თუ თქვენ ხედავთ ამ შეტყობინებას, ესე იგი საიტზე გარე რესურსების ჩატვირთვისას მოხდა შეფერხება.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

ძირითადი მასალა

გრადიენტი

გრადიენტი ინახავს ყველანაირ ინფორმაციას მრავალცვლადიანი ფუნქციის კერძო წარმოებულის შესახებ. თუმცა ის არ არის უბრალოდ ინფორმაციის შემნახველი ხელსაწყო, მას აქვს რამდენიმე ულამაზესი ინტერპრეტაცია და უამრავი გამოყენება.

რა უნდა იცოდეთ, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ:

რის აგებას ვცდილობთ

  • f(x,y,) სკალარული მრავალცვლადიანი ფუნქციის გრადიენტი, რომელიც იწერება f-ით, მისი კერძო წარმოებულის ინფორმაციას ათავსებს ვექტორში:
    f=[fxfy]
    კონკრეტულად ეს ნიშნავს, რომ f ვექტორული ფუნქციაა.
  • თუ წარმოიდგინეთ f-ის არგუმენტის სივრცეში (x0,y0,) წერტილზე დგომას, f(x0,y0,) ვექტორი გვეუბნება, რა მიმართულებით უნდა იმოძრავოთ, რომ f-ის მნიშვნელობა ყველაზე სწრაფად გაიზარდოს.
  • ეს გრადიენტის ვექტორები—f(x0,y0,)—ასევე მართობულია f-ის კონტურული ხაზების.

განმარტება

იმის სწავლის შემდეგ, რომ მრავალგანზომილებიანი არგუმენტის მქონე ფუნქციებს აქვს კერძო წარმოებულები, შეიძლება, გაინტერესებდეთ, რას უდრის ასეთი ფუნქციის სრული წარმოებული. სკალარული მრავალცვლადიანი ფუნქციების, ანუ, მრავალგანზომილებიანი არგუმენტისა და ერთგანზომილებიანი მნიშვნელობის მქონეების, შემთხვევაში პასუხია გრადიენტი.
f ფუნქციის გრადიენტი, რომელიც იწერება f-ით, არის მისი ყველა კერძო წარმოებულის ერთობლიობა ერთ ვექტორში.
ეს ყველაზე მარტივად მაგალითით ხდება გასაგები.

მაგალითი 1: ორი განზომილება

თუ f(x,y)=x2xy, ჩამოთვლილთაგან რომელი წარმოადგენს f-ს?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

შენიშნეთ, რომ f არის ვექტორული ფუნქცია, კონკრეტულად, ორგანზომილებიანი არგუმენტისა და ორგანზომილებიანი მნიშვნელობის მქონე. ეს იმას ნიშნავს, რომ მისი ვიზუალურად წარმოდგენა კარგად შეიძლება ვექტორული ველით. ვექტორული ველი მოთავსებულია f-ის არგუმენტის სივრცეში, რომელიცაა xy სიბრტყე.
ამ ვექტორულ ველს ხშირად ეწოდება f-ის გრადიენტული ველი.
შეკითხვა არეკვლაზე: ვექტორულ ველში ვექტორები რატომაა ასეთი პატარა ზემოთ მიმავალი დიაგონური ზოლის გასწვრივ xy სიბრტყის შუაში?

მაგალითი 2: სამი განზომილება

რა არის f(x,y,z)=xxy+z2-ის გრადიენტი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

f არის ფუნქცია სამგანზომილებიანი არგუმენტითა და სამგანზომილებიანი მნიშვნელობით. ამიტომ იგი ლამაზად გამოიხატება ვექტორული ველით სამგანზომილებიან სივრცეში.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

გრადიენტის ინტეპრეტირება

ზემოთ მოცემულ თითოეულ მაგალითში ჩვენ f გამოვსახეთ ვექტორული ველით, მაგრამ როგორ მოვახდენდით ამ ვექტორული ველების ინტერპრეტირება?
უფრო კონკრეტულად, მოდით, ვიფიქროთ შემთხვევაზე, რომელშიც f-ის არგუმენტი ორგანზომილებიანია. გრადიენტი არგუმენტის თითოეულ (x0,y0) წერტილს აქცევს შემდეგ ვექტორად:
f(x0,y0)=[fx(x0,y0)fy(x0,y0)].
რას გვეუბნება ეს ვექტორი ფუნქციის ქცევის შესახებ (x0,y0) წერტილის ირგვლივ?
f-ის გრაფიკი წარმოიდგინეთ, როგორც - მთიანი რელიეფი. თუ დგახართ გრაფიკის ნაწილზე პირდაპირ (x0,y0) წერტილის ზევით ან ქვევით, მთის დახრილობა დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა მიმართულებით მიდიხართ. მაგალითად, თუ ნაბიჯს გადადგამთ დადებითი x მიმართულებით, დახრილობა იქნება fx; თუ ნაბიჯს გადადგამთ დადებითი y მიმართულებით, დახრილობა იქნება fy. მაგრამ მიმართულებათა უმეტესობა ამ ორის კომბინაციაა.
გრადიენტის შესახებ ყველაზე მნიშვნელოვანი, რაც უნდა დავიმახსოვროთ: f-ის გრადიენტი, რომელიც გამოითვლება (x0,y0) არგუმენტზე, მიმართულია ყველაზე ციცაბო დახრილობისკენ.
ასე რომ, თუ გრადიენტის მიმართულებით იმოძრავებთ, ახვალთ პირდაპირ მთაზე. ამის მსგავსად, f(x0,y0) ვექტორის აბსოლუტური სიდიდე გვეუბნება, რას უდრის მთის დახრილობა ამ მიმართულებაში.
თავიდანვე ნათელი არ არის, ვექტორში კერძო წარმოებულების მოთავსება რატომ გვაძლევს ყველაზე ციცაბო მიმართულების დახრილობას, მაგრამ ამას ავხსნით, როცა მივალთ მიმართულებით წარმოებულებამდე.
როცა f ფუნქციის არგუმენტები ორზე მეტ განზომილებაში მდებარეობს, მის გამოსახვას კომფორტულად ვეღარ შევძლებთ მთიანი რელიეფით, თუმცა ხაზგასმული იდეა კვლავ ჭეშმარიტი რჩება. f-ის არგუმენტის სივრცე ორგანზომილებიანია, სამგანზომილებიანი თუ - 1,000,000 განზომილებიანი: f-ის გრადიენტი გვაძლევს ვექტორს ამ არგუმენტის სივრცეში, რომელიც იმ მხარესაა მიმართული, რომლითაც f ფუნქცია ყველაზე სწრაფი ხდება.

მაგალითი 3: როგორ გამოიყურება ლოკალური მაქსიმუმი

განიხილეთ f(x,y)=x4+4(x2y2)3 ფუნქცია. რ არის მისი გრადიენტი?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

აი, როგორ გამოიყურება f-ის გრაფიკი:
შენიშნეთ, რომ მას ორი წვერო აქვს. აი, როგორ გამოიყურება ვექტორული ველი f-ისთვის—უფრო წითლად გაფერდებული ვექტორები უნდა ჩავთვალოთ უფრო გრძელებად და უფრო ლურჯად გაფერადებულები - უფრო მოკლეებად:
არგუმენტის ორი წერტილი, რომლებიც შეესაბამება f-ის გრაფიკის წვეროებს, გარშემორტყულია ამ წერტილებისკენ მიმართული ისრებით. რატომ?
ამის მიზეზი ისაა, რომ მთის წვერთან ახლოს, ყველაზე ციცაბო დახრილობის მიმართულება, ყოველთვის წვეროსკენაა მიმართული.
შეკითხვა არეკვლაზე: როგორი იქნებოდა ფუნქციის გრადიენტული ველი ამ ფუნქციის ლოკალურ მინიმუმთან ახლოს?

გრადიენტი კონტურული ხაზების მართობულია

ვექტორული ველების მსგავსად, კონტურული რუკებიც იხაზება ფუნქციის არგუმენტის სივრცეში, ასე რომ, შეიძლება, ვიკითხოთ, რა მოხდება, თუ f-ის ვექტორული ველი მოთავსდება იმ კონტურული რუკის თავზე, რომელიც შეესაბამება f-ს.
მაგალითად, ავიღოთ f(x,y)=xy ფუნქცია:
ზემოთ მოცემულ სურათზე ყურებისას შეიძლება, რაღაც საინტერესო შენიშნოთ: თითოეული ვექტორი მართობულია იმ იზოხაზის (კონტურული ხაზის), რომელსაც ეხება.
იმისთვის, რომ ვნახოთ, ეს რატომაა ჭეშმარიტი, აიღეთ კონკრეტული იზოხაზი, ვთქვათ, ისეთი, რომელიც წარმოადგენს მნიშვნელობა ორს და მიუახლოვდით ამ წრფის წერტილს. ჩვენ ვიცით, რომ f გრადიენტი მიმართულია ისე, რომ f-ის მნიშვნელობა ყველაზე სწრაფად იზრდება. ამ მიმართულებაზე ფიქრის ორი გზა არსებობს:
  1. აირჩიეთ ნაბიჯის ფიქსირებული ზომა და იპოვეთ ისეთი მიმართულება, რომ ამ ნაბიჯის ზომა f-ს ყველაზე მეტად ზრდიდეს.
    ფიგურა 1
  2. აირჩიეთ f ფიქსირებული ზრდა და იპოვეთ მიმართულება, რომლითაც უმოკლესი ნაბიჯია საჭირო f-ის ამ ოდენობით გასაზრდელად.
    ფიგურა 2
ნებისმიერ შემთხვევაში, თქვენ ცდილობთ აღმასვლისა და გარბენის ფარდობის მაქსიმიზებას, ან აღმასვლის მაქსიმიზებით, ან გარბენის მინიმიზებით.
კონტურული რუკები გვაძლევს კარგ ილუსტრაციას იმისა, თუ როგორი შეიძლება, იყოს მეორე პერსპექტივა. ზემოთ მოცემულ მე-2 ფიგურაში გვაქვს მეორე იზოხაზი, რომელიც წარმოადგენს 2,1-ს, რომელიც ოდნავ აღემატება თავდაპირველი ხაზით წარმოდგენილ 2-ის ტოლ მნიშვნელობას. f-ის გრადიენტი ისე უნდა იყოს მიმართული, რომ მეორე ხაზამდე რაც შეიძლება უმცირესი ნაბიჯით მივიდეს.
რაც უფრო მივუახლოვდებით, ეს ხაზები უფრო დაემსგავსება სწორ, პარალელურ წრფეებს. ორ პარალელურ წრფეს შორის უმცირესი მანძილი ყოველთვის ორივეს მართობულია, ასე რომ, გრადიენტი გამოჩნდება იზოხაზის (კონტურული ხაზის) მართობული.

დელტა ოპერატორი

მრავალცვლადიან კალკულუსში და მის მიღმა სიტყვა ოპერატორი ხშირად გვხვდება. შეიძლება, დახვეწილად გეჩვენებოდეთ, მაგრამ უმეტეს შემთხვევაში ოპერატორში შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ „რაღაც, რაც ერთ ფუნქციას სხვა ფუნქციად აქცევს“.
წარმოებული ოპერატორის ერთი მაგალითია, რადგან იგი f ფუნქციას აქცევს f ფუნქციად. დიფერენციალური ოპერატორი ყველა ის ოპერატორია, რომელიც წარმოებულის იდეას შლის განსხვავებულ კონტექსტში.
დიფერენციალური ოპერატორების მაგალითი
სახელისიმბოლომაგალითი
წარმოებულიddxddx(x2)=2x
კერძო წარმოებულიxx(x2xy)=2xy
გრადიენტი(x2xy)=[2xyx]
სიმბოლოს უწოდებენ ნაბლას ან დელტას. ტიპიურად, ნაბლაში იგულისხმება თავად სიმბოლო, ხოლო დელტაში - ოპერატორი, რომელსაც წარმოადგენს. ეს შეიძლება, დამაბნეველი იყოს, რადგან დელტაში შეიძლება, სიმბოლოც იგულისხმებოდეს, მაგრამ მათემატიკური ტერმინოლოგია ხომ ხშირად არის არალოგიკური?
რაც არ უნდა უწოდოთ, -ზე შეგვიძლია, ვიფიქროთ, როგორც - კერძო წარმოებული ოპერატორების ვექტორზე:
=[xy]
ეს მთლად ნამდვილი განმარტება არ არის. ჯერ ერთი, ამ ვექტორის განზომილება არ არის განსაზღვრული, რადგან იგი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რამდენ არგუმენტზე გამოიყენება . გარდა ამისა, ყველაფერი ძალიან სწრაფად და მსუბუქად ხდება იმისთვის, რომ ოპერატორებისგან ვექტორი აიღოს. მაგრამ, რადგან პრაქტიკაში შინაარსი ჩვეულებრივ გასაგებია, ხალხი მასზე იშვიათად დარდობს.
„წარმოიდგინეთ“ ამ ვექტორის სკალარულ ფუნქციაზე გამრავლება:
f=[xy]f=[fxfy]
რა თქმა უნდა, ეს არ არის გამრავლება. თქვენ სინამდვილეში უბრალოდ ანგარიშობთ ფუნქციის თითოეულ კერძო წარმოებულ ოპერატორს. მაგრამ ეს მაინც ძალიან გამოსადეგი გზაა -ზე ფიქრისთვის, რადგან იგი გვიბრუნდება რამდენიმე ოპერატორის კონტექსტში, რომლებსაც მოგვიანებით ვისწავლით: დივერგენცია, როტორი და ლაპლასი.

შეჯამება

  • f(x,y,) სკალარული მრავალცვლადიანი ფუნქციის გრადიენტი, რომელიც იწერება f-ით, მისი კერძო წარმოებულის ინფორმაციას ათავსებს ვექტორში:
    f=[fxfy]
    კონკრეტულად ეს ნიშნავს, რომ f ვექტორული ფუნქციაა.
  • თუ წარმოიდგინეთ f-ის არგუმენტის სივრცეში (x0,y0,) წერტილზე დგომას, f(x0,y0,) ვექტორი გვეუბნება, რა მიმართულებით უნდა იმოძრავოთ, რომ f-ის მნიშვნელობა ყველაზე სწრაფად გაიზარდოს.
  • ეს გრადიენტის ვექტორები, f(x0,y0,), ასევე მართობულია f-ის კონტურული ხაზების.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.