ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 5: მრავალცვლადიანი ფუნქციების ვიზუალიზაცია (სტატიები)

გარდაქმნები

აქ ჩვენ ვნახავთ, თუ როგორ უნდა ვიფიქროთ მრავალცვლადიან ფუნქციებზე მოძრაობისა და ანიმაციის საშუალებით.

ფონი

მრავალცვლადიანი ფუნქციები

გარდაქმნეის იდეა

მრავალცვლადიანი ფუნქციის ვიზუალური გამოსახვის ყველა მეთოდის მიზანია, როგორმე ვაჩვენოთ კავშირი ფუნქციის არგუმენტსა და მნიშვნელობას შორის.

გრაფიკებით ეს ნიშნავს წერტილებს, რომელთა კოორდინატები შეიცავენ ინფორმაციას არგუმენტებისა და მნიშვნელობების შესახებ.
კონტურული რუკებით ეს ნიშნავს იმის აღნიშვნას, თუ რომელი არგუმენტი მიდის კონკრეტულ მნიშვნელობასთან.
პარამეტრული ფუნქციებით, თქვენ ნიშნავთ, სად ხვდება არგუმენტი მნიშვნელობების სივრცეში.
ვექტორულ ველებში მნიშვნელობას სახავთ, როგორც ვექტორს, რომელის ბოლო არგუმენტზე დგას.

გარდაქმნის ჩანაფიქრი მარტივია. თქვენ უბრალოდ უყურებთ (ან წარმოიდგენთ), არგუმენტის თითოეული წერტილი როგორ გადადის მნიშვნელობის შესაბამის წერტილზე.

თუ ადრე არასდროს გინახავთ, ფუნქციების გარდაქმნებად წარმოდგენამ შეიძლება, ცოტა თავი აგირიოთ, ასე რომ, თუ თავიდან დამაბნევლად მოგეჩვენებათ, არა უშავს.

რომ დაიკმაყოფილოთ ამის ნახვის სურვილი, აქ არის ვიდეო პარამეტრული ზედაპირის ვიდეოდან, რომელიც გვიჩვენებს, როგორ გარდაქმნის კონკრეტული გარდაქმნის ფუნქცია კვადრატს ტოროიდად (დონატის ფორმად):

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

კონცეფცია სიზუსტეზე

ფუნქციების გარდაქმნებად წარმოდგენა შეიძლება, ძალიან გამოგვადგეს რამდენიმე მიზეზით:

განზომილებით იმდენად არ ვართ შეზღუდული. არგუმენტსაც და მნიშვნელობასაც შეიძლება, ჰქონდეს ერთი, ორი ან სამი განზომილება და გვექნება გზა, რომ ზუსტად ვიფიქროთ იმაზე, რასაც ფუნქცია აკეთებს.

მაშინაც კი, როგა განზომილებები ძალიან დიდია, გარდაქმნებით ფიქრი საშუალებას გვაძლევს, მიახლოებით მაინც გავიგოთ, რა ხდება სინამდვილეში. მაგალითად, ვიცით, რომ ფუნქცია

100

-განზომილებიანი სივრციდან

20

-განზომილებიან სივრცემდე „აბრტყელებს“

80

განზომილებას, რაც ალბათ სამგანზომილებიანი სივრცის ერთ წრფეში გაერთიანებაა.

ეს იდეა უფრო ადვილად ზოგადდება იმ ფუნქციებისთვის, რომლებსაც განსხვავებული ტიპის არგუმენტები აქვს, როგორიცაა კოპლექსური რიცხვების ფუნქციები, ან ფუნქციები, რომლებიც სფეროს წერტილებს ასახავს $x y$ ‍ სიბრტყეზე.
ფუნქციების ამ დონემდა გაგება გააადგვილებს მრავალცვლადიან კალკულუსსა და წრფივ ალგებრას შორის კავშირის დანახვას.

თუმცა ამ ყველაფრის გათვალისწინებით, ხაზი უნდა გაესვას იმას, რომ გარდაქმნები ყველაზე კარგად გვანახებს, თუ რას აკეთებს ფუნქციები, მაგრამ არა - ზუსტ განსაზღვრებას. იშვიათია, რომ მოცემული ფუნქციის თვისებები ისწავლო იმის ნახვით, თუ როგორია იგი გარდაქმნის სახით.

მაგალითი 1: წირიდან წირამდე

მოდით, დავიწყოთ ერთცვლადიანი ფუნქციით.

$f (x) = x^{2} - 3$ ‍

განხილეთ არგუმენტებისა და მნიშვნელობების ყველა წყვილი.

$x$ ‍ (არგუმენტი)	$x^{2} - 3$ ‍ (მნიშვნელობა)
$- 2$ ‍	$1$ ‍
$- 1$ ‍	$- 2$ ‍
$0$ ‍	$- 3$ ‍
$1$ ‍	$- 2$ ‍
$2$ ‍	$1$ ‍
$⋮$ ‍	$⋮$ ‍

რა იქნებოდა, რიცხვითი ღერძის ყველა არგუმენტი რომ გადასულიყო მათ შესაბამის მნიშვნელობაში? არგუმენტის სივრცე რომ გამოვსახოთ ერთი რიცხვითი ღერძის სახით და მნიშვნელობა - სხვა რიცხვითი ღერძის სახით, შეიძლება, ეს გადაადგილება მივიღოთ:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ალტერნატიულად, რადგან ამ შემთხვევაში არგუმენტის და მნიშვნელობის სივრცე ერთი რამ არის - რიცხვითი ღერძი - შეგვეძლო, გვეფიქრა, რომ წრფე საკუთარ თავში ისახება და თითოეული

x

წერტილი თან მიჰყავს, სადაც

x^{2} - 3

დაიწყო შემდეგნაირად:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

მაგალითი 2: წირიდან სიბრტყემდე

ახლა ავიღოთ ფუნქცია ერთგანზომილებიანი არგუმენტითა და ორგანზომილებიანი მნიშვნელობით

\begin{array}{r} f (x) = (\cos (x), \frac{x}{2} \sin (x)) \end{array}

ისევ განვიხილავთ არგუმენტისა და მნიშვნელობის ყველა წყვილს.

შენატანი $x$ ‍	შედეგი $(\cos (x), \frac{x}{2} \sin (x))$ ‍
$0$ ‍	$(1, 0)$ ‍
$\frac{π}{2}$ ‍	$(0, \frac{π}{4})$ ‍
$π$ ‍	$(- 1, 0)$ ‍
$⋮$ ‍	$⋮$ ‍

წარმოიდგინეთ, რიცხვით ღერძზე ყველა შესაძლო არგუმენტი ცურდება შესაბამის მნიშვნელობაზე. ამ შემთხვევაში, რადგან მნიშვნელობებს ორი კოორდინატი აქვთ, ისინი

x y

სიბრტყეზე მდებარეობენ.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ყურადღება მიაქციეთ, რომ

x y

-ის შიგნით

f

ჩაქსოვილ და დატრიალებულ რიცხვით ღერძს დავხაზავდით,

f

რომ გვაინტერესებდეს, როგორც პარამეტრული ფუნქცია. ამჯერად ჩვენ ვხედავთ, რომელი არგუმნტი გვხვდება ფინალურ რაუნდზე.

მოდით, ცოტა შევისვენოთ, რომ თავიდან ვნახოთ და მივყვეთ კონკრეტულ არგუმენტებს, როცა ისინი მომდევნო მნიშვნელობებზე გადადიან.

\begin{aligned} 0 & \to f (0) = (\cos (0), 0 \sin (0)) = (1, 0) \\ \frac{π}{2} & \to f (\frac{π}{2}) = (\cos (\frac{π}{2}), \frac{π}{4} \sin (\frac{π}{2})) = (0, π / 4) \\ π & \to f (π) = (\cos (π), \frac{π}{2} \sin (π)) = (- 1, 0) \end{aligned}

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

მაგალითი 3: სიბრტყიდან სიბრტყეზე მარტივი გარდაქმნა

განიხილეთ სიბრტყის

90^{\circ}

-ით მობრუნება (ისრები იმისთვისაა გამოსახული, რომ დაგვეხმაროს გარდამნისთვის თვალის მიდევნებაშიი):

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ეს შეგვეძლო, განგვეხილა კონკრეტული ფუნქციის ორგანზომილებიანი არგუმენტითა და ორგანზომილებიანი მნიშვნელობით გამოსახვის გზად. რატომ?

გარდაქმნებს ორგანზომილებიანი სივრცის წერტილები გადაჰყავს სხვა ორგანზომილებიანი სივრცის წერტილებში. მაგალითად, წერტილი იწყება

(1, 0)

-ზე და სრულდება

(0, 1)

-ზე. წერტილი, რომელიც იწყება

(1, 2)

-ზე და სრულდება

(- 2, 1)

-ზე და ა. შ. ფუნქცია, რომელიც ამ გარდქმნას აღწერს, შემდეგია:

$f (x, y) = (- y, x)$ ‍

ნებისმიერი მოცემული წერტილისთვის, როგორიცაა

(3, 4)

, ეს

f

ფუნქცია გეუბნებათ, სად ხვდება ეს წერტილი, როცა სიბრტყეს

90^{\circ}

-ით აბრუნებთ საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით, (ამ შემთხვევაში

(- 4, 3)

მაგალითი 4: სიბრტყიდან სიბრტყეზე უფრო რთული გარდამნა

ახლა შევხედოთ უფრო რთულ ფუნქციას ორგანზომილებიანი არგუმენტითა და ორგანზომილებიანი მნიშვნელობით:

$f (x, y) = (x^{2} + y^{2}, x^{2} - y^{2})$ ‍.

თითოეული არგუმენტი არის წერტილი სიბრტყეზე, როგორიცაა -

(1, 2)

და იგი გადაჰყავს სხვა სიბრტყეზე ასეთნაირად:

(1^{2} + 2^{2}, 1^{2} - 2^{2}) = (5, - 3)

. როცა ვუყურებთ, როგორ გადადის სიბტყის ყველა წერტილი მის შესაბამის მნიშვნელობის წერტილზე, ისეთი შთაბეჭდილება იქმნება, რომ სიბრტყის ასლი ყალიბდება:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ყველა წერტილი აღმოჩნდა სიბრტყის მარჯვენა მხარეს. ამის მიზეზი ისაა, რომ მნიშვნელობის პირველი კოორდინატი არის

x^{2} + y^{2}

, რომელიც ყოველთვის დადებითია.

რთული შეკითხვა: ზემოთ მოცემულ გარდაქმნაში, რომელიც წარმოადგენს

f (x, y) = (x^{2} + y^{2}, x^{2} - y^{2})

ფუნქციას, ყურადღება მიაქციეთ, თითოეული წერტილი ხვდება

V

ფორმის რეგიონში

x = y

და

x = - y

წრფეებს შორის. შემდეგი რიცხვობრივი ფაქტიდან რომელი ხსნის ამას?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
$x^{2} + y^{2} = x^{2} - y^{2}$ ‍ და $x^{2} + y^{2} = - (x^{2} - y^{2})$ ‍
(Choice B)
$| x^{2} + y^{2} | \geq 0$ ‍
(Choice C)
$x^{2} + y^{2} \geq 0$ ‍ და $| x^{2} - y^{2} | \leq | x^{2} + y^{2} |$ ‍

ეს „V“ ფორმის რეგიონი შემდეგნაირად შეგიძლიათ, აღწეროთ: ეს ყველა ისეთი $(a, b)$ ‍ წერტილია, რომელთათვისაც
$a \geq 0$ ‍,
$b \leq a$ ‍,
$b \geq - a$ ‍
ეს ბოლო ორი თვისება კარგად რომ გაითავისოთ, შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ $a$ ‍-ს მნიშვნელობის ფიქსირება, მაგალითად $a = 2$ ‍ და $b$ ‍-ს ვარირება $- 2$ ‍-სა და $2$ ‍-ს შორის. როგორ გამოიყურება $(2, b)$ ‍ წერტილები?
ეს თვისებები შეგიძლიათ, უფრო კომპაქტურად შემდეგნაირად ჩაწეროთ
$a \geq 0$ ‍
$| b | \leq | a |$ ‍
თუ შევხედავთ ზემოთ მოცემულ ფუნქციას, მნიშვნელობებია $(x^{2} + y^{2}, x^{2} - y^{2})$ ‍ ფორმის რაიმე $x$ ‍-ისა და $y$ ‍-ისთვის. შესაბამისად, იმის შემოწმება, მოცემული მნიშვნელობა $V$ ‍-ს ფორმის რეგიონში ხვდება თუ არა, დადის მოცემულის დადასტურება-არდადასტურებაში:
$x^{2} + y^{2} \geq 0$ ‍
$| x^{2} - y^{2} | \leq | x^{2} + y^{2} |$ ‍

მაგალითი 5: სიბრტყიდან წირამდე

შემდეგ ვიფიქროთ ფუნქციაზე ორგანზომილებიანი არგუმენტითა და ერთგანზომილებიანი მნიშვნელობით.

$f (x, y) = x^{2} + y^{2}$ ‍,

შესაბამისი გარდაქმნა

x y

სიბრტყეს შეავიწროვებს რიცხვითი ღერძამდე.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ასეთ შევიწროვებაში ყველაფერზე თვალის მიდევნება შეიძლება, რთული იყოს, ასე რომ, ზუსტი და სწორი განსაზღვრებისთვის ჯობია გამოიყენოთ გრაფიკი ან კონტურის რუკა. თუმცა შეიძლება, გამოგადგეთ გონებაში იმის შემონახვა, რომ ორგანზომილებიანიდან ერთგანზომილებიანამდე ფუნქცია აკეთებს იმას, რომ რაიმე გზით ავიწროვებს სიბრტყეს წირამდე.

მაგალითად, ეს კონტურულ რუკებში დონეების ერთობლიობის ინტერპრეტირების ახალ გზას გვაძლევს: ესენი სიბრტყის ყველა წერტილებია, რომლებიც ერთად კოწიწდება ჩვეულებრივ წირში.

მაგალითი 6: სიბრტყიდან სივრცემდე

ფუნქციები ორგანზომილებიანი არგუმენტითა და სამგანზომილებიანი მნიშვნელობით სიბრტყეს ასახავს სამგანზომილებიან სივრცეში. მაგალითად, ასეთი გარდაქმნა ასე შეიძლება, გამოიყურებოდეს (წითელი და ლურჯი წირები მხოლოდ იმისთვისა, რომ ადვილად მივადევნოთ თვალი, თუ რა ხდება

x

და

y

მიმართულებებში):

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ზემოთ მოცემული ერთიან ორ განზომილებამდე მაგალითის მსგავსად, საბოლო სურათი გვიჩვენებს ზედაპირს, რომელსაც მივიღებდით ფუნქციის ინტერპრეტირებით პარამეტრულ ფუნქციად.

მაგალითი 7: სივრციდან სივრცემდე

ფუნქციები სამი განზომილებიდან სამ განზომილებაში შეგვიძლია, დავინახოთ, როგორც სამი განზომილების საკუთარ თავზე ასახვა. ამდენი ცვლადით, გარდაქმნისთვის პირდაპირ ყურება ერთდროულად შეიძლება, იყოს საშინელი, ულამაზესი და დამაბნეველი. მაგალითად, განიხილეთ ეს ფუნქცია:

$f (x, y, z) = (y z, x z, x y)$ ‍

აი, ეს როგორ გამოიყურება გარდაქმნის სახით.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ეს შეიძლება, ლამაზდ გამოიყურებოდეს, მაგრამ ძალიან ჩახლართულია.

საბოლოო ფიქრები

გარდაქმნებმა შეიძლება, მოგვცეს ფუნქციების ინტერპრეტირების შესანიშნავი გზები, როცა ისწავლით. მაგალითად, მუდმივა ფუნქციები არგუმენტის სივრცეს წერტილამდე ავიწროვებს და წყვეტილმა ფუნქციებმა მოძრაობისას არგუმენტის სივრცე უნდა დაშალონ.

ეს ფიზიკური ინტერპრეტაციები შეიძლება, ძალიან გამოგვადგეს, როცა შევბედავთ მრავალცვლადიანი კალკულუსის თემებს, რომელშიც რისკი არსებობოს, რომ ვინმე ისწავლის ცნებებსა და მოქმედებებს სიმბოლურად ისე, რომ ვერ გაიგებს, სინამდვილეში რა ხდება.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.