ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 5

გაკვეთილი 6: სტოკსის თეორემა (სტატიები)

სტოკსის თეორემის მაგალითები

ნახეთ, როგორ გამოიყენება სტოკსის თეორემა პრაქტიკაში.

ფონი

ფორმულა (სწრაფი მიმოხილვა)

სტოქსის თეორემა არის ინსტრუმენტი, რომ ზედაპირის როტორი ვექტორული ველის ზედაპირის ინტეგრალი გარდავქმნათ ზედაპირის საზღვრის ირგვლივ წირით ინტეგრალში და პირიქით. კონკრეტულად, აი, რას ამბობს ეს:

$\overset{\begin{matrix} ზედაპირული ინტეგრალი \\ როტორის ვექტორული ველი \end{matrix}}{\overset{⏞}{\underset{S არის ზედაპირი სამ განზომილებაში}{\underset{⏟}{\iint_{S}}} (როტორი F \cdot \hat{n}) d Σ}} = \underset{\begin{matrix} წირითი ინტეგრალი \\ ზედაპირის ზღვრის გარშემო \end{matrix}}{\underset{⏟}{\int_{C} F \cdot d r}}$ ‍

მოდით, თითოეულ წევრს მივყვეთ:

$F (x, y, z)$ ‍ არის სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი.
$როტორი F$ ‍ ასევე იწერება $\nabla \times F$ ‍ ფორმით. ეს არის $F$ ‍-ის სამგანზომილებიანი როტორი, რომელიცაა ვექტორული ველი.
$S$ ‍ არის ზედაპირი სამ განზომილებაში.
$\hat{n}$ ‍ წარმოადგენს ფუნქციას, რომელიც იძლეევა $S$ ‍-ის ერთეულოვან ნორმალურ (მართობეულ) ვექტორებს.
$C$ ‍ არის $S$ ‍-ის საზღვარი.
$C$ ‍ მიმართულია მარჯვენა ხელის წესის გამოყენებით, რაც იმას ნიშნავს, რომ თუ მარჯვენა ხელის ცერა თითს მიმართავთ ერთეულოვანი ნორმალური $\hat{n}$ ‍ ვექტორისკენ $S$ ‍-ის საზღვართან ახლოს და თითებს შეკრავთ, მათი მიმართულება გვიჩვენებს იმ მიმართულებას, რომელზეც უნდა გააინტეგროთ $C$ ‍-ს ირგვლივ.

მაგალითი 1: ზედაპირის ინტეგრალიდან წირით ინტეგრალამდე

ამოცანა

დავუშვათ,

S

იყოს იმ ერთეულოვანი სფეროს ნახევარი რომელიც

x y

სიბრტყის ზევითაა, რომლის ცენტრი სათავეზეა და მიმართულია გარეთ მიმართული ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორების გასწვრივ. დავუშვათ,

\vec{v} (x, y, z)

იყოს შემდეგნაირად განსაზღვრული ვექტორული ველი:

$\vec{v} (x, y, z) = y \hat{i}$ ‍

გამოთვალეთ შემდეგი ზედაპირის ინტეგრალი:

$\iint_{S} \vec{v} \cdot d Σ$ ‍

როდესაც ხალხი საუბრობს ვექტორული ველის ზედაპირის ინტეგრალის აღებაზე, ეს ყოველთვის ნიშნავს ამ ვექტორული ველის ერთეულოვან ნორმალურ ველთან სკალარულ ნამრავლს:

$\iint_{S} (\vec{v} \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍

ასე რომ, სინამდვილეში ეს არის სკალარული ფუნქციის ზედაპირის ინტეგრალი, მაგრამ სკალარული მნიშვნელობა მიიღება, როგორც - ორი ვექტორული ფუნქციის სკალარული ნამრავლი:

(\vec{v} \cdot \hat{n})

ეს ისეთი უნივერსალურია, რომ ხშირად თქმის გარეშეც იგულისხმება, რომ ერთეულოვანი ვექტორული ველი გვაქვს, ასე რომ, ხალხი

\hat{n}

-ს ტოვებს და შემდეგნაირად წერს:

$\iint_{S} \vec{v} \cdot d Σ$ ‍

ამოხსნა

გახსოვდეთ, სტოქსის თეორემა ფუნქციის როტორის ზედაპირის ინტეგრალს უკავშირებს ამ ფუნქციის წირით ინტეგრალს ზედაპირის საზღვრის ირგვლივ. ეს ნიშნავს, რომ ორ რამეს გავაკეთებთ:

ნაბიჯი 1: ვიპოვით ფუნქციას, რომლის როტორია $y \hat{i}$ ‍ ვექტორული ველი
ნაბიჯი 2: აიღეთ ამ ფუნქციის წირითი ინტეგრალი $x y$ ‍ სიბრტყეში ერთეულოვანი წრის ირგვლივ, რადგან ეს წრე არის ნახევარი სფეროს საზღვარი.

კონცეფციის შემოწმება: იპოვეთ

F (x, y, z)

ვექტორული ველი, რომელიც შემდეგ თვისებას აკმაყოფილებს:

$\nabla \times F = y \hat{i}$ ‍

ამის გაკეთების რამდენიმე გზა არსებობს, მაგრამ ერთი კონკრეტული ყველაფერს გვიადვილებს. იმაში, რომელზეც ვფიქრობ,

\hat{i}

და

\hat{j}

კომპონენტები

0

-ის ტოლებია, ხოლო

\hat{k}

კომპონენტი ნულისგან განსხვავებულია. შეგიძლიათ, ამის პოვნა?

$F (x, y, z) = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

პირველ რიგში დავწეროთ, როგორ გამოითვლება როტორი. დავუშვათ, $F_{1}$ ‍, $F_{2}$ ‍ და $F_{3}$ ‍ წარმოადგენს ჩვენი ვექტორული ფუნქციის კოორდინატ ფუნქციებს:
$F (x, y, z) = F_{1} (x, y, z) \hat{i} + F_{2} (x, y, z) \hat{j} + F_{3} (x, y, z) \hat{k}$ ‍
შემდეგ როტორი გამოითვლება შემდეგი დეტერმინანტის ხრიკით:
$\begin{aligned} | \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array} | \\ = (\frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial F_{1}}{\partial z} - \frac{\partial F_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{aligned}$ ‍
ჩვენ გვინდა, რომ მთელი ეს გამოსახულება უდრიდეს მარტივ $\vec{v} (x, y, z) = y \hat{i}$ ‍ ვექტორულ ველს. ეს ნიშნავს, რომ შემდეგი განტოლება გვჭირდება:
$\begin{array}{r} (\frac{\partial F_{3}}{\partial y} - \frac{\partial F_{2}}{\partial z}) = y \end{array}$ ‍
გვაქვს ბევრი $F_{2}$ ‍ და $F_{3}$ ‍ წყვილი ფუნქცია, რომლითაც ეს განტოლება გამოდის. იმის გათვალისწინებით, თუ როგორ ჩამოვაყალიბე ზემოთ მოცემული შეკითხვა, გვჭირდება, რომ $F_{2}$ ‍ უდრიდეს $0$ ‍-ს.
ეს იმას ნიშნავს, რომ $\frac{\partial F_{3}}{\partial y}$ ‍-მა უნდა მიხედოს მთელ განტოლებას. ამის გასაკეთებლად აიღეთ $y$ ‍-ის, მარჯვნივ მოცემული ფუნქციის, ანტიწარმოებული $y$ ‍ ცვლადის მიმართ:
$F_{3} (x, y, z) = \frac{1}{2} y^{2}$ ‍
როცა დანარჩენ ორ კომპონენტს გაუტოლებთ $0$ ‍-ს, შეგიძლიათ, შეამოწმოთ თავდაპირველი როტორი გამოსახულება, რათა ნახოთ, რომ $\nabla \times F = y \hat{i}$ ‍, როგორც ეს სასურველი იყო.

თუ მოცემული გაქვთ, რომ შეგიძლიათ, იპოვოთ ბევრი განსხვავბული ფუნქცია, რომელიც $\nabla \times F = y \hat{i}$ ‍ თვისებას აკმაყოფილებს, როგორ გეცოდინებოდათ, რომელი მათგანი აგერჩიათ?
დასაწყისისთვის ჩვენ გვინდა რაც შეიძლება მარტივი რამ, ასე რომ, თუ შეძლებთ ერთის გარდა ყველა კომპონენტის $0$ ‍-თან გატოლებას, ასეც მოიქეცით.
თუმცა პასუხის ახსნიდან ალბათ შენიშნეთ, რომ ასევე შეგვეძლო, აგვერჩია ფუნქცია, სადაც $F_{2}$ ‍ არ უდრის ნულს, ასე რომ, რატომ არ გამოვიყენეთ ის? მიუხედავად იმისა, რომ მეორე ფუნქციის გამოყენებაც შეიძლებოდა, როცა იმ ფაქტს განიხილავთ, რომ საბოლოოდ წირით გაინტეგრებას მოახდენთ $x y$ ‍ სიბრტყის ერთეულოვან წრეზე, მხოლოდ $\hat{k}$ ‍ კომპონენტის მქონე ფუნქცია კიდევ უფრო გაამარტივებს ყველაფერს.

S

ზედაპირი განისაზღვრება, როგორც -

x y

სიბრტყის ზევით ერთეულოვანი სფეროს ნაწილი. ამ ნახევარსფეროს ზღვარი არის ერთეულოვანი წრე

x y

სიბრტყეზე.

კონცეფციის შემოწმება: ორივე შემდგომი ერთეულოვანი წრის პარამეტრიზაციას ახდენს

x y

სიბრტყეზე, მაგრამ თითოეულ მათგანს განსხვავებული ორიენტაციით. რომელი მათგანი შეესაბამება ნახევარსფეროს ორიენტაციას

x y

სიბრტყის ზევით გარეთ მიმართული ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორებით? („შესაბამისობაში“ იგულისხმება, რომ სტოქსის თეორემის გამოყენება შეგვიძლია.)

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
$[\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{matrix}]$ ‍, სადაც $0 \leq t \leq 2 π$ ‍
(Choice B)
$[\begin{matrix} \cos (t) \\ - \sin (t) \\ 0 \end{matrix}]$ ‍, სადაც $0 \leq t \leq 2 π$ ‍

პირველი სავარაუდო პასუხი სწორია:
$[\begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \\ 0 \end{matrix}]$ ‍, სადაც $0 \leq t \leq 2 π$ ‍
ეს შეესაბამება წრის ორიენტაციას საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.
ზედაპირები ორიენტირებულია მათი ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორების არჩეული მიმართულებით და მრუდები ორიენტირებულია მათი მხები ვექტორების არჩეული მიმართულებით. სტოქსის თეორემა რომ გამოვიყენოთ, ზედაპირისა და მისი საზღვრის ორიენტაცია უნდა „შეესაბამებოდეს“ სწორად. აქ არის რამდენიმე განსხვავებული, მაგრამ ტოლფასი გზა, თუ როგორ უნდა გამოიყურებოდეს ეს შესაბამება:
თუ ზედაპირს ისე შეხედავთ, რომ ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორები თქვენი სახისკენ იქნება მიმართული, მრუდი უნდა იყოს მიმართული საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით.
მრუდის ორიენტაცია უნდა მიჰყვებოდეს მარჯვენა ხელის წესს იმ ლოგიკით, რომ თუ მარჯვენა ხელის ცერა თითს გაშლით ერთეულოვანი ზედაპირის საზღვართან ახლოს ნორმალური ვექტორის მიმართულებით და თითებს შეკრავთ, მათი მიმართულება მრუდზე უნდა შეესაბამებოდეს მის ორიენტაციას.
როცა საზღვარ მრუდზე ისე მოძრაობთ, რომ თქვენი სხეული მიმართული იყოს ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორის საწინააღმდეგოდ, ისე უნდა მოძრაობდეთ, რომ ზედაპირი იყოს თქვენს მარცხენა მხარეს.
თუ ამ ნებისმიერ სურათს გამოიყენებთ კონკრეტულ მაგალითზე, ნახავთ, რომ ერთეულოვანი წრის საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულობა „შეესაბამება“ ნახევარსფეროს გარეთ მიმართულ ერთეულოვან ნორმალურ ვექტორს.

კონცეფციის შემოწმება: დავუშვათ,

C

წარმოადგენს

S

ზედაპირის საზღვარს. გამოიყენეთ ახლა არჩეული

C

-ის პარამეტრიზაცია

F

-ის განმარტებასთან ერთად, რომელიც წინა შეკითხვაში იპოვეთ და ამოხსენით შემდეგი წირითი ინტეგრალი.

$\oint_{C} F \cdot d r =$ ‍

გამოთვლებში ჩაღრმავება არ გჭირდებათ მას შემდეგ, რაც იმაზე დაფიქრდებით, თუ რას ნიშნავს ეს ინტეგრალი. შეხედეთ $F (x, y, z)$ ‍-ს:
$F (x, y, z) = \frac{1}{2} y^{2} \hat{k}$ ‍
აღსანიშნავია, რომ მას აქვს მხოლოდ $\hat{k}$ ‍ კომპონენტი, ასე რომ, ყველა დანარჩენი ვექტორი $x y$ ‍ სიბრტყის მართობულია. რადგან $C$ ‍ მრუდი სრულიადაა მოთავსებული $x y$ ‍ სიბრტყეში, ყველა პატარა მხები $d r$ ‍ ვექტორი მოქცეული იქნება $x y$ ‍ სიბრტყეში. შესაბამისად, ინტეგრალში $F \cdot d r$ ‍ სკალარული ნამრავლი ყოველთვის იქნება $0$ ‍, ასე რომ, წირითი ინტეგრალი, როგორც - მთლიანი, არის $0$ ‍.
რა თქმა უნდა, ეს ფაქტი ამოცანაში უფრო ადრე, წრის პარამეტრიზაციამდეც, შეიძლება, ამოგეცნოთ, თუმცა მინდოდა, რომ გევარჯიშათ ზედაპირის საზღვრის თავად ზედაპირთან დაკავშირებაზე, რადგან აქ ადვილად შეგიძლიათ, დაუშვათ შეცდომა სტოქსის თეორმის ამოცანაში.

მაგალითი 2: პეპლის საჭერის ბადეში გამავალი ქარი

ამოცანა

დავუშვათ, თქვენ გაქვთ კვადრატის ფორმის ჩარჩოს მქონე პეპლის საჭერი და ბადეში უბერავს ქარი. წარმოიდგინეთ, რომ კვადრატული ჩარჩო

y z

სიბრტყეზე ისეა მოთავსებული, რომ ოთხი კუთხე შემდეგ ოთხ წერტილზეა:

$[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ ‍

გარდა ამისა, დავუშვათ, რომ ბადე არის რაიმე ზედაპირი, რომელიც მოდის ამ ჩარჩოდან დადებით

x

მიმართულებაში.

დავუშვათ, რომ ქარის სიჩქარის ვექტორული ველი მოცემულია შემდეგი ფუნქციით:

$\begin{aligned} F = [\begin{array}{c} y^{2} \\ z^{2} \\ x^{2} \end{array}] \end{aligned}$ ‍

იმის დაშვებით, რომ ჰაერს აქვს მუდმივი

1 კგ / მ^{3}

სიმკვრივე, რამდენი ჰაერი გადის თქვენს ბადეში ყოველ ერთეულ დროში? კონკრეტულად, დავუშვათ, რომ ბადის შიგნიდან ჰაერის გარეთ გამოსვლა ამ ჯამისთვის დადებითად ითვლება, ხოლო გარედან შიგნით შემავალი - უარყოფითად.

ნაბიჯი 1: შეკითხვის დაყოფა

სანამ სხვა რამეს გავაკეთებდეთ, ჩვენი ფიქრები უნდა ჩამოვაყალიბოთ და თავი მოვუყაროთ იმას, თუ ფიზიკასთან დაკავშირებული ამოცანა როგორაა სტოქსის თეორემის შეკითხვა.

კონცეფციის შემოწმება: სინამდვილეში რას გვეკითხებიან?

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
$F$ ‍-ის დინება პეპლის ბადის ზედაპირში.
(Choice B)
$F$ ‍-ის წირითი ინტეგრალი $y z$ ‍ სიბრტყეში დასახელებული კვადრატის ირგვლივ.

ეს არის დინების ამოცანა, რადგან ეს გვეკითხება, რამდენად გადის სითხე ზედაპირში ამ სითხის მოცემული სიჩქარის ვექტორით. თუ ეს არ გეცნობათ, ნახეთ სტატია სამგანზომილებიან ნაკადზე.

კონცეფციის შემოწმება: უფრო კონკრეტულად, შემდეგი ინტეგრალებიდან რომელი წარმოადგენს შეკითხვას? დავუშვათ,

S

წერს პეპლის ბადის ზედაპირს, ხოლო

C

არის

y z

სიბრტყეზე მდებარე კვადრატული ჩარჩო.

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
$\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍, სადაც $\hat{n}$ ‍ წარმოადგენს გარეთ მიმართულ ერთეულოვან ნორმალურ ვექტორს.
(Choice B)
$\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍, სადაც $\hat{n}$ ‍ წარმოადგენს შიგნით მიმართულ ერთეულოვან ნორმალურ ვექტორს.
(Choice C)
$\int_{C} F \cdot d r$ ‍, სადაც $C$ ‍ ორიენტირებულია საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით.
(Choice D)
$\int_{C} F \cdot d r$ ‍, სადაც $C$ ‍ ორიენტირებულია საათის ისრის მიმართულებით.

სიჩქარე, გამოხატული მოცულობა/წამით, რომლითაც ჰაერი გადის ბადეში, მოცემულია შემდეგი ნაკადის ინტეგრალით:
$\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) d Σ$ ‍
რადგან დაშვება ისაა, რომ ჰაერს აქვს უცვლელი $1 კგ / მ^{3}$ ‍ სიმკვრივე, ეს ასევე იძლევა ბადეში გამავალი ჰაერის მასას ერთეულოვან დროში.
იმისთვის, რომ დავაფიქსიროთ ის აზრი, რომ ჰაერი მიდის ბადის შიგნიდან გარეთ, ითვლება დადებით ნაკადად, ხოლო გარედან შიგნით შემავალი - უარყოფით ნაკადად, $\hat{n}$ ‍ ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორები უნდა იყოს გარეთ მიმართული. ამ გზით, $F \cdot \hat{n}$ ‍ სკალარული ნამრავლი იქნება დადებითი, როცა ჰაერი გარეთაა მიმართული და უარყოფითი, როცა - შიგნითაა.
თუ ეს არ გეცნობათ, შეგიძლიათ, მიმოიხილოთ სტატია სამ განზომილებაში.

სინამდვილეში, ეს არის გზა, რომ ვექტორულ ველზე ზედაპირის ინტეგრალის ფიზიკური ინტერპრეტაცია შევძლოთ.

ნაბიჯი 2: სტოქსის თეორემის გამოყენება

ის, რამაც ამ ამოცანაში შეიძლება, უცნაურობის შეგრძნება შეგიქმნათ და მიგანიშნოთ, რომ სტოქსის თეორემა გვჭირდება, არის ის, რომ ბადის ზედაპირი არასდროსაა განსაზღვრული! მოცემული გვაქვს მხოლოდ ამ ზედაპირის საზღავრი: კონკრეტული კვადრატი

y z

სიბრტყეში.

თუ შეგვიძლია, ვიპოვოთ გზა, რომ

F (x, y, z)

გამოვსახოთ რაიმე სხვა ვექტორული ველის, ვთქვათ

G (x, y, z)

-ის, როტორად, ამ ამოცანაში შემდეგნაირად შეგვეძლება სტოქსის თეორემის გამოყენება:

$\underset{გამოსათვლელი ნაკადის ინტეგრალი}{\underset{⏟}{\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) \cdot d Σ}} = \underset{სტოქსის თეორემა}{\underset{⏟}{\iint_{S} (\nabla \times G) \cdot \hat{n} d Σ = \int_{C} G \cdot d r}}$ ‍

ეს არის

\int f (x) d x

ინტეგრალის გამოყენების ანალოგიური ერთცვლადიან კალკულუსში, სადაც უნდა იპოვოთ ახალი ფუნქცია

g^{'} (x) = f (x)

თვისებით, რაც საშუალებას გაძლევთ, რომ ინტეგრალი გამოთვალოთ საზღვრის მნიშვნელობების გამოყენებით. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვეძებთ

F

-ის „ანტიროტორს“ (თუ ასე ვუწოდებთ), რაც საშუალებას გვაძლევს, გამოვთვალოთ ზედაპირის ინტეგრალი ზედაპირის საზღვარზე ამ ანტიროტორი ფუნქციის მნიშვნელობებზე დაყრდნობით.

ერთცვლადიანი კალკულუსისგან განსხვავებით, ყველა

F

ვექტორულ ველს არ აქვს ასეთი ანტიროტორი ფუნქცია. ჩვენდა საბედნიეროდ, ეს კონკრეტული ფუნქცია იმ განსაკუთრებულებს შორისაა, რომელთაც აქვთ.

$F = [\begin{matrix} y^{2} \\ z^{2} \\ x^{2} \end{matrix}]$ ‍

კონცეფციის შემოწმება: იპოვეთ

G (x, y, z)

ვექტორული ველი, რომელიც აკმაყოფილებს

\nabla \times G = F

თვისებას.

$G (x, y, z) =$ ‍
$\hat{i} +$ ‍
$\hat{j} +$ ‍
$\hat{k}$ ‍

დავუშვათ, $G_{1}$ ‍, $G_{2}$ ‍ და $G_{3}$ ‍ იყოს $G$ ‍-ის კომპონენტი ფუნქცია:
$G (x, y, z) = G_{1} (x, y, z) \hat{i} + G_{2} (x, y, z) \hat{j} + G_{3} (x, y, z) \hat{k}$ ‍
შემდეგ უბრალოდ დაწერეთ როტორის განმარტება:
$\begin{aligned} | \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ G_{1} & G_{2} & G_{3} \end{array} | \\ = (\frac{\partial G_{3}}{\partial y} - \frac{\partial G_{2}}{\partial z}) \hat{i} + (\frac{\partial G_{1}}{\partial z} - \frac{\partial G_{3}}{\partial x}) \hat{j} + (\frac{\partial G_{2}}{\partial x} - \frac{\partial G_{1}}{\partial y}) \hat{k} \end{aligned}$ ‍
$F$ ‍-ის განმარტების შემოტანით ეს ნიშნავს, რომ სასურველი $\nabla \times G = F$ ‍ თვისება იშლება შემდეგ სამ განტოლებად:
$\begin{aligned} \frac{\partial G_{3}}{\partial y} - \frac{\partial G_{2}}{\partial z} & = y^{2} \\ \frac{\partial G_{1}}{\partial z} - \frac{\partial G_{3}}{\partial x} & = z^{2} \\ \frac{\partial G_{2}}{\partial x} - \frac{\partial G_{1}}{\partial y} & = x^{2} \end{aligned}$ ‍
ამის ამოხსნა თავსატეხის გადაჭრას ჰგავს. რაიმეს ცდით, თუ არ გამოდგება - გადააკეთებთ, და ამავდროულად ცდილობთ, ყველაფერში სიმარტივე შეინარჩუნოთ. ცოტა თამაშის შემდეგ შეიძლება, დაადგინოთ, რომ უმარტივესი სტრატეგია შემდეგნაირია: დავუშვათ, $G_{3}$ ‍ აგვარებს მთელ პირველ განტოლებას, $G_{1}$ ‍ - მთლიან მეორე განტოლებას და $G_{2}$ ‍ - ბოლო განტოლებას. კონკრეტულად:
$\begin{aligned} G_{3} & = \frac{1}{3} y^{3} \\ G_{1} & = \frac{1}{3} z^{3} \\ G_{2} & = \frac{1}{3} x^{3} \end{aligned}$ ‍
ან შეკითხვაში მოთხოვნილი ფორმატით შემდეგნაირად იწერება:
$G (x, y, z) = \frac{1}{3} z^{3} \hat{i} + \frac{1}{3} x^{3} \hat{j} + \frac{1}{3} y^{3} \hat{k}$ ‍
ამ მაგალითში გარკვეულწილად გაგვიმართლა, რადგან საკმარისი სიმეტრია გვქონდა, რომ რაღაცები არ გართულდა. ზოგადად, განტოლებები, რომლებიც გამოსახულია ფუნქციის კერძო წარმოებულებით, ძალიან ძნელი ამოსახსნელია. ისეთი რთული, რომ ერთ-ერთი მათგანის ამოხსნაზე მილიონდოლარიანი პრიზია. ასეთი სახის განტოლებების შესწავლას ეწოდება „კერძო დიფერენციალური განტოლებები“, რაც, რა თქმა უნდა, მოიცავს უფრო დახვეწილ ტაქტიკას, ვიდრე - გამოცნობა/შემოწმებითი მიდგომა, რომელიც აქ გირჩიეთ.> $\begin{aligned} \frac{\partial G_{3}}{\partial y} - \frac{\partial G_{2}}{\partial z} & = y^{2} \\ \frac{\partial G_{1}}{\partial z} - \frac{\partial G_{3}}{\partial x} & = z^{2} \\ \frac{\partial G_{2}}{\partial x} - \frac{\partial G_{1}}{\partial y} & = x^{2} \end{aligned}$ ‍

ნაბიჯი 3: გამოთვალეთ წირითი ინტეგრალი

G

-ის მოცემული კონსტრუქციით, საბოლოო ნაბიჯია ძირითადი განტოლების მარჯვენა მხარის წირითი ინტეგრალის გამოთვლა:

$\underset{გამოსათვლელი ნაკადის ინტეგრალი}{\underset{⏟}{\iint_{S} (F \cdot \hat{n}) \cdot d Σ}} = \underset{სტოქსის თეორემა}{\underset{⏟}{\iint_{S} (\nabla \times G) \cdot \hat{n} d Σ = \overset{ახლა ეს ტიპი გამოთვალეთ.}{\overset{⏞}{\int_{C} G \cdot d r}}}}$ ‍

ამ კონტექსტში

C

მრუდი წარმოადგენს

2 \times 2

კვადრატს

y z

სიბრტყეში, რომლის წვეროები შემდეგ ოთხ წერტილზეა:

$[\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}]$ ‍

სანამ გამოვითვლიდეთ წირით ინტეგრალს კვადრატის ირგვლივ, იგი ისე უნდა ორიენტირდეს, რომ დაემთხვეს პეპლის ბადის ზედაპირის

S

მიმართულებას.

კონცეფციის შემოწმება: თუ მოცემული გვაქვს, რომ პეპლის ბადე მდებარეობს

C

კვადრატიდან დადებითი

x

მიმართულებით და ორიენტირებულია გარეთ მიმართული ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორებით, როგორ უნდა მიიმართოს

C

, რომ შეგვეძლოს სტოქსის თეორემის გამოყენება? ამ შეკითხვას უპასუხეთ დადებით

x

ღერძზე დგომისა და პირდაპირ

C

-ს მიმართულებით ყურების პერსპექტივიდან.

აირჩიეთ 1 პასუხი:
(Choice A)
საათის ისრის მიმართულებით
(Choice B)
საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგოდ

საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგოდ.
როგორც წინა მაგალითის მსგავს შეკითხვაში აღვნიშნე, ამ ორიენტაციის შესაბამისობის წარმოთქმის რამდენიმე განსხვავებული გზა არსებობს.
თუ ზედაპირს ისე შეხედავთ, რომ ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორები თქვენი სახისკენ იქნება მიმართული, მრუდი უნდა იყოს მიმართული საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით.
მრუდის ორიენტაცია უნდა მიჰყვებოდეს მარჯვენა ხელის წესს იმ ლოგიკით, რომ თუ მარჯვენა ხელის ცერა თითს გაშლით ერთეულოვანი ზედაპირის საზღვართან ახლოს ნორმალური ვექტორის მიმართულებით და თითებს შეკრავთ, მათი მიმართულება მრუდზე უნდა შეესაბამებოდეს მის ორიენტაციას.
როცა საზღვარ მრუდზე ისე მოძრაობთ, რომ თქვენი სხეული მიმართული იყოს ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორის საწინააღმდეგოდ, ისე უნდა მოძრაობდეთ, რომ ზედაპირი იყოს თქვენს მარცხენა მხარეს.

კონცეფციის შემოწმება: ჩვენი

G

-ის კონსტრუქცია შემდეგნაირად გამოიყურება

$G = \frac{1}{3} [\begin{matrix} z^{3} \\ x^{3} \\ y^{3} \end{matrix}]$ ‍

ამაზე და ახლა დასახელებულ

C

კვადრატის ორიენტაციაზე დაყრდნობით, დაასრულეთ ამოცანა შემდეგი წირითი ინტეგრალის ამოხსნით:

$\int_{C} G \cdot d r =$ ‍

პირველ რიგში, დახაზეთ კვადრატი $y z$ ‍ სიბრტყეში საათის ისრის მიმართულებით.
ახლა იფიქრეთ შემდენ წირით ინტეგრალზე თითოეულ გვერდზე:
$\int \frac{1}{3} [\begin{matrix} z^{3} \\ x^{3} \\ y^{3} \end{matrix}] \cdot d r$ ‍
მარჯვენა გვერდი: როცა ზევით მივდივართ მარჯვენა გვერდზე, პატარა ნაბიჯი, $d r$ ‍ ვექტორი, არის ნაბიჯი $z$ ‍ მიმართულებაში.
$d r = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ d z \end{matrix}]$ ‍
აი, ეს რას ნიშნავს ინტეგრალისთვის:
$\int \frac{1}{3} [\begin{matrix} z^{3} \\ x^{3} \\ y^{3} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ d z \end{matrix}] = \int \frac{1}{3} y^{3} d z$ ‍
ეს ინტეგრალი აღებულია კვადრატის მარჯვენა მხარეს, სადაც $y$ ‍-ის მნიშვნელობა მუდმივად $1$ ‍-ია და $z$ ‍-ს აქვს $z = - 1$ ‍ და $z = 1$ ‍ საზღვრები. ასე რომ, ჩვენი ინტეგრალი შემდეგნაირად მარტივდება:
$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{3} (1)^{3} d z = \frac{2}{3}$ ‍
ზედა გვერდი: როცა ზედა გვერდზე მარცხნივ მივდივართ, უმცირესი ნაბიჯი ვექტორია
$d r = [\begin{matrix} 0 \\ - d y \\ 0 \end{matrix}]$ ‍
რადგან წირითი ინტეგრალი მოძრაობს $y = - 1$ ‍-დან $y = 1$ ‍-მდე, ეს ნიშნავს, რომ კვადრატის ამ ნაწილზე წირითი ინტეგრალი ხდება:
$\int_{- 1}^{1} - \frac{1}{3} x^{3} d y$ ‍
რადგან $x$ ‍ ნულია მთელ წრფეზე (საერთოდაც მთლიან კვადრატში), ეს ინტეგრალია $0$ ‍.
მარცხენა გვერდი: თითქმის მარჯვენა მხარის იდენტურია, იმ გამონაკლისით, რომ $d z$ ‍ არის უარყოფითი და $y$ ‍-ის მუდმივი მნიშვნელობაც - უარყოფითი. ეს სხვაობები ბათილდება, ასე რომ, ამ გვერდზე წირითი ინტეგრალიც ხდება $\frac{2}{3}$ ‍.
ქვედა გვერდი: თითქმის ზედა გვერდის იდენტურია. ისიც $0$ ‍ ხდება.
მაშინ საბოლოო შეკრებით წირითი ინტეგრალი ხდება $\frac{4}{3}$ ‍.

შეჯამება

სტოქსის თეორემა შეგვიძლია, გამოვიყენოთ, რომ ვექტორულ ველში გამავალი ზედაპირის ინტეგრალები ვაქციოთ წირით ინტეგრებად.
ეს მხოლოდ მაშინ გამოდის, თუ თავდაპირველი ვექტორული ველის გამოსახვა შეგიძლიათ სხვა რაიმე ვექტორული ველის როტორის სახით.
დარწმუნდით, რომ ზედაპირის საზღვრის ორიენტაცია ემთხვევა თავად ზედაპირის ორიენტაციას.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.