გრადიენტი

რა უნდა იცოდეთ, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ:

• კერძო წარმოებულები
• ვექტორული ველები
• კონტურული რუკები—ამ გაკვეთილის მხოლოდ ერთი ნაწილისთვისაა აუცილებელი.

რის აგებას ვცდილობთ

• $f(x,y,\dots )$‍ სკალარული მრავალცვლადიანი ფუნქციის გრადიენტი, რომელიც იწერება $\mathrm{\nabla }f$‍-ით, მისი კერძო წარმოებულის ინფორმაციას ათავსებს ვექტორში:

  $\mathrm{\nabla }f=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}\\ \\ ⋮\end{array}\right]$‍

  კონკრეტულად ეს ნიშნავს, რომ $\mathrm{\nabla }f$‍ ვექტორული ფუნქციაა.
• თუ წარმოიდგინეთ $f$‍-ის არგუმენტის სივრცეში ($x_0,y_0,\dots$‍) წერტილზე დგომას, $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,\dots )$‍ ვექტორი გვეუბნება, რა მიმართულებით უნდა იმოძრავოთ, რომ $f$‍-ის მნიშვნელობა ყველაზე სწრაფად გაიზარდოს.
• ეს გრადიენტის ვექტორები—$\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,\dots )$‍—ასევე მართობულია $f$‍-ის კონტურული ხაზების.

განმარტება

მაგალითი 1: ორი განზომილება

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\left[\begin{array}{c}2x-x\\ x^2-y\end{array}\right]$‍

  A

  $\left[\begin{array}{c}2x-x\\ x^2-y\end{array}\right]$‍
• (Choice B)  

  $\left[\begin{array}{c}2x-y\\ -x\end{array}\right]$‍

  B

  $\left[\begin{array}{c}2x-y\\ -x\end{array}\right]$‍

შემოწმება

პასუხის ჩვენება.

$\begin{array}{r}\mathrm{\nabla }f(x,y)=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}(x^2-xy)\\ \frac{\partial }{\partial y}(x^2-xy)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2x-y\\ -x\end{array}\right]\end{array}$‍

მაგალითი 2: სამი განზომილება

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=\left[\begin{array}{c}1-y\\ -x\\ 2z\end{array}\right]$‍

  A

  $\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=\left[\begin{array}{c}1-y\\ -x\\ 2z\end{array}\right]$‍
• (Choice B)  

  $\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=\left[\begin{array}{c}1-y+z^2\\ x-x+z^2\\ x-xy+2z\end{array}\right]$‍

  B

  $\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=\left[\begin{array}{c}1-y+z^2\\ x-x+z^2\\ x-xy+2z\end{array}\right]$‍

შემოწმება

პასუხის ჩვენება.

$\begin{array}{r}\mathrm{\nabla }f(x,y,z)=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}(x-xy+z^2)\\ \frac{\partial }{\partial y}(x-xy+z^2)\\ \frac{\partial }{\partial z}(x-xy+z^2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1-y\\ -x\\ 2z\end{array}\right]\end{array}$‍

გრადიენტის ინტეპრეტირება

გრადიენტის შესახებ ყველაზე მნიშვნელოვანი, რაც უნდა დავიმახსოვროთ: $f$‍-ის გრადიენტი, რომელიც გამოითვლება $(x_0,y_0)$‍ არგუმენტზე, მიმართულია ყველაზე ციცაბო დახრილობისკენ.

მაგალითი 3: როგორ გამოიყურება ლოკალური მაქსიმუმი

გრადიენტი კონტურული ხაზების მართობულია

1. აირჩიეთ ნაბიჯის ფიქსირებული ზომა და იპოვეთ ისეთი მიმართულება, რომ ამ ნაბიჯის ზომა $f$‍-ს ყველაზე მეტად ზრდიდეს.

   როცა მოცემული გვაქვთ კონკრეტული წერტილიდან მუდმივი ზომის ნაბიჯები, გრადიენტია ის, რომელიც f-ს ყველაზე მეტად ზრდის.

2. აირჩიეთ $f$‍ ფიქსირებული ზრდა და იპოვეთ მიმართულება, რომლითაც უმოკლესი ნაბიჯია საჭირო $f$‍-ის ამ ოდენობით გასაზრდელად.

   როცა მოცემული გაქვთ ნაბიჯები, რომლებიც f-ს მოცემული ზომით ზრდის, გრადიენტის მიმართულება მათ შორის უმოკლესია.

დელტა ოპერატორი

შეჯამება

• $f(x,y,\dots )$‍ სკალარული მრავალცვლადიანი ფუნქციის გრადიენტი, რომელიც იწერება $\mathrm{\nabla }f$‍-ით, მისი კერძო წარმოებულის ინფორმაციას ათავსებს ვექტორში:

  $\mathrm{\nabla }f=\left[\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\\ \\ {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}\\ \\ ⋮\end{array}\right]$‍

  კონკრეტულად ეს ნიშნავს, რომ $\mathrm{\nabla }f$‍ ვექტორული ფუნქციაა.
• თუ წარმოიდგინეთ $f$‍-ის არგუმენტის სივრცეში $(x_0,y_0,\dots )$‍ წერტილზე დგომას, $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,\dots )$‍ ვექტორი გვეუბნება, რა მიმართულებით უნდა იმოძრავოთ, რომ $f$‍-ის მნიშვნელობა ყველაზე სწრაფად გაიზარდოს.
• ეს გრადიენტის ვექტორები, $\mathrm{\nabla }f(x_0,y_0,\dots )$‍, ასევე მართობულია $f$‍-ის კონტურული ხაზების.