ძირითადი მასალა

ელექტროინჟინერია

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

გაკვეთილი 4: ბუნებრივი და იძულებითი რეაქცია

RLC ბუნებრივი რეაქცია — გამოყვანა

RLC წრედის ბუნებრივი რეაქციის ფორმალური გამოყვანა. ავტორი: უილი მაკალისტერი.

შესავალი

მოდით, რეზისტორ-ინდუქტორ-კონდენსატორის წრედის left parenthesis, start text, R, L, C, right parenthesis, end text ბუნებრივი რეაქცია სიღრმისეულად განვიხილოთ. ეს ბოლო წრედია, რომლის ანალიზშიც დიფერენციალურ განტოლებებს სრულად გამოვიყენებთ.

start text, R, L, C, end text წრედი ისეთ წრედს წარმოადგენს, რომლის რეალურად აგება შეგვიძლია, რადგან ყველა რეალურ წრედს რაღაც სასრული წინაღობა გააჩნია. ეს წრედი კომპლექსურად იქცევა და ის ელექტროინჟინერიის უამრავ სფეროში გამოიყენება.

რის აგებას ვცდილობთ

start text, R, L, C, end text წრედის მოდელს მე-2 რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებით შევქმნით, სადაც დენის ძალა i იქნება დამოუკიდებელი ცვლადი:

start text, L, end text, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, start text, R, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, i, equals, 0

შედეგად ვიღებთ მახასიათებელ განტოლებას:

s, squared, plus, start fraction, start text, R, end text, divided by, start text, L, end text, end fraction, s, plus, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction, equals, 0

მახასიათებელი განტოლების ფესვებს კვადრატული განტოლებით გავიგებთ:

s, equals, start fraction, minus, start text, R, end text, plus minus, square root of, start text, R, end text, squared, minus, 4, start text, L, end text, slash, start text, C, end text, end square root, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction

alpha და omega, start subscript, o, end subscript ცვლადების ჩანაცვლებით s-ის შედარებით მარტივად ჩაწერა შეგვიძლია:

s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root

სადაც alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction, და omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction

alpha-ს ჩახშობის კოეფიციენტი ეწოდება და omega, start subscript, o, end subscript რეზონანსული სიხშირეა.

მაგალითისთვის, start text, R, L, C, end text წრედს კონკრეტული კომპონენტების მნიშვნელობებისთვის ამოვხსნით და გავიგებთ, როგორ გამოიყურება დენი და ძაბვა ამ წრედში.

სტრატეგია

ახლაც იმავენაირ მსჯელობას მივყვებით, როგორიც მეორე რიგის LC წრედის ამოსახსნელად გამოვიყენეთ წინა სტატიაში.

start text, R, end text, start text, L, end text და start text, C, end text კომპონენტების i-v განტოლებების გამოყენებით ჩავწეროთ მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება. განტოლების ჩასაწერად კირხოფის ძაბვის კანონსაც გამოვიყენებთ.
გამოვიცნოთ ამონახსნი. როგორც ყოველთვის, ჩვენს გამოცნობილ ამონახსნს მაჩვენებლიანი ფუნქციის ფორმა ექნება, K, e, start superscript, s, t, end superscript.
ჩავსვად გამოცნობილი ამონახსნი დიფერენციალურ განტოლებაში. ექსპონენტური წევრები ფრჩხილებს გარეთ გამოვლენ და s ცვლადის მახასიათებელ განტოლებას მივიღებთ.
მახასიათებელი განტოლების ფესვებს ვიპოვით. ამჯერად, ფესვების საპოვნად კვადრატულ განტოლებას გამოვიყენებთ.
მუდმივების მნიშვნელობას საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით განვსაზღვროთ.
აღვნიშნოთ ამონახსნის პოვნა!

წრედის დიფერენციალური განტოლებით მოდელირება

[ძაბვის ჩანიშვნის შენიშვნები]

როდესაც ჩამრთველი იკეტება, წრედი ასე გამოიყურება (ახლა, ინდუქტორზე და რეზისტორიზე გვაქვს ძაბვის აღნიშვნები, v, start subscript, start text, L, end text, end subscript და v, start subscript, start text, R, end text, end subscript).

წრედის თითოეული ელემენტისთვის შეგვიძლია i-v განტოლების დაწრა.

v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction

v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, minus, i, start text, R, end text

v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, minus, i, d, t

კირხჰოფის კანონის ჩაწერისას ქვედა მარცხენა კუთხიდან დავიწყებთ და ძაბვებს წრედის გარშემო საათის ისრის მიმართულებით დავაჯამებთ. ინდუქტორზე ძაბვა იმატებს, რეზისტორსა და კონდენსატორზე კი იკლებს.

plus, v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, minus, v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, minus, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, 0

v წევრების შესაბამისი i წევრებით ჩანაცვლების შემდეგ ვიღებთ:

start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start text, R, end text, i, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, i, d, t, equals, 0

სურვილის შემთხვევაში, შესაძლებელია ამ განტოლებას პირდაპირი გზით შევუტიოთ და ის ამოვხსნათ, თუმცა ინტეგრალიანი წევრი კარგი სამუშაო არ არის. ამ ინტეგრალის მოშორება მთელი განტოლების გაწარმოებით შეგვიძლია.

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, open bracket, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, start text, R, end text, i, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, i, d, t, equals, 0, close bracket

ეს შემდგომ განტოლებას გვაძლებს მეორე რიგის წარმოებულით, პირველი რიგის წარმოებულითა და უბრალო i წევრით. ყველაფერი ეს კვლავ 0-ის ტოლია.

ეს ჰომოგენური მეორე რიგის ორდინალური დიფერენციალური განტოლებაა. ის ჰომოგენურია, რადგან მისი ყველა წევრი i-ს ან მის წარმოებულს შეიცავს. ის მეორე რიგისაა, რადგან ყველაზე მაღალი წარმოებული მეორე ხარისხის წარმოებულია. ის ორდინარულია, რადგან მასში მხოლოდ ერთი დამოუკიდებული ცვლადია (არ გვაქვს კერძო წარმოებულები). ახლა შეგვიძლია ჩვენი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნას შევუდგეთ.

ამონახსნის გამოცნობა

როგორც სხვა ბუნებრივი რეაქციის პრობლემებში ( RC, RL, LC), დავუშვებთ მაჩვენებლიანი ფორმის მქონე ამონახსნს. მაჩვენებლიან ფუნქციებს საოცარი თვისება აქვთ — მათი წარმოებული მათნაირად გამოიყურება. როდესაც დიფერენციალურ განტოლებაში რამდენიმე სხვადასხვა რიგის წარმოებული გვაქვს, ძალიან მოსახერხებელია, როცა ისინი ერთნაირად გამოიყურებიან. დავუშვებთ, რომ ამონახსნს შემდეგი ფორმა აქვს:

i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript

K ცვლადი პარამეტრია, რომელიც დენის ძალის ამპლიტუდას აღწერს.

s ექსპონენტში t-ს გვერდითაა მოცემული, ანუ ის გარკვეულ სიხშირეს უნდა აღნიშნავდეს (s-ის ერთეულები 1, slash, t ერთეულებს უნდა ემთხვეოდეს). ჩვენ მას ბუნებრივ სიხშირეს დავუძახებთ.

გამოვცადოთ გამოცნობილი ამონახსნი

შემდეგ გამონაცნობ ამონახსნს დიფერენციალურ განტოლებაში ჩავსვამთ. თუ განტოლებაში ტოლობა შენარჩუნდება, მაშინ ჩვენი ამონახსნი მუშაობს.

start text, L, end text, start fraction, d, squared, divided by, d, t, squared, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start text, R, end text, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0

მოდით, წარმოებულიან წევრებზე მუშაობას შევუდგეთ.

შუა წევრი: start text, R, end text წევრის პირველი წარმოებული არის

start text, R, end text, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, s, start text, R, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript

პირველი წევრი. პირველი start text, K, end text, e, start superscript, s, t, end superscript წევრი ორჯერ უნდა გავაწარმოოთ:

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, s, K, e, start superscript, s, t, end superscript

start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, s, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, s, squared, K, e, start superscript, s, t, end superscript

ანუ, პირველი წევრი არის:

start text, L, end text, start fraction, d, squared, divided by, d, t, squared, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, s, squared, start text, L, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript

ესენი ისევ დიფერენციალურ განტოლებაში ჩავსვათ:

s, squared, start text, L, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, s, start text, R, end text, K, e, start superscript, s, t, end superscript, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, K, e, start superscript, s, t, end superscript, equals, 0

ახლა საერთო K, e, start superscript, s, t, end superscript წევრს ფრჩხილებს გარეთ გავიტანთ:

K, e, start superscript, s, t, end superscript, left parenthesis, s, squared, start text, L, end text, plus, s, start text, R, end text, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, right parenthesis, equals, 0

გავხადოთ განტოლება ჭეშმარიტი

ახლა გავარკვიოთ, რამდენნაირად შეიძლება ამ განტოლების ჭეშმარიტად ქცევა.

შეგვიძლია K კოეფიციენტი 0-ს გავუტოლოთ. ეს ნიშნავს, რომ i, equals, 0-ს, ანუ წრედში არაფერი შეგვაქვს და იქიდანაც არაფერი გამოდის. საკმაოდ მოსაწყენია.

e, start superscript, s, t, end superscript წევრი არასოდესაა 0, თუ იქამდე არ დავიცდით, სანამ t infinity-ს მიაღწევს. ეს ძალიან დიდი დროა. შესაბამისად, მხოლოდ ერთი საინტერესო გზა დაგვრჩა, რომელიც განტოლებას ჭეშმარიტს ხდის: თუკი s-წევრებიანი წევრია ნულის ტოლი.

s, squared, start text, L, end text, plus, s, start text, R, end text, plus, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, equals, 0

ამას start text, L, R, C, end text წრედის მახასიათებელი განტოლება ეწოდება.

ვიპოვოთ მახასიათებელი განტოლების ფესვები

მოდით, ვიპოვოთ s-ის ისეთი მნიშვნელობა, რომელიც მახასიათებელ განტოლებას აკმაყოფილებს (ჩვენ მახასიათებელი განტოლების ფესვების პოვნა გვინდა).

ამისთვის კვადრატულ განტოლებას გამოვიყენებთ:

ნებისმიერი კვადრატული განტოლებისთვის: a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0,

კვადრატული ფორმულა გვაძლებს ფესვებს:

x, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, b, squared, minus, 4, a, c, end square root, divided by, 2, a, end fraction

ჩვენი მახასიათებელი განტოლების შემთხვევაში, შეგვიძლია, ჩვენი წრედის კომპონენტების მნიშვნელობები ამ ფორმულაში ჩავსვათ და ფესვები ვიპოვოთ. a, equals, start text, L, end text, b, equals, start text, R, end text, და c, equals, 1, slash, start text, C, end text.

ესეც ჩვენი s, ბუნებრივი სიხშირე. ამ ამონახსნის კიდევ უფრო მეტად დანაწევრებაა საჭირო, რათა ამონახსნის არსი გავიაზროთ.

ორი ახალი ცვლადის, alpha-სა და omega, start subscript, o, end subscript-, შემოტანით შეგვიძლია ნოტაცია უფრო კომპაქტური გავხადოთ.

alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction

omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction

მახასიათებელი განტოლება ასე გადავწეროთ left parenthesisმისი start text, L, end text -ზე გაყოფით):

თუკი მახასიათებელი განტოლების ჩასაწერად alpha-სა და omega, start subscript, o, end subscript-ს გამოვიყენებთ, მივიღებთ:

s, squared, plus, 2, alpha, s, plus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, equals, 0

კვადრატული ფორმულის გადაწერა შეგვიძლია მისი მნიშველის, 2, start text, L, end text-ის, მრიცხველის თითოეულ წევრთან გაერთიანებით:

s, equals, minus, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction, plus minus, square root of, left parenthesis, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start fraction, 4, start text, L, end text, slash, start text, C, end text, divided by, 4, start text, L, end text, squared, end fraction, right parenthesis, end square root

ფესვის მეორე წევრი მარტივდება:

left parenthesis, start fraction, 4, start text, L, end text, slash, start text, C, end text, divided by, 4, start text, L, end text, squared, end fraction, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, start cancel, 4, end cancel, start cancel, start text, L, end text, end cancel, slash, start text, C, end text, divided by, start cancel, 4, end cancel, start text, L, end text, start superscript, start cancel, 2, end cancel, end superscript, end fraction, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, start text, L, C, end text, end fraction

ასე, alpha და omega, start subscript, o, end subscript-ს გამოყენებით, შეგვიძლია s ჩავწეროთ:

s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root

ვიცით, რომ s რაღაც მნიშვნელოვანი სიხშირეა (მას 1, slash, t-ს ერთეულები უნდა ჰქონდეს). ეს ნიშნავს, რომ s-ის შემადგენელი ორი წევრი რაღაც სხვა სიხშირეები არიან.

alpha-ს ჩახშობის კოეფიციენტი ეწოდება. ის განსაზღვრავს, რამდენად მალე იხშობა მთლიანი სიგნალი.
omega, start subscript, o, end subscript რეზონანსული სიხშირეა. ის განსაზღვრავს, რამდენად სწრაფად ირხევა სისტემა. ეს იგივე რეზონანსული სიხშირეა, რაც start text, L, C, end text ბუნებრივ რეაქციაში ვიპოვეთ.

გამოცნონილი ამონახსნის გაუმჯობესებული ვერსია

კვადრატული განტოლება s-ისთვის ორ ამონახსნს გვაძლევს, მათ დავუძახოთ s, start subscript, 1, end subscript და s, start subscript, 2, end subscript. ჩვენს ამონახსნში ორივე მათგანი უნდა განვიხილოთ, ამიტომ ჩვენს გამოცნობილ ამონახსნს ჩავწერთ, როგორც ორი ცალკეული ექსპონენტური წევრის წრფივ კომბინაციას (სუპერპოზიციას), რომელსაც ოთხი ცვლადი პარამეტრი აქვს:

i, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, s, start subscript, 1, end subscript, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, s, start subscript, 2, end subscript, t, end superscript

s, start subscript, 1, end subscript და s, start subscript, 2, end subscript ბუნებრივი სიხშირეებია,
K, start subscript, 1, end subscript და K, start subscript, 2, end subscript ამპლიტუდები არიან.

წრედის მაგალითი

ამ ეტაპზე სასარგებლო იქნება კონკრეტული მაგალითის განხილვა კონკრეტული კომპონენტების მნიშვნელობებით, რათა დავინახოთ, როგორ გამოიყურება ერთი კონკრეტული ამონახსნი. ესეც ჩვენი წრედის მაგალითი:

start text, R, L, C, end text წრედის დიფერენციალური განტოლებაა:

რეალური კომპონენტების გამოყენებით ვიღებთ:

1, start fraction, d, squared, i, divided by, d, t, squared, end fraction, plus, 2, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, plus, 5, i, equals, 0

როგორც ყოველთვის, დავუშვათ, რომ ჩვენი ამონახსნის ფორმაა: i, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, K, e, start superscript, s, t, end superscript

ჩვენ ზემოთ აღწერილ ანალიზს ვასრულებთ, რაც შედეგად ამ მახასიათებელ განტოლებას გვაძლევს:

s, squared, plus, 2, s, plus, 5, equals, 0

მახასიათებელი განტოლების ფესვების პოვნა კვადრატული განტოლებითაა შესაძლებელი:

რეალური კომპონენტების მნიშვნელობებით ვიღებთ:

s, equals, start fraction, minus, 2, plus minus, square root of, 2, squared, minus, 4, dot, 1, dot, 5, end square root, divided by, 2, end fraction

s, equals, start fraction, minus, 2, plus minus, square root of, 4, minus, 20, end square root, divided by, 2, end fraction

s, equals, minus, 1, plus minus, start fraction, square root of, minus, 16, end square root, divided by, 2, end fraction

s, equals, minus, 1, plus minus, j, 2

(ელექტროინჟინრები წარმოსახვითი square root of, minus, 1, end square root ერთეულის აღსანიშნად ლათინურ ასო j-ს იყენებენ, რადგან i დენის სიმბოლოდაა გამოყენებული)

როგორც start text, L, C, end text ბუნებრივი რეაქციის შემთხვევაში, ახლაც კომპლექსურ პასუხს ვიღებთ. ამჯერად კომპლექსური პასუხი ორივე, რეალური და წარმოსახვითი, ნაწილისგან შედგება.

მახასიათებელი განტოლების ორი შესაძლო ფესვი s არსებობს, ამიტომ ამონახსნი i ახლა ორი სხვადასხვა ექსპონენტური წევრის სუპერპოზიციით ჩაიწერება:

i, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, left parenthesis, minus, 1, plus, j, 2, right parenthesis, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, left parenthesis, minus, 1, minus, j, 2, right parenthesis, t, end superscript

ექსპონენტში არსებული წევრები ერთმანეთის კომპლექსურად შეუღლებულები არიან. მოდით, სხვანაირად გადავწეროთ. შეგვიძლია ექსპონენტების რეალური და წარმოსახვითი წევრები განვაცალკევოთ:

i, equals, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, minus, 1, t, end superscript, e, start superscript, plus, j, 2, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, 1, t, end superscript, e, start superscript, minus, j, 2, t, end superscript, comma

ახლა შეგვიძლია, საერთო e, start superscript, minus, 1, t, end superscript წევრი ფრჩხილებს გარეთ გავიტანოთ:

i, equals, e, start superscript, minus, t, end superscript, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, plus, j, 2, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, j, 2, t, end superscript, right parenthesis

ყურადღება მიაქციეთ, რომ s-ის რეალურმა ნაწილმა ფრჩხილებს გარეთ გატანის შემდეგ მოგვცა კლებადი მაჩვენებლიანი ფუნქცია, e, start superscript, minus, t, end superscript.

ფრჩხილებში გვაქვს ორი წარმოსახვითი მაჩვენებლიანი (ექსპონენტური) ფუნქციის ჯამი, სადაც ექსპონენტები კომპლექსურად შებრუნებული რიცხვები არიან. ეს ისევე გამოიყურება, როგორც start text, L, C, end text ბუნებრივ რეაქციაში. როგორც მაშინ, ამ წევრების გასამარტივებლად ახლაც ოილერის ფორმულას გამოვიყენებთ.

ოილერის ფორმულა

e, start superscript, j, x, end superscript, sine, j, x, და cosine, j, x ფუნქციების მაკლორენის მწკრივებიდან, შეგვიძლია ოილერის ფორმულის გამოყვანა:

e, start superscript, plus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, plus, j, sine, x

და

e, start superscript, minus, j, x, end superscript, equals, cosine, x, minus, j, sine, x

ბმულზე მითითებულ ვიდეოში, როდესაც i-ს ამბობენ, ჩვენ j-ს ვგულისხმობთ.

ეს ფორმულები გვეხმარება, e, start superscript, წ, ა, რ, მ, ო, ს, ა, ხ, ვ, ი, თ, ი, end superscript ჩვეულებრივ კომპლექსურ რიცხვად გამოვსახოთ.

ოილერის ფორმულის გამოყენება

ჯამის გარდასაქმნელად შეგვიძლია ოილერის ფორმულა გამოვიყენოთ

K, start subscript, 1, end subscript, e, start superscript, plus, j, 2, t, end superscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, j, 2, t, end superscript

შემდეგნაირად გარდავქმნათ

K, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, cosine, 2, t, plus, j, sine, 2, t, right parenthesis, plus, K, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, cosine, 2, t, minus, j, sine, 2, t, right parenthesis, point

გავამრავლოთ K, start subscript, 1, end subscript და K, start subscript, 2, end subscript მუდმივაზე:

K, start subscript, 1, end subscript, cosine, 2, t, plus, j, K, start subscript, 1, end subscript, sine, 2, t, plus, K, start subscript, 2, end subscript, cosine, 2, t, minus, j, K, start subscript, 2, end subscript, sine, 2, t, comma

სინუს და კოსინუს წევრებს ერთად მოვუყაროთ თავი:

left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, cosine, 2, t, plus, j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, sine, 2, t

შეგვიძლია ეს განშტოება გარეგნულად გავამარტივოთ, თუ უცნობ K კოეფიციენტებს სხვა უცნობი A კოეფიციენტებით ჩავანაცვლებთ. დავუშვათ, რომ A, start subscript, 1, end subscript, equals, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, plus, K, start subscript, 2, end subscript, right parenthesis, და A, start subscript, 2, end subscript, equals, j, left parenthesis, K, start subscript, 1, end subscript, minus, K, start subscript, 2, end subscript).

წინა გამოსახულება ხდება:

A, start subscript, 1, end subscript, cosine, 2, t, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, 2, t

ახლა ეს ჩავსვათ ჩვენს გამოცნობილ ამონახსნში:

i, equals, e, start superscript, minus, t, end superscript, left parenthesis, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, 2, t, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, 2, t, right parenthesis

ჯერჯერობით ყველაფერი რიგზეა. ამი შემდეგ, საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით A, start subscript, 1, end subscript და A, start subscript, 2, end subscript უნდა ვიპოვოთ.

საწყისი მდგომარეობის პოვნა

მეორე რიგის განტოლების სრული ამონახსნის საპოვნელად ორი საწყისი მგდომარეობის ცოდნაა საჭირო: ერთი დამოუკიდებელი ცვლადისთვის, i, და მეორე მისი პირველი წარმოებულისთვის, d, i, slash, d, t.

თუ i და d, i, slash, d, t-ს მნიშვნელობები კონკრეტულ დროს გვეცოდინება, შემდეგ A, start subscript, 1, end subscript-სა და A, start subscript, 2, end subscript-საც ვიპოვით.

start text, R, L, C, end text წრედის საწყისი მდგომარეობის პოვნა, თითქმის იგივე პროცესია, რაც LC წრედისთვის. უბრალოდ, ამჯერად, რეზისტორიც უნდა გავითვალისწინოთ.

ეს ვიცით t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript დროის შესახებ (ჩამრთველის დაკეტვის წინა მომენტი):

ჩამრთველი ღაა, ამიტომ i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
კონდენსატორის საწყისი ძაბვაა: v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript ჩამრთველის ჩაკეტვის შემდეგი მომენტია, ჩვენი მიზანია i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis და d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis ვიპოვოთ. ჩვენ ვიცით ინდუქტორისა და კონდენსატორის თვისებები, რომელთაგანაც გავიგებთ, რა ხდება, როდესაც ჩამრთველი იკეტება, t, equals, 0, start superscript, minus, end superscript დროიდან t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript დრომდე:

ინდუქტორის დენი უცაბედად არ იცვლება, ანუ i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, i, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, 0
კონდენსატორის ძაბვაც არ იცვლება უცაბედად, ანუ v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, minus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

წრედის მდგომარეობა ჩამრთველის ჩაკეტვის შემდეგ, t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript დროს. i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0 და v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 10, start text, V, end text.

ერთი საწყისი მდგომარეობა ვიცით, i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0. ასევე ვიცით რაღაც ძაბვის შესახებ, მაგრამ არ ვიცით d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis.

მეორე საწყისი მდგომარეობა, d, i, slash, d, t, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis გავიგოთ. ყოველთვის, როდესაც d, i, slash, d, t-ს ვხედავ, ინდუქტორის i-v განტოლება მახსენდება. თუ ინდუქტორზე მოდებულ ძაბვას გავიგებთ, მაშინ d, i, slash, d, t-ს გარკვევაც შეგვეძლება. მოდით, ეს გამორიცხვის მეთოდით გავაკეთოთ.

კირხოფის ძაბვის კანონი წრედის გარშემო გვაძლევს:

რადგან i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0, რეზისტორზე მოდებული ძაბვა, v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, 0 უნდა იყოს. ასევე ვიცით, რომ კონდენსატორზე მოდებული ძაბვაა v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript. მოდით, კირხოფის ძაბვის კანონის განტოლებაში ეს მნიშვნელობები ჩავსვათ:

v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, minus, 0, minus, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript, equals, 0

ახლა ინდუქტორზე მოდებული ძაბვაც ვიცით t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript დროს:

v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, start text, V, end text, start subscript, 0, end subscript

ამ ინფორმაციისა და ინდუქტორის i-v განტოლების გამოყენებით შეგვიძლია d, i, slash, d, t ვიპოვოთ.

v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis

10, equals, 1, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 10, start text, A, end text, slash, start text, წ, ა, მ, ი, end text

ჩამრთველის ჩაკეტვის მომენტში ინდუქტორში გამავალი დენის საწყისი დახრილობა წამში 10 ამპერია.

ვიპოვოთ A, start subscript, 1, end subscript და A, start subscript, 2, end subscript მუდმივები საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით

გავიხსენოთ ჩვენი ამონახსნი:

და საწყისი მდგომარეობა:

i, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 0

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 0, start superscript, plus, end superscript, right parenthesis, equals, 10

თუ t, equals, 0 დროს i-ს გამოვითვლით, ერთ-ერთ A მუდმივას ვიპოვით. ამონახსნში t, equals, 0 და i, equals, 0 ჩავსვათ:

0, equals, e, start superscript, minus, 0, end superscript, left parenthesis, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, 2, dot, 0, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, 2, dot, 0, right parenthesis

0, equals, 1, left parenthesis, A, start subscript, 1, end subscript, cosine, 0, plus, A, start subscript, 2, end subscript, sine, 0, right parenthesis

0, equals, left parenthesis, A, start subscript, 1, end subscript, dot, 1, plus, A, start subscript, 2, end subscript, dot, 0, right parenthesis

A, start subscript, 1, end subscript, equals, 0

A, start subscript, 1, end subscript, equals, 0, ამიტომ კოსინუსის წევრი ამონახსნიდან ქრება. ჩვენი ამონახსნი ახლა ასე გამოიყურება:

i, equals, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t

მოდით, A, start subscript, 2, end subscript მეორე საწყისი მდგომარეობით გავიგოთ:

ჩვენ i-ს წარმოებულის განტოლება გვჭირდება. სად შეიძლება ეს ვიპოვოთ? ჩვენი ამონახსნის წარმოებული რომ ავიღოთ?

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t, right parenthesis

ამონახსნი ორი ფუნქციის ნამრავლია. მისი გაწარმოებისთვის ნამრავლის წესს ვიყენებთ:

left parenthesis, f, g, right parenthesis, prime, equals, f, prime, g, plus, f, g, prime

გამოვყოთ ნამრავლის წევრები და ვიპოვოთ მათი წარმოებულები:

f, equals, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, g, equals, sine, 2, t

f, prime, equals, minus, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, g, prime, equals, 2, cosine, 2, t

გავაერთიანოთ წევრები ნამრავლის წესის მიხედვით:

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, minus, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t, plus, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, 2, cosine, 2, t

start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction, equals, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, t, end superscript, left parenthesis, 2, cosine, 2, t, minus, sine, 2, t, right parenthesis

შეგვიძლია, ეს გამოსახულება t, equals, 0, start superscript, plus, end superscript დროს შევაფასოთ:

10, equals, A, start subscript, 2, end subscript, e, start superscript, minus, 0, end superscript, left parenthesis, 2, cosine, 0, minus, sine, 0, right parenthesis

10, equals, A, start subscript, 2, end subscript, dot, 1, dot, left parenthesis, 2, minus, 0, right parenthesis, equals, 2, A, start subscript, 2, end subscript

A, start subscript, 2, end subscript, equals, 5

ამონახსნი დენისთვის

და ბოლოს, ბევრი სამუშაოს შემდეგ, დენის ამონახსნია:

i, equals, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t

i ფუნქციის დროზე დამოკიდებულების გრაფიკი ასე გამოიყურება:

start text, R, L, C, end text წრედის ბუნებრივი რეაქცია, start text, R, end text, equals, 2, \Omega, start text, L, end text, equals, 1, start text, H, end text, and start text, C, end text, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, start text, F, end text. მკრთალი მრუდი სინუს ტალღის მომვლები ხაზის, plus minus, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript, გრაფიკია.

როდესაც ჩამრთველი იკეტება, ეს დენის მოზღვავებას იწვევს და ის სინუს ტალღის პირველი მოხრის ფორმას იღებს. სინუსის ტალღა მალე ილევა, რამდენიმე რხევის შემდეგ, რადგან სისტემაში არსებული ენერგია სითბოს სახით სწრაფად იფანტება, როდესაც დენი რეზისტორში გაედინება.

ამ მაგალითში „ხახუნი“, რომლის როლსაც რეზისტორის მნიშვნელობა ასრულებს, ენერგიის საკმაოდ სწრაფად გაფანტვას იწვევს. დენის ნიშნის ცვლილების დანახვა მხოლოდ ორჯერაა შესაძლებელი, სანამ ის ნულოვან მნიშვნელობაზე ჩამოვა.

ეს მაგალითი ნაკლებჩახშული ამონახსნია. ამ ტერმინს შემდეგ სექციაში გავეცნობით.

ვიპოვოთ ძაბვები

წრედში მხოლოდ ერთი დენია. ახლა, როცა უკვე ვიცით დენის ბუნებრივი რეაქცია, შეგვიძლია სამივე ძაბვის ბუნებრივი რეაქციაც ვიპოვოთ.

რეზისტორის ძაბვა

ომის კანონის გამოყენებით ვიპოვოთ რეზისტორის ძაბვა: left parenthesisგვაქვს minus ნიშანი, რადგან i შებრუნებულია v, start subscript, start text, R, end text, end subscript-ის მიმართright parenthesis

v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, minus, i, start text, R, end text

v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, minus, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t, dot, 2, \Omega

v, start subscript, start text, R, end text, end subscript, equals, minus, 10, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t

ინდუქტორის ძაბვა

ინდუქტორის ძაბვას ინდუქტორის i-v განტოლებიდან გავიგებთ:

v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, start text, L, end text, start fraction, d, i, divided by, d, t, end fraction

v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, 1, dot, start fraction, d, divided by, d, t, end fraction, left parenthesis, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t, right parenthesis

[გაწარმოების ნაბიჯების ჩვენება]

v, start subscript, start text, L, end text, end subscript, equals, minus, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript, left parenthesis, sine, 2, t, minus, 2, cosine, 2, t, right parenthesis

კონდენსატორის ძაბვა

კონდენსატორის ძაბვის საპოვნელად შეგვიძლია კონდენსატორის i-v განტოლების ინტეგრალური ფორმა გამოვიყენოთ: left parenthesisაქ გვაქვს კიდევ ერთი minus ნიშანი, რადგან i-ს მიმართულება v, start subscript, start text, C, end text, end subscript-ს მიმართ შებრუნებულიაright parenthesis

v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, start text, C, end text, end fraction, integral, minus, i, d, t

v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 1, slash, 5, end fraction, integral, minus, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript, sine, 2, t, d, t

[ინტეგრაციის ჩვენება]

v, start subscript, start text, C, end text, end subscript, equals, 5, e, start superscript, minus, t, end superscript, left parenthesis, sine, 2, t, plus, 2, cosine, 2, t, right parenthesis

აქ სამივე ძაბვის გრაფიკი ერთადაა მოცემული:

[კონდენსატორის ძაბვის პოვნის მეორე გზა კირხოფის ძაბვის კანონის გამოყენებაა.]

შეჯამება

start text, R, L, C, end text წრედი ხახუნის მქონე მოქანავე მექანიკური ქანქარას ელექტრული შესატყვისია. წრედის მოდელირება მე-2 რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებითაა შესაძლებელი:

შედეგად ვიღებთ მახასიათებელ განტოლებას:

მახასიათებელი განტოლების ფესვები კვადრატული განტოლებით ვიპოვეთ:

alpha და omega, start subscript, o, end subscript ცვლადებს შემოტანით s ცოტათი უფრო მარტივად ჩავწერეთ:

s, equals, minus, alpha, plus minus, square root of, alpha, squared, minus, omega, start subscript, o, end subscript, squared, end square root

სადაც alpha, equals, start fraction, start text, R, end text, divided by, 2, start text, L, end text, end fraction და omega, start subscript, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, start text, L, C, end text, end square root, end fraction

იმ წრედის მაგალითის განხილვით დავასრულეთ, რომლის კომპონენტებმა ისეთი დენი (და ძაბვები) გამოიწვიეს, რომლებიც რამდენიმეჯერ გაირხენ.

მახასიათებელი განტოლების ფესვებმა შეიძლება ორივე, რეალური და კომპლექსური, ფორმა მიიღონ. ეს alpha და omega, start subscript, o, end subscript ცვლადების ფარდობით ზომაზეა დამოკიდებული. შემდეგ სტატიაში ამ სამ ფორმას დეტალურად განვიხილავთ:

ზეჩახშობილი, როდესაც alpha, is greater than, omega, start subscript, 0, end subscript. ამ შემთხვევაში გვაქვს ორი კლებადი მაჩვენებლიანი ფუნქციის ჯამი.
კრიტიკულად ჩახშული, alpha, equals, omega, start subscript, 0, end subscript. ამ შემთხვევაში გვაქვს t, dot კლებადი მაჩვენებლიანი ფუნქცია
ნაკლებ ჩახშული, alpha, is less than, omega, start subscript, 0, end subscript, გვაქვს კლებადი სინუსოიდი

[საავტორო უფლებების შესახებ]

დავალაგოთ:

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

ელექტროინჟინერია

კურსი: ელექტროინჟინერია > თემა 2

შესავალი

რის აგებას ვცდილობთ

სტრატეგია

წრედის დიფერენციალური განტოლებით მოდელირება

ამონახსნის გამოცნობა

გამოვცადოთ გამოცნობილი ამონახსნი

გავხადოთ განტოლება ჭეშმარიტი

ვიპოვოთ მახასიათებელი განტოლების ფესვები

გამოცნონილი ამონახსნის გაუმჯობესებული ვერსია

წრედის მაგალითი

ოილერის ფორმულა

ოილერის ფორმულის გამოყენება

საწყისი მდგომარეობის პოვნა

ვიპოვოთ A1A_1A1​A, start subscript, 1, end subscript და A2A_2A2​A, start subscript, 2, end subscript მუდმივები საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით

ამონახსნი დენისთვის

ვიპოვოთ ძაბვები

რეზისტორის ძაბვა

ინდუქტორის ძაბვა

კონდენსატორის ძაბვა

შეჯამება

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

ვიპოვოთ A, start subscript, 1, end subscript და A, start subscript, 2, end subscript მუდმივები საწყისი მდგომარეობის გამოყენებით