If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

სტოკსის თეორემის მაგალითები

ნახეთ, როგორ გამოიყენება სტოკსის თეორემა პრაქტიკაში.

ფორმულა (სწრაფი მიმოხილვა)

სტოქსის თეორემა არის ინსტრუმენტი, რომ ზედაპირის როტორი ვექტორული ველის ზედაპირის ინტეგრალი გარდავქმნათ ზედაპირის საზღვრის ირგვლივ წირით ინტეგრალში და პირიქით. კონკრეტულად, აი, რას ამბობს ეს:
SS არის ზედაპირი სამ განზომილებაში ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣(როტორიFn^)dΣზედაპირული ინტეგრალიროტორის ვექტორული ველი= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣CFdrწირითი ინტეგრალიზედაპირის ზღვრის გარშემო\displaystyle \overbrace{ \underbrace{ \iint_\redE{S} }_{\text{$\redE{S}$ არის ზედაპირი სამ განზომილებაში}} \!\!\!\!\!\!\!\!\! \big( \text{როტორი}\,\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \big) d\Sigma }^{\substack{ \text{ზედაპირული ინტეგრალი} \\ \text{როტორის ვექტორული ველი} }} = \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{წირითი ინტეგრალი} \\ \text{ზედაპირის ზღვრის გარშემო} }}
მოდით, თითოეულ წევრს მივყვეთ:
  • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis არის სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი.
  • start text, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ასევე იწერება del, times, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ფორმით. ეს არის start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის სამგანზომილებიანი როტორი, რომელიცაა ვექტორული ველი.
  • start color #bc2612, S, end color #bc2612 არის ზედაპირი სამ განზომილებაში.
  • start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f წარმოადგენს ფუნქციას, რომელიც იძლეევა start color #bc2612, S, end color #bc2612-ის ერთეულოვან ნორმალურ (მართობეულ) ვექტორებს.
  • start color #bc2612, C, end color #bc2612 არის start color #bc2612, S, end color #bc2612-ის საზღვარი.
  • start color #bc2612, C, end color #bc2612 მიმართულია მარჯვენა ხელის წესის გამოყენებით, რაც იმას ნიშნავს, რომ თუ მარჯვენა ხელის ცერა თითს მიმართავთ ერთეულოვანი ნორმალური start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f ვექტორისკენ start color #bc2612, S, end color #bc2612-ის საზღვართან ახლოს და თითებს შეკრავთ, მათი მიმართულება გვიჩვენებს იმ მიმართულებას, რომელზეც უნდა გააინტეგროთ start color #bc2612, C, end color #bc2612-ს ირგვლივ.

მაგალითი 1: ზედაპირის ინტეგრალიდან წირით ინტეგრალამდე


ამოცანა
დავუშვათ, start color #bc2612, S, end color #bc2612 იყოს იმ ერთეულოვანი სფეროს ნახევარი რომელიც x, y სიბრტყის ზევითაა, რომლის ცენტრი სათავეზეა და მიმართულია გარეთ მიმართული ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორების გასწვრივ. დავუშვათ, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis იყოს შემდეგნაირად განსაზღვრული ვექტორული ველი:
start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top
გამოთვალეთ შემდეგი ზედაპირის ინტეგრალი:
\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, dot, d, \Sigma

ამოხსნა
გახსოვდეთ, სტოქსის თეორემა ფუნქციის როტორის ზედაპირის ინტეგრალს უკავშირებს ამ ფუნქციის წირით ინტეგრალს ზედაპირის საზღვრის ირგვლივ. ეს ნიშნავს, რომ ორ რამეს გავაკეთებთ:
  • ნაბიჯი 1: ვიპოვით ფუნქციას, რომლის როტორია y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top ვექტორული ველი
  • ნაბიჯი 2: აიღეთ ამ ფუნქციის წირითი ინტეგრალი x, y სიბრტყეში ერთეულოვანი წრის ირგვლივ, რადგან ეს წრე არის ნახევარი სფეროს საზღვარი.
კონცეფციის შემოწმება: იპოვეთ start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis ვექტორული ველი, რომელიც შემდეგ თვისებას აკმაყოფილებს:
del, times, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, equals, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top
ამის გაკეთების რამდენიმე გზა არსებობს, მაგრამ ერთი კონკრეტული ყველაფერს გვიადვილებს. იმაში, რომელზეც ვფიქრობ, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top და start bold text, j, end bold text, with, hat, on top კომპონენტები 0-ის ტოლებია, ხოლო start bold text, k, end bold text, with, hat, on top კომპონენტი ნულისგან განსხვავებულია. შეგიძლიათ, ამის პოვნა?
start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, 0, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 0, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

start color #bc2612, S, end color #bc2612 ზედაპირი განისაზღვრება, როგორც - x, y სიბრტყის ზევით ერთეულოვანი სფეროს ნაწილი. ამ ნახევარსფეროს ზღვარი არის ერთეულოვანი წრე x, y სიბრტყეზე.
კონცეფციის შემოწმება: ორივე შემდგომი ერთეულოვანი წრის პარამეტრიზაციას ახდენს x, y სიბრტყეზე, მაგრამ თითოეულ მათგანს განსხვავებული ორიენტაციით. რომელი მათგანი შეესაბამება ნახევარსფეროს ორიენტაციას x, y სიბრტყის ზევით გარეთ მიმართული ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორებით? („შესაბამისობაში“ იგულისხმება, რომ სტოქსის თეორემის გამოყენება შეგვიძლია.)
აირჩიეთ 1 პასუხი:

კონცეფციის შემოწმება: დავუშვათ, start color #bc2612, C, end color #bc2612 წარმოადგენს start color #bc2612, S, end color #bc2612 ზედაპირის საზღვარს. გამოიყენეთ ახლა არჩეული start color #bc2612, C, end color #bc2612-ის პარამეტრიზაცია start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის განმარტებასთან ერთად, რომელიც წინა შეკითხვაში იპოვეთ და ამოხსენით შემდეგი წირითი ინტეგრალი.
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals

მაგალითი 2: პეპლის საჭერის ბადეში გამავალი ქარი


ამოცანა
დავუშვათ, თქვენ გაქვთ კვადრატის ფორმის ჩარჩოს მქონე პეპლის საჭერი და ბადეში უბერავს ქარი. წარმოიდგინეთ, რომ კვადრატული ჩარჩო y, z სიბრტყეზე ისეა მოთავსებული, რომ ოთხი კუთხე შემდეგ ოთხ წერტილზეა:
[011][011][011][011] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \qquad \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \qquad \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right] \qquad \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right]
გარდა ამისა, დავუშვათ, რომ ბადე არის რაიმე ზედაპირი, რომელიც მოდის ამ ჩარჩოდან დადებით x მიმართულებაში.
დავუშვათ, რომ ქარის სიჩქარის ვექტორული ველი მოცემულია შემდეგი ფუნქციით:
F=[y2z2x2] \\ \blueE{\textbf{F}} = \left[ \begin{array}{c} y^2 \\ z^2 \\ x^2 \end{array} \right]
იმის დაშვებით, რომ ჰაერს აქვს მუდმივი 1, start text, კ, გ, end text, slash, start text, მ, end text, cubed სიმკვრივე, რამდენი ჰაერი გადის თქვენს ბადეში ყოველ ერთეულ დროში? კონკრეტულად, დავუშვათ, რომ ბადის შიგნიდან ჰაერის გარეთ გამოსვლა ამ ჯამისთვის დადებითად ითვლება, ხოლო გარედან შიგნით შემავალი - უარყოფითად.

ნაბიჯი 1: შეკითხვის დაყოფა
სანამ სხვა რამეს გავაკეთებდეთ, ჩვენი ფიქრები უნდა ჩამოვაყალიბოთ და თავი მოვუყაროთ იმას, თუ ფიზიკასთან დაკავშირებული ამოცანა როგორაა სტოქსის თეორემის შეკითხვა.
კონცეფციის შემოწმება: სინამდვილეში რას გვეკითხებიან?
აირჩიეთ 1 პასუხი:

კონცეფციის შემოწმება: უფრო კონკრეტულად, შემდეგი ინტეგრალებიდან რომელი წარმოადგენს შეკითხვას? დავუშვათ, start color #bc2612, S, end color #bc2612 წერს პეპლის ბადის ზედაპირს, ხოლო start color #bc2612, C, end color #bc2612 არის y, z სიბრტყეზე მდებარე კვადრატული ჩარჩო.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

სინამდვილეში, ეს არის გზა, რომ ვექტორულ ველზე ზედაპირის ინტეგრალის ფიზიკური ინტერპრეტაცია შევძლოთ.
ნაბიჯი 2: სტოქსის თეორემის გამოყენება
ის, რამაც ამ ამოცანაში შეიძლება, უცნაურობის შეგრძნება შეგიქმნათ და მიგანიშნოთ, რომ სტოქსის თეორემა გვჭირდება, არის ის, რომ ბადის ზედაპირი არასდროსაა განსაზღვრული! მოცემული გვაქვს მხოლოდ ამ ზედაპირის საზღავრი: კონკრეტული კვადრატი y, z სიბრტყეში.
თუ შეგვიძლია, ვიპოვოთ გზა, რომ start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis გამოვსახოთ რაიმე სხვა ვექტორული ველის, ვთქვათ start bold text, G, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis-ის, როტორად, ამ ამოცანაში შემდეგნაირად შეგვეძლება სტოქსის თეორემის გამოყენება:
start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, dot, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, end underbrace, start subscript, start text, გ, ა, მ, ო, ს, ა, თ, ვ, ლ, ე, ლ, ი, space, ნ, ა, კ, ა, დ, ი, ს, space, ი, ნ, ტ, ე, გ, რ, ა, ლ, ი, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, del, times, start bold text, G, end bold text, right parenthesis, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, equals, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start bold text, G, end bold text, dot, d, start bold text, r, end bold text, end underbrace, start subscript, start text, ს, ტ, ო, ქ, ს, ი, ს, space, თ, ე, ო, რ, ე, მ, ა, end text, end subscript
ეს არის integral, f, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x ინტეგრალის გამოყენების ანალოგიური ერთცვლადიან კალკულუსში, სადაც უნდა იპოვოთ ახალი ფუნქცია g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis თვისებით, რაც საშუალებას გაძლევთ, რომ ინტეგრალი გამოთვალოთ საზღვრის მნიშვნელობების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვეძებთ start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის „ანტიროტორს“ (თუ ასე ვუწოდებთ), რაც საშუალებას გვაძლევს, გამოვთვალოთ ზედაპირის ინტეგრალი ზედაპირის საზღვარზე ამ ანტიროტორი ფუნქციის მნიშვნელობებზე დაყრდნობით.
ერთცვლადიანი კალკულუსისგან განსხვავებით, ყველა start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ვექტორულ ველს არ აქვს ასეთი ანტიროტორი ფუნქცია. ჩვენდა საბედნიეროდ, ეს კონკრეტული ფუნქცია იმ განსაკუთრებულებს შორისაა, რომელთაც აქვთ.
F=[y2z2x2] \blueE{\textbf{F}} = \left[ \begin{array}{c} y^2 \\ z^2 \\ x^2 \end{array} \right]
კონცეფციის შემოწმება: იპოვეთ start bold text, G, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis ვექტორული ველი, რომელიც აკმაყოფილებს del, times, start bold text, G, end bold text, equals, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 თვისებას.
start bold text, G, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals
start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus
start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

ნაბიჯი 3: გამოთვალეთ წირითი ინტეგრალი
start bold text, G, end bold text-ის მოცემული კონსტრუქციით, საბოლოო ნაბიჯია ძირითადი განტოლების მარჯვენა მხარის წირითი ინტეგრალის გამოთვლა:
start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, dot, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, end underbrace, start subscript, start text, გ, ა, მ, ო, ს, ა, თ, ვ, ლ, ე, ლ, ი, space, ნ, ა, კ, ა, დ, ი, ს, space, ი, ნ, ტ, ე, გ, რ, ა, ლ, ი, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, del, times, start bold text, G, end bold text, right parenthesis, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, equals, start overbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start bold text, G, end bold text, dot, d, start bold text, r, end bold text, end overbrace, start superscript, start text, ა, ხ, ლ, ა, space, ე, ს, space, ტ, ი, პ, ი, space, გ, ა, მ, ო, თ, ვ, ა, ლ, ე, თ, point, end text, end superscript, end underbrace, start subscript, start text, ს, ტ, ო, ქ, ს, ი, ს, space, თ, ე, ო, რ, ე, მ, ა, end text, end subscript
ამ კონტექსტში start color #bc2612, C, end color #bc2612 მრუდი წარმოადგენს 2, times, 2 კვადრატს y, z სიბრტყეში, რომლის წვეროები შემდეგ ოთხ წერტილზეა:
[011][011][011][011] \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \qquad \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right] \qquad \left[ \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right] \qquad \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right]
სანამ გამოვითვლიდეთ წირით ინტეგრალს კვადრატის ირგვლივ, იგი ისე უნდა ორიენტირდეს, რომ დაემთხვეს პეპლის ბადის ზედაპირის start color #bc2612, S, end color #bc2612 მიმართულებას.
კონცეფციის შემოწმება: თუ მოცემული გვაქვს, რომ პეპლის ბადე მდებარეობს start color #bc2612, C, end color #bc2612 კვადრატიდან დადებითი x მიმართულებით და ორიენტირებულია გარეთ მიმართული ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორებით, როგორ უნდა მიიმართოს start color #bc2612, C, end color #bc2612, რომ შეგვეძლოს სტოქსის თეორემის გამოყენება? ამ შეკითხვას უპასუხეთ დადებით x ღერძზე დგომისა და პირდაპირ start color #bc2612, C, end color #bc2612-ს მიმართულებით ყურების პერსპექტივიდან.
აირჩიეთ 1 პასუხი:

კონცეფციის შემოწმება: ჩვენი start bold text, G, end bold text-ის კონსტრუქცია შემდეგნაირად გამოიყურება
G=13[z3x3y3]\displaystyle \textbf{G} = \dfrac{1}{3} \left[ \begin{array}{c} z^3 \\ x^3 \\ y^3 \\ \end{array} \right]
ამაზე და ახლა დასახელებულ start color #bc2612, C, end color #bc2612 კვადრატის ორიენტაციაზე დაყრდნობით, დაასრულეთ ამოცანა შემდეგი წირითი ინტეგრალის ამოხსნით:
integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start bold text, G, end bold text, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals

შეჯამება

  • სტოქსის თეორემა შეგვიძლია, გამოვიყენოთ, რომ ვექტორულ ველში გამავალი ზედაპირის ინტეგრალები ვაქციოთ წირით ინტეგრებად.
  • ეს მხოლოდ მაშინ გამოდის, თუ თავდაპირველი ვექტორული ველის გამოსახვა შეგიძლიათ სხვა რაიმე ვექტორული ველის როტორის სახით.
  • დარწმუნდით, რომ ზედაპირის საზღვრის ორიენტაცია ემთხვევა თავად ზედაპირის ორიენტაციას.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.