თუ თქვენ ხედავთ ამ შეტყობინებას, ესე იგი საიტზე გარე რესურსების ჩატვირთვისას მოხდა შეფერხება.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

ძირითადი მასალა

მეორე ხარისხის კერძო წარმოებულები

მეორე კერძო წარმოებულის მოკლე მიმოხილვა, შერეული კერძო წარმოებულების სიმეტრია და მაღალი რიგის კერძო წარმოებულები.

პრერეკვიზიტები:

მეორე რიგის წარმოებულის განზოგადება

განიხილეთ ორგანზომილებიანი არგუმენტის მქონე ფუნქცია, როგორიცაა
f(x,y)=x2y3.
მათ კერძო წარმოებულებს, fx-სა და fy-ს, იგივე ორგანზომილებიანი (x,y) არგუმენტი აქვთ:
fx=x(x2y3)=2xy3fy=y(x2y3)=3x2y2
შესაბამისად, შეგვიძლია, კერძო წარმოებულების კერძო წარმოებული ავიღოთ.
მათ ეწოდებათ მეორე რიგის კერძო წარმოებულები და მათი ჩანაწერი ერთცვლადიან კალკულუსში მეორე რიგის წარმოებულის d2fdx2 ჩანაწერის ანალოგიურია:
x(fx)=2fx2x(fy)=2fxyy(fx)=2fyxy(fy)=2fy2
fx-ის გამოყენებით კერძო წარმოებულისთვის (ამ შემთხვევაში x-ის მიმართ), შეიძლება, ისიც დაინახოთ, რომ ეს მეორე რიგის კერძო წარმოებულები იწერება შემდეგნაირად:
(fx)x=fxx(fy)x=fyx(fx)y=fxy(fy)y=fyy
მეორე რიგის კერძო წარმოებულებს, რომლებიც შეიცავენ სხვადასხვა განსხვავებულ ცვლად არგუმენტს, როგორიცაა fyx და fxy, ეწოდებათ „შერეული კერძო წარმოებულები

მაგალითი 1: სრული ხე

ამოცანა: იპოვეთ f(x,y)=sin(x)y2-ის მეორე რიგის კერძო წარმოებულები
ამოხსნა: ჯერ ვიპოვოთ ორივე კერძო წარმოებული:
x(sin(x)y2)=cos(x)y2y(sin(x)y2)=2sin(x)y
შემდეგ თითოეულისთვის დაწერეთ ორივე კერძო წარმოებული:
x(x(sin(x)y2))=x(cos(x)y2)=sin(x)y2x(y(sin(x)y2))=x(2sin(x)y)=2cos(x)yy(x(sin(x)y2))=y(cos(x)y2)=2cos(x)yy(y(sin(x)y2))=y(2sin(x)y)=2sin(x)
sin(x)y2xycos(x)y22sin(x)yxyxysin(x)y22cos(x)y2cos(x)yშერეული კერძო წარმოებულები იგივეა!2sin(x)

მეორე რიგის წარმოებულების სიმეტრია

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ზემოთ მოცემულ მაგალითში ორი შერეული კერძო წარმოებული, 2fxy და 2fyx, ერთნაირია. ეს დამთხვევა არ არის; ეს თითქმის ყველა ფუნქციაში გვხვდება, რომელსაც პრაქტიკაში ნახავთ. მაგალითისთვის შეხედეთ, თუ რა ხდება ზოგადი xnyk მრავალწევრისთვის:
x(y(xnyk))=x(kxnyk1)=nkxn1yk1y(x(xnyk))=y(nxn1yk)=nkxn1yk1
ტექნიკურად, მეორე რიგის წარმოებულების სიმეტრია ყოველთვის არ არის ჭეშმარიტი. გვაქვს თეორემა, რომელსაც უწოდებენ შვარცის ან კლეროს თეორემას, რომელიც ამბობს, რომ მეორე რიგის წარმოებულების სიმეტრიულობა ყოველთვის შესრულდება წერტილზე, თუ ამ წერტილის ირგვლივ კერძო წარმოებულები უწყვეტია. ამ ყველაფრის გასაგებად ძალიან სერიოზული ანალიზი გვჭირდება.
არ უნდა დაგავიწყდეთ რომ გამონაკლისები არსებობს, მაგრამ მეორე რიგის წარმოებულების სიმეტრიულობა გვხვდება თითქმის ყველა „ნორმალურ“ ფუნქციაში, რომელსაც შეხვდებით.

მაგალითი 2: უფრო მაღალი რიგის წარმოებულები

რატომ გავჩერდეთ მეორე რიგის კერძო წარმოებულებზე? ასევე შეგვიძლია, ავიღოთ, ვთქვათ, ხუთი კერძო წარმოებული სხვადასხვა არგუმენტი ცვლადების მიმართ.
მაგალითი: თუ f(x,y,z)=sin(xy)ex+z, რას უდრის fzyzyx?
ამოხსნა: fzyzyx ჩანაწერი ((((fz)y)z)y)x-ს შემოკლებული ფორმაა, ასე რომ, ჯერ ვაწარმოებთ z-ის მიმართ, შემდეგ - y-ის მიმართ, შემდეგ - z-ის მიმართ, შემდეგ - y-ის მიმართ და შემდეგ - x-ის მიმართ. ეს იგი, ვკითხულობთ მარცხნიდან მარჯვნივ.
უნდა აღინიშნოს, რომ სხვა ჩანაწერში რიგი განსხვავებულია:
xyzyfz=5fx5thy4thz3rdy2ndz1st
ასე რომ, გაწარმოების რიგი განისაზღვრება წევრების რიგით მნიშვნელში მარჯვნიდან მარცხნივ.
დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. ეს ერთ-ერთი ისეთი დავალებაა, რომლის დროსაც სრული მობილიზება გჭირდებათ, მაგრამ ჯერ სიმარტივისთვის გავაფერადოთ x,y,z ცვლადები, რომ ადვილად ვადევნოთ თვალი მათ მდებარეობას:
f(x,y,z)=sin(xy)ex+zfz(x,y,z)=fz(sin(xy)ex+z)=sin(xy)ex+zfzy(x,y,z)=fy(sin(xy)ex+z)=cos(xy)xex+zfzyz(x,y,z)=fz(cos(xy)xex+z)=cos(xy)xex+zfzyzy(x,y,z)=fy(cos(xy)xex+z)=sin(xy)x2ex+zfzyzyx(x,y,z)=fx(sin(xy)x2ex+z)=cos(xy)yx(sin(xy))x2ex+z=sin(xy)2xxx2ex+z=sin(xy)x2ex+zxex+z
ბოლო საფეხური იყენებს ნამრავლის გავრცობილ წესს,
=ddx(f(x)g(x)h(x))=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x)
ღმერთო! ეს დამღლელი მაგალითი იყო. მაგრამ თუ ყურადღებით მიჰყევით, მრავალი კერძო წარმოებულების ამოხსნა თქვენთვის პრობლემა არ უნდა იყოს. ეს ერთ-ერთი ისეთი რამეა, რაშიც ყველაფერზე მეტად ანგარშწარმოება გჭირდებათ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.