If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

პარამეტრული ფუნქციები, ორი პარამეტრი

სივრცეში ზედაპირების წარმოსადგენად ორგანზომილებიანი არგუმენტისა და სამგანზომილებიანი მნიშვნელობის მქონე ფუნქციების გამოყენება შეიძლება.

რის აგებას ვცდილობთ

  • ორგანზომილებიანი არგუმენტისა და სამგანზომილებიანი მნიშვნელობის მქონე ფუნქციის ვიზუალურად გამოსახვა შეგიძლიათ მნიშვნელობის ყველა წერტილის მონიშვნით, რომელიც შეესაბამება არგუმენტის სივრცის რომელიმე რეგიონს. ეს იძლევა ზედაპირს, რომელიც პარამეტრული ზედაპირის სახლითაა ცნობილი.
  • ამ პროცესზე უკუმიმართულებით მიყოლა, სივრცეში ზედაპირით დაწყება და იმ ფუნქციის პოვნა, რომელიც ამ ზედაპირს „შემოხაზავს“, ცნობილია, როგორც ამ ზედაპირის პარამეტრიზაცია. ზოგადად, ეს რთული გასაკეთებელია.

ერთპარამეტრიანი ფუნქციების სწრაფი მიმოხილვა

ამ სტატიაში მე ვისაუბრე ფუნქციების ვიზუალურად გამოსახვაზე ერთგანზომილებიანი არგუმენტითა და ორგანზომილებიანი მნიშვნელობით. მაგალითად:
f(t)=[tcos(t)sin(t)]
მე ვისაუბრე იმაზე, რომ, რადგან მნიშვნელობის სივრცეს უფრო მეტი განზომილება აქვს, ვიდრე - არგუმენტის სივრცეს, ფუნქციას კარგად შეიგრძნობთ მხოლოდ იმის ნახვით, მნიშვნელობის სივრცეში რომელ წერტილებს ხვდება ფუნქცია, როცა t არგუმენტი იცვლება მნიშვნელობათა რაღაც ერთობლიობაში.
xy სიბრტყეში ყველა წერტილი, რომელსაც ეხება f(t)=(tcos(t),sin(t)) ფუნქცია
როცა ფუნქციის ინტერპრეტირება ასე ხდება, ამას ეწოდება პარამეტრული ფუნქცია და მის არგუმენტ t-ს - პარამეტრი

ორი პარამეტრი

რაღაც მსგავსის გაკეთება შეგვიძლია ფუნქციებისთვის, რომელთაც აქვთ ორგანზომილებიანი არგუმენტი და სამგანზომილებიანი მნიშვნელობა.
f(s,t)=[t3ststs+t]
არგუმენტის ორივე კოორდინატი, s და t, ცნობილია, როგორც - პარამეტრი და თქვენ ახლა ნახავთ, როგორ შემოხაზავს ეს ფუნქცია ზედაპირს სამგანზომილებიან სივრცეში.
ასეთი ფუნქციის წარმოდგენის პირველი ნაბიჯია არგუმენტის დიაპაზონის დაკონკრეტება, დავუშვათ, ასე:
0<s<32<t<2
აი, როგორ გამოიყურება რეგიონი არგუმენტის სივრცეში.
არგუმენტების დიაპაზონი ქვემოთ მოცემული პარამეტრული ზედაპირებისთვის
შემდეგ ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას ამ დიაპაზონში.
შენატანი (s,t)შედეგი (t3st,st,s+t)
(0,0)(0,0,0)
(1,0)(1,1,1)
(2,1)(6,1,3)
ასე რომ, ჩვენ სინამდვილეში არ ჩამოვწერთ ყველა შესაძლო მნიშვნელობას, რადგან, როგორც იცით, ეს უსასრულოდ ბევრ რაღაცას მოიცავს, თუმცა ჩვენი მიზანია ამ მნიშვნელობების წარმოდგენა. რადგან ფუნქცია შლის სამგანზომილებიან მნიშვნელობას, ამ მნიშვნელობას ვიზუალურად გამოვსახავთ სამგანზომილებიან სივრცეში.
შემდეგი ანიმაცია გვიჩვენებს, როგორია, როცა პარამეტრული სივრცის (s,t) წერტილები გადადის შესაბამის f(s,t) მნიშვნელობაზე სამგანზომილებიან სივრცეში:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
სამგანზომილებიან სივრცეში მიღებულ ზედაპირს ეწოდება პარამეტრული ზედაპირი.
გაფრთხილება: ასეთი ზედაპირები შეიძლება, აგვერიოს ორგანზომილებიანი არგუმენტისა და ერთანზომილებიანი მნიშვნელობის ფუნქციების გრაფიკებში, რადგან ისინი დახაზულია, როგორც სივრცეები სამგანზომილებიან სივრცეში. მაგრამ ამ პარამეტრულ ფუნქციებს ძალიან განსხვავებული არომატი აქვს. მათ აქვს ორგანზომილებიანი არგუმენტი და სამგანზომილებიანი მნიშვნელობა. ყურადღება მიაქციეთ, ეს იმას ნიშნავს, რომ მათი გრაფიკულად გამოსახვა ხუთ განზომილებას მოითხოვდა!

ზედაპირის პარამეტრიზაცია

პარამეტრული ფუნქციების შეცნობის ერთ-ერთი საუკეთესო გზაა იმ ზედაპირით დაწყება, რომლის აღწერაც გინდათ და შემდეგ იმ ფუნქციის პოვნის მცდელობა, რომელიც მას შემოხაზავს, როგორც - პარამეტრულ ზედაპირს. ეს ასევე აუცილებელი უნარი გახდება, როცა მოგვიანებით მრავალცვლადიან კალკულუსში დაიწყებთ ფიქრს ზედაპირის ინტეგრალებზე.
მაგრამ გაფრთხილებთ, ზედაპირების პარამეტრიზაცია არ არის ადვილი. შემდეგ მაგალითში მოვახდენთ ტოროიდის, დონატის ზედაპირის, პარამეტრიზაციას. ზედაპირების ფარგლებში ტოროიდი შედარებით მარტივი მაგალითია, თუმცა მაინც სერიოზული მუშაობა სჭირდება.

მაგალითი: ტოროიდის (დონატის) პარამეტრიზაცია

ტოროიდი
განიხილეთ ზემოთ მოცემული ზედაპირი. ამაზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც დონატის ფორმაზე, ან მხოლოდ მის ქერქზე, რადგან შიგთავსი არ გვაინტერესებს. ახლა ჩვენი მიზანია ისეთი ორგანზომილებიანი არგუმენტისა და სამგანზომილებიანი მნიშვნელობის მქონე ფუნქციის პოვნა, რომ ეს დონატის ფორმა მნიშვნელობა იყოს.
ჩვენ წარმოვიდგენთ ზედაპირის „დახაზვას“, თუმცა ფანქრითა და ფურცლით ზედაპირის დახაზვა ისეთი ადვილი არაა, როგორიც მრუდის დახაზვა.
ამის ნაცვლად, ჩვენი სტრატეგია იქნება, დავხაზოთ ტოროიდის თითოეული სექტორული ნაჭერი. რომ ნახოთ, რასაც ვგულისხმობ, აქ არის ამ სექტორული ნაჭრების მაგალითი (ლურჯად დახაზული):
წრე, რომელიც გადის ტოროიდის ცარიელ ნაწილზე
მე ასევე დავხაზე დიდი წითელი წრე xy სიბრტყეზე, რომელიც გადის თითოეული ნაჭრის ცენტრზე. ეს არ არის ტოროიდის ნაწილი, მაგრამ კარგი ათვლის წერტილი იქნება თითეული ლურჯი ნაჭრის დახაზვის საბოლოო მიზნისკენ.
ნამდვილ ამოცანაში წითელი წრის რადიუსი შეიძლება, მოგცენ, როგორც თითოეული ლურჯი სეგმენტი ნაჭრის რადიუსი. ამ დროისთვის მოდით, დავუშვათ, რომ წითელი წრის რადიუსია 3 და თითოეული ლურჯი ნაჭრის რადიუსია 1, იმის გაგებით, რომ განსხვავებული მნიშვნელობების მოცემა მოგვცემდა განსხვავებულ ტოროიდებს.
საკვანძო იდეა: ჩვენ აღვწერთ თითოეულ წერტილს ტოროიდზე, როგორც ორი ვექტორის ჯამს:
  1. c ვექტორი სათავიდან წითელი წრის წერტილამდე. რომ დავაკონკრეტოთ, წითელი წრის რომელ წერტილამდე, ჩვენ შევადგენთ ამ ვექტორულ ფუნქციას, რომელიც დამოკიდებულია t პარამეტრზე. როცა t-ს მნიშვნელობა იცვლება, წითელ წრეზე c(t)-ით განსაზღვრული წითელი წერტილიც შეიცვლება.
  2. d ვექტორი წითელი წრის ამ წერტილიდან ტოროიდის შესაბამის „ნაჭრამდე“. ამ ვექტორის მიმართულება დამოკიდებული იქნება იმაზე, თუ წითელი წრის რომელ წერტილზე გაჩერდება, ასე რომ, d-ის მნიშვნელობა დამოკიდებული უნდა იყოს t პარამეტრზე, რომელიც გამოყენებულია წითელი წრის წერტილების აღწერისთვის. გარდა ამისა, გამოვიყენებთ მეორე u პარამეტრს, რომ განვსაზღვროთ, ლურჯი ტოროიდის რომელი ნაწილისკენაა d მიმართული.
    (d)(u,t) ვექტორი წითელი წრიდან თავად ტორუსის წერტილამდე.
ეს იმას ნიშნავს, რომ ტოროიდის თითოეული წერტილი აღიწერება ჯამის სახით.
c(t)+d(u,t)
(თუ არ იცნობთ ვექტორების წვერო-ბოლო შეკრების მეთოდს, განიხილეთ ეს ვიდეო).

რატომ ეს სტრატეგია?

აქ აზრი იმაშია, რომ ჩვენ თავიდანვე არ ვიცით, როგორ განვსაზღვროთ ტოროიდის წერტილები, მაგრამ ვიცით, როგორ განვსაზღვროთ წრე.
რადგან დიდი წითელი წრე ბრტყელია xy სიბრტყეზე და რადიუსი აქვს 3, მისი პარამეტრიზაცია შემდეგნაირად შეგვიძლია:
c(t)=3[cos(t)sin(t)0]=3cos(t)i^+3sin(t)j^+0k^
ახლა d(u,t) ვექტორულმა ფუნქციამ უნდა აღწეროს წრეც, მაგრამ ეს ცოტა რთულია. ტოროიდის (ლურჯი) სეგმენტი ნაჭერი, რომელიც გვინდა, რომ d(u,t)-მა შემოხაზოს, კუთხესთანაა. როგორ ვხაზავთ წრეს, რომელიც დგას კუთხეზე სამგანზომილებიან სივრცეში?
მოდით, იმით დავიწყოთ, რაც ვიცით. ჩვენ ვიცით, რომ ორ განზომილებაში, სათავეზე ცენტრის მქონე ერთეულოვანი წრე შეიძლება, შემდეგი პარამეტრული ფუნქციით აღიწეროს
g(u)=[cos(u)sin(u)]=cos(u)i^+sin(u)j^
ჩვენი სასურველი ლურჯი სეგმენტი ნაჭრისთვის მსგავს რაღაცას ვაკეთებთ, მაგრამ i^-სა და j^-ს ვცვლით სხვა ერთეულოვანი ვექტორებით. შეხედეთ ამ სურათს:
ერთეულოვანი ვექტორები, რომლებიც გვეხმარება ტოროიდის ლურჯი სეგმენტის ნაჭერის განსაზღვრაში.
იმის ნაცვლად, რომ „გვერდების“ მიმართულება იყოს i^, ერთეულოვანი ვექტორი x მიმართულებაში, მას განვიხილავთ, როგორც ერთეულოვან ვექტორს, რომელიც მიმართულია სათავიდან გარეთ, რომელსაც ვუწოდებთ v^-ს. სინამდვილეში, რადგან მიმართულება შეიძლება, დამოკიდებული იყოს დასაწყისზე, v^ უნდა იყოს ვექტორული ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია t პარამეტრზე, ასე რომ, მას v^(t) სახით ვწერთ.
ამის ნაცვლად, ზედა მიმართულება აღარ არის j^, არამედ k^, ერთეულოვანი ვექტორი z მიმართულებით. შესაბამისად, ჩვენი სეგმენტური ნაჭრის პარამეტრიზაცია ასე უნდა გამოიყურებოდეს:
d(u,t)=cos(u)v^(t)+sin(u)k^
ეს, რა თქმა უნდა, გვიტოვებს კითხვას: რა არის v^(t)-ის ფორმულა?
სურათზე ვხედავთ, რომ სათავიდან გამავალი მიმართულება ასევე აღიწერება c(t)-ით, ასე რომ, v^(t)-ის ფორმულა იგივე უნდა იყოს, რაც c(t)-ისთვისაა, მაგრამ ზომა შეცვლილი უნდა ჰქონდეს ერთეულოვან ვექტორამდე.
c(t)=3[cos(t)sin(t)0]Not a unit vectorv^(t)=[cos(t)sin(t)0]Unit vector
ეს იმას ნიშნავს, რომ d(u,t)-ის სრული გამოსახულებაა
d(u,t)=cos(u)v^(t)+sin(u)k^=cos(u)[cos(t)sin(t)0]+sin(u)[001]=[cos(u)cos(t)cos(u)sin(t)sin(u)]

გავმხნევდეთ

გაიხსენეთ, d(u,t) და c(t) იმისთვის განვსაზღვრეთ, რომ აღგვეწერა ტოროიდის თითოეული წერტილი, სადაც c(t)+d(u,t). ამ ყველაფრის შეჯამებით მივიღებთ შემდეგ ვექტორულ ორპარამეტრიან ფუნქციას:
f(u,t)=c(t)+d(u,t)=3[cos(t)sin(t)0]+[cos(u)cos(t)cos(u)sin(t)sin(u)]=[3cos(t)+cos(u)cos(t)3sin(t)+cos(u)sin(t)sin(u)]
როცა u მოძრაობს 0-დან 2π-მდე, ამ ფუნქციის მნიშვნელობა, f(u,t), შემოხაზავს ერთ-ერთ ლურჯ ნაჭერს და როცა t მოძრაობს 0-დან 2π-მდე, თავად ნაჭრები შემოწერს მთლიან ტოროიდს.
აი, როგორ შეიძლება, ის გამოიყურებოდეს, თუ ავიღებთ წერტილებს პარამეტრული სივრციდან, სადაც 0u2π და 0t2π და უყურეთ, როგორ მოძრაობენ ჩვენი f(u,t) ფუნქციის მნიშვნელობამდე:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

შეჯამება

  • ორგანზომილებიანი არგუმენტისა და სამგანზომილებიანი მნიშვნელობის მქონე ფუნქციის ვიზუალურად გამოსახვა შეგიძლიათ მნიშვნელობის ყველა წერტილის მონიშვნით, რომელიც შეესაბამება არგუმენტის სივრცის რომელიმე რეგიონს. ეს იძლევა ზედაპირს, რომელიც პარამეტრული ზედაპირის სახლითაა ცნობილი.
  • ამ პროცესზე უკუმიმართულებით მიყოლა, სივრცეში ზედაპირით დაწყება და იმ ფუნქციის პოვნა, რომელიც ამ ზედაპირს „შემოხაზავს“, ცნობილია, როგორც ამ ზედაპირის პარამეტრიზაცია. ზოგადად, ეს რთული გასაკეთებელია.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.