ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 5: მრავალცვლადიანი ფუნქციების ვიზუალიზაცია (სტატიები)

რა არის მრავალცვლადიანი ფუნქციები?

მრავალცვლადიანი ფუნქციების მიმოხილვა მცირე ანონსთან ერთად, თუ რას წარმოადგენს გამოყენებითი კალკულუსი ამ ფუნქციებით

რის აგებას ვცდილობთ

ფუნქციას მრავალცვლადიანი ეწოდება, თუ მისი არგუმენტი რამდენიმე რიცხვისგან შედგება.
$f (\underset{\begin{matrix} მრავალი რიცხვი \\ არგუმენტში \end{matrix}}{\underset{⏟}{x, y}}) = x^{2} y$ ‍
თუ ფუნქციის მნიშვნელობა შედგება რამდენიმე რიცხვით, ისიც შეიძლება, მრავალცვლადიანი იყოს, მაგრამ ამათ ასევე ეწოდებათ ვექტორული ფუნქცია.
$f (x) = [\begin{matrix} \cos (x) \\ \sin (x) \end{matrix}] \leftarrow მრავალი რიცხვი მნიშვნელობაში$ ‍
ამ ფუნქციების წარმოდგენა მოიცავს რამდენიმე განზომილების მქონე მოცულობაზე ფიქრს (ჩვეულებრივ, მხოლოდ ორი ან სამი, თუ არ გვინდა თავი გაგვისკდეს).

რა არის მრავალცვლადიანი ფუნქციები?

როცა პირველად ვისწავლე ფუნქციების შესახებ და შეიძლება, ეს თქვენთვისაც ასეა, მახსოვს, რომ მათ წარმოდვიდგენდი, როგორც რიცხვის ამღებებსა და რიცხვის მომცემებს. ტიპური მაგალითი დაახლოებით ასეთი იქნებოდა:

f (x) = x^{2}

ან ასეთი:

f (x) = \sin (x) + 2 \sqrt{x}

თუ გაიხსენებთ, თუ როგორ ისწავლეთ პირველად ფუნქციების შესახებ, შეიძლება, გასწავლეს ფუნქციის წარმოდგენა მანქანად, რომელიც იღებს რაიმე არგუმენტებს, გარდაქმნის და აბრუნებს მნიშვნელობებს.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

მაგრამ, სინამდვილეში, ფუნქციამ აუცილებელი არაა, აიღოს და დააბრუნოს რიცხვი, მას შეუძლია, აიღოს ნებისმიერი რამ და დააბრუნოს ნებისმიერი რამ. მრავალცვლადიან კალკულუსში ეს შეიძლება, იყოს რიცხვების ჩამონათვალი. ანუ, არგუმენტი და/ან მნიშვნელობა შეიძლება, შედგებოდეს რამდენიმე რიცხვით.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

**სხვადასხვა ტიპის ფუნქციების მაგალითი**
	ერთრიცხვიანი არგუმენტი	მრავალრიცხვიანი არგუმენტი
ერთრიცხვიანი მნიშვნელობა	$f (x) = x^{2}$ ‍	$f (x, y) = x^{2} + y^{3}$ ‍
მრავალრციხვიანი მნიშვნელობა	$f (t) = (\cos (t), \sin (t))$ ‍	$f (u, v) = (u^{2} - v, v^{2} + u)$ ‍

მრავალცვლადიანი ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტი და/ან მნიშვნელობა შედგება მრავალი რიცხვით. საპირისპიროდ, ფუნქციას ერთრიცხვიანი არგუმენტითა და ერთრიცხვიანი მნიშვნელობით ეწოდება ერთცვლადიანი ფუნქცია.

შენიშვნა: ზოგიერთი ავტორი და მასწავლებელი მრავალცვლადიანს უწოდებს ფუნქციებს მრავალრიცხვიანი არგუმენტებით და არა მნიშვნელობებით.

რიცხვების ჩამონათვალი $\leftrightarrow$ ‍ წერტილები სივრცეში

მრავაცლვადიან კალკულუსს ის ალამაზებს, რომ ფუნქციის გამოსახვა, ახალი კალკულუსით მისი გარდაქმნის სწავლასთან ერთად, მოიცავს სივრცეს მრავალი განზომილებით.

მაგალითად, დავუშვათ, რომ რაიმე ფუნქციის, რომელზეც მუშაობთ, არგუმენტი არის რიცხვების წყვილი, როგორიცაა

(2, 5)

. მათზე შეგეძლოთ, გეფიქრათ, როგორც ორ დამოუკიდებელ რამეზე: რიცხვ ორსა და რიცხვ ხუთზე.

მაგრამ

(2, 5)

-ის მსგავსი წყვილის წარმოდგენის უფრო გავრცელებული გზაა წერტილი ორგანზომილებიან სიბრტყეში, რომლის

x

კოორდინატია

2

და

y

კოორდინატი -

5

ამის მსგავსად, სახალისოა სამრიცხვიან ერთობლიობაზე, როგორიცაა -

(3, 1, 2)

, იფიქროთ, როგორც ერთ წერტილზე სამგანზომილებიან სივრცეში.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ასე რომ, მრავალცვლადიანი ფუნქციები მოიცავს ერთი სივრცის წერტილების დაკავშირებას სხვა სივრცესთან. მაგალითად,

f (x, y) = x^{2} y

-ის მსგავსი ფუნქცია, რომელსაც ორცვლადიანი არგუმენტი და ერთცვლადიანი მნიშვნელობა აქვს,

x y

სიბრტყის წერტილებს უკავშირებს რიცხვითი ღერძის წერტილებს.

f (x, y, z) = (y z, x z, x y)

-ის მსგავსი ფუნქცია სამგანზომილებიანი სივრცის წერტილებს უკავშირებს სამგანზომილებიანი სივრცის სხვა წერტილებს.

მომდევნო რამდენიმე სტატიაში გავივლი სხვადასხვა მეთოდებს, რომლებითაც ამ ფუნქციების ვიზუალურად გამოსახვა შეგიძლიათ. ვიზუალური წარმოდგენები შეიძლება, იყოს ლამაზი და ხშირად ძალიან გვეხმარება იმის გაგებაში, თუ ფორმულა რატომ გამოიყურება ისე, როგორც გამოიყურება. მიუხედავად ამისა, ამან ზოგჯერ შეიძლება, დაგვაბნიოს კიდეც, განსაკუთრებით, თუ შემავალი განზომილებების ოდენობა სამს აღემატება.

მე ვფიქრობ, რომ საბოლოოდ იმის გაანალიზება, რომ ეს ყველაფერი მხოლოდ რიცხვებია, კომფორტულია. შეიძლება, რიცხვების წყვილი გადადის სამეულში, ან შეიძლება, ასი რიცხვი გადადის ას ათასში, მაგრამ საბოლოოდ ნებისმიერი მოქმედება, რომელსაც თქვენ — ან კომპიუტერი — გააკეთებთ, კეთდება რიცხვებზე სათითაოდ.

ვექტორული ფუნქციები

ზოგჯერ რიცხვების ჩამონათვალი, როგორიცაა -

(2, 5)

, არ ითვლება წერტილად სივრცეში, არამედ - ვექტორად. ეს იგივეა, რაც - ისარი, რომელიც მოიცავს

2

-ით მარჯვნივ წასვლას და

5

-ით ზევით ასვლას, სადაც ბოლოდან წვერომდე მოძრაობთ.

იმისთვის, რომ ხაზი გაესვას კონცეპტუალურ განსხვავებას, გავრცელებულია განსხვავებული ჩანაწერის გამოყენება, ან რიცხვების ვერტიკალურად ჩაწერა

[\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}]

, ან

\hat{i}

სიმბოლოთი

x

კომპონენტისა და

\hat{j}

სიმბოლოთი

y

კომპონენტით წარმოდგენა:

2 \hat{i} + 5 \hat{j}

ეს, რა თქმა უნდა, კონცეპტუალური განსხვავებაა. რიცხვების ჩამონათვალი რიცხვების ჩამონათვალია იმისდა მიუხედავად, მას ისრით წარმოადგენ, თუ წერტილით, თუმცა, კონტექსტზე დამოკიდებულებით, შეიძლება, უფრო ბუნებრივი ჩანდეს ვექტორებზე ფიქრი. მაგალითად, სიჩქარე და ძალა თითქმის ყოველთვის წარმოდგება ვექტორების სახით, რადგან ეს გვაძლევს ძლიერ ვიზუალურ გადაადგილებას, მიწოლას ან გაქაჩვას.

რაღაც მიზეზის გამო, როცა საქმე მრავალცვლადიან ფუნქციებს ეხება, უფრო ხშირად მნიშვნელობებს წარმოიდგენთ ვექტორებად, ხოლო არგუმენტებს - წერტილად. ეს წესი კი არ არის, უბრალოდ ასე გამოდის.

ტერმინოლოგია

ფუნქციებს, რომლების მნიშვნელობაც ვექტორია, ეწოდება ვექტორული ფუნქციები, ხოლო ფუნქციები, რომლების მნიშვნელობაც ერთი რიცხვია, ეწოდება სკალარული, როგორც ინჟინერიაშია გავრცელებული, ან - ნამდვილ მნიშვნელობიანი, როგორც ჩვეულებრივ მათემატიკაშია გავრცელებული (ნამდვილში ნამდვილი რიცხვი იგულისხმება).

მრავალცვლადიანი ფუნქციების მაგალითები

რაც უფრო მეტად ცდილობთ რეალური სამყაროს მოდელირებას, მით უფრო აანალიზებთ, რამდენად შეზღუდულია ერთცვლადიანი კალკულუსის შესაძლებლობები. აქ არის რამდენიმე მაგალითი, სადაც მრავაცვლადიანი ფუნქცია გვადგება.

მაგალითი 1: მდებრაეობიდან ტემპერატურამდე

იმისთვის, რომ მოგეხდინათ სხვადასხვა ტემპერატურების მოდელირება დიდ რეგიონში, შეგეძლოთ, გამოგეყენებინათ ფუნქცია, რომელიც იღებს ორ ცვლადს—გრძედსა და განედს, შეიძლება, მესამე ცვლადად სიმაღლეც დაემატოს—და იძლევა ერთ ცვლადს, ტემპერატრას. აი, ამის გაკეთება როგორ შეიძლება:

T = f (L_{1}, L_{2})

$T$ ‍ არის ტემპერატურა.
$L_{1}$ ‍ არის გრძედი.
$L_{2}$ ‍ არის განედი.
$f$ ‍ არის რაღაც ჩახლართული ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრავს, თუ რომელ ტემპერატურას შეესაბამება გრძედისა და განედის თითეული წყვილი.

ალტერნატიულად შეგიძლიათ, თქვათ, რომ

T

ტემპერატურა არის

L_{1}

გრძედისა და

L_{2}

განედის ფუნქცია და ჩაწეროთ

T (L_{1}, L_{2})

ფორმით.

მაგალითი 2: დროიდან მდებარეობამდე

იმისთვის, რომ გამოსახოთ, როგორ მოძრაობს ნაწილაკი სივრცეში დროის განმავლობაში, შეგიძლიათ, გამოიყენოთ ფუნქცია, რომელიც იღებს ერთ რიცხვს—დროს—და იძლევა ნაწილაკის კოორდინატებს. შეიძლება ორი ან სამი რიცხვი დამოკიდებულია განზომილებაზე, რომლის მოდელირებასაც ახდენთ.

ამის ჩაწერის რამდენიმე განსხვავებული გზა არსებობს:

\vec{s} = f (t)

$\vec{s}$ ‍ არის ორ ან სამგანზომილებიანი „გადაადგილების ვექტორი,“ რომელიც გვიჩვენებს ნაწილაკის მდებარეობას.
$t$ ‍ არის დრო.
$f$ ‍ არის ვექტორული ფუნქცია.

ალტერნატიულად, ვექტორული ფუნქციის კომპონენტები შეიძლება, დაშალოთ სხვადასხვა სკალარულ

x (t)

და

y (t)

ფუნქციებად, რაც გვიჩვენებს x და y კოორდინატებს, როგორც დროის ფუნქციებს:

\begin{aligned} x (t) & = \dots (რაიმე გამოსახულება, რომელიც შეიცავს t -ს) \dots \\ y (t) & = \dots (სხვა გამოსახულება, რომელიც შეიცავს t -ს) \dots \end{aligned}

მაგალითი 3: მომხარებლის მონაცემებიდან პროგნოზამდე

როცა ვებგვერდი ცდილობს ქცევის პროგნოზირებას, ამან შეიძლება, შექმნას ფუნქცია, რომელიც იღებს ათასობით ცვლადებს, მომხმარებლის ასაკის, მათი მდებარეობის კოორდინატების, მათ მიერ კონკრეტული ტიპის ბმულებზე დაჭერების რაოდენობის და ა.შ. ჩათვლით. მნიშვნელობაც შეიძლება, მრავალ ცვლადს შეიცავდეს, როგორიცაა განსხვავებულ ბმულზე დაჭერის ალბათობა ან განსხვავებული ნივთის შეძენის ალბათობა.

მაგალითი 4: მდებარეობიდან სიჩქარის ვექტორამდე

თუ თქვენ ახდენთ სითხის დინების მოდელირებას, ერთი მიდგომაა სითხის თითოეული ცალკეული ნაწილაკების სიჩქარეების გამოსახვა. ამის გასაკეთებლად წარმოიდგინეთ ფუნქცია, რომელიც არგუმენტად იღებს ნაწილაკის კოორდინატებს და იძლევა ამ ნაწილაკის სიჩქარის ვექტორს.

ამის ჩაწერის რამდენიმე გზა არსებობს:

\vec{v} = f (x, y)

$\vec{v}$ ‍ არის ორგანზომილებიანი სიჩქარის ვექტორი.
$x$ ‍ და $y$ ‍ მდებარეობის კოორდინატებია.
$f$ ‍ არის მრავალცვლადიანი ვექტორული ფუნქცია.

ალტერნატიულად შეგიძლიათ, დაშალოთ

f

ვექტორული ფუნქციის კომპონენტები და გამოიყენოთ

\hat{i}

\hat{j}

ჩანაწერი:

\vec{v} = g (x, y) \hat{i} + h (x, y) \hat{j}

$\vec{v}$ ‍ არის ორგანნზომილებიანი სიჩქარის ვექტორი.
$\hat{i}$ ‍ არის ერთეულოვანი ვექტორი $x$ ‍ მიმართულებით.
$\hat{j}$ ‍ არის ერთეულოვანი ვექტორი $y$ ‍ მიმართულებით.
$g$ ‍ არის სკალარული ფუნქცია, რომელიც თითოეული ვექტორის $x$ ‍ კომპონენტს გვიჩვენებს, როგორც ფუნქციის მდებარეობას.
$h$ ‍ არის სკალარული ფუნქცია, რომელიც გვიჩვენებს თითოეული ვექტორის $y$ ‍ კომპონენტი, როგორც მდებარეობის ფუნქცია.

როდის ვიყენებთ კალკულუსს

კალკულუსში ორი ფუნდამენტური თემაა:

წარმოებულები, რომლებიც შეისწავლის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს, როცა არგუმენტს ცვლით.
ინტეგრალები, რომლებიც სწავლობს, როგორ შევკრიბოთ უსასრულოდ ბევრი უსასრულოდ პატარა ოდენობა, რაც ფუნქციის მნიშვნელობას შეადგენს.

მრავალცვლადიანი კალულუსი ზრდის ფუნქციის იდეას უფრო მაღალი განზომილების არგუმენტებით ან/და მნიშვნელობებით.

ზემოთ მოცემულ მაგალითებში ცვლილების სიჩქარეები შეიძლება, შემდეგს ნიშნავდეს:

როგორ იცვლება ტემპერატურა, როცა რაიმე მიმართულებით მიდიხართ.
ონლაინ მყიდველის ქცევის ცვლილების ოდენობა საიტის რაღაც ასპექტების ცვლილების მიმართ.
სივრცეში დინების ტემპის მერყეობები.

სხვა მხრივ, „უსასრულოდ ბევრი უსასრულოდ მცირე ოდენობის შეკრება“ შეიძლება, ნიშნავდეს

საშუალო ტემპერატურის პოვნა.
ტიპიურად საშუალოს პოვნა მოითხოვს სხვადასხვა მნიშვნელობების დაჯამებას და მნიშვნელობების ოდენობაზე გაყოფას. ზემოთ მოცემულ „მდებარეობიდან ტემპერატურამდე“ მაგალითში არ გაქვთ მოცემული ტემპერატურების სასრული რაოდენობა. ამის ნაცვლად გაქვთ ტემპერატურის ფუნქცია, რომელიც უსასრულოდ ბევრ მდებარეობაზე გამოგათვლევინებთ. შესაბამისად, საშუალოს პოვნისთვის საჭირო იქნება ამ უსასრულოდ ბევრი მდებარეობის როგორმე დაჯამება.
ნაწილაკზე მოძრაობისას რაიმე გარე ძალის ჯამური მუშაობის გამოთვლა.
მთელ რეგიონში რაიმე მოძრავი სითხის ჯამური სიჩქარის აღწერა.

ეს შემთხვევები ერთცვლადიანი კალკულუსისგან ფუნდამენტურადაა განსხვავებული იმით, რომ გვჭირდება აღვწეროთ ცვლილებები განსხვავებულ მიმართლებებში ისევე, როგორც ამ ცვლილებების კავშირი ერთმანეთთან. შემდგომ თემებში ნახავთ რასაც ვგულისხმობ.

კონცეფციის შემოწმება: ზემოთ მოცემულ მე-2 მაგალითში, სადაც ნაწილაკის მდებარეობა აღწერილია დროის ფუნქციად, რა იქნებოდა ცვლილების სიჩქარის მაგალითი, რომელმაც შეიძლება, დაგვაინტერესოს?

მოძრავი ნაწილაკის სიჩქარე გამოსახული, როგორც ვექტორი.
ნაწილაკის აჩქარება გამოსახული, როგორც ვექტორი.
ტემპი, რომლითაც იცვლება ნაწილაკის $x$ ‍ ან $y$ ‍ კოორდინატები.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 1

რის აგებას ვცდილობთ

რა არის მრავალცვლადიანი ფუნქციები?

რიცხვების ჩამონათვალი ↔‍ წერტილები სივრცეში

ვექტორული ფუნქციები

ტერმინოლოგია

მრავალცვლადიანი ფუნქციების მაგალითები

მაგალითი 1: მდებრაეობიდან ტემპერატურამდე

მაგალითი 2: დროიდან მდებარეობამდე

მაგალითი 3: მომხარებლის მონაცემებიდან პროგნოზამდე

მაგალითი 4: მდებარეობიდან სიჩქარის ვექტორამდე

როდის ვიყენებთ კალკულუსს

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

რიცხვების ჩამონათვალი $\leftrightarrow$ ‍ წერტილები სივრცეში