If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 5: მრავალცვლადიანი ფუნქციების ვიზუალიზაცია (სტატიები)
მათემატიკა
მრავალცვლადიანი კალკულუსი
დავფიქრდეთ მრავალცვლადიანი ფუნქციების შესახებ
მრავალცვლადიანი ფუნქციების ვიზუალიზაცია (სტატიები)
© 2024 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

კონტურული რუკები

Google–ის საკლასო ოთახი
როდესაც სამ განზომილებაში დახატვა მოუხერხებელია, კონტურული რუკა არის ორგანზომილებიანი არგუმენტისა და ერთგანზომილებიანი მნიშვნელობის მქონე ფუნქციების წარმოდგენის სასარგებლო ალტერნატიული გზა.

ფონი

პროცესი

კონტურული რუკები არის ორგანზომილებიანი არგუმენტისა და ერთგანზომილებიანი მნიშვნელობის მქონე ფუნქციების გამოსახვის გზა.
f(x,y)=x4−x2+y2.
გრაფიკებით (x,y) არგუმენტის f(x,y) მნიშვნელობასთან ასოცირების გზა არის მათი გაერთიანება (x,y,f(x,y)) სამეულში და შემდეგ მისი აგება სამგანზომილებიან სივრცეში. თავად გრაფიკი მოიცავს ყველა შესაძლო (x,y,f(x,y)) სამეულს, რომლებიც ჯამში გარკვეული სახის ზედაპირს ქმნიან.
თუმცა ხანდახან სამგანზომილებიანი სურათის გამოსახვა და ხელით აგება ძალიან რთულია. კონტურული რუკები არის ფუნქციის გამოსახვის გზა მხოლოდ ორგანზომილებიან არგუმენტთა სივრცეში დახატვით.
აი, როგორ კეთდება ეს:
  • ნაბიჯი 1: დავიწყოთ ფუნქციის გრაფიკით.
მაგალითი: ფუნქციის გრაფიკი.
  • ნაბიჯი 2: დავჭრათ გრაფიკი რამდენიმე თანაბრადდაშორებული სიბრტყით, რომელთაგან თითოეული უნდა იყოს xy სიბრტყის პარალელური. ამ სიბრტყეებზე შეგიძლიათ ისე, როგორც ადგილებზე, რომლებშიც z უდრის რაიმე მოცემულ მნიშვნელობას, როგორიცაა z=2.
დონური სიბრტყეებით გაჭრილი გრაფიკი.
  • ნაბიჯი 3: აღვნიშნოთ გრაფიკზე ადგილები, რომლებშიც მას სიბრტყეები ჭრიან.
გრაფიკი დონური სიმრავლეების მონიშვნის გარეშე.
  • ნაბიჯი 4: აღნიშნეთ ეს ხაზები xy სიბრტყეზე და მონიშნეთ ის სიმაღლეები, რომელთაც შეესაბამებიან.
გრაფიკის დონური სიმრავლეები ცალკე.
მაგალითი: კონტურული რუკა
სხვა სიტყვებით, თქვენ მნიშვნელობათა სიმრავლიდან ირჩევთ იმ მნიშვნელობებს, რომელთა გამოსახვაც გინდათ, შემდეგ კი თითოეული მათგანისთვის ხატავთ ხაზს, რომელიც გაივლის ყველა ისეთ (x,y) არგუმენტს, რომლისთვისაც f(x,y) უდრის ამ მნიშვნელობას. იმის გასარკვევად, თუ რომელი ხაზი რომელ მნიშვნელობას შეესაბამება, როგორც წესი, თითოეული ხაზის გასწვრივ პირდაპირ შესაბამის რიცხვით მნიშვნელობას წერენ.
შენიშვნა: თქვენ მიერ წარმოსადგენ მნიშვნელობათა არჩევანი, ამ მაგალითში {−2,−1,0,1,2}, თითქმის ყოველთვის ლუწად უნდა იყოს განაწილებული. ეს აადვილებს ფუნქციის "ფორმის" აღქმას მხოლოდ კონტურულ რუკაზე შეხედვით.

მაგალითი 1: პარაბოლოიდი

განვიხილოთ ფუნქცია f(x,y)=x2+y2. მისი გრაფიკის ფორმა ცნობილია "პარაბოლოიდის" სახელით - ესაა პარაბოლის სამგანზომილებიანი ეკვივალენტი.
f(x,y)=x2+y2-ის გრაფიკი
აი, როგორ გამოიყურება მისი კონტურული რუკა:
f(x,y)=x2+y2-ის კონტურული რუკა
აღვნიშნოთ, რომ წრეები არ არის თანაბრად დაშორებული. ეს იმიტომ, რომ გრაფიკის სიმაღლე უფრო სწრაფად იზრდება, როცა უფრო და უფრო მეტად ვშორდებით ათვლის სათავეს. ასე რომ, მოცემული რაოდენობით სიმაღლის გაზრდა საჭიროებს უფრო მცირე ზომის ნაბიჯს ათვლის სათავიდან მოშორებით არგუმენტთა სივრცეში.

მაგალითი 2: ტალღები

რას ფიქრობთ შემდეგ ფუნქციაზე: f(x,y)=cos⁡(x)⋅sin⁡(y)? მისი გრაფიკი ძალიან ტალღოვანს ჰგავს:
f(x,y)=cos⁡(x)⋅sin⁡(y)-ის გრაფიკი
აი, მისი კონტურული რუკა:
ერთი თვისება, რომელიც აღნიშვნას იმსახურებს არის ის, რომ კონტურულ რუკებზე პიკები და ჩაღრმავებები ერთმანეთს ძალიან ჰგავს და მათი გარჩევა მხოლოდ წარწერებზე დაკვირვებითაა შესაძლებელი.

მაგალითი 3: წრფივი ფუნქცია

ახლა შევხედოთ f(x,y)=x+2y-ს. მისი გრაფიკი არის დახრილი სიბრტყე.
f(x,y)=x+2y-ის გრაფიკი
ეს შეესაბამება თანაბრად დაშორებული სწორი ხაზების მქონე კონტურულ რუკას:
f(x,y)=x+2y-ის კონტურული რუკა

მაგალითი 4: ნამდვილი რუკა

კონტურული რუკები ხშირად გამოიყენება ნამდვილ რუკებში მთიანი რელიეფის სიმაღლის გამოსახატად. მაგალითად, მარჯვნივ მოცემულ სურათზე გამოსახულია მთვარის გარკვეული კრატერი.
მთის კონტურული რუკა
მთვარეზე არსებული სამხრეთის კრატერის კონტურული რუკა, ვიკიპედიადან
წარმოიდგინეთ ამ კრატერის ირგვლივ სეირნობა. სადაც კონტურული ხაზები ერთმანეთთან ახლოსაა, იქ დახრილობაც უფრო ციცაბოა. მაგალითად, თქვენ ძალიან მცირე მანძილზე ეშვებით 7700 მეტრიდან 7650 მეტრ სიმაღლეზე. ძირში, სადაც ხაზები იშვიათია, ზედაპირი უფრო ბრტყელია, იცვლება 7650 მეტრიდან 7628 მეტრამდე დიდ მანძილზე.

იზოხაზები

კონტურულ რუკაზე ხაზებს სხვადასხვა სახელი აქვთ:
  • კონტურული ხაზები.
  • დონური სიმრავლეები, ეს წარმოადგენს იმ (x,y) მნიშვნელობებს, რომლებისთვისაც გრაფიკის სიმაღლე უცვლელი რჩება, სწორად აქედან მოდის სიტყვა დონე.
  • იზოხაზები, სადაც "იზო" არის ბერძნული თავსართი და ნიშნავს "იგივეს".
იმის მიხედვით, თუ რას წარმოადგენს კონტურული რუკა, ეს იზო ბევრ სხვადასხვა ადგილას გვხვდება. აქ არის ორი მაგალითი ამინდის კონტურული რუკებიდან.
  • იზოთერმა არის ხაზი ტემპერატურის გამომხატველ კონტურულ რუკაზე.
  • იზობარა არის ხაზი წნევის გამომხატველ კონტურულ რუკაზე.

ინტუიციის მიღება კონტურული რუკიდან

თქვენ კონტურული ხაზების სიახლოვის მიხედვით შეგიძლიათ იმის თქმა, თუ რამდენად ციცაბოა თქვენი გრაფიკის ნაწილი. როდესაც ისინი ერთმანეთისგან შორსაა, სიმაღლის ზრდას სჭირდება ძალიან დიდი ჰორიზონტალური მანძილი, ხოლო როცა ისინი ერთმანეთთან ახლოსაა, სიმაღლე ძალიან სწრაფად იზრდება.
სიმაღლესთან ასოცირებული დონური სიმრავლეები პიკთან მიახლოებასთან ერთად ხდებიან უფრო და უფრო მცირე ჩაკეტილი წირები, თითოეული მათგანი შემოსაზღვრავს მომდევნოს. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ ფუნქციის მაქსიმუმის ან მინიმუმის მოძებნა კონტურული რუკის გამოყენებით შეგიძლიათ, თქვენ უბრალოდ უნდა დააკვირდეთ, სადაა კონცენტრული წრეების ერთმანეთის შემომსაზღვრელი ჩაკეტილი წირები.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.