If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

მიმართულების წარმოებულები (ცოდნის გაღრმავება)

მიმართულებითი წარმოებულის ფორმულის უფრო საფუძვლიანი გამოკვლევა და ახსნა იმისა, თუ რატომ გვაძლევს გრადიენტი ყველაზე ციცაბო დახრილობის მიმართულებას.

პრერეკვიზიტები:

ეს სტატია განკუთვნილია მათთვის, ვისაც უნდა, უფრო სიღრმისეულად გაიგოს მიმართულებითი წარმოებული და მისი ფორმულა.

მიმართულებითი წარმოებულის ფორმალური განმარტება

რამდენიმე მიზეზია, რის გამოც შეიძლება, ფორმალური განმარტება გაინტერესებდეთ. ჯერ ერთი, ახალი ცნების ფორმალური განმარტების რეალურად გაგებამ შეიძლება, ნათელი გახადოს, თუ რა ხდება სინამდვილეში. მაგრამ, ჩემი აზრით, ამაზე უფრო მნიშვნელოვანი სარგებელი არის ის, რომ იგი გვაძლევს თავდაჯერებულობას, ამოვიცნოთ, როდის შეიძლება ასეთი კონცეფციის გამოყენება ან არგამოყენება.
მოდით, მოთელვისთვის მიმოვიხილოთ კერძო წარმოებულის ფორმალური განმარტება, ვთქვათ x-ის მიმართ:
fx(x0,y0)=limh0f(x0+h,y0)f(x0,y0)h
კავშირი fx-ის წაკითხვის არაფორმალურ გზასა და მარჯვენა მხარის - ფორმალური წაკითხვის გზას შორის შემდეგნაირია:
სიმბოლოარაფორმალური გაგებაფორმალური გაგება
xუმცირესი წანაცვლება x მიმართულებაში.ზღვრული h ცვლადი, რომელიც მიდის 0-მდე და დაემატება ფუნქციის არგუმენტის პირველ კომპონენტს.
fწანაცვლების შემდეგ f-ის მნიშვნელობაში მიღებული ცვლილება.სხვაობა f(x0+h,y0)-სა და f(x0,y0)-ს შორის, რომელიც აღებულია იმავე ზღვარში, რაშიც - h0.
ამის ნაცვლად ეს შეგვეძლო, დაგვეწერა ვექტორული ჩანაწერით, სადაც (x0,y0)-ს აღვიქვამთ ორგანზომილებიან ვექტორად
x0=[x0y0]
აქ x0 გამუქებულადაა ჩაწერილი, რომ ხაზი გაესვას მის ვექტორულობას. ცოტა დამაბნეველია გამუქებული x-ს გამოყენება მთელი არგუმენტისთვის რაიმე სხვა ასოს ნაცვლად, რადგან x ასო უკვე გამოყენებულია გაუმუქებული ფორმით არგუმენტის პირველი კომპონენტისთვის, მაგრამ ეს გავრცელებული შეთანხმებაა, ასე რომ, ასე ვიქცევით.
წანაცვლებული არგუმენტის (x0+h,y0) ფორმით ჩაწერის ნაცვლად მას ვწერთ x0+hi^ ფორმით, სადაც i^ არის ერთეულოვანი ვექტორი x მიმართულებაში:
fx(x0)=limh0f(x0+hi^)f(x0)h
ამ ჩანაწერში ბევრად ადვილია იმის დანახვა, თუ როგორ განვაზოგადოთ კერძო წარმოებული x-ის მიმართ ნებისმიერ v ვექტორზე მიმართულებით წარმოებულად:
vf(x0)=limh0f(x0+hv)f(x0)h
ამ შემთხვევაში, hv-ის დამატება არგუმენტზე ზღვრული h0 ცვლადისთვის ფორმალურს ხდის v-ის მიმართულებაში უმცირესი წანაცვლების იდეას.
მიმართულებითი წარმოებულის წანაცვლების ჩვენება

განმარტებასა და გამოთვლებს შორის კავშირის ძებნა

მიმართულებითი ვექტორის გამოთვლა გულისხმობს f გრადიენტისა და v ვექტორის სკალარულ ნამრავლს. მაგალითად, ორ განზომილებაში აი, როგორი იქნებოდა ეს:
vf(x,y)=fv=[fxfy][v1v2]=v1fx(x,y)+v2fy(x,y)
აქ v1 და v2 არის v-ის კომპონენტები.
v=[v1v2]
მთავარი შეკითხვაა, რა კავშირი აქვს ამ ფორმულას ზემოთ მოცემულ განმარტებასთან?

წანაცვლების ნაწილებად დაშლა

vf-ის გამოთვლები შეგვიძლია, აღვიქვათ, როგორც v მიმართულებაში უმცირესი ნაბიჯის დაშლა x და y კომპონენტებად.
hv ვექტორზე ნაბიჯის ნაწილებად დაშლა
კონკრეტულად, შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ შემდეგი პროცედურა:
  1. დაიწყეთ რაიმე (x0,y0) წერტილზე.
  2. აირჩიეთ უმცირესი h მნიშვნელობა.
  3. hv1 დაუმატეთ x0-ს, რაც ნიშნავს (x0+hv1,y0) წერტილამდე ნაბიჯის გადადგმას. იქედან გამომდინარე, რაც ვიცით კერძო წარმოებულების შესახებ, ეს შეცვლის ფუნქციის მნიშვნელობას დაახლოებით შემდეგი მნიშვნელობით:
hv1(fx(x0,y0))
  • ახლა hv2 დაუმატეთ y0=ს, რომ ავიდეთ/ჩამოვიდეთ (x0+hv1,y0+hv2) წერტილამდე. ახლა f-ის მიღებული ცვლილება არის დაახლოებით
hv2(fy(x0+hv1,y0))
მე-3 და მე-4 ნაბიჯების შეკრებით, ფუნქციის ჯამური ცვლილება (x0,y0) არგუმენტიდან (x0+hv1,y0+hv2) არგუმენტამდე გადასვლისას არის დაახლოებით
hv1(fx(x0,y0))+hv2(fy(x0+hv1,y0))
ეს ძალიან ახლოსა მიმართულებითი წარმოებულის გამოსახულებასთან, რომელიც ამბობს, რომ hv ნაბიჯით გამოწვეული f-ის ცვლილება უნდა იყოს დაახლოებით
=hvf(x0,y0)=hvf(x0,y0)=hv1fx(x0,y0)+hv2fy(x0,y0)
თუმცა, ეს ოდნავ განსხვავდება ჩვენი ნაბიჯ-ნაბიჯ არგუმენტის შედეგისგან, რომელშიც კერძო წარმოებული y-ის მიმართ აღებულია (x0+hv1,y0) წერტილზე და არა - (x0,y0) წერტილზე.
საბედნიეროდ, ჩვენ გავნიხილავთ h-ის ძალიან პატარა მნიშვნელობებს. სინამდვილეში, უფრო ტექნიკურად, ჩვენ უნდა ვსაუბრობდეთ ზღვარზე, როგორც h0-ზე. შესაბამისად, fy-ის გამოთვლა (x0+hv1,y0)-ზე თითქმის იგივე იქნება, რაც - მისი გამოთვლა (x0,y0)-ზე. გარდა ამისა, როცა h უახლოვდება 0-ს, იგივეს აკეთებს მათი სხვაობა, მაგრამ უნდა ჩავთვალოთ, რომ f უწყვეტია.

რატომ არის გრადიენტი მიმართული ყველაზე ციცაბო დახრილობისკენ?

მას შემდეგ, რაც ვისწავლეთ მიმართულებითი წარმოებულების შესახებ, შეგვიძლია, გავიგოთ, თუ რატომაა გრადიენტის მიმართულება ყველაზე ციცაბო დახრილობის მიმართულება.
ყველაზე ციცაბო დახრილობის ცნება.
კონკრეტულად, აქ გვაქვს მოცემული შეკითხვა.
პირობა:
  • დავუშვათ, f არის ისეთი სკალარული მრავალცვლადიანი ფუნქცია, რომ f(x,y)=x2+y2.
  • დავუშვათ, (x0,y0) იყოს არგუმენტის კონკრეტული წერტილი
  • განიხილეთ ყველა შესაძლო მიმართულება, ანუ, ყველა ერთეულოვანი u^ ვექტორი f-ის არგუმენტის სივრცეში.
შეკითხვა (არაფორმალური): თუ დავიწყებთ (x0,y0)-ზე, რომელ მიმართულებაზე უნდა ვიმოძრაოთ, რომ f-ის მნიშვნელობა ყველაზე სწრაფად იზრდებოდეს?
შეკითხვა (ფორმალური): რომელი ერთეულოვანი u^ ვექტორი ანიჭებს მაქსიმალურ მნიშვნელობას u^-ს გასწვრივ მიმართულებით წარმოებულს?
u^f(x0,y0)=u^f(x0,y0)გახადეთ ეს სიდიდე მაქსიმალური
სამკუთხედის ცნობილი უტოლობა გვეუბნება, რომ ეს მაქსიმალურ მნიშვნელობას მიიღებს f(x0,y0) მიმართულებაში ერთეულოვანი ვექტორით.
მაქსიმალური გახადეთ სკალარული ნამრავლი
ყურადღება მიაქციეთ, ის ფაქტი, რომ გრადიენტი მიმართულია ყველაზე ციცაბო დახრილობისკენ, არის იმ უფრო ფუნდამენტური ფაქტის შედეგი, რომ ყველა მიმართულებით წარმოებულს სჭირდება f-ზე სკალარული ნამრავლის აღება.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.