If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ვექტორული ველები

ვექტორული ველები წარმოადგენს სითხის დინებას (გარდა სხვა მრავალი რამისა).  ისინი ასევე ისეთი ფუნქციების ვიზუალიზაციის საშუალებას იძლევა, რომელთა არგუმენტიცა და მნიშვნელობაც თანაბარი განზომილებისაა.

ფონი

ვექტორული ჩანაწერი:
  • i^ არის ერთეულოვანი ვექტორი x მიმართულებით
  • j^ არის ერთეულოვანი ვექტორი y მიმართულებით
  • k^ არის ერთეულოვანი ვექტორი z მიმართულებით

რის აგებას ვცდილობთ

  • ვექტორული ველი სივრცეში თითეულ წერტილს ვექტორს უკავშირებს.
  • ვექტორული ველი და სითხის დინება მხარდამხარ მიდიან.
  • ვექტორულ ველზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც მრავალცვლადიანი ფუნქციის წარმომდგენზე, რომლის არგუმენტისა და მნიშვნელობის სივრცეებს ერთი განზომილება აქვთ.
  • ვექტორულ ველში შემოხაზული ისრების სიგრძე ჩვეულებრივ არაა მაშტაბის შესაბამისი, მაგრამ ვექტორების სიგრძეების ურთიერთფარდობა სწორი უნდა იყოს. ზოგჯერ ვექტორის სიგრძე ფერით გამოიხატება.

მოთელვა: მოძრაობის დახაზვა სიჩქარის ვექტორების გამოყენებით

როგორ დავხაზოთ მოძრავი ობიექტი? მათემატიკასა და ფიზიკაში გავრცელებული ერთ-ერთი გზაა სიჩქარის ვექტორის დართვა, რომელიც აღწერს ობიექტის მოძრაობას ნახაზში.
  • ვექტორის სიგრძე (აბსოლუტური სიდიდე) გვიჩვენებს სიჩქარეს.
  • ვექტორის მიმართულება გვიჩვენებს გზას, რომელისკენაც მოძრაობს ობიექტი.
მაგალითად, დავუშვათ, რომ გაქვთ, მელა და ვეშაპი და ორივე მათგანი მარცხნივ მოძრაობს. დავუშვათ, მელა მოძრაობს (ან უფრო სწორად აჩოჩებენ, როგორც ნახატშია) 10 მეტრი წამში სიჩქარით და ვეშაპი - 5 მეტრი წამში სიჩქარით. მათი მოძრაობები ასე შეგიძლიათ, დახაზოთ:
ამ მაგალითში ორი მნიშვნელოვანი დათქმა უნდა შევნიშნოთ:
  1. ვექტორის განსაზღვრება გვეუბნება მხოლოდ მის აბსოლუტურ სიდიდესა და მიმართულებას (მაგალითად, 10 მეტრი წამში მარცხნივ), მაგრამ იმას არა, თუ სად დავხაზოთ ვექტორი. გადაწყვეტილება, რომ ვექტორის ბოლოს ვურთავთ იმ ობიექტს, რომლის მოძრაობასაც ის წარმოადგენს, მხოლოდ დათქმაა.
  2. ჩვენს ნახატში ვექტორების ნამდვილ სიგრძეს სინამდვილეში არ აქვს მნიშვნელობა. მთავარია, მელაზე დართული ვექტორის სიგრძე ორჯერ აღემატებოდეს ვეშაპზე დართულისას. ადამიანს, რომელიც სურათს უყურებს, უბრალოდ შეგიძლიათ, უთხრათ: „ისარი, რომელიც მელაზე დავხაზე, არის ის, როგორაც უნდა გამოიყურებოდეს 10 მეტრი წამში.“

სამოტივაციო მაგალითი: მოძრავი სითხეები ორ განზომილებაში

ახლა კი ძალები მოვიკრიბოთ. ერთი ან ორი ობიექტის გადაადგილების ნაცვლად, თქვენ გაქვთ სითხე, რომელიც მიედინება რაიმე კონკრეტული წესით. მაგალითად, შემდეგი ამინაცია სითხის დინებას ხატავს სითხის რამდენიმე ნაწილაკის მოძრაობის ჩვენებით (რომელიც ლურჯი წერტილების სახითაა დახაზული):
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ასეთი მოძრაობა რომ წარმოვადგინოთ, ბევრად უფრო მეტი ინფორმაციის გადაყვანა გვჭირდება, ვიდრე - მხოლოდ აბსოლუტური სიდიდისა და მიმართულების. ჩვენ უნდა გამოვხატოთ სითხეში ყოველი ცალკეული ნაწილაკის სიჩქარე.
სინამდვილეში, როცა ამ მოძრაობას ვხაზავთ, შეგვიძლია, ნაწილაკების მხოლოდ შერჩევითი ერთობლიობა წარმოვადგინოთ. მაგალითად, თუ ანიმაციაში ნაჩვენებ თითოეულ ნაწილაკზე დახაზავთ სიჩქარის ვექტორს და თუ დაურთავთ საკოორდინატო ღერძებსაც, რომ თვალი მიადევნოთ, თუ სად რა ხდება, შეიძლება, დაახლოებით ასეთი დიაგრამა მიიღოთ:
თუ სურათში თვალს მიადევნებთ ისრებს, გადახვალთ რიგრიგობით ერთიდან მეორემდე, ძალიან კარგად დაინახავთ, რომ წარმოდგენილი სითხე მიედინება, მიუხედავად იმისა, რომ ეს უძრავი სურათია. ერთმანეთთან ახლოს მდებარე ნაწილაკებს ერთი სიჩქარე და მიმართულება ახასიათებთ. შესაბამისად, თითოეული ისარი წარმოადგენს არა მხოლოდ იმ ნაწილაკის სიჩქარეს, რომელზეც მოთავსებულია, არამედ წარმოდგენას გვიქმნის ამ ნაწილაკის ირგვლივ მოძრაობის შესახებ.
ასეთ დიაგრამას ეწოდება ვექტორული ველი.
ერთი მნიშვნელოვანი რამ, რაც უნდა აღინიშნოს იმ გზის შესახებ, რომლითაც ადამიანები ჩვეულებრივ ხაზავენ ვექტორულ ველებს, არის ის, რომ ვექტორები თითქმის არასდროს არ იხატება სათანადო მასშტაბით. მაგალითად, თუ ცალკეული ნაწილაკი მოძრაობს 10 მეტრი წამში სიჩქარით, ჩვენ მასზე, წესით, 10 ერთეული სიგრძის ისარი უნდა მოვათავსოთ, მაგრამ ამან მთელი სურათი შეიძლება, დაიკავოს! თითოეულ წერტილზე მართლა ყველა მხარეს მიმართული გრძელი ისარი რომ დაერთოს, დიაგრამა შეიძლება, ძალიან ჩახლართული იყოს.
შედეგად, გავრცელებულია თითოეული ვექტორის მასშტაბის ისე შემცირება, რომ ისინი სუფთად მოთავსდნენ სურათზე. მნიშვნელოვანი არ არის რომელიმე ცალკული ვექტორის სიგრძე, არამედ - სხვადასხვა ვექტორების სიგრძეების თანაფარდობა.
ზოგიერთი პროგრამა ფარდობითი სიგრძის წარმოსადგენად აფერადებს თითოეულ ვექტორს. მაგალითად, შემდეგი სურათი გვიჩვენებს იმავე ვექტორულ ველს ფერების გამოყენებით: მუქი ლურჯი ისრები უნდა ჩაითვალოს უფრო მოკლედ, ვიდრე - მსუბუქი ლურჯი ისრები, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი ერთი სიგრძის არიან.
მოდით, ვექტორულ ველზე მათემატიკურად ვიფიქროთ. ორგანზომილებიან სივრცეში თითოეული წერტილი უკავშირდება ორგანნზომილებიან ვექტორს. ეს შეგვიძლია, ჩავთვალოთ (მრავალცვლადიან) ვექტორულ ფუნქციად, რომლის არგუმენტია (x,y) წერტილი ორგანზომილებიან სივრცეში და მნიშვნელობა - ორგანზომილებიანი ვექტორი.
მაგალითად, ფუნქცია, რომელიც გამოვიყენე ზემოთ მოცემული სითხის დინებისა და ვექტორული ველის წარმოსადგენად, არის
f(x,y)=[sin(x)+sin(y)sin(x)sin(y)]=(sin(x)+sin(y))i^+(sin(x)sin(y))j^
რადგან ამ ფუნქციის არგუმენტსაც და მნიშვნელობასაც ორი კოორდინატი აქვს, მათი გრაფიკულად გამოსახვისთვის ოთხი განზომილება იქნებოდა საჭირო, მაგრამ მხოლოდ ორგანზომილებიანი ნახაზით, იგი თითქმის სრულად წარმოვადგინეთ! გარდა ამისა, ეს სურათი ბევრად უფრო კარგ წარმოდგენას გვიქმნის იმ სითხის ტრიალის შესახებ, რომლის წარმოდგენაც გვინდა, ვიდრე ამას გრაფიკი ოდესმე შეძლებდა.
კონცეფციის შემოწმება: f-ის მოცემული ფორმულისთვის რა კომპონენტები აქვს (π,π2) წერტილზე მობმულ ვექტორს xy სიბრტყეში?
x კომპონენტია
(მასზე ასევე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც - i^ კომპონენტზე)

y კომპონენტია
(მასზე ასევე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც j^ კომპონენტზე)

შესაბამისად, ეს ვექტორი მიმართულია

მაგალითი 1: იგივური ფუნქცია

განიხილეთ ეს ფუნქცია:
f(x,y)=[xy]
ეს ორგანზომილებიანი სივრცის მოცემულ წერტილს, როგორიცაა (3,4), უკავშირებს ვექტორს, რომელსაც იგივე კოორდინატები აქვს. მაგალითად, აი, როგორი იქნება (3,4)-ზე მოთავსებული ვექტორი:
როცა ამას აკეთებთ სიბრტყის ბევრ წერტილზე და ყველა ვექტორის მაშტაბს ისე ცვლით, რომ ისინი არ აირიოს, თქვენ მიიღებთ ასეთ სურათს:
f(x,y)=(x,y)-ის ვექტორული ველი

მაგალითი 2: არაჰორიზონტალური კომპონენტი

შემდეგ განიხილეთ ეს ფუნქცია:
f(x,y)=[0ysin(x)]
მნიშვნელობის x კომპონენტი ყოველთვის 0-ია, ასე რომ, ჩვენს ვექტორულ ველში ვექტორები მხოლოდ ზევით და ქვევით უნდა იყოს მიმართული.
მნიშვნელობის მეორე კოორდინატი გვეუბნება, რამდენად მაღალი უნდა იყოს თითოეული ვექტორი. რადგან ამას აქვს y მამრავლი, ისრები უნდა დაგრძელდეს, როცა ვშორდებით x ღერძს და დამოკლდეს, როცა მისკენ ვმოძრაობთ (რატომ?). ასევე გვაქვს sin(x) მამრავლი, ასე რომ, როცა ჩვენ ვმოძრაობთ მარცხნიდან მარჯვნივ, ვექტორის სიმაღლეები ზევით-ქვევით იმოძრავებს.
f(x,y)=(0,ysin(x))-ის ვექტორული ველი

მაგალითი 3: დასახმარებლად გრაფიკების გამოყენება

ვარჯიში სრულყოფაში გვეხმარება, ასე რომ, მოდით შევხედოთ კიდევ ერთ ვექტორულ ფუნქციას ორ განზომილებაში და ვიმსჯელოთ, როგორ უნდა გამოიყურებოდეს ვექტორული ველი, რომელსაც წარმოადგენს. ამაზე ფიქრი უფრო მრავლისმომცველია, ვიდრე - წინა მაგალითები.
f(x,y)=[1y2y]
რადგან x არსად არ ჩანს მნიშვნელობაში, ჩვენი ველის ვექტორები უცვლელი უნდა დარჩეს, როცა მარცხნივ და მარჯვნივ ვმოძრაობთ (რატომ?).
ჩვენი ყველა ვექტორის პირველი კომპონენტი ყოველთვის 1-ია, ასე რომ, ყველა ვექტორს ექნება იგივე მარჯვნივ მიმართული ვექტორი. რაც შეეხება ვექტორების მეორე კომპონენტს, ისინი იქნება y2y-ის ტოლი, მაგრამ ეს როგორ გამოიყურება?
შეგვიძლია, შევისვენოთ, რომ კარგად შევიგრძნოთ y2y გამოსახულება ერთცვლადიანი g(y)=y2y ფუნქციის გრაფიკზე შეხედვით. გამოსახულება იშლება, როგორც - y(y1), ასე რომ, მისი ფესვებია 0 და 1. ასევე ვიცით, რომ ეს ზევით მიმართული პარაბოლაა, რადგან ეს არის კვადრატული ფუნქცია დადებითი პირველი წევრით, ასე რომ, ვიღებთ ამ გრაფიკს:
g(y)=y2y-ის გრაფიკი
ეს ფუნქცია დადებითია [0,1] დიაპაზონის გარეთ და ოდნავ უარყოფითია შიგნით.
ახლა ისევ შეხედეთ ვექტორული ველის ფუნქციას.
f(x,y)=[1y2y]
თითოეული ვექტორის y კომპონენტი იქნება ოდნავ უარყოფითი (ანუ, ქვევით მიმართული), როცა y არის 0-სა და 1-ს შორის. როცა y შორდება დიაპაზონს, ან ზევით ან ქვევით წასვლით, ვექტორის y კომპონენტი ხდება ზრდადად დადებითი, ასე რომ, თითოეული წერტილი უფრო და უფრო ზევით იქნება მიმართული. ამის მონახაზის შედგენით შეიძლება, რაღაც ასეთი მიიღოთ:
f(x,y)=(1,y2y)-ის ვექტორული ველი

ვექტორული ველი სამ განზომილებაში

იგივეს გაკეთება შეგვიძლია სამ განზომილებაში, ვთქვათ, ჰაერის ნაკადების მოდელირებისთვის. ორგანზომილებიანი შემთხვევის ანალოგიურად, სამგანზომილებიანი სივრცის თითოეულ წერტილს ვუკავშირებთ სამგანზომილებიან ვექტორს და ვხაზავთ მხოლოდ ამ ვექტორების შერჩევით ერთობლიობას.
შემდეგი ვიდეო გვიჩვენებს, როგორი შეიძლება, იყოს ასეთი სამგანზომილებიანი ვექტორი, სადაც წითელთან მიახლოებული ვექტორები გვიჩვენებენ გრძელ ვექტორებს და ლურჯთან მიახლოებულები - მოკლე ვექტორებს.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ამჯერად ჩვენი ვექტორული ველი წარმოადგენს ფუნქციას 3-კოორდინატიანი არგუმენტითა და 3-კოორდინატიანი მნიშვნელობით, ასე რომ, მისი გრაფიკის აგება მოითხოვს 6 განზომილებას! კონკრეტული ფუნქცია, რომელიც ამ მაგალითისთვის გამოიყენეთ, იყო:
f(x,y,z)=[y+zx+zx+y]
სამგაზნომილებიანი ვექტორული ველების დახაზვა შეიძლება, იყოს ძნელი მაშინაც კი, როცა ამას ვაკეთებთ, ვთქვათ, რაიმე გრაფიკული პროგრამით. ვექტორები შეიძლება, ერთმანეთს გადაეფაროს, ასე რომ, ძნელი სანახავი იქნება, თუ რა ხდება. შედეგად, ეს არის ერთ-ერთი ვიზუალური გამოსახულება, რომელიც ძალიან გამოსადეგია, როგორც გონებაში შესანახავი იდეა, მაგრამ აუცილებლად გამოსადეგი არ არის ზუსტი წარმოდგენებისთვის.

შეჯამება

  • ვექტორული ველი სივრცეში თითეულ წერტილს ვექტორს უკავშირებს.
  • ვექტორული ველი და სითხის დინება მხარდამხარ მიდიან.
  • ვექტორულ ველზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც მრავალცვლადიანი ფუნქციის წარმომდგენზე, რომლის არგუმენტისა და მნიშვნელობის სივრცეებს ერთი განზომილება აქვთ.
  • ვექტორულ ველში შემოხაზული ისრების სიგრძე ჩვეულებრივ არაა მაშტაბის შესაბამისი, მაგრამ ვექტორების სიგრძეების ურთიერთფარდობა სწორი უნდა იყოს. ზოგჯერ ვექტორის სიგრძე ფერით გამოიხატება.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.