ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 5: მრავალცვლადიანი ფუნქციების ვიზუალიზაცია (სტატიები)

მრავალგანზომილებიანი გრაფიკები

Google–ის საკლასო ოთახი

მრავალცვლადიანი ფუნქციების გრაფიკების მაგალითები და შეზღუდვები.

ფონი

მრავალცვლადიანი ფუნქციები

რის აგებას ვცდილობთ

ორგანზომილებიანი არგუმენტისა და ერთგანზომილებიანი მნიშვნელობის მქონე ფუნქციების გრაფიკულად გამოსახვისთვის საჭიროა წერტილების მოთავსება სამგანზომილებიან სივრცეში.
ეს ემსგავსება ზედაპირს სამ განზომილებაში, სადაც $x y$ ‍ სიბრტყეს ზევით სიმაღლე განსაზღვრავს ფუნქციის მნიშვნელობას თითოეულ წერტილზე.

ერთცვლადიანი ფუნქციების გრაფიკების მიმოხილვა

გრაფიკი ფუნქციის გამოსახვის ყველაზე ნაცნობი ხერხია მოსწავლეებისთვის. სანამ მრავალცვლადიან ფუნქციებზე განვზოგადდებით, სწრაფად მიმოვიხილოთ გრაფიკები ერთუცნობიან ფუნქციებში.

დავუშვათ, ჩვენი ფუნქცია ასე გამოიყურება:

\begin{array}{r} f (x) = - x^{2} + 3 x + 2 \end{array}

იმისთვის, რომ გამოვსახოთ ერთი არგუმენტი, როგორიცაა

x = 1

, ჯერ ვითვლით

f (1)

-ს:

\begin{aligned} f (1) & = - x^{2} + 3 x + 2 \\ = - (1)^{2} + 3 (1) + 2 \\ = 4 \end{aligned}

შემდეგ

x y

სიბრტყეზე ვნიშნავთ

(1, f (1))

წერტილს. ამ შემთხვევაში, ეს ნიშნავს

(1, 4)

-ის მონიშვნას.

როცა ამას გავაკეთებთ

x

-ის ყველა შესაძლო მნიშვნელოობისთვის და არა მხოლოდ

1

-ისთვის, ვნახავთ, როგორი იქნება

(x, f (x))

სახის ყველა წერტილი.

თუ

f (x)

არ არის რაიმე ეგზოტიკური ან არასტანდარტული ფუნქცია, რომელიც

x

-ის მცირე ცვლილებებისთვის მნიშვნელოვან განსხვავებებს გვაძლევს, შედეგი მოსწორებული მრუდის მსგავსი იქნება.

კიდევ ერთი განზომილების დამატება

ასე რომ, რას ვშვებით ორგანზომილებიანი არგუმენტისა და ერთგანზომილებიანი მნიშვნელობის ფუნქციებიდთვის? შეიძლება ასეთ რამეს:

$f (x, y) = (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + 2$ ‍

არგუმენტების მნიშვნელობებთან დასაკავშირებლად სამი რიცხვია საჭირო—ორი არგუმენტისთვის და ერთი მნიშვნელობისთვის.

		შენატანი $(x, y)$ ‍	შედეგი $f (x, y)$ ‍
		$(0, 0)$ ‍	$10$ ‍
		$(1, 0)$ ‍	$7$ ‍
		$(1, 2)$ ‍	$3$ ‍
		$⋮$ ‍	$⋮$ ‍

იმისთვის, რომ ეს დამოკიდებულებები გამოვსახოთ გრაფიკის გამოყენებით, წერტილებს გამოვსახავთ სამ განზომილებაში.

$(0, 0) \to 10$ ‍ დამოკიდებულება გამოსახულია $(0, 0, 10)$ ‍ წერტილით.
$(1, 0) \to 7$ ‍ დამოკიდებულება გამოსახულია $(1, 0, 7)$ ‍ წერტილით.
ზოგადად, მიზანია, ყველა წერტილი წარმოვადგინოთ $(x, y, f (x, y))$ ‍ ფორმით რაიმე წყვილი $x$ ‍ და $y$ ‍ მნიშვნელობებისთვის.

მიღებული გრაფიკი ქვემოთაა ნაჩვენები. ვიდეო აჩვენებს გრაფიკის შემობრუნებას, რაც, იმედია, დაგეხმარებათ, მისი სამგანზომილებიანი ბუნება შეიგრძნოთ. ასევე შეგიძლიათ, დაინახოთ

x y

სიბრტყე—რომელიც ახლა არგუმენტის სივრცეა—გრაფიკის ქვევით.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ეს იმას ნიშნავს, რომ სიბრტყეზე ნებისმიერი მოცემული

(x, y)

წერტილისთვის წერტილსა და გრაფიკს შორის ვერტიკალური მანძილი გამოსახავს

f (x, y)

-ის მნიშვნელობას. ამ ვერტიკალურ მიმართულებას ჩვეულებრივ უწოდებენ $z$ ‍ მიმართულებას და მესამე ღერძს, რომელიც

x y

სიბრტყის მართობულია, ეწოდება $z$ ‍ ღერძი.

როცა

f (x, y)

-ის მნიშვნელობა უწყვეტად იცვლება

x

-ისა და

y

-ის მნიშვნელობების ცვლილებასთან ერთად, რაც თითქმის ყოველთვის ასე ხდება იმ ფუნქციებში, რომლებსაც პრაქტიკაში ვხვდებით, გრაფიკი საბოლოოდ რაღაც ტიპის ზედაპირს ემსგავსება.

მაგალითი 1: ზარის ფორმის მრუდი

ფუნქცია:

f (x, y) = e^{- (x^{2} + y^{2})}

გრაფიკი:

მოდით, გავაანალიზოთ, რა ხდება ამ ფუნქციაში. პირველად შევიხედოთ

e^{- (x^{2} + y^{2})}

ხარისხის მაჩვენებელში და ვიფიქროთ

x^{2} + y^{2}

მნიშვნელობაზე.

კითხვა: როგორ შეგიძლიათ

x^{2} + y^{2}

მნიშვნელობის ინტერპრეტირება?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
მანძილი $(x, y)$ ‍-სა და $(0, 0)$ ‍ სათავეს შორის არგუმენტის სივრცეში
(Choice B)
არგუმენტის სივრცეში $(x, y)$ ‍-სა და $(0, 0)$ ‍ სათავეს შორის მანძილის კვადრატი
(Choice C)
მანძილი $(x, y)$ ‍ არგუმენტსა და გრაფიკის იმ წერტილს შორის, რომელსაც შეესაბამება
(Choice D)
$(x, y)$ ‍ არგუმენტსა და გრაფიკის იმ წერტილს შორის, რომელსაც შეესაბამება მანძილის კვადრატი

არგუმენტის სივრცეში მანძილის იდენტიფიცირება
$x^{2} + y^{2}$ ‍ მნიშვნელობა გვეუბნება, რამდენად შორსაა სიბრტყის $(x, y)$ ‍ წერტილი სათავიდან. კონკრეტულად, პითაგორას თეორემის თანახმად, ეს არის ამ მანძილის კვადრატი.

როცა

(x, y)

წერტილი შორსაა სათავიდან,

e^{- (x^{2} + y^{2})}

ფუნქცია დაემსგავსება

e^{(რაიმე დიდ უარყოფით რიცხვს)}

, რაც თითქმის ნულია. ეს იმას ნიშნავს, რომ გრაფიკსა და

x y

სიბრტყეს შორის მანძილი ამ წერტილებზე უმცირესი იქნება. მეორე მხრივ, როცა

x = 0

და

y = 0

e^{- (x^{2} + y^{2})} = e^{- 0} = 1

, რაც გვაძლევს ამოზნექილობას შუაში.

შეკითხვა ანარეკლზე: ზემოთ მოცემულ გრაფიკს ბრუნვითი სიმეტრია აქვს იმ გაგებით, რომ მას იგივე გარეგნობა ექნება, როცა ნებისმიერი გზით შემოვაბრუნებთ

z

ღერძის მიმართ. რატომ არის ეს ასე?

ფუნქცია სრულად განისაზღვრება

(x, y)

არგუმენტის მანძილით სათავიდან.

x y

სიბრტყის მობრუნება

z

ღერძის მიმართ არ შეცვლის მანძილს

(x, y)

წერტილსა და საშუალოს შორის.

მაგალითი 2: ტალღები

ფუნქცია:

f (x, y) = \cos (x) \cdot \sin (y)

გრაფიკი:

ერთი გზა, რომ შევიქმნათ ინტუიცია

f (x, y) = \cos (x) \sin (y)

ფუნქციისთვის—და ზოგადად მრავალცვლადიანი ფუნქციებისთვის—არის იმის ნახვა, თუ რა ხდება, როცა ერთ-ერთი ასეთი არგუმენტი მუდმივია.

მაგალითად, რა ხდება, როცა

x

-ის მნიშვნელობას ვაფიქსირებთ

2

-ზე? ჩვეულებრივ ყველა წერტილს ასე გამოვსახავთ:

$(x, y, \cos (x) \sin (y)) \leftarrow x და y თავისუფლად მოძრაობს.$ ‍

x

-ის მუდმივად

2

-ზე გაჩერებით ჩვენ ვიზღუდებით იმ წერტილების დანახვამდე, რომლებიც ასე გამოიყურება:

$(2, y, \cos (2) \sin (y)) \leftarrow მხოლოდ y მოძრაობს თავისუფლად.$ ‍

ამის გეომეტრიულად წარმოდგენის ძალიან კარგი გზა არსებობს:

სფეროში ის წერტილები, სადაც

x = 2

, ანუ,

(2, y, z)

ფორმის ყველა წერტილი ადგენს სიბრტყეს. რატომ? წარმოიდგინეთ გრაფიკის გაჭრა ამ სიბრტყით. წერტილები, სადაც სიბრტყე და გრაფიკი იკვეთება—ზემოთ დახაზულია წითლად—არის ჩვენი გრაფიკის ის წერტილები, სადაც

x = 2

ასე რომ, რატომ დაგვეხმარება ეს გრაფიკის გაგებაში?

ჩვენ მრავალცვლადიანი

f (x, y) = \cos (x) \sin (y)

ფუნქცია გარდავქმენით ერთცვლადიან ფუნქციაში:

\begin{aligned} g (y) & = \cos (2) \sin (y) \\ \approx - 0, 42 \sin (y) \end{aligned}

სინამდვილეში, მრუდს, რომელსაც ვიღებთ სამგანზომილებიანი გრაფიკის გაჭრით

x = 2

-ზე, აქვს იგივე ფორმა, რაც -

g (y)

-ის ორგანზომილებიან გრაფიკს.

ამ გზით, შეგიძლიათ, გაიგოთ მრავალცვლადიანი ფუნქციის სამგანზომილებიანი გრაფიკის თითო ნაჭერი, ერთი ცვლადის მუდმივად შენარჩუნებით და მიღებულ ორგანზომილებიან გრაფიკზე შეხედვით.

მაგალითი 3: ერთი არგუმენტი, ორი მნიშვნელობა

ასევე შეგიძლიათ, ააგოთ ფუნქცია ერთგანზომილებიანი არგუმენტით და ორგანზომილებიანი მნიშვნელობით—თუმცა, რაღაც მიზეზის გამო, ეს იშვიათად გამოიყენება.

ფუნქცია:

f (x) = (x^{2}, \sin (x))

გამოსახული წერტილი:

(x, x^{2}, \sin (x))

გრაფიკი:

ამ შემთხვევაში, მხოლოდ

x

მოძრაობს თავისუფლად, ხოლო გრაფიკზე

y

და

z

მნიშვნელობები დამოკიდებულია

x

-ზე.

თუ სურათს ისე მოვაბრუნებთ, რომ

x y

სიბრტყე კვადრატივით დავინახოთ, გრაფიკი ემგვანება

f (x) = x^{2}

-ს. ამის თქმის სხვა გზა არის ის, რომ როცა გრაფიკის პროექტირებას ვახდენთ

x y

სიბრტყეზე, იგი გვაძლევს

f (x) = x^{2}

-ის გრაფიკს.

ამის მსგავსად, სურათის ისე მობრუნებისას, რომ

x z

სიბრტყე კვადრატივით დავინახოთ, სურათი დაემსგავსება

f (x) = \sin (x)

-ის გრაფიკს.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ,

f (x) = (x^{2}, \sin (x))

ფუნქცია არის

f (x) = x^{2}

და

f (x) = \sin (x)

ფუნქციების ერთ ფუნქციაში კომბინირების გზა და ეს გრაფიკი ორივეს ინფორმაციას აქცევს ერთ სურათში.

ზღვრები

როგორც კი ამ პროცესის გამოყენებას შეეცდებით ისეთ ფუნქციებზე, რომელთაც უფრო მაღალგანზომილებიანი არგუმენტები ან მნიშვნელობები აქვს, გამოგელევათ განზომილებები, რომელთა კომფორტულად გამოხატვაც შეგიძლიათ.

მაგალითად, განიხილეთ

f (x, y) = (x^{2}, y^{2})

ფუნქცია ორგანზომილებიანი არგუმენტითა და ორგანზომილებიანი მნიშვნელობით. მისი გამოსახვისთვის საჭირო იქნებოდა ოთხგანზომილებიანი სივრცე! ამის მიზეზი ისაა, რომ უნდა გამოგვესახა

(x, y, x^{2}, y^{2})

ფორმის ყველა წერტილი.

ცუდად არ გამიგოთ, ის ფაქტი, რომ გრაფიკი ოთხგანზომილებიანია, არ გვაბრკოლებს, რომ მისი ვიზუალურად წარმოდგენა ვცადოთ. აი, როგორი შეიძლება, იყოს ოთხი განზომილების ბრუნვა და ორგანზომილებიან ეკრანზე დატანა:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

თუმცა ასეთი გამოსახულებები დაბნეულობას უფრო იწვევს იმის ნაცვლად, რომ მოცემული ფუქნციის აღქმაში დაგვეხმაროს.

პრაქტიკაში, როცა ხალხი ფიქრობს უფრო მაღალი განზომილებების ფუნქციებზე, როგორიცაა

f (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}

, ისინი იწყებენ უფრო მარტივი გრაფიკების განხილვით ორგანზომილებიანი არგუმენტითა და ერთგანზომილებიანი მნიშვნელობით, როგორიცაა

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

. ეს დაახლოებით კონცეპტუალური პროტოტიპია.

ასეთი პროტოტიპი შეიძლება, დაგვეხმარეოს კონკრეტული მოქმედებების აღქმაში და შეიძლება, წარმოდგენა შეგვიქმნას, რა ხდება, როცა არგუმენტის სივრცე მრავალგანზომილებიანი ხდება. ბოლოს ჩვეულებრივი გამოთვლები უფრო მაღალი განზომილებებისთვის მხოლოდ სიმბოლურად ტარდება.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.