გრადიენტი

რა უნდა იცოდეთ, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ:

• კერძო წარმოებულები
• ვექტორული ველები
• კონტურული რუკები—ამ გაკვეთილის მხოლოდ ერთი ნაწილისთვისაა აუცილებელი.

რის აგებას ვცდილობთ

• $f(x, y, \dots)$f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis სკალარული მრავალცვლადიანი ფუნქციის გრადიენტი, რომელიც იწერება $\nabla f$del, f-ით, მისი კერძო წარმოებულის ინფორმაციას ათავსებს ვექტორში:

  $\nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\\\ \vdots \end{array} \right]$

  კონკრეტულად ეს ნიშნავს, რომ $\nabla f$del, f ვექტორული ფუნქციაა.
• თუ წარმოიდგინეთ $f$f-ის არგუმენტის სივრცეში ($x_0, y_0, \dots$x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots) წერტილზე დგომას, $\nabla f(x_0, y_0, \dots)$del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis ვექტორი გვეუბნება, რა მიმართულებით უნდა იმოძრავოთ, რომ $f$f-ის მნიშვნელობა ყველაზე სწრაფად გაიზარდოს.
• ეს გრადიენტის ვექტორები—$\nabla f(x_0, y_0, \dots)$del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis—ასევე მართობულია $f$f-ის კონტურული ხაზების.

განმარტება

მაგალითი 1: ორი განზომილება

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\left[ \begin{array}{c} 2x - x \\ x^2 - y \end{array} \right]$

  A

  $\left[ \begin{array}{c} 2x - x \\ x^2 - y \end{array} \right]$
• (Choice B)  

  $\left[ \begin{array}{c} 2x - y \\ -x \end{array} \right]$

  B

  $\left[ \begin{array}{c} 2x - y \\ -x \end{array} \right]$

შემოწმება

[პასუხის ჩვენება.]

მაგალითი 2: სამი განზომილება

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\nabla f(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} 1 - y \\ -x \\ 2z \end{array} \right]$

  A

  $\nabla f(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} 1 - y \\ -x \\ 2z \end{array} \right]$
• (Choice B)  

  $\nabla f(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} 1 - y + z^2 \\ x - x + z^2 \\ x - xy + 2z \end{array} \right]$

  B

  $\nabla f(x, y, z) = \left[ \begin{array}{c} 1 - y + z^2 \\ x - x + z^2 \\ x - xy + 2z \end{array} \right]$

შემოწმება

[პასუხის ჩვენება.]

გრადიენტის ინტეპრეტირება

გრადიენტის შესახებ ყველაზე მნიშვნელოვანი, რაც უნდა დავიმახსოვროთ: $f$f-ის გრადიენტი, რომელიც გამოითვლება $(x_0, y_0)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis არგუმენტზე, მიმართულია ყველაზე ციცაბო დახრილობისკენ.

მაგალითი 3: როგორ გამოიყურება ლოკალური მაქსიმუმი

გრადიენტი კონტურული ხაზების მართობულია

1. აირჩიეთ ნაბიჯის ფიქსირებული ზომა და იპოვეთ ისეთი მიმართულება, რომ ამ ნაბიჯის ზომა $f$f-ს ყველაზე მეტად ზრდიდეს.

   როცა მოცემული გვაქვთ კონკრეტული წერტილიდან მუდმივი ზომის ნაბიჯები, გრადიენტია ის, რომელიც f-ს ყველაზე მეტად ზრდის.

2. აირჩიეთ $f$f ფიქსირებული ზრდა და იპოვეთ მიმართულება, რომლითაც უმოკლესი ნაბიჯია საჭირო $f$f-ის ამ ოდენობით გასაზრდელად.

   როცა მოცემული გაქვთ ნაბიჯები, რომლებიც f-ს მოცემული ზომით ზრდის, გრადიენტის მიმართულება მათ შორის უმოკლესია.

დელტა ოპერატორი

შეჯამება

• $f(x, y, \dots)$f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis სკალარული მრავალცვლადიანი ფუნქციის გრადიენტი, რომელიც იწერება $\nabla f$del, f-ით, მისი კერძო წარმოებულის ინფორმაციას ათავსებს ვექტორში:

  $\nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\\\ \vdots \end{array} \right]$

  კონკრეტულად ეს ნიშნავს, რომ $\nabla f$del, f ვექტორული ფუნქციაა.
• თუ წარმოიდგინეთ $f$f-ის არგუმენტის სივრცეში $(x_0, y_0, \dots)$left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis წერტილზე დგომას, $\nabla f(x_0, y_0, \dots)$del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis ვექტორი გვეუბნება, რა მიმართულებით უნდა იმოძრავოთ, რომ $f$f-ის მნიშვნელობა ყველაზე სწრაფად გაიზარდოს.
• ეს გრადიენტის ვექტორები, $\nabla f(x_0, y_0, \dots)$del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, dots, right parenthesis, ასევე მართობულია $f$f-ის კონტურული ხაზების.