If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 2

გაკვეთილი 3: კერძო წარმოებული და გრადიენტი (სტატიები)
მათემატიკა
მრავალცვლადიანი კალკულუსი
მრავალცვლადიანი ფუნქციების წარმოებული
კერძო წარმოებული და გრადიენტი (სტატიები)
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

მიმართულების წარმოებულები (შესავალი)

Google–ის საკლასო ოთახი
როგორ იცვლება მრავალცვლადიანი ფუნქციის მნიშვნელობა, როცა მის არგუმენტს კონკრეტული მიმართულებით უბიძგებ?

ფონი

რის აგებას ვცდილობთ

  • თუ თქვენ გაქვთ რაიმე მრავალცვლადიანი ფუნქცია, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis და ფუნქციის არგუმენტის სივრცეში რაიმე ვექტორი, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, f-ის მიმართულებითი ვექტორი start bold text, v, end bold text, with, vector, on top-ს გასწვრივ გვეუბნება ტემპს, რომლითაც f შეიცვლება, როცა არგუმენტი მოძრაობს start bold text, v, end bold text, with, vector, on top სიჩქარის ვექტორით.
არგუმენტი შეცვალეთ start bold text, v, end bold text, with, vector, on top მიმართულებით
  • აქ ჩანაწერია del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f და იგი გამოითვლება f-ის გრადიენტისა და start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ვექტორის სკალარული ნამრავლით, ანუ, del, f, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
  • როცა დახრილობის გამოსათვლელად მიმართულებითი წარმოებული გამოიყენება, პირველ რიგში, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ვექტორის ნორმალიზება მოახდინეთ.

კერძო წარმოებულების განზოგადება

განიხილეთ რაიმე მრავალცვლადიანი ფუნქცია:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y
ჩვენ ვიცით, რომ კერძო წარმოებული x-ისა და y-ის მიმართ გვეუბნება f-ის ცვლილების ტემპს, როდესაც არგუმენტს წავანაცვლებთ x ან y მიმართულებით.
ახლა კითხვა იმაშია, რა მოხდება, როცა f-ის არგუმენტს წავანაცვლებთ იმ მიმართულებით, რომელიც x ან y ღერძის პარალელური არ არის.
მაგალითად, ქვემოთ მოცემული სურათი გვიჩვენებს f-ის გრაფიკს start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ვექტორის გასწვრივ პატარა ნაბიჯით არგუმენტის სივრცეში, რაც ამ შემთხვევაში x, y სიბრტყეა. არსებობს მოქმედება, რომელიც გვეუბნება, როგორ შეედრება გრაფიკის სიმაღლე start bold text, v, end bold text, with, vector, on top-ის წვეროს ზევით გრაფიკის სიმაღლეს ამ ვექტორის ბოლოს ზევით?
არგუმენტი შეცვალეთ start bold text, v, end bold text, with, vector, on top მიმართულებით
როგორც უკვე მიხვდებოდით, გვაქვს ახალი ტიპის წარმოებული, სახელად - მიმართულებითი წარმოებული, რომელიც ამ შეკითხვას პასუხობს.
როგორც კერძო წარმოებული იღება რაიმე არგუმენტი ცვლადის მიმართ—ანუ, x ან y—მიმართულებითი წარმოებული იღება რაიმე start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ვექტორის გასწვრივ არგუმენტის სივრცეში.
ამაზე ფიქრის ერთი გამოსადეგი გზაა არგუმენტის სივრცეში start bold text, v, end bold text, with, vector, on top სიჩქარით მოძრავი წერტილის გამოსახვა. f-ის მიმართულებითი წარმოებული start bold text, v, end bold text, with, vector, on top-ის გასწვრივ არის ფუნქციის მნიშვნელობის მიღებული ცვლილების სიჩქარე. ასე რომ, მაგალითად, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ვექტორის ორზე გამრავლება გააორმაგებდა მიმართულებითი წარმოებულის მნიშვნელობას, რადგან ყველა ცვლილება ორჯერ სწრაფად მოხდებოდა.

ჩანაწერი

ამ ერთი ცნებისთვის რამდენიმე ჩანაწერი გვაქვს:
  • del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f
  • start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end fraction
  • f, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, prime
  • D, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, f, end subscript
  • \partial, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f
ყველა მათგანი ერთ რამეს წარმოადგენს: f-ის ცვლილების სიჩქარე, როცა არგუმენტს წაანაცვლებთ start bold text, v, end bold text, with, vector, on top მიმართულებით. ჩვენ გამოვიყენებთ del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f ჩანაწერს, რადგან იგი დახვეწილად მიგვანიშნებს, თუ როგორ გამოვთვალოთ მიმართულებითი წარმოებული გრადიენტის გამოყენებით, რასაც მალე ნახავთ.

მაგალითი 1: start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top

სანამ del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f-ის გამოთვლის ზოგად წესზე გადავიდოდეთ, მოდით, შევხედოთ, როგორ შეგვიძლია კერძო წარმოებულის უფრო ცნობილი ჩანაწერი მიმართულებითი წარმოებულის გამოყენებით დავწეროთ.
მაგალითად, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction კერძო წარმოებული გვეუბნება ტემპს, რომლითაც f იცვლება, როცა არგუმენტს ვანაცვლებთ y მიმართულებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როცა მას ვანაცვლებთ start bold text, j, end bold text, with, hat, on top ვექტორის გასწვრივ. შესაბამისად, ჩვენ ტოლფასად შეგვიძლია, დავწეროთ კერძო წარმოებული y-ის მიმართ, როგორც - start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, equals, del, start subscript, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, end subscript, f.
ეს ყველაფერი მხოლოდ განსხვავებული ჩანაწერების მოსინჯვაა. უფრო მნიშვნელოვანია, ნათლად შეგვეძლოს იმის წარმოდგენა, თუ რას წარმოადგენს ეს ჩანაწერი.
შეკითხვა არეკვლაზე: დავუშვათ, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, რა არის ჩვენი საუკეთესო ვარიანტი del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f-ისთვის?

როგორ გამოვთვალოთ მიმართულებითი წარმოებული

დავუშვათ, თქვენ გაქვთ მრავალცვლადიანი f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, რომელიც იღებს სამ ცვლადს—x-ს, y-სა და z-ს—და მისი გამოთვლა გინდათ, როგორც - მისი მიმართულებითი წარმოებული შემდეგი ვექტორის გასწვრივ:
v⃗=[23−1] \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{2} \\ \redE{3} \\ \greenE{-1} \end{array} \right]
პასუხი, როგორც აღმოჩნდა, არის:
del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start color #bc2612, 3, end color #bc2612, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, plus, start color #0d923f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, end color #0d923f, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, z, end fraction
ეს ლოგიკური უნდა იყოს, რადგან მცირე წანაცვლება start bold text, v, end bold text, with, vector, on top-ს გასწვრივ შეიძლება, დაიშალოს, როგორც - start color #0c7f99, ო, რ, ი, end color #0c7f99 მცირე წანაცვლება x მიმართულებაში, start color #bc2612, ს, ა, მ, ი, end color #bc2612 მცირე წანაცვლება y მიმართულებაში და მცირე წანაცვლება უკან, start color #0d923f, minus, 1, end color #0d923f-ით, z მიმართულებაში. ამის შესახებ უფრო დეტალურ და სიღრმისეულ მსჯელობაზე გადავალთ მომდევნო სტატიაში.
უფრო ზოგადად, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ვექტორი უფრო აბსტრაქტულად შემდეგნაირად შეგვიძლია, ჩავწეროთ:
v⃗=[v1v2v3] \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\ \redE{v_2} \\ \greenE{v_3} \end{array} \right]
მიმართულებითი ვექტორი შემდეგნაირად გამოიყურება:
del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, plus, start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, z, end fraction
ანუ, მცირე წანაცვლება start bold text, v, end bold text, with, vector, on top მიმართულებაში შედგება start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99-ჯერ მცირე წანაცვლებით x მიმართულებაში, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612-ჯერ მცირე წანაცვლებით - y მიმართულებაში და start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f-ჯერ მცირე წანაცვლებით z მიმართულებაში.
ამის ჩაწერა ძალიან სასიამოვნო და კომპაქტური გზით შეიძლება სკალარული ნამრავლის გამოყენებით:
=∇v⃗f(x,y,z)=v1∂f∂x(x,y,z)+v2∂f∂y(x,y,z)+v3∂f∂z(x,y,z)=[∂f∂x(x,y,z)∂f∂y(x,y,z)∂f∂z(x,y,z)]⋅[v1v2v3]=∇f(x,y,z)⋅v⃗\begin{aligned} &\phantom{=}\nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(x, y, z) \\\\ &= \blueE{v_1} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) + \redE{v_2} \dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) + \greenE{v_3} \dfrac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) \\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) \\\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\\\ \redE{v_2} \\\\ \greenE{v_3} \end{array} \right] \\\\ &= \nabla f(x, y, z) \cdot \vec{\textbf{v}} \end{aligned}
del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript სწორედ ამიტომ გვაძლევს რჩევას, თუ როგორ გამოვთვალოთ მიმართულებითი წარმოებული:
∇v⃗f=∇f⋅v⃗\begin{aligned} \nabla_{\maroonD{\vec{\textbf{v}}}} f = \nabla f \cdot \maroonD{\vec{\textbf{v}}} \end{aligned}
დატკბით იმ ფაქტით, რომ მხოლოდ ერთი ოპერაცია, გრადიენტი ინახავს საკმარის ინფორმაციას, რომ გამოვთვალოთ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე ნებისმიერ შესაძლო მიმართულებაში! ეს ხომ ბევრი მიმართულებაა! მარცხნივ, მარჯვნივ, ზევით, ქვევით, ჩრდილო-ჩრდილო-აღმოსავლეთით, 34,8degrees საათის ისრის მიმართულებით x ღერძიდან... სიგიჟეა!

მაგალითი 2:

ამოცანა: შეხედეთ შემდეგ ფუნქციას.
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y,
რას უდრის f-ის მიმართულებითი წარმოებული left parenthesis, 2, comma, minus, 3, right parenthesis წერტილზე v⃗=0,6i^+0,8j^\begin{aligned} \vec{\textbf{v}} = \blueE{0{,}6} \hat{\textbf{i}} + \redE{0{,}8} \hat{\textbf{j}} \end{aligned} ვექტორის გასწვრივ?
ამოხსნა: მიმართულებით წარმოებულზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც კერძო წარმოებულების შეწონილ ჯამზე, როგორც ეს ქვემოთაა მოცემული:
∇v⃗f=0,6∂f∂x+0,8∂f∂y\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}}f = \blueE{0{,}6} \dfrac{\partial f}{\partial x} + \redE{0{,}8} \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{aligned}
ან მასზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც - გრადიენტზე სკალარულ ნამრავლზე:
∇v⃗f=∇f⋅v⃗\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}}f = \nabla f \cdot \vec{\textbf{v}} \end{aligned}
პირველი უფრო სწრაფია, მაგრამ სავარჯიშოდ ვნახოთ, როგორ იხსნება გრადიენტიანი ინტერპრეტაცია. ჩვენ ვიწყებთ თავად გრადიენტის გამოთვლით:
∇f=[∂f∂x∂f∂y]=[∂∂x(x2−xy)∂∂y(x2−xy)]=[2x−y−x] \nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\ \\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial }{\blueE{\partial x}} (\blueE{x}^2 - \blueE{x}y) \\ \\ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} (x^2 - x\redE{y}) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2\blueE{x} - y \\ -x \end{array} \right]
შემდეგ ჩასვით left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 2, comma, minus, 3, right parenthesis წერტილი, რადგან ამ წერტილის შესახებ გვეკითხებიან.
∇f(2,−3)=[2(2)−(−3)−(2)]=[7−2]\begin{aligned} \nabla f(2, -3) = \left[\begin{array}{c} 2(2) - (-3) \\\\ -(2) \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 7 \\\\ -2 \end{array} \right] \end{aligned}
რომ მივიღოთ სასურველი მიმართულებითი წარმოებული, ჩვენ ვიღებთ ამ გრადიენტისა და start bold text, v, end bold text-ის სკალარულ ნამრავლს:
∇v⃗f(2,−3)=∇f(2,−3)⋅(0,6i^+0,8j^)=[7−2]⋅[0,60,8]=7(0,6)+(−2)(0,8)=2,6\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(2, -3) &= \nabla f(2, -3) \cdot \left( \blueE{0{,}6} \hat{\textbf{i}} + \redE{0{,}8} \hat{\textbf{j}} \right) \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} 7 \\\\ -2 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} \blueE{0{,}6} \\\\ \redE{0{,}8} \end{array} \right] \\\\ &= 7(\blueE{0{,}6}) + (-2)(\redE{0{,}8}) \\\\ &= 2{,}6 \end{aligned}

დახრის გამოთვლა

როგორ იპოვით იმ გრაფიკის დახრილობას, რომელიც კვეთს სიბრტყეს, რომელიც არ არის არც x-ის და არც y-ის პარალელური?
გრაფიკი გაჭერით x-ისა და y-ის არაპარალელური მიმართულებით
შეგიძლიათ, გამოიყენოთ მიმართულებითი წარმოებული, მაგრამ ერთი მნიშვნელოვანი რამ უნდა დაიმახსოვროთ:
თუ სასურველი წარმოებული გამოიყენება დახრილობის გამოსათვლელად, ან start bold text, v, end bold text, with, vector, on top უნდა იყოს ერთეულოვანი ვექტორი, ან უნდა გახსოვდეთ ბოლოში vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar-ზე გაყოფა.
ზემოთ მოცემულ განმარტებასა და გამოთვლაში start bold text, v, end bold text, with, vector, on top-ის სიგრძის გაორმაგება გააორმაგებდა მიმართულებითი წარმოებულის მნიშვნელობას. გამოთვლების შემთხვევაში ეს ასეა, რადგან del, f, dot, left parenthesis, 2, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, del, f, dot, v, right parenthesis.
თუმცა, ეს შეიძლება, ყოველთვის ის არ იყოს, რაც გინდათ. მაგალითად, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top მიმართულებაში გრაფიკის დახრილობა დამოკიდებულია მხოლოდ start bold text, v, end bold text, with, vector, on top-ის მიმართულებაზე და არა vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar აბსოლუტურ სიდიდეზე. ვნახოთ, რატომ.
როგორ შეგვიძლია ამ დახრილობის წარმოდგენა? f-ის გრაფიკი გაჭერით ვერტიკალური სიბრტყით, რომელიც x, y სიბრტყეს ჭრის start bold text, v, end bold text, with, vector, on top მიმართულებით. საძიებელი დახრილობა არის მიღებული მრუდის მხები წრფის დახრილობა. როგორც ნებისმიერი დახრილობის შემთხვევაში, ვეძებთ აღმასვლისა და გარბენის ფარდობას.
დახრილობის გამოთვლა მიმართულებითი წარმოებულის გამოყენებით
ამ შემთხვევაში, გარბენი იქნება start bold text, v, end bold text, with, vector, on top მიმართულებაში პატარა წანაცვლების მანძილი. ასეთი წანაცვლება შეგვიძლია, გამოვსახოთ, როგორც - h, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top-ის დამატება არგუმენტის start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript წერტილზე, სადაც h ითვლება რამდენიმე პატრა რიცხვად. ამ წანაცვლების აბსოლუტური სიდიდეა h, vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar.
f-ის მნიშვნელობაში მიღებული შედეგი შეგვიძლია, მიახლოებით შევაფასოთ ამ პატარა h მნიშვნელობის გამრავლებით მიმართულებით წარმოებულზე:
h, del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
სინამდვილეში, მხები წრფის აღმასვლა—ფუნქციის გრაფიკისგან განსხვავებით— არის ზუსტად h, del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis ამ h, vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar-ის ტოლი გარბენის ზომის გამო. რომ გაეცნოთ ყველა დეტალს იმის შესახებ, თუ რატომაა ეს ჭეშმარიტი, მომდევნო სტატიაში ნახეთ მიმართულებითი წარმოებულის ფორმალური განსაზღვრება.
შესაბამისად ფუნქციის აღმასვლისა და გარბენის ფარდობა დახრილობა არის
h∇v⃗f(x0,y0)h∣∣v∣∣=∇v⃗f(x0,y0)∣∣v∣∣\begin{aligned} \quad \dfrac{h\nabla_{\vec{\textbf{v}}}f(x_0, y_0)}{h||v||} = \boxed{\dfrac{\nabla_{\vec{\textbf{v}}}f(x_0, y_0)}{||v||}} \end{aligned}
შენიშნეთ, თუ start bold text, v, end bold text, with, vector, on top არის ერთეულოვანი ვექტორი, ანუ, vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, equals, 1, მაშინ მიმართულებითი წარმოებული მართლაც გვაძლევს გრაფიკის დახრილობას ამ მიმართულებაზე. სხვაგვარად, მნიშვნელოვანია იმის დამახსოვრება, რომ გავყოთ start bold text, v, end bold text, with, vector, on top-ის აბსოლუტურ სიდიდეზე.
ზოგიერთ ავტორი უფრო შორს მიდის და del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f-ის განმარტებაში ნორმალიზებასაც რთავს.
მიმართულებითი წარმოებულის ალტერნატიული განმარტება:
∇v⃗f(x)=lim⁡h→0f(x+hv⃗)−f(x)h∣∣v⃗∣∣\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(\textbf{x}) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(\textbf{x} + h\vec{\textbf{v}}) - f(\textbf{x})}{h\blueE{||\vec{\textbf{v}}||}} \end{aligned}
პირადად ვფიქრობ, რომ ეს განმარტება ძალიან უსვამს ხაზს დახრილობის პოვნის კონკრეტულ შემთხვევას, ასე რომ, მირჩევნია თავდაპირებლი განმარტების გამოყენება და საჭიროების შემთხვევაში start bold text, v, end bold text, with, vector, on top-ს ნორმალიზება.

მაგალითი 3: დახრილობა

ამოცანა: ამოცანის ან ეტაპზე სამი მოთამაშეა.
მოთამაშე 1, ფუნქცია:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, sine, left parenthesis, x, y, right parenthesis
მოთამაშე 2, წერტილი:
left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, right parenthesis
მოთამაშე 3, ვექტორი:
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, 2, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 3, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top
ეს არის f-ის გრაფიკი დახრილობა left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis წერტილზე start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ვექტორის გასწვრივ?
კითხვა: რადგან ვეძებთ დახრილობას, ვექტორის ნორმალიზება უნდა მოვახდინოთ. vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar აბსოლუტური სიდიდე არის square root of, 2, squared, plus, 3, squared, end square root, equals, square root of, 13, end square root, ასე რომ, თითოეულ წევრს ვყოფთ square root of, 13, end square root-ზე, რომ შედეგად მივიღოთ start bold text, u, end bold text, with, hat, on top ერთეულოვანი ვექტორი start bold text, v, end bold text, with, vector, on top მიმართულებით:
ახლა იპოვეთ f-ის გრადიენტი:
ამ გრადიენტში ჩასვით left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, right parenthesis.
ბოლოს იპოვეთ start bold text, u, end bold text, with, hat, on top-სა და del, f, left parenthesis, pi, slash, 3, comma, 1, slash, 2, right parenthesis-ს სკალარული ნამრავლი:

შეჯამება

  • თუ თქვენ გაქვთ რაიმე მრავალცვლადიანი ფუნქცია, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis და ფუნქციის არგუმენტის სივრცეში რაიმე ვექტორი, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, f-ის მიმართულებითი ვექტორი start bold text, v, end bold text, with, vector, on top-ს გასწვრივ გვეუბნება ტემპს, რომლითაც f შეიცვლება, როცა არგუმენტი მოძრაობს start bold text, v, end bold text, with, vector, on top სიჩქარის ვექტორით.
  • აქ ჩანაწერია del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f და იგი გამოითვლება f-ის გრადიენტისა და start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ვექტორის სკალარული ნამრავლით, ანუ, del, f, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
  • როცა დახრილობის გამოსათვლელად მიმართულებითი წარმოებული გამოიყენება, პირველ რიგში, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top ვექტორის ნორმალიზება მოახდინეთ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.