R-კვადრატის გააზრება

როცა პირველად ვისწავლეთ კორელაციის კოეფიციენტის, $r$‍-ის, შესახებ ჩვენ ყურადღება გავამახვილეთ იმაზე, რასაც ნიშნავს და არა მის გამოთვლაზე, რადგან გამოთვლები გრძელია.

იგივეს გავაკეთებთ $r^2$‍-ზე და ვკონცერტრირდებით იმაზე, თუ როგორ მოვახდინოთ იმის ინტერპრეტირება, თუ რას ნიშნავს.

თავისებურად, $r^2$‍ ზომავს, რამდენად გამოირიცხება პროგნოზის ცდომილება, როცა უმცირეს კვადრატთა რეგრესიას ვიყენებთ.

ჩვენ ვიყენებთ წრფივ რეგრესიას, რომ გავაკეთოთ $y$‍-ის პროგნოზი, როცა მოცემული გვაქვს $x$‍-ის რაიმე მნიშვნელობა. მაგრამ დავუშვათ, რომ უნდა გაგვეკეთებინა $y$‍ მნიშვნელობა შესაბამისი $x$‍ მნიშვნელობის გარეშე.

$x$‍ ცვლადზე რეგრესიის გამოყენების გარეშე ყველაზე მიზანშეწონილი შეფასება იქნებოდა, უბრალოდ, გაგვეკეთებინა $y$‍ მნიშვნელობების საშუალოს პროგნოზი.

აქ არის მაგალითი, სადაც პროგნოზის წრფე არის უბრალოდ $y$‍ მონაცემების საშუალო:

შენიშნეთ, რომ ეს წრფე მონაცემებს კარგად არ შეესაბამება. წრფის შესაბამისობის გაზომვის ერთი გზაა, გამოვთვალოთ ნაშთების კვადრატების ჯამი—ეს გვაძლევს ჯამურ წარმოდგენას იმის შესახებ, თუ ამ მოდელს რამდენი პროგნოზული ცდომილება აქვს.

ასე რომ, უმცირეს კვადრატთა რეგრესიის გარეშე კვადრატების ჯამია $\mathrm{41,187}9$‍

უმცირეს კვადრატთა რეგრესიის გამოყენება შეამცირებდა პროგნოზის ცდომილების ოდენობას? თუ ასეა, რამდენით? მოდით, ვნახოთ!

აქ არის იგივე მონაცემები შესაბამისი უმცირეს კვადრატთა რეგრესიის წრფით და დაჯამებული სტატისტიკით:

როგორც ჩანს, ეს წრფე მონაცემებს საკმაოდ კარგად შეესაბამება, მაგრამ იმის გასაზომად, თუ - რამდენად კარგად, შეგვიძლია, ისევ შევხედოთ ნაშთების კვადრატების ჯამს:

უმცირეს კვადრატთა რეგრესიის გამოყენებამ ნაშთების კვადრატების ჯამი შეამცირა $\mathrm{41,187}9$‍-დან $\mathrm{13,762}7$‍-მდე.

ასე რომ, უმცირეს კვადრატთა რეგრესიის გამოყენებამ გამორიცხა პროგნოზის ცდომილების გარკვეული ოდენობა. მაგრამ რამდენი?

რეგრესიის გარეშე ჩვენ მოდელს ჰქონდა კვადრატების $\mathrm{41,187}9$‍-ის ტოლი ჯამი. უმცირეს კვადრატთა რეგრესიის გამოყენებამ იგი $\mathrm{13,762}7$‍-მდე შეამცირა.

ასე რომ, ჯამური შემცირებაა $\mathrm{41,187}9-\mathrm{13,762}7=\mathrm{27,425}2$‍.

ეს შემცირება შეგვძლია, წარმოვადგინოთ, როგორც პროგნოზის ცდომილების თავდაპირველი ოდენობის პროცენტი:

თუ უკან დავათვალიერებთ, ვნახავთ, რომ $r^2=\mathrm{0,665}9$‍.

R-კვადრატი გვეუბნება, $y$‍ ცვლადში პროგნოზის ცდომილების რამდენი პროცენტი გამოირიცხება, როცა უმცირეს კვადრატთა რეგრესიას ვიყენებთ $x$‍ ცვლადზე.

ამის შედეგად, $r^2$‍-ს ასევე ეწოდება დეტერნიმაციის კოეფიციენტი.

ბევრი ფორმალური აღწერა ამბობს, რომ $r^2$‍ გვეუბნება, $y$‍ ცვლადის ვარიაციის რამდენი პროცენტი ითვლება $x$‍ ცვლადის რეგრესიით.

საოცარია, რომ $r$‍-ის უბრალოდ კვადრატში აყვანა გვაძლევს ამ ზომას. $r$‍-სა და $r^2$‍-ს შორის ამ დამოკიდებულების დამტკიცება საკმაოდ კომპლექსურია და იგი ცდება სტატისტიკის შესავალის კურსის ფარგლებს.