If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 2

გაკვეთილი 3: კერძო წარმოებული და გრადიენტი (სტატიები)
მათემატიკა
მრავალცვლადიანი კალკულუსი
მრავალცვლადიანი ფუნქციების წარმოებული
კერძო წარმოებული და გრადიენტი (სტატიები)
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

მიმართულების წარმოებულები (შესავალი)

Google–ის საკლასო ოთახი
როგორ იცვლება მრავალცვლადიანი ფუნქციის მნიშვნელობა, როცა მის არგუმენტს კონკრეტული მიმართულებით უბიძგებ?

ფონი

რის აგებას ვცდილობთ

  • თუ თქვენ გაქვთ რაიმე მრავალცვლადიანი ფუნქცია, f(x,y) და ფუნქციის არგუმენტის სივრცეში რაიმე ვექტორი, v→, f-ის მიმართულებითი ვექტორი v→-ს გასწვრივ გვეუბნება ტემპს, რომლითაც f შეიცვლება, როცა არგუმენტი მოძრაობს v→ სიჩქარის ვექტორით.
არგუმენტი შეცვალეთ v→ მიმართულებით
  • აქ ჩანაწერია ∇v→f და იგი გამოითვლება f-ის გრადიენტისა და v→ ვექტორის სკალარული ნამრავლით, ანუ, ∇f⋅v→
  • როცა დახრილობის გამოსათვლელად მიმართულებითი წარმოებული გამოიყენება, პირველ რიგში, v→ ვექტორის ნორმალიზება მოახდინეთ.

კერძო წარმოებულების განზოგადება

განიხილეთ რაიმე მრავალცვლადიანი ფუნქცია:
f(x,y)=x2−xy
ჩვენ ვიცით, რომ კერძო წარმოებული x-ისა და y-ის მიმართ გვეუბნება f-ის ცვლილების ტემპს, როდესაც არგუმენტს წავანაცვლებთ x ან y მიმართულებით.
ახლა კითხვა იმაშია, რა მოხდება, როცა f-ის არგუმენტს წავანაცვლებთ იმ მიმართულებით, რომელიც x ან y ღერძის პარალელური არ არის.
მაგალითად, ქვემოთ მოცემული სურათი გვიჩვენებს f-ის გრაფიკს v→ ვექტორის გასწვრივ პატარა ნაბიჯით არგუმენტის სივრცეში, რაც ამ შემთხვევაში xy სიბრტყეა. არსებობს მოქმედება, რომელიც გვეუბნება, როგორ შეედრება გრაფიკის სიმაღლე v→-ის წვეროს ზევით გრაფიკის სიმაღლეს ამ ვექტორის ბოლოს ზევით?
არგუმენტი შეცვალეთ v→ მიმართულებით
როგორც უკვე მიხვდებოდით, გვაქვს ახალი ტიპის წარმოებული, სახელად - მიმართულებითი წარმოებული, რომელიც ამ შეკითხვას პასუხობს.
როგორც კერძო წარმოებული იღება რაიმე არგუმენტი ცვლადის მიმართ—ანუ, x ან y—მიმართულებითი წარმოებული იღება რაიმე v→ ვექტორის გასწვრივ არგუმენტის სივრცეში.
ამაზე ფიქრის ერთი გამოსადეგი გზაა არგუმენტის სივრცეში v→ სიჩქარით მოძრავი წერტილის გამოსახვა. f-ის მიმართულებითი წარმოებული v→-ის გასწვრივ არის ფუნქციის მნიშვნელობის მიღებული ცვლილების სიჩქარე. ასე რომ, მაგალითად, v→ ვექტორის ორზე გამრავლება გააორმაგებდა მიმართულებითი წარმოებულის მნიშვნელობას, რადგან ყველა ცვლილება ორჯერ სწრაფად მოხდებოდა.

ჩანაწერი

ამ ერთი ცნებისთვის რამდენიმე ჩანაწერი გვაქვს:
  • ∇v→f
  • ∂f∂v→
  • fv→′
  • Dv→f
  • ∂v→f
ყველა მათგანი ერთ რამეს წარმოადგენს: f-ის ცვლილების სიჩქარე, როცა არგუმენტს წაანაცვლებთ v→ მიმართულებით. ჩვენ გამოვიყენებთ ∇v→f ჩანაწერს, რადგან იგი დახვეწილად მიგვანიშნებს, თუ როგორ გამოვთვალოთ მიმართულებითი წარმოებული გრადიენტის გამოყენებით, რასაც მალე ნახავთ.

მაგალითი 1: v→=j^

სანამ ∇v→f-ის გამოთვლის ზოგად წესზე გადავიდოდეთ, მოდით, შევხედოთ, როგორ შეგვიძლია კერძო წარმოებულის უფრო ცნობილი ჩანაწერი მიმართულებითი წარმოებულის გამოყენებით დავწეროთ.
მაგალითად, ∂f∂y კერძო წარმოებული გვეუბნება ტემპს, რომლითაც f იცვლება, როცა არგუმენტს ვანაცვლებთ y მიმართულებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როცა მას ვანაცვლებთ j^ ვექტორის გასწვრივ. შესაბამისად, ჩვენ ტოლფასად შეგვიძლია, დავწეროთ კერძო წარმოებული y-ის მიმართ, როგორც - ∂f∂y=∇j^f.
ეს ყველაფერი მხოლოდ განსხვავებული ჩანაწერების მოსინჯვაა. უფრო მნიშვნელოვანია, ნათლად შეგვეძლოს იმის წარმოდგენა, თუ რას წარმოადგენს ეს ჩანაწერი.
შეკითხვა არეკვლაზე: დავუშვათ, v→=i^+j^, რა არის ჩვენი საუკეთესო ვარიანტი ∇v→f-ისთვის?

როგორ გამოვთვალოთ მიმართულებითი წარმოებული

დავუშვათ, თქვენ გაქვთ მრავალცვლადიანი f(x,y,z), რომელიც იღებს სამ ცვლადს—x-ს, y-სა და z-ს—და მისი გამოთვლა გინდათ, როგორც - მისი მიმართულებითი წარმოებული შემდეგი ვექტორის გასწვრივ:
v→=[23−1]
პასუხი, როგორც აღმოჩნდა, არის:
∇v→f=2∂f∂x+3∂f∂y+(−1)∂f∂z
ეს ლოგიკური უნდა იყოს, რადგან მცირე წანაცვლება v→-ს გასწვრივ შეიძლება, დაიშალოს, როგორც - ორი მცირე წანაცვლება x მიმართულებაში, სამი მცირე წანაცვლება y მიმართულებაში და მცირე წანაცვლება უკან, −1-ით, z მიმართულებაში. ამის შესახებ უფრო დეტალურ და სიღრმისეულ მსჯელობაზე გადავალთ მომდევნო სტატიაში.
უფრო ზოგადად, v→ ვექტორი უფრო აბსტრაქტულად შემდეგნაირად შეგვიძლია, ჩავწეროთ:
v→=[v1v2v3]
მიმართულებითი ვექტორი შემდეგნაირად გამოიყურება:
∇v→f=v1∂f∂x+v2∂f∂y+v3∂f∂z
ანუ, მცირე წანაცვლება v→ მიმართულებაში შედგება v1-ჯერ მცირე წანაცვლებით x მიმართულებაში, v2-ჯერ მცირე წანაცვლებით - y მიმართულებაში და v3-ჯერ მცირე წანაცვლებით z მიმართულებაში.
ამის ჩაწერა ძალიან სასიამოვნო და კომპაქტური გზით შეიძლება სკალარული ნამრავლის გამოყენებით:
=∇v→f(x,y,z)=v1∂f∂x(x,y,z)+v2∂f∂y(x,y,z)+v3∂f∂z(x,y,z)=[∂f∂x(x,y,z)∂f∂y(x,y,z)∂f∂z(x,y,z)]⋅[v1v2v3]=∇f(x,y,z)⋅v→
∇v→ სწორედ ამიტომ გვაძლევს რჩევას, თუ როგორ გამოვთვალოთ მიმართულებითი წარმოებული:
∇v→f=∇f⋅v→
დატკბით იმ ფაქტით, რომ მხოლოდ ერთი ოპერაცია, გრადიენტი ინახავს საკმარის ინფორმაციას, რომ გამოვთვალოთ ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე ნებისმიერ შესაძლო მიმართულებაში! ეს ხომ ბევრი მიმართულებაა! მარცხნივ, მარჯვნივ, ზევით, ქვევით, ჩრდილო-ჩრდილო-აღმოსავლეთით, 34,8∘ საათის ისრის მიმართულებით x ღერძიდან... სიგიჟეა!

მაგალითი 2:

ამოცანა: შეხედეთ შემდეგ ფუნქციას.
f(x,y)=x2−xy,
რას უდრის f-ის მიმართულებითი წარმოებული (2,−3) წერტილზე v→=0,6i^+0,8j^ ვექტორის გასწვრივ?
ამოხსნა: მიმართულებით წარმოებულზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც კერძო წარმოებულების შეწონილ ჯამზე, როგორც ეს ქვემოთაა მოცემული:
∇v→f=0,6∂f∂x+0,8∂f∂y
ან მასზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც - გრადიენტზე სკალარულ ნამრავლზე:
∇v→f=∇f⋅v→
პირველი უფრო სწრაფია, მაგრამ სავარჯიშოდ ვნახოთ, როგორ იხსნება გრადიენტიანი ინტერპრეტაცია. ჩვენ ვიწყებთ თავად გრადიენტის გამოთვლით:
∇f=[∂f∂x∂f∂y]=[∂∂x(x2−xy)∂∂y(x2−xy)]=[2x−y−x]
შემდეგ ჩასვით (x,y)=(2,−3) წერტილი, რადგან ამ წერტილის შესახებ გვეკითხებიან.
∇f(2,−3)=[2(2)−(−3)−(2)]=[7−2]
რომ მივიღოთ სასურველი მიმართულებითი წარმოებული, ჩვენ ვიღებთ ამ გრადიენტისა და v-ის სკალარულ ნამრავლს:
∇v→f(2,−3)=∇f(2,−3)⋅(0,6i^+0,8j^)=[7−2]⋅[0,60,8]=7(0,6)+(−2)(0,8)=2,6

დახრის გამოთვლა

როგორ იპოვით იმ გრაფიკის დახრილობას, რომელიც კვეთს სიბრტყეს, რომელიც არ არის არც x-ის და არც y-ის პარალელური?
გრაფიკი გაჭერით x-ისა და y-ის არაპარალელური მიმართულებით
შეგიძლიათ, გამოიყენოთ მიმართულებითი წარმოებული, მაგრამ ერთი მნიშვნელოვანი რამ უნდა დაიმახსოვროთ:
თუ სასურველი წარმოებული გამოიყენება დახრილობის გამოსათვლელად, ან v→ უნდა იყოს ერთეულოვანი ვექტორი, ან უნდა გახსოვდეთ ბოლოში ||v→||-ზე გაყოფა.
ზემოთ მოცემულ განმარტებასა და გამოთვლაში v→-ის სიგრძის გაორმაგება გააორმაგებდა მიმართულებითი წარმოებულის მნიშვნელობას. გამოთვლების შემთხვევაში ეს ასეა, რადგან ∇f⋅(2v→)=2(∇f⋅v).
თუმცა, ეს შეიძლება, ყოველთვის ის არ იყოს, რაც გინდათ. მაგალითად, v→ მიმართულებაში გრაფიკის დახრილობა დამოკიდებულია მხოლოდ v→-ის მიმართულებაზე და არა ||v→|| აბსოლუტურ სიდიდეზე. ვნახოთ, რატომ.
როგორ შეგვიძლია ამ დახრილობის წარმოდგენა? f-ის გრაფიკი გაჭერით ვერტიკალური სიბრტყით, რომელიც xy სიბრტყეს ჭრის v→ მიმართულებით. საძიებელი დახრილობა არის მიღებული მრუდის მხები წრფის დახრილობა. როგორც ნებისმიერი დახრილობის შემთხვევაში, ვეძებთ აღმასვლისა და გარბენის ფარდობას.
დახრილობის გამოთვლა მიმართულებითი წარმოებულის გამოყენებით
ამ შემთხვევაში, გარბენი იქნება v→ მიმართულებაში პატარა წანაცვლების მანძილი. ასეთი წანაცვლება შეგვიძლია, გამოვსახოთ, როგორც - hv→-ის დამატება არგუმენტის x0 წერტილზე, სადაც h ითვლება რამდენიმე პატრა რიცხვად. ამ წანაცვლების აბსოლუტური სიდიდეა h||v→||.
f-ის მნიშვნელობაში მიღებული შედეგი შეგვიძლია, მიახლოებით შევაფასოთ ამ პატარა h მნიშვნელობის გამრავლებით მიმართულებით წარმოებულზე:
h∇v→f(x0,y0)
სინამდვილეში, მხები წრფის აღმასვლა—ფუნქციის გრაფიკისგან განსხვავებით— არის ზუსტად h∇v→f(x0,y0) ამ h||v→||-ის ტოლი გარბენის ზომის გამო. რომ გაეცნოთ ყველა დეტალს იმის შესახებ, თუ რატომაა ეს ჭეშმარიტი, მომდევნო სტატიაში ნახეთ მიმართულებითი წარმოებულის ფორმალური განსაზღვრება.
შესაბამისად ფუნქციის აღმასვლისა და გარბენის ფარდობა დახრილობა არის
h∇v→f(x0,y0)h||v||=∇v→f(x0,y0)||v||
შენიშნეთ, თუ v→ არის ერთეულოვანი ვექტორი, ანუ, ||v→||=1, მაშინ მიმართულებითი წარმოებული მართლაც გვაძლევს გრაფიკის დახრილობას ამ მიმართულებაზე. სხვაგვარად, მნიშვნელოვანია იმის დამახსოვრება, რომ გავყოთ v→-ის აბსოლუტურ სიდიდეზე.
ზოგიერთ ავტორი უფრო შორს მიდის და ∇v→f-ის განმარტებაში ნორმალიზებასაც რთავს.
მიმართულებითი წარმოებულის ალტერნატიული განმარტება:
∇v→f(x)=limh→0f(x+hv→)−f(x)h||v→||
პირადად ვფიქრობ, რომ ეს განმარტება ძალიან უსვამს ხაზს დახრილობის პოვნის კონკრეტულ შემთხვევას, ასე რომ, მირჩევნია თავდაპირებლი განმარტების გამოყენება და საჭიროების შემთხვევაში v→-ს ნორმალიზება.

მაგალითი 3: დახრილობა

ამოცანა: ამოცანის ან ეტაპზე სამი მოთამაშეა.
მოთამაშე 1, ფუნქცია:
f(x,y)=sin⁡(xy)
მოთამაშე 2, წერტილი:
(x0,y0)=(π3,12)
მოთამაშე 3, ვექტორი:
v→=2i^+3j^
ეს არის f-ის გრაფიკი დახრილობა (x0,y0) წერტილზე v→ ვექტორის გასწვრივ?
კითხვა: რადგან ვეძებთ დახრილობას, ვექტორის ნორმალიზება უნდა მოვახდინოთ. ||v→|| აბსოლუტური სიდიდე არის 22+32=13, ასე რომ, თითოეულ წევრს ვყოფთ 13-ზე, რომ შედეგად მივიღოთ u^ ერთეულოვანი ვექტორი v→ მიმართულებით:
ახლა იპოვეთ f-ის გრადიენტი:
ამ გრადიენტში ჩასვით (x0,y0)=(π3,12).
ბოლოს იპოვეთ u^-სა და ∇f(π/3,1/2)-ს სკალარული ნამრავლი:

შეჯამება

  • თუ თქვენ გაქვთ რაიმე მრავალცვლადიანი ფუნქცია, f(x,y) და ფუნქციის არგუმენტის სივრცეში რაიმე ვექტორი, v→, f-ის მიმართულებითი ვექტორი v→-ს გასწვრივ გვეუბნება ტემპს, რომლითაც f შეიცვლება, როცა არგუმენტი მოძრაობს v→ სიჩქარის ვექტორით.
  • აქ ჩანაწერია ∇v→f და იგი გამოითვლება f-ის გრადიენტისა და v→ ვექტორის სკალარული ნამრავლით, ანუ, ∇f⋅v→.
  • როცა დახრილობის გამოსათვლელად მიმართულებითი წარმოებული გამოიყენება, პირველ რიგში, v→ ვექტორის ნორმალიზება მოახდინეთ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.