინჟინერიაში, 1 წარმოსახვით ერთეულს j ასოთი აღვნიშნავთ.
(ასო i დენისთვისაა გამოყენებული)

შესავალი

პირველი რიგის სისტემები

RC წრედის ბუნებრივი რეაქცია, რომელიც 1-ლი რიგის დიფერენციალური განტოლებითაა აღწერილი.
აქამდე პირველი რიგის სისტემები გავაანალიზეთ, RC და RL, რომლებშიც მხოლოდ ერთი ენერგიის შემნახველი კომპონენტია, C ან L. პირველი რიგის წრედების ბუნებრივ რეაქციას მაჩვენებლიანი ფუნქციის ფორმა აქვს. სისტემაში შენახულ საწყის ენერგიას რეზისტორი ფანტავს.

მეორე რიგის სისტემები

ახლა გავაანალიზებთ წრედს, რომელშიც რეზისტორი არ არის და ორი ენერგიის შემნახველი კომპონენტია. წრედები ორი ენერგიის შემნახველი კომპონენტით მეორე რიგის სისტემებია, რადგან ისინი მეორე ხარისხის წარმოებულის მქონე განტოლებას გვაძლევენ.
ამ სტატიაში LC წრედს განვიხილავთ. ეს ერთ-ერთია ბოლო ორი წრედიდან, რომლებსაც დიფერენციალური განტოლებების გამოყენებით ამოვხსნით. ასეთი ბოლო წრედი RLC წრედი იქნება (შემდეგ სტატიაში). დიფერენციალური განტოლებების მათემატიკა უფრო და უფრო რთულდება. საბედნიეროდ, როდესაც LC და RLC წრედების ანალიზს დავასრულებთ, ვისწავლით მეთოდს, რომელიც წრედებთან მუშაობასა და მათ ანალიზს გაგვიმარტივებს.
ამჯერად კვლავ განვაგრძობთ დიფერენციალური განტოლებების გამოყენებას, სანამ ახალ მეთოდზე გადავალთ. ამგვარად, ვიხილავთ, სად წარმოიშობა სინუსოიდური ტალღები ელექტრონიკაში. სინუსოიდური ტალღები მეორე რიგის განტოლების ამონახსნებში ჩნდება. ისინი ძალიან მნიშვნელოვანი ტიპის სიგნალებია და მათი გამოყენებით ყველა სხვა სიგნალის აგებაა შესაძლებელი.
მეორე რიგის სისტემები პირველი ისეთი სისტემებია, რომლებიც ირხევიან, ოსცილირებენ. მეორე რიგის მექანიკური სისტემის კლასიკური მაგალითი ქანქარიანი საათია. ელექტრონიკაში, კლასიკური მეორე რიგის სისტემა LC წრედია.

ბუნებრივი რეაქცია

ჩვენ გვსურს LC წრედის ბუნებრივი რეაქციის პოვნა. ბუნებრივი რეაქცია აღწერს წრედის ქცევას, როდესაც მასზე გარე ძალა არ მოქმედებს. ბუნებრივი რეაქცია წრედის სრული რეაქციის მნიშვნელოვანი ნაწილია.

მე-2 რიგის წრედის ბუნებრივი რეაქცია

ზუსტი ბუნებრივი რეაქციის საპოვნად, მოდით, წრედში რაღაც საწყისი ენერგია მოვათავსოთ. კომპონენტები ფრთხილათ აღბნიშნოთ პასიური კომპონენტების ნიშნების კონვენციის გამოყენებით. ინდუქტორში საწყისი დენია 0A, რადგან საწყის მომენტში ჩამრთველი ღიაა. დავუშვებთ, რომ ჩამრთველის დახურვამდე კონდენსატორზე მოდებულია ძაბვა vC=V0 ( ყურადღება მიაქციეთ, რომ vC-ს + ნიშანი ქვევით აქვს). ჩამრთველს t=0 წამს დავხურავთ.
ისევე, როგორც ყველა სხვა წრედის ანალიზისას, აქაც კირხოფის კანონების ჩაწერით ვიწყებთ. ამ შემთხვევაში, წრედის გარშემო კირხოფის ძაბვის კანონს ჩავწერთ, წრედის ქვედა მარცხენა წერტილიდან დავიწყებთ და საათის ისრის მიმართულებით მივყვებით.
vL+vC=0
Ldidt+1Cidt=0
ეს კირხოფის განტოლება ინტეგრალს შეიცავს, რომელთან მუშაობაც რთულია. ინტეგრალი (იგივე ანტიწარმოებული) შეგვიძლია გაწარმოებით მოვიშოროთ. ამ განტოლების ყველა წევრს გავაწარმოებთ.
ddt(Ldidt+1Cidt)=ddt0
ეს L წევრის მეორე წარმოებულს გვაძლებს, 1/C წევრის ინტეგრალს გვაშორებს და მარჯვენა მხარეს კვლავ 0-ს გვიტოვებს.
Ld2idt2+1Ci=0
განტოლება უფრო სუფთად გამოიყურება, თუ პირველ წევრს კოეფიციენტი არ აქვს, ამიტომ განტოლებას L-ზე ვყოფთ. ეს მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება ჩვენი წრედის არსს აღწერს.
d2idt2+1LCi=0

ამონახსნის გამოცნობა

როდესაც პირველი რიგის RC და RL წრედები ამოვხსენით, ჩვენ i(t)-სთვის ექსპონენტური ფორმის ამონახსნი გამოვიცანით. გამოცნობამეორე რიგის განტოლებებისთვისაც მუშობს. ჩვენს მეორე რიგის განტოლებასაც იგივე მოთხოვნები აქვს: გვჭირდება ფუნქცია, რომლის წარმოებულები მისნაირად გამოიყურება, რათა განტოლების წევრების ჯამი 0 იყოს. ასეთი ფუნქცია მაჩვენებლიანი (ექსპონენტური) ფუნქციაა. ამჯერადაც ამონახსნად მაჩვენებლიან ფუნქციას ვივარაუდებთ, რომელსაც ცვლადი პარამეტრები ექნება:
i(t)=Kest
K ამპლიტუდაა, რომელიც დენის ძალის ზომას განსაზღვრავს.
s ექსპონენტში t-ს გვერდითაა მოთავსებული. რადგან ექსპონენტს განზომილება ვერ ექნება, s-ს იგივე ერთეულები უნდა ჰქონდეს, რაც 1/t-ს, ანუ სიხშირეს. რადგან ბუნებრივ რეაქციას ვეძებთ, s ბუნებრივი სიხშირეა.
ახლა ჩვენს გამოცნობილ ფუნქციას დიფერენციალურ განტოლებაში ჩავსვამთ და ვნახავთ, აკმაყოფილებს თუ არა ის განტოლებას.
d2idt2+1LCi=0
d2dt2(Kest)+1LC(Kest)=0
პირველი წევრით დავიწყოთ, ის ორჯერ უნდა გავაწარმოოთ. პირველი წარმოებული გვაძლევს:
ddt(Kest)=sKest
ახლა მეორე წარმოებული ვნახოთ:
d2dt2(Kest)=ddt(sKest)=s2Kest
ჩვენი მეორე წარმოებული უკან ჩავსვათ განტოლებაში:
s2Kest+1LCKest=0
ახლა Kest საერთო წევრი ფრჩხილებს გარეთ გავიტანოთ:
Kest(s2+1LC)=0
ამ განტოლების დაკმაყოფილების რამდენი გზა არსებობს?
K=0 ძალიან მოსაწყენია. 0=0, მერე რა?
est არასოდესაა ნული სასრული დროისთვის.
შესაბამისად, ერთადერთი საინტერესო ამონახსნია, თუკი (s+1/LC) უდრის 0-ს:
s2+1LC=0
ამ განტოლებას წრედის მახასიათებელი განტოლება ეწოდება. ჩვენ ამ მახასიათებელი განტოლების ფესვების პოვნა გვსურს (s-ის ის მნიშვნელობები, რომლებიც განტოლების მარცხენა მხარეს ნულად აქცევს).
s2=1LC
შეხედეთ, ახლა რა მოხდება. ახლა უარყოფითი რიცხვიდან ფესვს ამოვიღებთ და წარმოსახვით რიცხვს „შევქმნით“.
s-ს ორი შესაძლო მნიშვნელობა აქვს:
s1=+j1LC
s2=j1LC
ელექტროინჟინერიაში წარმოსახვით ერთეულს, 1-ს, ასო j აღნიშნავს, რადგან i დენისთვისაა გამოყენებული.
მოკლედ ჩაწერისთვის, ფესვიან წევრს სახელს დავარქმევთ:
ω=1LC
მახასიათებელი განტოლების ფესვები შეგვიძლია ωo-ს გამოყენებით ასე ჩავწეროთ:
s1=+jω
s2=jω
ესეც ასე! LC წრედი ორ კომპლექსურ სიხშირეს წარმოშობს, s1 და s2. ამათგან ერთ-ერთი სიხშირე უარყოფითია. ძალიან საინტერესოა.
s1 და s2, ორივე განტოლების ფესვებია. ჩვენ ამონახსნში, ორივე ბუნებრივ სიხშირეს, s1-ს და s2-ს, გამოვიყენებთ. ანუ, ზოგად ამონახსნს ჩავწერთ, როგორც ორი წევრის წრფივ კომბინაციას ორი ცვლადი K მუდმივათი.
i(t)=K1e+jωt+K2ejωt
ალბათ, ბევრი კითხვა გაქვთ: „კომპლექსური ექსპონენტები? უარყოფითი სიხშირეები? ეს ნამდვილად ხდება?“. კი, ეს ყველაფერი სიმართლეა. ცოტაც და ამ გამოსახულებებთან მუშაობისას ეს ყველაფერი ნათელი გახდება.

ოილერის იგივეობები

კომპლექსურ ექსპონენტებთან მუშაობისთვის ამ ძალიან მნიშვნელოვან იგივეობას ვიყენებთ.
ოილერის იგივეობების გამოყვანა ejx, sinjx, და cosjx ფუნქციების მაკლორინის მწკრივების გამოყენებითაა შესაძლებელი:
e+jx=cosx+jsinx
ejx=cosxjsinx
ბმულში მითითებულ ვიდეოში, როდესაც i არის ნახსენები, ჩვენ j-ს ვგულისხმობთ.
ამ იგივეობების გამოყენებით შეგვიძლია უცნაური e ჩვეულებრივ კომპლექსურ რიცხვად ვაქციოთ. რეალური და წარმოსახვითი ნაწილები კოსინუს და სინუს ფუნქციებიდან მოდიან. ანუ, ორივე რეალური და წარმოსახვითი კომპონენტების მნიშვნელობები 1-დან +1-მდე არიან.

ოილერის იგივეობების გამოყენება

ოილერის იგივეობებს ჩვენს ვანარაუდებ ამონასნში ვიყენებთ.
i(t)=K1e+jωt+K2ejωt
i(t)=K1(cosωt+jsinωt)+K2(cosωtjsinωt)
გადავამრავლოთ მუდმივებზე:
i(t)=K1cosωt+jK1sinωt+K2cosωtjK2sinωt,
კოსინუს და სინუს წევრებს თავი მოვუყაროთ:
i(t)=(K1+K2)cosωt+j(K1K2)sinωt
ჩვენ არ ვიცით K1 და K2, არც მათი ჯამი და სხვაობა. საქმის გამარტივებისთვის შეგვიძლია, უცნობი K ცვლადები ასევე უცნობი A ცვლადებით ჩავანაცვლოთ.
დავუშვათ, რომ A1=(K1+K2) და A2=j(K1K2), მაშინ i(t) არის:
i(t)=A1cosωt+A2sinωt
ჩვენ ოილერის იგივეობების გამოყენებით კომპლექსური ესპონენტური ფუნქციები ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ჯამად გადავწერეთ. პირველად ელექტრონიკაში გვაქვს განტოლება, რომელიც დროზე დამოკიდებული სინუსებისა და კოსინუსებისგან (სინუსოიდური ტალღებისგან) შედგება.
(ყურადღება მიაქციეთ, როგორ განვსაზღვრეთ A2, რომ ის მოიცავდეს j(K1K2)-ს, რათა j ამონახსნში პირდაპირ აღარ ჩანდეს)

გამოვცადოთ გამოცნობილი ამონახსნი

შემდეგ, ჩვენს ნავარაუდებ ამონახსნს მეორე რიგის დიფერენციალურ განტოლებაში ჩასმით გამოვცდით. თუ შევძლებთ ისეთი მუდმივების პოვნას, რომელიც დიფერენციალურ განტოლებას დააკმაყოფილებს, ჩვენი ამონახსნი გამარჯვებულია.

საწყისი მდგომარეობის პოვნა

მეორე რიგის წრედისთვის საწყისი მდგომარეობის პოვნა ცოტათი უფრო ჩახლართულია, ვიდრე პირველი რიგის წრედითვის. როდესაც ეს პირველი რიგის RC და RL წრედებისთვის გავაკეთეთ, საწყისი ძაბვის ან საწყისი დენის ერთი მნიშვნლეობის ცოდნა გვჭირდებოდა. მეორე რიგის LC წრედის შემთხვევაში ორი რამის ცოდნაა საჭირო: საწყისი დენის და საწყისი დენის წარმოებულის ჩამრთველის ჩაკეტვისას.
წრედის მდგომარეობა ჩამრთველის დახურვამდე, t=0 დროს.
ეს ვიცით t=0 დროის შესახებ (ჩამრთველის დაკეტვის წინა მომენტი):
  • ჩამრთველი ღაა, ამიტომ i(0)=0
  • კონდენსატორის საწყისი ძაბვაა: vC(0)=V0.
t=0+ ჩამრთველის ჩაკეტვის შემდეგი მომენტია, ჩვენი მიზანია i(0+) და di/dt(0+) ვიპოვით.
ჩვენ ვიცით იმ კონდენსატორებისა და ინდუქტორიების ზოგიერთი თვისება, რომლებიც t=0 დროდან t=0+ დროში გადასვლაში დაგვეხმარებიან:
  • ინდუქტორის დენი უცაბედად ვერ შეიცვლება, ამიტომ
    i(0+)=i(0)=0
  • კონდენსატორის ძაბვა უცაბედად ვერ შეიცვლება, ამიტომ
    v(0+)=v(0)=V0
(ჩემრთველის დახურვის შემდეგ მხოლოდ ერთი v გვაქვს, ამიტომ მხოლოდ v ცვლადს გამოვიყენებთ)
წრედის მდგომარეობა ჩამრთველის დაკეტვის შემდეგ, t=0+ დროს. ახლა მხოლოდ ერთი ძაბვა გვაქვს, v=vL=vC. კონდენსატორის საწყისი ძაბვაა v=+V0.
უკვე გვაქვს i(0+), მაგრამ di/dt(0+) ჯერ არ ვიცით. საიდან შეგვიძლია ამ წარმოებულის გაგება? ინდუქტორის i-v განტოლება ხომ არ გვეცადა?
v=Ldidt
didt(0+)=1Lv(0+)
didt(0+)=1LV0
ესეც ჩვენი მეორე საწყისი მდგომარეობა. ეს ამბობს, რომ ჩამრთველის დახურვის შემდეგ მომენტში ინდუქტორის დენი V0/L ამპერი წამში სისწრაფით იცვლება.

საწყისი მდგომარეობის შეჯამება

i(0+)=0
didt(0+)=1LV0

საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით A1-ს და A2-ს ვიპოვით

საწყის მდგომარეობას მუდმივების საპოვნელად გამოვიყენებთ. პირველი საწყისი მდგომარეობაა i=0, t=0+ დროს. მოდით, ეს ნავარაუდებ ამონახსნში ჩავსვათ და ვნახოთ, რას მივიღებთ:
i(t)=A1cosωt+A2sinωt
0=A1cos(ω0)+A2sin(ω0)
0=A1cos0+A2sin0
10=A1cos00+A2sin0
0=A1
A1 უდრის 0-ს, ანუ ამონახსნს კოსინუს წევრი ჩამოშორდა. ახლა გვაქვს:
i(t)=A2sinωt
ახლა A2-ს გავარკვევთ მეორე საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით. i-ს წარმოებული t=0+ დროს არის:
didt(0+)=1LV0
გავაწარმოოთ ნავარაუდები i(t):
didt=ddt(A2sinωt)
didt=ωA2cosωt
ამ განტოლების t=0 დროს შეფასება გვაძლევს:
1LV0=ωA2cos(ω0)
1LV0=ωA21
A2=1ωLV0
შეგვიძლია ω ჩავწეროთ L-სა და C-ს გამოყენებით:
A2=CLV0
საბოლოოდ, ბევრი მუშაობის შემდეგ, დენის ამონახსნი არის:
i(t)=CLV0sinωt

რეალური კომპონენტების მნიშვნელობები

ამონახსნის სადემონსტრაციოდ რეალურ კომპონენტების მნიშვნელობებს გამოვიყენებთ: L=1 ჰენრი და C=1/4 ფარადა, კონდენსატორის საწყის ძაბვაა 10V.
ბუნებრივი სიხშირე ω არის:
ω=1LC=111/4=2რადიანი/წამი
დენის ძალის დროზე დამოკიდებული ფუნქციაა:
i(t)=CLV0sinωt=1/4110sinωt
i(t)=5sin2t
დენი ზრდას ჩამრთველის დახურვის მომენტში იწყებს:
დენს სინუს ტალღის ფორმა აქვს და ეს უსასრულოდ ნარჩუნდება (იდეალურ წრედში რეზისტორი არ გვაქვს, ამიტომ ენერგია არასოდეს იფანტება. რეალურ წრედს ყოველთვის აქვს პატარა წინაღობა, რაც საბოლოოდ ენერგიის გაფანტვას იწვევს).
სინუს ტალღის ბუნებრივი სიხშირე არის ω=2რადიანი/წამი. რადიან/წამი სიხშირე შეგვიძლია ციკლი/წამი სიხშირედ გარდავქმნათ (რომელსაც ჰერცი ეწოდება, Hz), რადგან ვიცით, რომ სინუსის 1 სრული ციკლი 2π რადიანს შეესაბამება. როგორც წესი, სიმბოლო f-ს სიხშირის ციკლი/წამში ვერსიის აღსანიშნად ვიყენებთ. გადაყვანა შეგვიძლია ჩავწეროთ, როგორც:
ω=2πf
ციკლი/წამი სიხშირის ფორმით მოცემული წრედის ბუნებრივი სიხშირე, ჰერცებში, Hz, არის:
f=2რადიანი/წამი2π=1πHz,
შესაბამისად, დენი ერთ სრულ ციკლს ყოველ π წამში ასრულებს.

გადავხედოთ საწყის მდგომარეობას

მოდით, საწყის მომენტს დავაკვირდეთ და გამოვარკვიოთ, როგორ შეესაბამება ამონახსნი საწყის მდგომარეობებს. სინუს ტალღა სათავეში იწყება, i=0. ლურჯი სინუს ტალღის დახრილობა სათავესთან სწორი შავი წრფის დახრილობას შეესაბამება, i=10A/წამი.

ძაბვა, v(t)

დენი უკვე ვიპოვეთ. ახლა შეგვიძლია, ძაბვა v(t) გავარკვიოთ.
იპოვეთ გამოსახულება v(t)-სთვის ჩამრთველის ჩაკეტვის შემდეგ.
ამისთვის ყველაზე სწრაფი გზა ინდუქტორის i-v განტოლების გამოყენება და მისი v-სთვის ამოხსნაა (რომელიც ძაბვის di/dt-სთან დამოკიდებულებას გვაჩვენებს).
v(t)=

შეჯამება

ჩვენ გამოვიყვანეთ LC წრედის ბუნებრივი რეაქცია. ამისთვის დასწყისში ჩავწერეთ ჰომოგენური მეორე რიგის ფინერენციალური განტოლება:
d2idt2+1LCi=0
შემდეგ, დავუშვით, რომ ამონახსნს Kest ფორმა ჰქონდა, რომელმაც მოგვცა წრედის მახასიათებელი განტოლება:
s2+1LC=0
მახასიათებელი განტოლების ფესვების გამოთვლისას გადავეყარეთ ძალიან უცნაურ გამოსახულებას: ejωt მაჩვენებლიან ფუნქციას, რომელსაც კომპლექსური ექსპონენტი აქვს. ამის გამოსარკვევად გამოვიყენეთ:
ოილერის იგივეობები
e+jx=cosx+jsinx
ejx=cosxjsinx
ამ იგივეობების გამოყენებით კომპლექსური მაჩვენებლიანი ფუნქციები სინუსებისა და კოსინუსების კომბინაციად გადავწერეთ (ელექტროინჟინერიაში წარმოსახვითი1 ერთეულის ჩასაწერად ასო j-ს ვიყენებთ).
შემდეგ წრედიდან საწყისი მდგომარეობები გავიგეთ. მეორე რიგის სისტემისთვის დაგვჭირდა საწყისი i და საწყისი di/dt გვეპოვა.
ვიპოვეთ ფუნქცია i(t), რომელიც დიფერენციალური განტოლებას აკმაყოფილებდა:
i(t)=CLV0sinωt
ω1LC არის LC წრედის ბუნებრივი სიხშირე.
V0 კონდენსატორზე მოდებული საწყისი ძაბვაა.
(ამონახსნი მუშაობს, როდესაც ინდუქტორის საწყისი დენია 0.)

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.