ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 2

გაკვეთილი 3: კერძო წარმოებული და გრადიენტი (სტატიები)

კერძო წარმოებულების შესავალი

რა არის კერძო წარმოებული, როგორ გამოვთვალოთ ის და რას ნიშნავს ის?

ფონი

რის აგებას ვცდილობთ

მრავალცვლადიანი ფუნქციისთვის, როგორიცაა $f (x, y) = x^{2} y$ ‍, კერძო წარმოებულის გამოთვლა დაახლოებით ასე გამოიყურება:

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} & = \underset{\begin{array}{c} y ჩათვალეთ მუდმივად; \\ აიღეთ წარმოებული. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x} x^{2} y}} = 2 x y \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = \underset{\begin{array}{c} x ჩათვალეთ მუდმივად; \\ აიღეთ წარმოებული. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial y} x^{2} y}} = x^{2} \cdot 1 \end{aligned}$ ‍

ეს მოხვეული d-ს ფორმის $\partial$ ‍ სიმბოლო, რომელსაც „დელტას“ ეძახიან, გამოიყენება კერძო წარმოებულის გამოსაყოფად ჩვეულებრივი ერცვლადიანი წარმოებულისგან. ან, შეიძლება, უნდა მეთქვა, რომ გამოიყენება მათ გასაწარმოებლად.
ახალი ტიპის წარმოებულის მიზეზი ისაა, რომ, როცა ფუნქციის არგუმენტი შედგება რამდენიმე ცვლადისგან, გვინდა, ვნახოთ, როგორ იცვლება ფუნქცია, როცა ერთ-ერთ ცვლადს ვაძლევთ უფლებას, იცვლებოდეს, ხოლო მეორეს უცვლელად ვტოვებთ.
სამგანზომილებიანი გრაფიკებისთვის $\frac{\partial f}{\partial x}$ ‍ კერძო წარმოებული შეგიძლიათ, გამოსახოთ $f$ ‍-ის გრაფიკის გაჭრით სიბრტყით, რომელიც წარმოადგენს $y$ ‍-ის მუდმივ მნიშვნელობას და ჭრილზე მიღებული მრუდის დახრილობის გამოთვლით.

რა არის კერძო წარმოებული?

ვუშვებთ, რომ იცნობთ ჩვეულებრივ წარმოებულს,

\frac{d f}{d x}

-ს, ერთცვლადიანი კალკულუსიდან. მე ძალიან მომწონს წარმოებულის ეს ჩანაწერი, რადგან მისი ინტერპრეტირება შემდეგნაირადაა შესაძლებელი:

$d x$ ‍-ის ინტერპრეტირება მოახდინეთ, როგორც „უმცირესი ცვლილება $x$ ‍-ში“.
$d f$ ‍-ის ინტერპრეტირება მოახდინეთ, როგორც - „უმცირესი ცვლილება $f$ ‍-ის მნიშვნელობაში“, სადაც გასაგებია, რომ ეს უმცირესი ცვლილება არის ის, რაც არგუმენტის უმცირესი $d x$ ‍ ცვლილების შედეგად მიიღება.

მე ვფიქრობ, რომ

\frac{d f}{d x}

სიმბოლოს ინტუიციური აღქმა არის ერთ-ერთ ყველაზე გამოსადეგი იდეა ერთცვლადიანი კალკულუსიდან და როცა მას სრულად გაითავისებთ, წარმოებულთან დაკავშირებული ცნებების უმეტესობას ადვილად შეეწყობით.

მაგალითად, როცა ამას გამოიყენებთ

f

-ის გრაფიკზე,

\frac{d f}{d x}

„ფარდობის“ ინტერპრეტირება შეგიძლიათ, როგორც

f

-ის გრაფიკის დახრილობის კოეფიციენტის, რომელიც დამოკიდებულია წერტილზე, რომელზეც დაიწყეთ.

ეს როგორ მუშაობს მრავალცვლადიანი კალკულუსისთვის?

განიხილეთ რაიმე ფუნქცია ორგანზომილებიანი არგუმენტითა და ერთგანზომილებიანი მნიშვნელობით.

$f (x, y) = x^{2} - 2 x y$ ‍

არაფერი გვიშლის ხელს იმავე

\frac{d f}{d x}

გამოსახულების ჩაწერასა და ამავე გზით ინტერპრეტირებაში:

$d x$ ‍ კვლავ შეიძლება, წარმოადგენდეს $x$ ‍ ცვლადში მუცირეს ცვლილებას, რომელიც ახლა ჩვენი არგუმენტის მხოლოდ ერთი კომპონენტია.
$d f$ ‍ ისევ შეიძლება, იყოს $f (x, y)$ ‍ ფუნქციის მნიშვნელობის მიღებული ცვლილება.

თუმცა ეს უგულვებლყოფს იმ ფაქტს, რომ გვაგვქვს კიდევ ერთი არგუმენტის ცვლადი,

y

. არგუმენტის სივრცეს ახლა რამდენიმე განზომილება აქვს, ასე რომ, არგუმენტი

x

მიმართულების გარდა სხვა მიმართულებებითაც შეგვიძლია, შევცვალოთ. მაგალითად, რას იტყვით

y

-ის ოდნავ ცვლილებაზე რაიმე უმცირესი

d y

მნიშვნელობით? ახლა თუ

d f

-ის ინტერპრეტირებას ისე მოვახდენთ, როგორც ფუნქციის იმ უმცირეს ცვლილებას, რომელსაც ეს

d y

წანაცვლება იძლევა, მივიღებდით

\frac{d f}{d y}

-ის განსხვავებულ წარმოებულს.

არც ერთი წარმოებული არ გვეუბნება მთლიან ამბავს იმის შესახებ, თუ როგორ იცვლება ჩვენი

f (x, y)

ფუნქცია, როცა არგუმენტი ოდნავ იცვლება, ასე რომ, მათ კერძო წარმოებულებს ვუწოდებთ. განსხვავებას ხაზი რომ გაუსვათ, უმცირესი ცვლილების გამოსახვისთვის აღარ ვიყენებთ $d$ ‍ ასოს და ამის ნაცვლად ვიყენებთ ახალ $\partial$ ‍ სიმბოლოს, რითაც თითოეულ კერძო წარმოებულს ვწერთ

\frac{\partial f}{\partial x}

\frac{\partial f}{\partial y}

ფორმით.

თქვენ

\frac{\partial f}{\partial x}

სიმბოლოს ხმამაღლა კითხულობთ შემდეგნაირად: „

f

-ის კერძო წარმოებული

x

-ის მიმართ“.

მაგალითი: კერძო წარმოებულის გამოთვლა

განიხილეთ ეს ფუნქცია:

$f (x, y) = x^{2} y^{3}$ ‍

დავუშვათ, გთხოვეთ, გამოგეთვალათ

\frac{\partial f}{\partial x}

, კერძო წარმოებული

x

-ის მიმართ

(3, 2)

არგუმენტზე.

„რა? მაგრამ ჯერ არ მისწავლია როგორ!“

ნუ ნერვიულობთ, აქ უმეტესწილად იგივე პრინციპია, რაც ჩვეულებრივი წარმოებულის დროს.

ზემოთ მოცემულიდან უნდა იცოდეთ, რომ გვეკითხებიან ტემპს, რომლითაც

f

-ის მნიშვნელობა იზრდება, როცა არგუმენტის

x

კომპონენტს ოდნავ ვანაცვლებთ, მაგალითად, თუ

(3, 2)

-დან

(3, 01, 2)

-მდე გადავიყვანთ.

რადგან გვაინტერესებს მოძრაობა მხოლოდ

x

მიმართულებით,

y

შეგვიძლია, მუდმივად ჩავთვალოთ. პრინციპში, წარმოებულების გამოთვლამდე შეგვიძლია, ჩავსვათ

y = 2

$f (x, 2) = x^{2} (2)^{3} = 8 x^{2}$ ‍

ახლა იმის კითხვა, თუ როგორ იცვლება

f

, როცა

x

ოდნავ წანაცვლდება, ჩვეულებრივი ერთცვლადიანი წარმოებულია.

კონცეფციის შემოწმება: რა არის

f (x, 2) = 8 x^{2}

ფუნქციის წარმოებული, რომელიც გამოითვლება

x = 3

-ზე?

$y$ ‍-ის წინასწარ გამოთვლის გარეშე

ახლა დავუშვათ, გთხოვეთ, გეპოვათ

\frac{\partial f}{\partial x}

, მაგრამ არ მითხოვია მისი გამოთვლა რომელიმე კონკრეტულ წერტილზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ უნდა დაწეროთ ახალი მრავალცვლადიანი ფუნქცია, რომელიც ნებისმიერ

(x, y)

წერტილს იღებს არგუმენტის სახით და გვეუბნება, რა არის

f

-ის ცვლილების სიჩქარე წერტილზე, როცა მივდივართ

x

მიმართულებით.

შეგიძლიათ, იმავე გზით დაიწყოთ და

y

განიხილოთ, როგორც მუდმივა. თუმცა, ამჯერად ვერ ჩასვამთ ნამდვილ მუდმივ მნიშვნელობას, როგორიცაა

y = 2

. ამის ნაცვლად, წარმოიდგინეთ, რომ

y

მუდმივაა და გააწარმოეთ:

$\frac{d}{d x} f (x, y) = \underset{ჩათვალეთ, რომ y მუდმივია}{\underset{⏟}{\frac{d}{d x} (x^{2} y^{3})}} = 2 x y^{3}$ ‍

რადგან გვირჩევნია, ხაზი გაესვას, რომ ეს მრავაცვლადიანი ფუნქციაა,

d

-ს ნაცვლად

\partial

სიმბოლოს ვიყენებთ:

$\frac{\partial}{\partial x} f (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} y^{3}) = 2 x y^{3}$ ‍

შესამოწმებლად შეგვიძლია, ჩავსვათ

(3, 2)

, რომ ვნახოთ, რომ იმავე მნიშვნელობას მივიღებთ, რაც ზევითაა.

„ასე რომ, რა განსხვავებაა $\frac{d}{d x}$ ‍-სა და $\frac{\partial}{\partial x}$ ‍-ს შორის? ისინი, როგორც ჩანს, ერთნაირად გამოიყენება.“

სიმართლე რომ ვთქვა, ჩემი დაკვირვებით, ამ ორ მოქმედებას შორის ნამდვილი განსხვავება არ არის. შეგიძლიათ, პედანტი იყოთ და თქვათ, რომ ერთი მხოლოდ ერთცვლადიანი ფუნქციისთვისაა განსაზღვრული. მაგრამ ინტუიციურადაც და გამოთვლებითაც ისინი ერთი და იგივეა და განსხვავების მიზანი მხოლოდ ისაა, რომ ხაზი გაესვას, თუ რა ტიპის ფუნქციის გაწარმოება ხდება.

კერძო წარმოებულების ინტერპრეტირება გრაფიკებით

განიხილეთ ეს ფუნქცია:

$f (x, y) = \frac{1}{5} (x^{2} - 2 x y) + 3$ ‍,

აქ არის ვიდეო, რომელიც გვიჩვენებს მისი გრაფიკის ბრუნვას, რომ შევიგრძნოთ მისი სამგანზომილებიანი ბუნება.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

იფიქრეთ

f

-ის კერძო წარმოებულზე

x

-ის მიმართ, გამოთვლილი, დავუშვათ,

(2, 0)

წერტილზე.

$\frac{\partial f}{\partial x} (2, 0)$ ‍

გრაფიკულად რას გვეუბნება ამ გამოსახულების მნიშვნელობა

f

ფუნქციის ქცევის შესახებ

(2, 0)

წერტილზე?

$y$ ‍ ჩათვალეთ მუდმივად $\to$ ‍ გრაფიკი სიბრტყით გაჭერით

ამ მნიშვნელობის გამოთვლის პირველი ნაბიჯია

y

-ის მუდმივად ჩათვლა. კონკრეტულად, თუ ვკონცენტრიდებით იმაზე, თუ რა ხდება

(2, 0)

წერტილზე, მხოლოდ წერტილების იმ ერთობლიობას უნდა ვუყუროთ, სადაც

y = 0

. სამგანზომილებიან სივრცეში ეს არის

y

ღერძის მართობული სიბრტყე, რომელიც სათავეზე გადის.

ეს

y = 0

სიბრტყე, რომელიც თეთრადაა ნაჩვენები, ჭრის

f (x, y)

-ის გრაფიკს პარაბოლურ მრუდზე, რომელიც ღია წითლადაა გამოსახული.

\frac{\partial f}{\partial x}

-ის ინტერპრეტირება შეგვიძლია, როგორც ამ მრუდის მხები წრფის დახრილობა. რატომ? რადგან

\partial x

არის ოდნავი წანაცვლება

x

მიმართულებაში, ანუ გარბენი, და

\partial f

არის მიღებული ცვლილება

z

მიმართულებაში, ანუ აღმასვლა.

რას ვიტყვით

\frac{\partial f}{\partial y}

-ის შესახებ იმავე

(2, 0)

წერტილზე? წერტილები, სადაც

x = 2

-იც სიბრტყეს ადგენს, მაგრამ ამავე დროს მისი სიბრტყე მართობულია

x

ღერძისა, რომელიც კვეთს

x = 2

წერტილზე. ეს გრაფიკს ჭრის ახალი მრუდის გასწვრივ და

\frac{\partial f}{\partial y}

მოგვცემს ამ ახალი მრუდის დახრილობას.

შეკითხვა არეკვლაზე: მარჯვენა სურათში „მრუდი,“ სადაც

f (x, y) = \frac{1}{5} (x^{2} - 2 x y) + 3

-ის გრაფიკი კვეთს

x = 2

-ით განსაზღვრულ სიბრტყეს, სწორ წირს ჰგავს. შეიძლება, ეს მართლა წრფე იყოს?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
დიახ
(Choice B)
არა

არის!
$f$ ‍-ის გრაფიკის გადაკვეთა $x = 2$ ‍ სიბრტყით შეესაბამება $x$ ‍-ის განხილვას მუდმივად $2$ ‍-ის ტოლად. ესე იგი, ჩვენ $f (2, y)$ ‍-ს განვიხილავთ, როგორც $y$ ‍-ის ერთ ცვლად ფუნქციას:
$\begin{aligned} f (2, y) & = \frac{1}{5} (2^{2} - 2 (2) y) + 3 \\ = \frac{4}{5} - \frac{4}{5} y + 3 \\ = - \frac{4}{5} y + \frac{19}{5} \end{aligned}$ ‍
ეს ფუნქცია წრფივია, ასე რომ, მისი გრაფიკი არის წრფე $- 4 / 5$ ‍ დახრილობით.

\frac{\partial f}{\partial y}

კერძო წარმოებული გამოთვლილი ნებისმიერ

(2, y)

წერტილზე გვაძლევს ამ წრფის

- \frac{4}{5}

დახრილობას მიუხედავად იმისა, თუ რამდენია

y

. სინამდვილეში, ამ ფუნქციის კერძო წარმოებული საერთოდ არ არის დამოკიდებული

y

-ზე:

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y} & = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{5} (x^{2} - 2 x y)) \\ = \frac{1}{5} (0 - 2 x) \\ = - \frac{2}{5} x \end{aligned}

გრაფიკულად ეს ნიშნავს, რომ როცა ვირჩევთ

x

-ის განსხვავებულ მნიშვნელობებს და სიბრტყეს, რომელიც წარმოადგენს მუდმივ

x

მნიშვნელობას, მოძრაობს მარცხნივ და მარჯვნივ, იგი ყოველთვის გადაკვეთს გრაფიკს წრფეზე, რადგან მისი დახრილობა მუდმივია

y

-ის მიმართ. მეორე მხრივ, ამ წრფის დახრილობა ყოველთვის იქნება

- \frac{2}{5}

-ჯერ

x

-ის მნიშვნელობა.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

ფრაზები და ჩანაწერი

აქ არის რამდენიმე ფრაზა, რომელიც შეიძლება, გაიგონო ამ

\frac{\partial f}{\partial x}

მოქმედებასთან დაკავშირებით:

„ $f$ ‍-ის კერძო წარმოებული $x$ ‍-ის მიმართ“
„დელ f, დელ x“
„კერძო f, კერძო x“
„( $f$ ‍-ის) კერძო წარმოებული $x$ ‍ მიმართულებაში“

ალტერნატიული ჩანაწერი

ისევე, როგორც ხალხს ზოგჯერ

f^{'}

-ის დაწერა ურჩევნია

\frac{d f}{d x}

-ს ნაცვლად, ჩვენ გვაქვს შემდეგი ჩანაწერი:

$\begin{aligned} f_{x} & \leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial x} \\ f_{y} & \leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial y} \\ f_{⟨ რაიმე ცვლადი ⟩} & \leftrightarrow \frac{\partial f}{\partial ⟨ იგივე ცვლადი ⟩} \end{aligned}$ ‍

უფრო ფორმალური განმარტება

მიუხედავად იმისა, რომ

d x

-ზე ან

\partial x

-ზე, როგორც

x

-ის მნიშვნელობის ძალიან პატარა ცვლილებაზე, ფიქრი სასარგებლოა, საჭრიოა, ცოტა უკან დავიხიოთ და გავიხსენოთ, რომ ასეთი რაღაცების ზუსტი განსაზღვრებისთვის ზღვრების შემოტანაა საჭირო. მაინც რისი ტოლი იქნება

\partial x

-ის უმცირესი მნიშვნელობა? მეასედი? მემილიონედი?

10^{- 10^{10}}

კალკულუსის აზრი ის არის, რომ ჩვენ არ ვიყენებთ რომელიმე უმცირეს რიცხვს, არამედ განვიხილავთ ყველა შესაძლო მნიშვნელობას და ვაანალიზებთ, თუ რა ხდება, როცა ზღვრულ მნიშვნელობას უახლოვდებიან. მაგალითად, ერთცვლადიანი წარმოებული შემდეგნაირად განისაზღვრება:

$\begin{array}{r} \frac{d f}{d x} (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h} \end{array}$ ‍

$h$ ‍ წარმოადგენს „უმცირეს მნიშვნელობას,“ რომელსაც ინტუიციურად $d x$ ‍-ად განვიხილავთ.
ზღვრის ქვეშ $h \to 0$ ‍ გვიჩვენებს, რომ ჩვენ გვაინტერესებს $h$ ‍-ის ძალიან პატარა მნიშვნელობები, რომლებიც $0$ ‍-ს უახლოვდებიან.
$f (x_{0} + h) - f (x_{0})$ ‍ არის ცვლილება მნიშვნელობაში, რომელიც მიიღება არგუმენტისთვის $h$ ‍-ის დამატებით, რასაც ვგულისხმობთ $d f$ ‍-ში.

ფორმალურად კერძო წარმოებულის განმარტება თითქმის იდენტურია. თუ

f (x, y, \dots)

არის ფუნქცია რამდენიმე არგუმენტით, ეს ასე გამოიყურება:

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} (x_{0}, y_{0}, \dots) & = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h, y_{0}, \dots) - f (x_{0}, y_{0}, \dots)}{h} \end{aligned}$ ‍

ამის მსგავსად, აი, როგორ გამოიყურება კერძო წარმოებული

y

-ის მიმართ:

$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y} (x_{0}, y_{0}, \dots) & = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0}, y_{0} + h, \dots) - f (x_{0}, y_{0}, \dots)}{h} \end{aligned}$ ‍

აზრი იმაშია, რომ

h

, რომელიც წარმოადგენს არგუმენტის უმცირეს ცვლილებას, ემატება სხვადასხვა არგუმენტის ცვლადებს იმის მიხედვით, თუ რომელ კერძო წარმოებულს ვიღებთ.

ხალხი ამას ხშირად განიხილავს, როგორც კერძო წარმოებულის ზღვრულ განსაზღვრებას.

არეკვლის წერტილი: როგორ ვიფიქროთ ზღვრის განმარტებაზე ზემოთ მოცემული გრაფიკული ინტერპრეტაციის კონტექსტში? რა არის

h

? რას ჰგავს იგი

h \to 0

-ისთვის?

შეჯამება

მრავალცვლადიანი ფუნქციისთვის, როგორიცაა $f (x, y) = x^{2} y$ ‍, კერძო წარმოებულის გამოთვლა დაახლოებით ასე გამოიყურება:
$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} & = \underset{\begin{array}{c} y აღიქვით მუდმივად; \\ აიღეთ წარმოებული. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x} x^{2} y}} = 2 x y \\ \frac{\partial f}{\partial y} & = \underset{\begin{array}{c} x აღიქვით მუდმივად; \\ აიღეთ წარმოებული. \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial y} x^{2} y}} = x^{2} \cdot 1 \end{aligned}$ ‍
ეს მოხვეული d-ს ფორმის $\partial$ ‍ სიმბოლო, რომელსაც „დელტას“ ეძახიან, გამოიყენება კერძო წარმოებულის გამოსაყოფად ჩვეულებრივი ერცვლადიანი წარმოებულისგან.
ახალი ტიპის წარმოებულის მიზეზი ისაა, რომ, როცა ფუნქციის არგუმენტი შედგება რამდენიმე ცვლადისგან, გვინდა, ვნახოთ, როგორ იცვლება ფუნქცია, როცა ერთ-ერთ ცვლადს ვაძლევთ უფლებას, იცვლებოდეს, ხოლო მეორეს უცვლელად ვტოვებთ.
სამგანზომილებიანი გრაფიკებისთვის $\frac{\partial f}{\partial x}$ ‍ კერძო წარმოებული შეგიძლიათ, გამოსახოთ $f$ ‍-ის გრაფიკის გაჭრით სიბრტყით, რომელიც წარმოადგენს $y$ ‍-ის მუდმივ მნიშვნელობას და მიღებული ჭრილის გამოთვლით.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.

მრავალცვლადიანი კალკულუსი