ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 5: მრავალცვლადიანი ფუნქციების ვიზუალიზაცია (სტატიები)

პარამეტრული ფუნქციები, ერთი პარამეტრი

პარამეტრული ფუნქციები არის ერთგანზომილებიანი არგუმენტისა და მრავალგანზომილებიანი მნიშვნელობის მქონე ფუნქციების წარმოდგენის გზა.

ფონი

მრავალცვლადიანი ფუნქციები

პარამეტრული განტოლებების შესახებ ამ ვიდეოშიც შეგიძლიათ, ისწავლოთ. ამ სტატიის მიზანია, იგივე ცნება აღწეროს მრავალცვლადიანი ფუნქციების კონტექსტში.

რის აგებას ვცდილობთ

ფუნქციაზე, რომელსაც აქვს ერთგანზომილებიანი არგუმენტი და მრავალგანზომილებიანი მნიშვნელობა, შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც - სივრცეში მრუდის დახაზვაზე.
ასეთ ფუნქციას ეწოდება პარამეტრული ფუნქცია და მის არგუმენტს ეწოდება პარამეტრი.
ზოგჯერ მრავალცვლადიან კალკულუსში გჭირდებათ იმ პარამეტრული ფუნქციის პოვნა, რომელიც კონკრეტულ მრუდს შემოხაზავს. ამას ეწოდება ამ მრუდის პარამეტრიზაცია.

ვექტორული ფუნქციების ვიზუალიზაცია

ესე იგი, თქვენ ერთ დღეს სიამოვნებით კითხულობთ რაიმეს მათემატიკის შესახებ, როგორც ამას სხვებიც აკეთებენ და გადააწყდით ასეთ ფუნქციას:

$f (t) = [\begin{matrix} t \cdot \cos (2 π t) \\ t \cdot \sin (2 π t) \end{matrix}]$ ‍

მას როგორ გამოსახავდით?

იგი იღებს ერთ ცვლადს,

t

-ს და იძლევა ორგანზომილებიან ვექტორს. მაგალითად,

t = 1

არგუმენტისთვის ეს შემდეგნაირად გამოითვლება.

$f (1) = [\begin{matrix} 1 \cdot \cos (2 π \cdot 1) \\ 1 \cdot \sin (2 π \cdot 1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]$ ‍

ეს მნიშვნელობა არის

x

-ის მხარეს მიმართული

1

-ის ტოლი სიგრძის ვექტორი.

მაგრამ ყველა მნიშვნელობა ერთდროულად როგორ გამოვსახოთ?

ამის გაკეთების კარგი გზაა იმის წარმოდგენა, თუ რა მრუდს შემოწერს ამ ვექტორის წვერო, როცა

t

მოძრაობს რაღაც მნიშვნელობებს შორის. მაგალითად, შემდეგი ინტერაქტიული დიაგრამა გვანახებს, რა მრუდს შემოსახავს

f

-ის მნიშვნელობა, როცა

t

მოძრაობს

0

-დან

3

-მდე:

ამას ეწოდება პარამეტრული მრუდი. როცა გადაწყვეტთ ფუნქციის ამ გზით ინტერპრეტირებას, ამას ეწოდება პარამეტრული ფუნქცია და

t

არგუმენტს - პარამეტრი.

მხოლოდ მნიშვნელობათა სივრცეს შეხედეთ

ყურადღება მიაქციეთ, რომ გრაფიკებისგან, სადაც ვცდილობთ არგუმენტისა და მნიშვნელობის სივრცეების ერთდროულად გამოსახავას და კონტურული რუკებისგან, სადაც ვხაზავთ არგუმენტის სივრცეზე, განსხვავებით ფუნქციების პარამეტრულად ინტერპრეტირებისას მხოლოდ მნიშვნელობათა სივრცეს ვაკვირდებით. ეს იმიტომაა აზრიანი ზემოთ მოცემული მაგალითისთვის, რომ მნიშვნელობათა სივრცეს უფრო მეტი განზომილება აქვს, ვიდრე - არგუმენტების სივრცეს.

არგუმენტის ინფორმაცია იკარგება

მხოლოდ მნიშვნელობათა სივრცეში დახაზვისას პრობლემა ის არის, რომ მყისიერად არ არის ნათელი, რომელი არგუმენტები გადავიდა ჩვენ მიერ დახაზულ მნიშვნელობებში. მაგალითისთვის განიხილეთ შემდეგი ორი ფუნქცია:

$\begin{aligned} f (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t) \\ \sin (t) \end{array}] \\ g (t) & = [\begin{array}{c} \cos (t + π) \\ \sin (t + π) \end{array}] \end{aligned}$ ‍

თუ ამათ გამოვსახავთ პარამეტრული ფუნქციების სახით, სადაც

t

მოძრაობს

0

-დან

2 π

-მდე, თითოეული შემოხაზავს წრეს, რომლის ცენტრი სათავეზეა და რადიუსი -

1

-ია.

თუმცა ისინი განსხვავებული ფუნქციებია. მაგალითად, თითეული გამოთვალეთ

t = 0

-ზე.

თუ მოცემული გვაქვს, რომ

f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]

, რას უდრის

f (0)

თუ მოცემული გვაქვს, რომ

g (t) = [\begin{matrix} \cos (t + π) \\ \sin (t + π) \end{matrix}]

, რას უდრის

g (0)

ერთი გზა, რომ თვალი მივადევნოთ არგუმენტის დაკარგულ ინფორმაციას, არის რამდენიმე წერტილზე არგუმენტის მნიშვნელობის მიწერა

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍
წრის პირველი პარამეტრიზაცია

$g (t) = [\begin{matrix} \cos (t + π) \\ \sin (t + π) \end{matrix}]$ ‍
წრის მეორე პარამეტრიზაცია

სხვაგვარად შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ, როგორ შემოიხაზება მრუდი, როცა

t

მოძრაობს საწყისი მნიშვნელობიდან საბოლოომდე. ეს რელევანტურია, როცა ფუნქციამ უნდა გამოსახოს ნაწილაკის ტრაექტორია სივრცეში.

პარამეტრიზაცია

მრავალცვლადიან კალკულუსში და განსაკუთრებით თემაში, რომელსაც „წირითი ინტეგრება“ ეწოდება, გავრცელებულია მრუდით დაწყება და იმ პარამეტრული ფუნქციის ძებნა, რომელიც ამ მრუდს შემოხაზავს. ერთი მაგალითი, რომელიც ხშირად გვხვდება, არის ერთეულოვანი წრე, რომელიც გულისხმობს წრეს, რომლის რადიუსია

1

და ცენტრი სათავეზე მდებარეობს.

იმ პარამეტრული ფუნქციის პოვნას, რომელიც მრუდს აღწერს, ეწოდება ამ მრუდის პარამეტრიზაცია. წინა სექციაში გიჩვენეთ ორი განსხვავებული ფუნქცია, რომელიც ერთეულოვანი წრის პარამეტრიზაციას ახდენს. ამ სავარჯიშოში ყველაზე გავრცელებული, რომელსაც ხალხი იყენებს, ესაა:

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

შენიშვნა: როცა მრუდის პარამეტრიზაციას ახდენთ, არ არის საკმარისი მხოლოდ პარამეტრული ფუნქციის დასახელება, არამედ უნდა იპოვოთ არგუმენტების დიაპაზონიც, რომელიც ამ მრუდს შემოხაზავს. მაგალითად, ზემოთ მოცემული ერთეულოვანი წრის

f (t)

ფუნქციის გამოყენებით დახაზვისთვის შეგიძლიათ, რომ

t

მოაქციოთ

0

-დან

2 π

-მდე დიაპაზონნში.

მაგალითი: მარყუჟიანი მრუდის პარამეტრიზაცია

დავუშვათ, გინდათ ამ მარყუჟიანი კანონზომიერების პარამეტრიზაცია:

მრუდის პარამეტრიზაციისთვის ყოველთვის უნდა იფიქროთ მის დახაზვაზე. ამ შემთხვავში შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ მისი აგება წრის საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით შემოხაზვით, როცა ვიღაც თქვენს ხელს მარჯვნივ აწვება მუდმივი სიჩქარით. ამის ფორმულების გამოყენებით კოდირებისთვის ვიწყებთ წრის პარამეტრული ფუნქციით:

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

ამის დასაწყისი იქნებოდა

(1, 0)

წერტილზე და

1

-ის ტოლი რადიუსის მქონე წრის შემოხაზვით საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით. რადგან მარყუჟიანი მრუდი, რომლის პარამეტრიზაციასაც ვახდენთ, იწყება

(- 2, 0)

-ზე, ამ ფუნქციის გარდაქმნას ვიწყებთ

x

-ის მნიშვნელობის გადაადგილებით

- 3

-ით.

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) - 3 \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

დროთა განმავლობაში მარჯვნივ მიწოლა შეესაბამება თქვენი ხელის

x

-ის მნიშვნელობის მუდმივ ზრდას დროის მიმართ, რომელიც არ არის დაკავშირებული იმ მოძრაობასთან, რომელიც წრეზე მიდის. ამის კოდირებისთვის ფუნქციის

x

კომპონენტს დაუმატეთ რაიმე

c

მუდმივა

t

-ს ტოლი დროებისას.

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) - 3 + c t \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

იმის დასადგენად, თუ რა უნდა იყოს მუდმივა, უნდა ვიცოდეთ, რამდენად მარჯვნივ გადავიდა წერტილი სრული მარყუჟის შესრულებისას. ჩვენი მიმდინარე

f (t)

ფუნქცია ასრულებს ერთ მარყუჟს, როცა

t

მიდის

0

-დან

2 π

-მდე. მარყუჟიან მრუდზე შეხედვისას ჩანს, რომ ვაადგილებთ ზუსტად

1

-ით მარჯვნივ ერთი მარყუჟისას.

ეს იმას ნიშნავს, რომ

2 π c = 1

, შესაბამისად,

c = \frac{1}{2 π}

$f (t) = [\begin{matrix} \cos (t) - 3 + \frac{1}{2 π} t \\ \sin (t) \end{matrix}]$ ‍

ბოლოს

t

-ზე უნდა მოვათავსოთ ზღვრები. მოდით, ვნახოთ, რამდენ მარყუჟს შეიცავს მარყუჟიანი მრუდები:

როგორც ჩანს, მას აქვს

6

. რადგან ჩვენს მიერ არჩეული

f (t)

ფუნქცია ასრულებს ერთ მარყუჟს, როცა

t

იზრდება

2 π

-თი, მას საშუალება უნდა მივცეთ, იმოძრაოს

0

-დან

6 (2 π) = 12 π

-მდე.

შეჯამება

ფუნქციაზე, რომელსაც აქვს ერთგანზომილებიანი არგუმენტი და მრავალგანზომილებიანი მნიშვნელობა, შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც - სივრცეში მრუდის დახაზვაზე.
ასეთ ფუნქციას ეწოდება პარამეტრული ფუნქცია და მის არგუმენტს ეწოდება პარამეტრი.
ზოგჯერ მრავალცვლადიან კალკულუსში გჭირდებათ იმ პარამეტრული ფუნქციის პოვნა, რომელიც კონკრეტულ მრუდს შემოხაზავს. ამას ეწოდება ამ მრუდის პარამეტრიზაცია.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.