ძირითადი მასალა
მრავალცვლადიანი კალკულუსი
კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 2
გაკვეთილი 3: კერძო წარმოებული და გრადიენტი (სტატიები)მიმართულების წარმოებულები (შესავალი)
როგორ იცვლება მრავალცვლადიანი ფუნქციის მნიშვნელობა, როცა მის არგუმენტს კონკრეტული მიმართულებით უბიძგებ?
რის აგებას ვცდილობთ
- თუ თქვენ გაქვთ რაიმე მრავალცვლადიანი ფუნქცია,
და ფუნქციის არგუმენტის სივრცეში რაიმე ვექტორი, , -ის მიმართულებითი ვექტორი -ს გასწვრივ გვეუბნება ტემპს, რომლითაც შეიცვლება, როცა არგუმენტი მოძრაობს სიჩქარის ვექტორით.
- აქ ჩანაწერია
და იგი გამოითვლება -ის გრადიენტისა და ვექტორის სკალარული ნამრავლით, ანუ, - როცა დახრილობის გამოსათვლელად მიმართულებითი წარმოებული გამოიყენება, პირველ რიგში,
ვექტორის ნორმალიზება მოახდინეთ.
კერძო წარმოებულების განზოგადება
განიხილეთ რაიმე მრავალცვლადიანი ფუნქცია:
ჩვენ ვიცით, რომ კერძო წარმოებული -ისა და -ის მიმართ გვეუბნება -ის ცვლილების ტემპს, როდესაც არგუმენტს წავანაცვლებთ ან მიმართულებით.
ახლა კითხვა იმაშია, რა მოხდება, როცა -ის არგუმენტს წავანაცვლებთ იმ მიმართულებით, რომელიც ან ღერძის პარალელური არ არის.
მაგალითად, ქვემოთ მოცემული სურათი გვიჩვენებს -ის გრაფიკს ვექტორის გასწვრივ პატარა ნაბიჯით არგუმენტის სივრცეში, რაც ამ შემთხვევაში სიბრტყეა. არსებობს მოქმედება, რომელიც გვეუბნება, როგორ შეედრება გრაფიკის სიმაღლე -ის წვეროს ზევით გრაფიკის სიმაღლეს ამ ვექტორის ბოლოს ზევით?
როგორც უკვე მიხვდებოდით, გვაქვს ახალი ტიპის წარმოებული, სახელად - მიმართულებითი წარმოებული, რომელიც ამ შეკითხვას პასუხობს.
როგორც კერძო წარმოებული იღება რაიმე არგუმენტი ცვლადის მიმართ—ანუ, ან —მიმართულებითი წარმოებული იღება რაიმე ვექტორის გასწვრივ არგუმენტის სივრცეში.
ამაზე ფიქრის ერთი გამოსადეგი გზაა არგუმენტის სივრცეში სიჩქარით მოძრავი წერტილის გამოსახვა. -ის მიმართულებითი წარმოებული -ის გასწვრივ არის ფუნქციის მნიშვნელობის მიღებული ცვლილების სიჩქარე. ასე რომ, მაგალითად, ვექტორის ორზე გამრავლება გააორმაგებდა მიმართულებითი წარმოებულის მნიშვნელობას, რადგან ყველა ცვლილება ორჯერ სწრაფად მოხდებოდა.
ჩანაწერი
ამ ერთი ცნებისთვის რამდენიმე ჩანაწერი გვაქვს:
ყველა მათგანი ერთ რამეს წარმოადგენს: -ის ცვლილების სიჩქარე, როცა არგუმენტს წაანაცვლებთ მიმართულებით. ჩვენ გამოვიყენებთ ჩანაწერს, რადგან იგი დახვეწილად მიგვანიშნებს, თუ როგორ გამოვთვალოთ მიმართულებითი წარმოებული გრადიენტის გამოყენებით, რასაც მალე ნახავთ.
მაგალითი 1:
სანამ -ის გამოთვლის ზოგად წესზე გადავიდოდეთ, მოდით, შევხედოთ, როგორ შეგვიძლია კერძო წარმოებულის უფრო ცნობილი ჩანაწერი მიმართულებითი წარმოებულის გამოყენებით დავწეროთ.
მაგალითად, კერძო წარმოებული გვეუბნება ტემპს, რომლითაც იცვლება, როცა არგუმენტს ვანაცვლებთ მიმართულებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როცა მას ვანაცვლებთ ვექტორის გასწვრივ. შესაბამისად, ჩვენ ტოლფასად შეგვიძლია, დავწეროთ კერძო წარმოებული -ის მიმართ, როგორც - .
ეს ყველაფერი მხოლოდ განსხვავებული ჩანაწერების მოსინჯვაა. უფრო მნიშვნელოვანია, ნათლად შეგვეძლოს იმის წარმოდგენა, თუ რას წარმოადგენს ეს ჩანაწერი.
შეკითხვა არეკვლაზე: დავუშვათ, , რა არის ჩვენი საუკეთესო ვარიანტი -ისთვის?
როგორ გამოვთვალოთ მიმართულებითი წარმოებული
დავუშვათ, თქვენ გაქვთ მრავალცვლადიანი , რომელიც იღებს სამ ცვლადს— -ს, -სა და -ს—და მისი გამოთვლა გინდათ, როგორც - მისი მიმართულებითი წარმოებული შემდეგი ვექტორის გასწვრივ:
პასუხი, როგორც აღმოჩნდა, არის:
ეს ლოგიკური უნდა იყოს, რადგან მცირე წანაცვლება -ს გასწვრივ შეიძლება, დაიშალოს, როგორც - მცირე წანაცვლება მიმართულებაში, მცირე წანაცვლება მიმართულებაში და მცირე წანაცვლება უკან, -ით, მიმართულებაში. ამის შესახებ უფრო დეტალურ და სიღრმისეულ მსჯელობაზე გადავალთ მომდევნო სტატიაში.
უფრო ზოგადად, ვექტორი უფრო აბსტრაქტულად შემდეგნაირად შეგვიძლია, ჩავწეროთ:
მიმართულებითი ვექტორი შემდეგნაირად გამოიყურება:
ანუ, მცირე წანაცვლება მიმართულებაში შედგება -ჯერ მცირე წანაცვლებით მიმართულებაში, -ჯერ მცირე წანაცვლებით - მიმართულებაში და -ჯერ მცირე წანაცვლებით მიმართულებაში.
ამის ჩაწერა ძალიან სასიამოვნო და კომპაქტური გზით შეიძლება სკალარული ნამრავლის გამოყენებით:
დატკბით იმ ფაქტით, რომ მხოლოდ ერთი ოპერაცია, გრადიენტი ინახავს საკმარის ინფორმაციას, რომ გამოვთვალოთ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე ნებისმიერ შესაძლო მიმართულებაში! ეს ხომ ბევრი მიმართულებაა! მარცხნივ, მარჯვნივ, ზევით, ქვევით, ჩრდილო-ჩრდილო-აღმოსავლეთით, 34,8 საათის ისრის მიმართულებით ღერძიდან... სიგიჟეა!
მაგალითი 2:
ამოცანა: შეხედეთ შემდეგ ფუნქციას.
რას უდრის -ის მიმართულებითი წარმოებული წერტილზე ვექტორის გასწვრივ?
ამოხსნა: მიმართულებით წარმოებულზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც კერძო წარმოებულების შეწონილ ჯამზე, როგორც ეს ქვემოთაა მოცემული:
ან მასზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც - გრადიენტზე სკალარულ ნამრავლზე:
პირველი უფრო სწრაფია, მაგრამ სავარჯიშოდ ვნახოთ, როგორ იხსნება გრადიენტიანი ინტერპრეტაცია. ჩვენ ვიწყებთ თავად გრადიენტის გამოთვლით:
შემდეგ ჩასვით წერტილი, რადგან ამ წერტილის შესახებ გვეკითხებიან.
რომ მივიღოთ სასურველი მიმართულებითი წარმოებული, ჩვენ ვიღებთ ამ გრადიენტისა და -ის სკალარულ ნამრავლს:
დახრის გამოთვლა
როგორ იპოვით იმ გრაფიკის დახრილობას, რომელიც კვეთს სიბრტყეს, რომელიც არ არის არც -ის და არც -ის პარალელური?
შეგიძლიათ, გამოიყენოთ მიმართულებითი წარმოებული, მაგრამ ერთი მნიშვნელოვანი რამ უნდა დაიმახსოვროთ:
თუ სასურველი წარმოებული გამოიყენება დახრილობის გამოსათვლელად, ან უნდა იყოს ერთეულოვანი ვექტორი, ან უნდა გახსოვდეთ ბოლოში -ზე გაყოფა.
ზემოთ მოცემულ განმარტებასა და გამოთვლაში -ის სიგრძის გაორმაგება გააორმაგებდა მიმართულებითი წარმოებულის მნიშვნელობას. გამოთვლების შემთხვევაში ეს ასეა, რადგან .
თუმცა, ეს შეიძლება, ყოველთვის ის არ იყოს, რაც გინდათ. მაგალითად, მიმართულებაში გრაფიკის დახრილობა დამოკიდებულია მხოლოდ -ის მიმართულებაზე და არა აბსოლუტურ სიდიდეზე. ვნახოთ, რატომ.
როგორ შეგვიძლია ამ დახრილობის წარმოდგენა? -ის გრაფიკი გაჭერით ვერტიკალური სიბრტყით, რომელიც სიბრტყეს ჭრის მიმართულებით. საძიებელი დახრილობა არის მიღებული მრუდის მხები წრფის დახრილობა. როგორც ნებისმიერი დახრილობის შემთხვევაში, ვეძებთ აღმასვლისა და გარბენის ფარდობას.
ამ შემთხვევაში, გარბენი იქნება მიმართულებაში პატარა წანაცვლების მანძილი. ასეთი წანაცვლება შეგვიძლია, გამოვსახოთ, როგორც - -ის დამატება არგუმენტის წერტილზე, სადაც ითვლება რამდენიმე პატრა რიცხვად. ამ წანაცვლების აბსოლუტური სიდიდეა .
სინამდვილეში, მხები წრფის აღმასვლა—ფუნქციის გრაფიკისგან განსხვავებით— არის ზუსტად ამ -ის ტოლი გარბენის ზომის გამო. რომ გაეცნოთ ყველა დეტალს იმის შესახებ, თუ რატომაა ეს ჭეშმარიტი, მომდევნო სტატიაში ნახეთ მიმართულებითი წარმოებულის ფორმალური განსაზღვრება.
შესაბამისად ფუნქციის აღმასვლისა და გარბენის ფარდობა დახრილობა არის
შენიშნეთ, თუ არის ერთეულოვანი ვექტორი, ანუ, , მაშინ მიმართულებითი წარმოებული მართლაც გვაძლევს გრაფიკის დახრილობას ამ მიმართულებაზე. სხვაგვარად, მნიშვნელოვანია იმის დამახსოვრება, რომ გავყოთ -ის აბსოლუტურ სიდიდეზე.
ზოგიერთ ავტორი უფრო შორს მიდის და -ის განმარტებაში ნორმალიზებასაც რთავს.
მიმართულებითი წარმოებულის ალტერნატიული განმარტება:
პირადად ვფიქრობ, რომ ეს განმარტება ძალიან უსვამს ხაზს დახრილობის პოვნის კონკრეტულ შემთხვევას, ასე რომ, მირჩევნია თავდაპირებლი განმარტების გამოყენება და საჭიროების შემთხვევაში -ს ნორმალიზება.
მაგალითი 3: დახრილობა
ამოცანა: ამოცანის ან ეტაპზე სამი მოთამაშეა.
მოთამაშე 1, ფუნქცია:
მოთამაშე 2, წერტილი:
მოთამაშე 3, ვექტორი:
ეს არის -ის გრაფიკი დახრილობა წერტილზე ვექტორის გასწვრივ?
კითხვა: რადგან ვეძებთ დახრილობას, ვექტორის ნორმალიზება უნდა მოვახდინოთ. აბსოლუტური სიდიდე არის , ასე რომ, თითოეულ წევრს ვყოფთ -ზე, რომ შედეგად მივიღოთ ერთეულოვანი ვექტორი მიმართულებით:
ახლა იპოვეთ -ის გრადიენტი:
ამ გრადიენტში ჩასვით .
ბოლოს იპოვეთ -სა და -ს სკალარული ნამრავლი:
შეჯამება
- თუ თქვენ გაქვთ რაიმე მრავალცვლადიანი ფუნქცია,
და ფუნქციის არგუმენტის სივრცეში რაიმე ვექტორი, , -ის მიმართულებითი ვექტორი -ს გასწვრივ გვეუბნება ტემპს, რომლითაც შეიცვლება, როცა არგუმენტი მოძრაობს სიჩქარის ვექტორით. - აქ ჩანაწერია
და იგი გამოითვლება -ის გრადიენტისა და ვექტორის სკალარული ნამრავლით, ანუ, . - როცა დახრილობის გამოსათვლელად მიმართულებითი წარმოებული გამოიყენება, პირველ რიგში,
ვექტორის ნორმალიზება მოახდინეთ.
გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?
პოსტები ჯერ არ არის.