ძირითადი მასალა

მრავალცვლადიანი კალკულუსი

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 2

გაკვეთილი 3: კერძო წარმოებული და გრადიენტი (სტატიები)

მეორე ხარისხის კერძო წარმოებულები

Google–ის საკლასო ოთახი

მეორე კერძო წარმოებულის მოკლე მიმოხილვა, შერეული კერძო წარმოებულების სიმეტრია და მაღალი რიგის კერძო წარმოებულები.

პრერეკვიზიტები:

კერძო წარმოებულები

მეორე რიგის წარმოებულის განზოგადება

განიხილეთ ორგანზომილებიანი არგუმენტის მქონე ფუნქცია, როგორიცაა

f (x, y) = x^{2} y^{3}

მათ კერძო წარმოებულებს,

\frac{\partial f}{\partial x}

-სა და

\frac{\partial f}{\partial y}

-ს, იგივე ორგანზომილებიანი

(x, y)

არგუმენტი აქვთ:

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} y^{3}) = 2 x y^{3} \\ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} y^{3}) = 3 x^{2} y^{2} \end{aligned}

შესაბამისად, შეგვიძლია, კერძო წარმოებულების კერძო წარმოებული ავიღოთ.

მათ ეწოდებათ მეორე რიგის კერძო წარმოებულები და მათი ჩანაწერი ერთცვლადიან კალკულუსში მეორე რიგის წარმოებულის

\frac{d^{2} f}{d x^{2}}

ჩანაწერის ანალოგიურია:

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x}) & = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \\ \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) & = \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) & = \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial y}) & = \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{aligned}

f_{x}

-ის გამოყენებით კერძო წარმოებულისთვის (ამ შემთხვევაში

x

-ის მიმართ), შეიძლება, ისიც დაინახოთ, რომ ეს მეორე რიგის კერძო წარმოებულები იწერება შემდეგნაირად:

\begin{aligned} (f_{x})_{x} & = f_{x x} \\ (f_{y})_{x} & = f_{y x} \\ (f_{x})_{y} & = f_{x y} \\ (f_{y})_{y} & = f_{y y} \end{aligned}

მეორე რიგის კერძო წარმოებულებს, რომლებიც შეიცავენ სხვადასხვა განსხვავებულ ცვლად არგუმენტს, როგორიცაა

f_{y x}

და

f_{x y}

, ეწოდებათ „შერეული კერძო წარმოებულები“

მაგალითი 1: სრული ხე

ამოცანა: იპოვეთ

f (x, y) = \sin (x) y^{2}

-ის მეორე რიგის კერძო წარმოებულები

ამოხსნა: ჯერ ვიპოვოთ ორივე კერძო წარმოებული:

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (\sin (x) y^{2}) & = \cos (x) y^{2} \\ \frac{\partial}{\partial y} (\sin (x) y^{2}) & = 2 \sin (x) y \end{aligned}

შემდეგ თითოეულისთვის დაწერეთ ორივე კერძო წარმოებული:

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial}{\partial x} (\sin (x) y^{2})) & = \frac{\partial}{\partial x} (\cos (x) y^{2}) = - \sin (x) y^{2} \\ \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial}{\partial y} (\sin (x) y^{2})) & = \frac{\partial}{\partial x} (2 \sin (x) y) = 2 \cos (x) y \\ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial}{\partial x} (\sin (x) y^{2})) & = \frac{\partial}{\partial y} (\cos (x) y^{2}) = 2 \cos (x) y \\ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial}{\partial y} (\sin (x) y^{2})) & = \frac{\partial}{\partial y} (2 \sin (x) y) = 2 \sin (x) \end{aligned}

\begin{array}{ccccccc} \sin (x) y^{2} \\ \frac{\partial}{\partial x} ↙ ↘ \frac{\partial}{\partial y} \\ \cos (x) y^{2} 2 \sin (x) y \\ \frac{\partial}{\partial x} ↙ & ↘ \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial x} ↙ & ↘ \frac{\partial}{\partial y} \\ \sin (x) y^{2} & \underset{შერეული კერძო წარმოებულები იგივეა!}{\underset{⏟}{2 \cos (x) y 2 \cos (x) y}} & 2 \sin (x) \end{array}

მეორე რიგის წარმოებულების სიმეტრია

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ზემოთ მოცემულ მაგალითში ორი შერეული კერძო წარმოებული,

\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}

და

\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}

, ერთნაირია. ეს დამთხვევა არ არის; ეს თითქმის ყველა ფუნქციაში გვხვდება, რომელსაც პრაქტიკაში ნახავთ. მაგალითისთვის შეხედეთ, თუ რა ხდება ზოგადი

x^{n} y^{k}

მრავალწევრისთვის:

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial}{\partial y} (x^{n} y^{k})) & = \frac{\partial}{\partial x} (k x^{n} y^{k - 1}) = n k x^{n - 1} y^{k - 1} \\ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial}{\partial x} (x^{n} y^{k})) & = \frac{\partial}{\partial y} (n x^{n - 1} y^{k}) = n k x^{n - 1} y^{k - 1} \end{aligned}

ტექნიკურად, მეორე რიგის წარმოებულების სიმეტრია ყოველთვის არ არის ჭეშმარიტი. გვაქვს თეორემა, რომელსაც უწოდებენ შვარცის ან კლეროს თეორემას, რომელიც ამბობს, რომ მეორე რიგის წარმოებულების სიმეტრიულობა ყოველთვის შესრულდება წერტილზე, თუ ამ წერტილის ირგვლივ კერძო წარმოებულები უწყვეტია. ამ ყველაფრის გასაგებად ძალიან სერიოზული ანალიზი გვჭირდება.

არ უნდა დაგავიწყდეთ რომ გამონაკლისები არსებობს, მაგრამ მეორე რიგის წარმოებულების სიმეტრიულობა გვხვდება თითქმის ყველა „ნორმალურ“ ფუნქციაში, რომელსაც შეხვდებით.

[გამონაკლისის მაგალითი]

მაგალითი 2: უფრო მაღალი რიგის წარმოებულები

რატომ გავჩერდეთ მეორე რიგის კერძო წარმოებულებზე? ასევე შეგვიძლია, ავიღოთ, ვთქვათ, ხუთი კერძო წარმოებული სხვადასხვა არგუმენტი ცვლადების მიმართ.

მაგალითი: თუ

f (x, y, z) = \sin (x y) e^{x + z}

, რას უდრის

f_{z y z y x}

ამოხსნა:

f_{z y z y x}

ჩანაწერი

((((f_{z})_{y})_{z})_{y})_{x}

-ს შემოკლებული ფორმაა, ასე რომ, ჯერ ვაწარმოებთ

z

-ის მიმართ, შემდეგ -

y

-ის მიმართ, შემდეგ -

z

-ის მიმართ, შემდეგ -

y

-ის მიმართ და შემდეგ -

x

-ის მიმართ. ეს იგი, ვკითხულობთ მარცხნიდან მარჯვნივ.

უნდა აღინიშნოს, რომ სხვა ჩანაწერში რიგი განსხვავებულია:

\begin{array}{r} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial^{5} f}{\underset{5^{t h}}{\underset{⏟}{\partial x}} \underset{4^{t h}}{\underset{⏟}{\partial y}} \underset{3^{r d}}{\underset{⏟}{\partial z}} \underset{2^{n d}}{\underset{⏟}{\partial y}} \underset{1^{s t}}{\underset{⏟}{\partial z}}} \end{array}

ასე რომ, გაწარმოების რიგი განისაზღვრება წევრების რიგით მნიშვნელში მარჯვნიდან მარცხნივ.

დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. ეს ერთ-ერთი ისეთი დავალებაა, რომლის დროსაც სრული მობილიზება გჭირდებათ, მაგრამ ჯერ სიმარტივისთვის გავაფერადოთ

x, y, z

ცვლადები, რომ ადვილად ვადევნოთ თვალი მათ მდებარეობას:

\begin{aligned} f (x, y, z) & = \sin (x y) e^{x + z} \\ f_{z} (x, y, z) & = \frac{\partial f}{\partial z} (\sin (x y) e^{x + z}) \\ = \sin (x y) e^{x + z} \\ f_{z y} (x, y, z) & = \frac{\partial f}{\partial y} (\sin (x y) e^{x + z}) \\ = \cos (x y) x e^{x + z} \\ f_{z y z} (x, y, z) & = \frac{\partial f}{\partial z} (\cos (x y) x e^{x + z}) \\ = \cos (x y) x e^{x + z} \\ f_{z y z y} (x, y, z) & = \frac{\partial f}{\partial y} (\cos (x y) x e^{x + z}) \\ = - \sin (x y) x^{2} e^{x + z} \\ f_{z y z y x} (x, y, z) & = \frac{\partial f}{\partial x} (- \sin (x y) x^{2} e^{x + z}) \\ = \underset{\frac{\partial}{\partial x} (- \sin (x y))}{\underset{⏟}{- \cos (x y) y}} x^{2} e^{x + z} \\ - \sin (x y) \underset{\frac{\partial}{\partial x} x^{2}}{\underset{⏟}{2 x}} e^{x + z} \\ - \sin (x y) x^{2} \underset{\frac{\partial}{\partial x} e^{x + z}}{\underset{⏟}{e^{x + z}}} \end{aligned}

ბოლო საფეხური იყენებს ნამრავლის გავრცობილ წესს,

\begin{aligned} \frac{d}{d x} (f (x) g (x) h (x)) \\ = f^{'} (x) g (x) h (x) + f (x) g^{'} (x) h (x) + f (x) g (x) h^{'} (x) \end{aligned}

ღმერთო! ეს დამღლელი მაგალითი იყო. მაგრამ თუ ყურადღებით მიჰყევით, მრავალი კერძო წარმოებულების ამოხსნა თქვენთვის პრობლემა არ უნდა იყოს. ეს ერთ-ერთი ისეთი რამეა, რაშიც ყველაფერზე მეტად ანგარშწარმოება გჭირდებათ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.