სტოკსის თეორემის მაგალითები

ფონი

• სტოქსის თეორემა
• წირითი ინტეგრალები
• დინება 3D-ში
• როტორი

ფორმულა (სწრაფი მიმოხილვა)

• $\blueE{\textbf{F}}(x, y, z)$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis არის სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი.
• $\text{როტორი}\,\blueE{\textbf{F}}$start text, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ასევე იწერება $\nabla \times \blueE{\textbf{F}}$del, times, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ფორმით. ეს არის $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის სამგანზომილებიანი როტორი, რომელიცაა ვექტორული ველი.
• $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612 არის ზედაპირი სამ განზომილებაში.
• $\greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f წარმოადგენს ფუნქციას, რომელიც იძლეევა $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612-ის ერთეულოვან ნორმალურ (მართობეულ) ვექტორებს.
• $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 არის $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612-ის საზღვარი.
• $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 მიმართულია მარჯვენა ხელის წესის გამოყენებით, რაც იმას ნიშნავს, რომ თუ მარჯვენა ხელის ცერა თითს მიმართავთ ერთეულოვანი ნორმალური $\greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f ვექტორისკენ $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612-ის საზღვართან ახლოს და თითებს შეკრავთ, მათი მიმართულება გვიჩვენებს იმ მიმართულებას, რომელზეც უნდა გააინტეგროთ $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612-ს ირგვლივ.

მაგალითი 1: ზედაპირის ინტეგრალიდან წირით ინტეგრალამდე

• ნაბიჯი 1: ვიპოვით ფუნქციას, რომლის როტორია $y\hat{\textbf{i}}$y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top ვექტორული ველი
• ნაბიჯი 2: აიღეთ ამ ფუნქციის წირითი ინტეგრალი $xy$x, y სიბრტყეში ერთეულოვანი წრის ირგვლივ, რადგან ეს წრე არის ნახევარი სფეროს საზღვარი.

$\blueE{\textbf{F}}(x, y, z) = 0\,\hat{\textbf{i}} + 0\,\hat{\textbf{j}} +$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, 0, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 0, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus

$\hat{\textbf{k}}$start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

შემოწმება

[პასუხი]

[საიდან უნდა გცოდნოდათ, რომ ეს კონკრეტული ფუნქცია უნდა აგერჩიათ?]

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right]$, სადაც $0 \le t \le 2\pi$0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi

  A

  $\left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \sin(t) \\ 0 \end{array} \right]$, სადაც $0 \le t \le 2\pi$0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi
• (Choice B)  

  $\left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ -\sin(t) \\ 0 \end{array} \right]$, სადაც $0 \le t \le 2\pi$0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi

  B

  $\left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ -\sin(t) \\ 0 \end{array} \right]$, სადაც $0 \le t \le 2\pi$0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi

შემოწმება

[პასუხი]

$\displaystyle \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}}\cdot d\textbf{r} =$\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals

შემოწმება

[F როგორ განვსაზღვრეეთ?]

[პასუხი]

მაგალითი 2: პეპლის საჭერის ბადეში გამავალი ქარი

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის დინება პეპლის ბადის ზედაპირში.

  A

  $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის დინება პეპლის ბადის ზედაპირში.
• (Choice B)  

  $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის წირითი ინტეგრალი $yz$y, z სიბრტყეში დასახელებული კვადრატის ირგვლივ.

  B

  $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის წირითი ინტეგრალი $yz$y, z სიბრტყეში დასახელებული კვადრატის ირგვლივ.

შემოწმება

[პასუხი]

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  $\displaystyle \iint_\redE{S} (\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}) \,\redE{d\Sigma}$\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, სადაც $\greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f წარმოადგენს გარეთ მიმართულ ერთეულოვან ნორმალურ ვექტორს.

  A

  $\displaystyle \iint_\redE{S} (\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}) \,\redE{d\Sigma}$\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, სადაც $\greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f წარმოადგენს გარეთ მიმართულ ერთეულოვან ნორმალურ ვექტორს.
• (Choice B)  

  $\displaystyle \iint_\redE{S} (\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}) \,\redE{d\Sigma}$\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, სადაც $\greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f წარმოადგენს შიგნით მიმართულ ერთეულოვან ნორმალურ ვექტორს.

  B

  $\displaystyle \iint_\redE{S} (\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}) \,\redE{d\Sigma}$\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, სადაც $\greenE{\hat{\textbf{n}}}$start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f წარმოადგენს შიგნით მიმართულ ერთეულოვან ნორმალურ ვექტორს.
• (Choice C)  

  $\displaystyle \int_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}$integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, სადაც $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 ორიენტირებულია საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით.

  C

  $\displaystyle \int_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}$integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, სადაც $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 ორიენტირებულია საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით.
• (Choice D)  

  $\displaystyle \int_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}$integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, სადაც $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 ორიენტირებულია საათის ისრის მიმართულებით.

  D

  $\displaystyle \int_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}$integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, სადაც $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 ორიენტირებულია საათის ისრის მიმართულებით.

შემოწმება

[პასუხი]

$\textbf{G}(x, y, z) =$start bold text, G, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals

$\hat{\textbf{i}} +$start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus

$\hat{\textbf{j}} +$start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus

$\hat{\textbf{k}}$start bold text, k, end bold text, with, hat, on top

შემოწმება

[პასუხი]

აირჩიეთ 1 პასუხი:

აირჩიეთ 1 პასუხი:

• (Choice A)  

  საათის ისრის მიმართულებით

  A

  საათის ისრის მიმართულებით
• (Choice B)  

  საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგოდ

  B

  საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგოდ

შემოწმება

[პასუხი]

$\displaystyle \int_{\redE{C}} \textbf{G} \cdot d\textbf{r} =$integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start bold text, G, end bold text, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals

შემოწმება

[პასუხი]

შეჯამება

• სტოქსის თეორემა შეგვიძლია, გამოვიყენოთ, რომ ვექტორულ ველში გამავალი ზედაპირის ინტეგრალები ვაქციოთ წირით ინტეგრებად.
• ეს მხოლოდ მაშინ გამოდის, თუ თავდაპირველი ვექტორული ველის გამოსახვა შეგიძლიათ სხვა რაიმე ვექტორული ველის როტორის სახით.
• დარწმუნდით, რომ ზედაპირის საზღვრის ორიენტაცია ემთხვევა თავად ზედაპირის ორიენტაციას.