თუ თქვენ ხედავთ ამ შეტყობინებას, ესე იგი საიტზე გარე რესურსების ჩატვირთვისას მოხდა შეფერხება.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

ძირითადი მასალა

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 4: ბუნებრივი და იძულებითი რეაქცია

RLC ბუნებრივი რეაქცია — გამოყვანა

RLC წრედის ბუნებრივი რეაქციის ფორმალური გამოყვანა. ავტორი: უილი მაკალისტერი.

შესავალი

მოდით, რეზისტორ-ინდუქტორ-კონდენსატორის წრედის (RLC) ბუნებრივი რეაქცია სიღრმისეულად განვიხილოთ. ეს ბოლო წრედია, რომლის ანალიზშიც დიფერენციალურ განტოლებებს სრულად გამოვიყენებთ.
RLC წრედი ისეთ წრედს წარმოადგენს, რომლის რეალურად აგება შეგვიძლია, რადგან ყველა რეალურ წრედს რაღაც სასრული წინაღობა გააჩნია. ეს წრედი კომპლექსურად იქცევა და ის ელექტროინჟინერიის უამრავ სფეროში გამოიყენება.
წრედი RLC ბუნებრივი რეაქციისთვის.

რის აგებას ვცდილობთ

RLC წრედის მოდელს მე-2 რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებით შევქმნით, სადაც დენის ძალა i იქნება დამოუკიდებელი ცვლადი:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
შედეგად ვიღებთ მახასიათებელ განტოლებას:
s2+RLs+1LC=0
მახასიათებელი განტოლების ფესვებს კვადრატული განტოლებით გავიგებთ:
s=R±R24L/C2L
α და ωo ცვლადების ჩანაცვლებით s-ის შედარებით მარტივად ჩაწერა შეგვიძლია:
s=α±α2ωo2
სადაც α=R2L, და ωo=1LC
α-ს ჩახშობის კოეფიციენტი ეწოდება და ωo რეზონანსული სიხშირეა.
მაგალითისთვის, RLC წრედს კონკრეტული კომპონენტების მნიშვნელობებისთვის ამოვხსნით და გავიგებთ, როგორ გამოიყურება დენი და ძაბვა ამ წრედში.

სტრატეგია

ახლაც იმავენაირ მსჯელობას მივყვებით, როგორიც მეორე რიგის LC წრედის ამოსახსნელად გამოვიყენეთ წინა სტატიაში.
  1. R, L და C კომპონენტების i-v განტოლებების გამოყენებით ჩავწეროთ მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება. განტოლების ჩასაწერად კირხოფის ძაბვის კანონსაც გამოვიყენებთ.
  2. გამოვიცნოთ ამონახსნი. როგორც ყოველთვის, ჩვენს გამოცნობილ ამონახსნს მაჩვენებლიანი ფუნქციის ფორმა ექნება, Kest.
  3. ჩავსვად გამოცნობილი ამონახსნი დიფერენციალურ განტოლებაში. ექსპონენტური წევრები ფრჩხილებს გარეთ გამოვლენ და s ცვლადის მახასიათებელ განტოლებას მივიღებთ.
  4. მახასიათებელი განტოლების ფესვებს ვიპოვით. ამჯერად, ფესვების საპოვნად კვადრატულ განტოლებას გამოვიყენებთ.
  5. მუდმივების მნიშვნელობას საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით განვსაზღვროთ.
  6. აღვნიშნოთ ამონახსნის პოვნა!

წრედის დიფერენციალური განტოლებით მოდელირება

წრედის მდგომარეობა, სანამ ჩამრთველი ჩაიკეტება: დენის ძალა არის 0 და კონდენსატორზე საწყისი ძაბვა V0 ვოლტი არის მოდებული.
როდესაც ჩამრთველი იკეტება, წრედი ასე გამოიყურება (ახლა, ინდუქტორზე და რეზისტორიზე გვაქვს ძაბვის აღნიშვნები, vL და vR).
წრედის მდგომარეობა ჩამრთველის ჩაკეტვის მომენტში. დენი და ძაბვა t=0+ დროისთვის ჯერ კიდევ არ გვიპოვია. ამას საწყისი მდგომარეობის პოვნის სექციაში გავაკეთებთ.
წრედის თითოეული ელემენტისთვის შეგვიძლია i-v განტოლების დაწრა.
vL=Ldidt
vR=iR
vC=1Cidt
კირხჰოფის კანონის ჩაწერისას ქვედა მარცხენა კუთხიდან დავიწყებთ და ძაბვებს წრედის გარშემო საათის ისრის მიმართულებით დავაჯამებთ. ინდუქტორზე ძაბვა იმატებს, რეზისტორსა და კონდენსატორზე კი იკლებს.
+vLvRvC=0
v წევრების შესაბამისი i წევრებით ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ:
Ldidt+Ri+1Cidt=0
სურვილის შემთხვევაში, შესაძლებელია ამ განტოლებას პირდაპირი გზით შევუტიოთ და ის ამოვხსნათ, თუმცა ინტეგრალიანი წევრი კარგი სამუშაო არ არის. ამ ინტეგრალის მოშორება მთელი განტოლების გაწარმოებით შეგვიძლია.
ddt[Ldidt+Ri+1Cidt=0]
ეს შემდგომ განტოლებას გვაძლებს მეორე რიგის წარმოებულით, პირველი რიგის წარმოებულითა და უბრალო i წევრით. ყველაფერი ეს კვლავ 0-ის ტოლია.
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
ეს ჰომოგენური მეორე რიგის ორდინალური დიფერენციალური განტოლებაა. ის ჰომოგენურია, რადგან მისი ყველა წევრი i-ს ან მის წარმოებულს შეიცავს. ის მეორე რიგისაა, რადგან ყველაზე მაღალი წარმოებული მეორე ხარისხის წარმოებულია. ის ორდინარულია, რადგან მასში მხოლოდ ერთი დამოუკიდებული ცვლადია (არ გვაქვს კერძო წარმოებულები). ახლა შეგვიძლია ჩვენი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნას შევუდგეთ.

ამონახსნის გამოცნობა

როგორც სხვა ბუნებრივი რეაქციის პრობლემებში ( RC, RL, LC), დავუშვებთ მაჩვენებლიანი ფორმის მქონე ამონახსნს. მაჩვენებლიან ფუნქციებს საოცარი თვისება აქვთ — მათი წარმოებული მათნაირად გამოიყურება. როდესაც დიფერენციალურ განტოლებაში რამდენიმე სხვადასხვა რიგის წარმოებული გვაქვს, ძალიან მოსახერხებელია, როცა ისინი ერთნაირად გამოიყურებიან. დავუშვებთ, რომ ამონახსნს შემდეგი ფორმა აქვს:
i(t)=Kest
K ცვლადი პარამეტრია, რომელიც დენის ძალის ამპლიტუდას აღწერს.
s ექსპონენტში t-ს გვერდითაა მოცემული, ანუ ის გარკვეულ სიხშირეს უნდა აღნიშნავდეს (s-ის ერთეულები 1/t ერთეულებს უნდა ემთხვეოდეს). ჩვენ მას ბუნებრივ სიხშირეს დავუძახებთ.

გამოვცადოთ გამოცნობილი ამონახსნი

შემდეგ გამონაცნობ ამონახსნს დიფერენციალურ განტოლებაში ჩავსვამთ. თუ განტოლებაში ტოლობა შენარჩუნდება, მაშინ ჩვენი ამონახსნი მუშაობს.
Ld2dt2Kest+RddtKest+1CKest=0
მოდით, წარმოებულიან წევრებზე მუშაობას შევუდგეთ.
შუა წევრი: R წევრის პირველი წარმოებული არის
RddtKest=sRKest
პირველი წევრი. პირველი Kest წევრი ორჯერ უნდა გავაწარმოოთ:
ddtKest=sKest
ddtsKest=s2Kest
ანუ, პირველი წევრი არის:
Ld2dt2Kest=s2LKest
ესენი ისევ დიფერენციალურ განტოლებაში ჩავსვათ:
s2LKest+sRKest+1CKest=0
ახლა საერთო Kest წევრს ფრჩხილებს გარეთ გავიტანთ:
Kest(s2L+sR+1C)=0

გავხადოთ განტოლება ჭეშმარიტი

ახლა გავარკვიოთ, რამდენნაირად შეიძლება ამ განტოლების ჭეშმარიტად ქცევა.
შეგვიძლია K კოეფიციენტი 0-ს გავუტოლოთ. ეს ნიშნავს, რომ i=0-ს, ანუ წრედში არაფერი შეგვაქვს და იქიდანაც არაფერი გამოდის. საკმაოდ მოსაწყენია.
est წევრი არასოდესაა 0, თუ იქამდე არ დავიცდით, სანამ t -ს მიაღწევს. ეს ძალიან დიდი დროა. შესაბამისად, მხოლოდ ერთი საინტერესო გზა დაგვრჩა, რომელიც განტოლებას ჭეშმარიტს ხდის: თუკი s-წევრებიანი წევრია ნულის ტოლი.
s2L+sR+1C=0
ამას LRC წრედის მახასიათებელი განტოლება ეწოდება.

ვიპოვოთ მახასიათებელი განტოლების ფესვები

მოდით, ვიპოვოთ s-ის ისეთი მნიშვნელობა, რომელიც მახასიათებელ განტოლებას აკმაყოფილებს (ჩვენ მახასიათებელი განტოლების ფესვების პოვნა გვინდა).
ამისთვის კვადრატულ განტოლებას გამოვიყენებთ:
ნებისმიერი კვადრატული განტოლებისთვის: ax2+bx+c=0,
კვადრატული ფორმულა გვაძლებს ფესვებს:
x=b±b24ac2a
ჩვენი მახასიათებელი განტოლების შემთხვევაში, შეგვიძლია, ჩვენი წრედის კომპონენტების მნიშვნელობები ამ ფორმულაში ჩავსვათ და ფესვები ვიპოვოთ. a=L, b=R, და c=1/C.
s=R±R24L/C2L
ესეც ჩვენი s, ბუნებრივი სიხშირე. ამ ამონახსნის კიდევ უფრო მეტად დანაწევრებაა საჭირო, რათა ამონახსნის არსი გავიაზროთ.
ორი ახალი ცვლადის, α-სა და ωo-, შემოტანით შეგვიძლია ნოტაცია უფრო კომპაქტური გავხადოთ.
α=R2L
ωo=1LC
მახასიათებელი განტოლება ასე გადავწეროთ (მისი L -ზე გაყოფით):
s2+RLs+1LC=0
თუკი მახასიათებელი განტოლების ჩასაწერად α-სა და ωo-ს გამოვიყენებთ, მივიღებთ:
s2+2αs+ωo2=0
კვადრატული ფორმულის გადაწერა შეგვიძლია მისი მნიშველის, 2L-ის, მრიცხველის თითოეულ წევრთან გაერთიანებით:
s=R2L±(R2L)2(4L/C4L2)
ფესვის მეორე წევრი მარტივდება:
(4L/C4L2)=(4L/C4L2)=1LC
ასე, α და ωo-ს გამოყენებით, შეგვიძლია s ჩავწეროთ:
s=α±α2ωo2
ვიცით, რომ s რაღაც მნიშვნელოვანი სიხშირეა (მას 1/t-ს ერთეულები უნდა ჰქონდეს). ეს ნიშნავს, რომ s-ის შემადგენელი ორი წევრი რაღაც სხვა სიხშირეები არიან.
  • α-ს ჩახშობის კოეფიციენტი ეწოდება. ის განსაზღვრავს, რამდენად მალე იხშობა მთლიანი სიგნალი.
  • ωo რეზონანსული სიხშირეა. ის განსაზღვრავს, რამდენად სწრაფად ირხევა სისტემა. ეს იგივე რეზონანსული სიხშირეა, რაც LC ბუნებრივ რეაქციაში ვიპოვეთ.

გამოცნონილი ამონახსნის გაუმჯობესებული ვერსია

კვადრატული განტოლება s-ისთვის ორ ამონახსნს გვაძლევს, მათ დავუძახოთ s1 და s2. ჩვენს ამონახსნში ორივე მათგანი უნდა განვიხილოთ, ამიტომ ჩვენს გამოცნობილ ამონახსნს ჩავწერთ, როგორც ორი ცალკეული ექსპონენტური წევრის წრფივ კომბინაციას (სუპერპოზიციას), რომელსაც ოთხი ცვლადი პარამეტრი აქვს:
i=K1es1t+K2es2t
s1 და s2 ბუნებრივი სიხშირეებია,
K1 და K2 ამპლიტუდები არიან.

წრედის მაგალითი

ამ ეტაპზე სასარგებლო იქნება კონკრეტული მაგალითის განხილვა კონკრეტული კომპონენტების მნიშვნელობებით, რათა დავინახოთ, როგორ გამოიყურება ერთი კონკრეტული ამონახსნი. ესეც ჩვენი წრედის მაგალითი:
RLC ბუნებრივი რეაქციის მაგალითი. კონდენსატორის საწყისი ძაბვა 10 ვოლტია. ჩამრთველის ჩაკეტვის მომენტში ინდუქტორში დენი არ გაედინება.
RLC წრედის დიფერენციალური განტოლებაა:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
რეალური კომპონენტების გამოყენებით ვიღებთ:
1d2idt2+2didt+5i=0
როგორც ყოველთვის, დავუშვათ, რომ ჩვენი ამონახსნის ფორმაა: i(t)=Kest
ჩვენ ზემოთ აღწერილ ანალიზს ვასრულებთ, რაც შედეგად ამ მახასიათებელ განტოლებას გვაძლევს:
s2+2s+5=0
მახასიათებელი განტოლების ფესვების პოვნა კვადრატული განტოლებითაა შესაძლებელი:
s=R±R24L/C2L
რეალური კომპონენტების მნიშვნელობებით ვიღებთ:
s=2±224152
s=2±4202
s=1±162
s=1±j2
(ელექტროინჟინრები წარმოსახვითი 1 ერთეულის აღსანიშნად ლათინურ ასო j-ს იყენებენ, რადგან i დენის სიმბოლოდაა გამოყენებული)
როგორც LC ბუნებრივი რეაქციის შემთხვევაში, ახლაც კომპლექსურ პასუხს ვიღებთ. ამჯერად კომპლექსური პასუხი ორივე, რეალური და წარმოსახვითი, ნაწილისგან შედგება.
მახასიათებელი განტოლების ორი შესაძლო ფესვი s არსებობს, ამიტომ ამონახსნი i ახლა ორი სხვადასხვა ექსპონენტური წევრის სუპერპოზიციით ჩაიწერება:
i=K1e(1+j2)t+K2e(1j2)t
ექსპონენტში არსებული წევრები ერთმანეთის კომპლექსურად შეუღლებულები არიან. მოდით, სხვანაირად გადავწეროთ. შეგვიძლია ექსპონენტების რეალური და წარმოსახვითი წევრები განვაცალკევოთ:
i=K1e1te+j2t+K2e1tej2t,
ახლა შეგვიძლია, საერთო e1t წევრი ფრჩხილებს გარეთ გავიტანოთ:
i=et(K1e+j2t+K2ej2t)
ყურადღება მიაქციეთ, რომ s-ის რეალურმა ნაწილმა ფრჩხილებს გარეთ გატანის შემდეგ მოგვცა კლებადი მაჩვენებლიანი ფუნქცია, et.
ფრჩხილებში გვაქვს ორი წარმოსახვითი მაჩვენებლიანი (ექსპონენტური) ფუნქციის ჯამი, სადაც ექსპონენტები კომპლექსურად შებრუნებული რიცხვები არიან. ეს ისევე გამოიყურება, როგორც LC ბუნებრივ რეაქციაში. როგორც მაშინ, ამ წევრების გასამარტივებლად ახლაც ოილერის ფორმულას გამოვიყენებთ.

ოილერის ფორმულა

ejx, sinjx, და cosjx ფუნქციების მაკლორენის მწკრივებიდან, შეგვიძლია ოილერის ფორმულის გამოყვანა:
e+jx=cosx+jsinx
და
ejx=cosxjsinx
ბმულზე მითითებულ ვიდეოში, როდესაც i-ს ამბობენ, ჩვენ j-ს ვგულისხმობთ.
ეს ფორმულები გვეხმარება, e ჩვეულებრივ კომპლექსურ რიცხვად გამოვსახოთ.

ოილერის ფორმულის გამოყენება

ჯამის გარდასაქმნელად შეგვიძლია ოილერის ფორმულა გამოვიყენოთ
K1e+j2t+K2ej2t
შემდეგნაირად გარდავქმნათ
K1(cos2t+jsin2t)+K2(cos2tjsin2t).
გავამრავლოთ K1 და K2 მუდმივაზე:
K1cos2t+jK1sin2t+K2cos2tjK2sin2t,
სინუს და კოსინუს წევრებს ერთად მოვუყაროთ თავი:
(K1+K2)cos2t+j(K1K2)sin2t
შეგვიძლია ეს განშტოება გარეგნულად გავამარტივოთ, თუ უცნობ K კოეფიციენტებს სხვა უცნობი A კოეფიციენტებით ჩავანაცვლებთ. დავუშვათ, რომ A1=(K1+K2), და A2=j(K1K2).
წინა გამოსახულება ხდება:
A1cos2t+A2sin2t
ახლა ეს ჩავსვათ ჩვენს გამოცნობილ ამონახსნში:
i=et(A1cos2t+A2sin2t)
ჯერჯერობით ყველაფერი რიგზეა. ამი შემდეგ, საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით A1 და A2 უნდა ვიპოვოთ.

საწყისი მდგომარეობის პოვნა

მეორე რიგის განტოლების სრული ამონახსნის საპოვნელად ორი საწყისი მგდომარეობის ცოდნაა საჭირო: ერთი დამოუკიდებელი ცვლადისთვის, i, და მეორე მისი პირველი წარმოებულისთვის, di/dt.
თუ i და di/dt-ს მნიშვნელობები კონკრეტულ დროს გვეცოდინება, შემდეგ A1-სა და A2-საც ვიპოვით.
RLC წრედის საწყისი მდგომარეობის პოვნა, თითქმის იგივე პროცესია, რაც LC წრედისთვის. უბრალოდ, ამჯერად, რეზისტორიც უნდა გავითვალისწინოთ.
ეს ვიცით t=0 დროის შესახებ (ჩამრთველის დაკეტვის წინა მომენტი):
წრედის მდგომარეობა ჩამრთველის დაკეტვამდე. როდესაც t=0
დენი არის 0 და კონდენსატორის საწყისი ძაბვაა vC=10V.
  • ჩამრთველი ღაა, ამიტომ i(0)=0
  • კონდენსატორის საწყისი ძაბვაა: vC(0)=V0
t=0+ ჩამრთველის ჩაკეტვის შემდეგი მომენტია, ჩვენი მიზანია i(0+) და di/dt(0+) ვიპოვოთ. ჩვენ ვიცით ინდუქტორისა და კონდენსატორის თვისებები, რომელთაგანაც გავიგებთ, რა ხდება, როდესაც ჩამრთველი იკეტება, t=0 დროიდან t=0+ დრომდე:
  • ინდუქტორის დენი უცაბედად არ იცვლება, ანუ i(0+)=i(0)=0
  • კონდენსატორის ძაბვაც არ იცვლება უცაბედად, ანუ vC(0+)=vC(0)=V0
წრედის მდგომარეობა ჩამრთველის ჩაკეტვის შემდეგ, t=0+ დროს. i(0+)=0 და vC(0+)=10V.
ერთი საწყისი მდგომარეობა ვიცით, i(0+)=0. ასევე ვიცით რაღაც ძაბვის შესახებ, მაგრამ არ ვიცით di/dt(0+).
მეორე საწყისი მდგომარეობა, di/dt(0+) გავიგოთ. ყოველთვის, როდესაც di/dt-ს ვხედავ, ინდუქტორის i-v განტოლება მახსენდება. თუ ინდუქტორზე მოდებულ ძაბვას გავიგებთ, მაშინ di/dt-ს გარკვევაც შეგვეძლება. მოდით, ეს გამორიცხვის მეთოდით გავაკეთოთ.
კირხოფის ძაბვის კანონი წრედის გარშემო გვაძლევს:
+vLvRvC=0
რადგან i(0+)=0, რეზისტორზე მოდებული ძაბვა, vR, 0 უნდა იყოს. ასევე ვიცით, რომ კონდენსატორზე მოდებული ძაბვაა vC=V0. მოდით, კირხოფის ძაბვის კანონის განტოლებაში ეს მნიშვნელობები ჩავსვათ:
vL0V0=0
ახლა ინდუქტორზე მოდებული ძაბვაც ვიცით t=0+ დროს:
vL=V0
ამ ინფორმაციისა და ინდუქტორის i-v განტოლების გამოყენებით შეგვიძლია di/dt ვიპოვოთ.
vL(0+)=Ldidt(0+)
10=1didt(0+)
didt(0+)=10A/წამი
ჩამრთველის ჩაკეტვის მომენტში ინდუქტორში გამავალი დენის საწყისი დახრილობა წამში 10 ამპერია.

ვიპოვოთ A1 და A2 მუდმივები საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით

გავიხსენოთ ჩვენი ამონახსნი:
i=et(A1cos2t+A2sin2t)
და საწყისი მდგომარეობა:
i(0+)=0
didt(0+)=10
თუ t=0 დროს i-ს გამოვითვლით, ერთ-ერთ A მუდმივას ვიპოვით. ამონახსნში t=0 და i=0 ჩავსვათ:
0=e0(A1cos20+A2sin20)
0=1(A1cos0+A2sin0)
0=(A11+A20)
A1=0
A1=0, ამიტომ კოსინუსის წევრი ამონახსნიდან ქრება. ჩვენი ამონახსნი ახლა ასე გამოიყურება:
i=A2etsin2t
მოდით, A2 მეორე საწყისი მდგომარეობით გავიგოთ:
ჩვენ i-ს წარმოებულის განტოლება გვჭირდება. სად შეიძლება ეს ვიპოვოთ? ჩვენი ამონახსნის წარმოებული რომ ავიღოთ?
didt=ddt(A2etsin2t)
ამონახსნი ორი ფუნქციის ნამრავლია. მისი გაწარმოებისთვის ნამრავლის წესს ვიყენებთ:
(fg)=fg+fg
გამოვყოთ ნამრავლის წევრები და ვიპოვოთ მათი წარმოებულები:
f=A2etg=sin2t
f=A2etg=2cos2t
გავაერთიანოთ წევრები ნამრავლის წესის მიხედვით:
didt=A2etsin2t+A2et2cos2t
didt=A2et(2cos2tsin2t)
შეგვიძლია, ეს გამოსახულება t=0+ დროს შევაფასოთ:
10=A2e0(2cos0sin0)
10=A21(20)=2A2
A2=5

ამონახსნი დენისთვის

და ბოლოს, ბევრი სამუშაოს შემდეგ, დენის ამონახსნია:
i=5etsin2t
i ფუნქციის დროზე დამოკიდებულების გრაფიკი ასე გამოიყურება:
RLC წრედის ბუნებრივი რეაქცია, R=2Ω, L=1H, and C=15F. მკრთალი მრუდი სინუს ტალღის მომვლები ხაზის, ±5et, გრაფიკია.
როდესაც ჩამრთველი იკეტება, ეს დენის მოზღვავებას იწვევს და ის სინუს ტალღის პირველი მოხრის ფორმას იღებს. სინუსის ტალღა მალე ილევა, რამდენიმე რხევის შემდეგ, რადგან სისტემაში არსებული ენერგია სითბოს სახით სწრაფად იფანტება, როდესაც დენი რეზისტორში გაედინება.
ამ მაგალითში „ხახუნი“, რომლის როლსაც რეზისტორის მნიშვნელობა ასრულებს, ენერგიის საკმაოდ სწრაფად გაფანტვას იწვევს. დენის ნიშნის ცვლილების დანახვა მხოლოდ ორჯერაა შესაძლებელი, სანამ ის ნულოვან მნიშვნელობაზე ჩამოვა.
ეს მაგალითი ნაკლებჩახშული ამონახსნია. ამ ტერმინს შემდეგ სექციაში გავეცნობით.

ვიპოვოთ ძაბვები

წრედში მხოლოდ ერთი დენია. ახლა, როცა უკვე ვიცით დენის ბუნებრივი რეაქცია, შეგვიძლია სამივე ძაბვის ბუნებრივი რეაქციაც ვიპოვოთ.

რეზისტორის ძაბვა

ომის კანონის გამოყენებით ვიპოვოთ რეზისტორის ძაბვა: (გვაქვს ნიშანი, რადგან i შებრუნებულია vR-ის მიმართ)
vR=iR
vR=5etsin2t2Ω
vR=10etsin2t

ინდუქტორის ძაბვა

ინდუქტორის ძაბვას ინდუქტორის i-v განტოლებიდან გავიგებთ:
vL=Ldidt
vL=1ddt(5etsin2t)
vL=5et(sin2t2cos2t)

კონდენსატორის ძაბვა

კონდენსატორის ძაბვის საპოვნელად შეგვიძლია კონდენსატორის i-v განტოლების ინტეგრალური ფორმა გამოვიყენოთ: (აქ გვაქვს კიდევ ერთი ნიშანი, რადგან i-ს მიმართულება vC-ს მიმართ შებრუნებულია)
vC=1Cidt
vC=11/55etsin2tdt
vC=5et(sin2t+2cos2t)
აქ სამივე ძაბვის გრაფიკი ერთადაა მოცემული:

შეჯამება

RLC წრედი ხახუნის მქონე მოქანავე მექანიკური ქანქარას ელექტრული შესატყვისია. წრედის მოდელირება მე-2 რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებითაა შესაძლებელი:
Ld2idt2+Rdidt+1Ci=0
შედეგად ვიღებთ მახასიათებელ განტოლებას:
s2+RLs+1LC=0
მახასიათებელი განტოლების ფესვები კვადრატული განტოლებით ვიპოვეთ:
s=R±R24L/C2L
α და ωo ცვლადებს შემოტანით s ცოტათი უფრო მარტივად ჩავწერეთ:
s=α±α2ωo2
სადაც α=R2L და ωo=1LC
იმ წრედის მაგალითის განხილვით დავასრულეთ, რომლის კომპონენტებმა ისეთი დენი (და ძაბვები) გამოიწვიეს, რომლებიც რამდენიმეჯერ გაირხენ.
მახასიათებელი განტოლების ფესვებმა შეიძლება ორივე, რეალური და კომპლექსური, ფორმა მიიღონ. ეს α და ωo ცვლადების ფარდობით ზომაზეა დამოკიდებული. შემდეგ სტატიაში ამ სამ ფორმას დეტალურად განვიხილავთ:
  • ზეჩახშობილი, როდესაც α>ω0. ამ შემთხვევაში გვაქვს ორი კლებადი მაჩვენებლიანი ფუნქციის ჯამი.
  • კრიტიკულად ჩახშული, α=ω0. ამ შემთხვევაში გვაქვს t კლებადი მაჩვენებლიანი ფუნქცია
  • ნაკლებ ჩახშული, α<ω0, გვაქვს კლებადი სინუსოიდი

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.