სტოკსის თეორემა და კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემა

ფონი

• კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემა (ვიდეო)
• გრინის თეორემა
• სტოქსის თეორემა

რის აგებას ვცდილობთ

• გრინის და სტოქსის თეორემები, ისევე, როგორც მრავალცვლადიან კალკულუსსში კიდევ რამდენიმე შედეგი, არის უბრალოდ კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემის ანალოგი უფრო მაღალ განზომილებებში.

კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემის სწრაფი მიმოხილვა

გრინის თეორემა

• $f$f ერთცვლადიანი ფუნქციის წარმოებულის აღების ნაცვლად, ეს მოიცავს $\blueE{\textbf{F}}(x, y)$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ვექტორული ფუნქციის $\text{2d-როტორს}$start text, 2, d, negative, რ, ო, ტ, ო, რ, ს, end text.
• რიცხვითი ღერძის $[a, b]$open bracket, a, comma, b, close bracket რეგიონზე მისი ინტეგრების ნაცვლად, აიღეთ ეს ორჯერადი ინტეგრალი $xy$x, y სიბრტყის $\redE{R}$start color #bc2612, R, end color #bc2612 რეგიონზე.
• ერთანზომილებიანი $[a, b]$open bracket, a, comma, b, close bracket დიაპაზონის ზღვრები $a$a და $b$b წერტილებია. მაგრამ, რადგან $\redE{R}$start color #bc2612, R, end color #bc2612 ორგანზომილებიანია, მისი ზღვარი არის $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 მრუდი.
• საზღვრის ორ წერტილზე, $a$a-სა და $b$b-ზე $f$f-ის გამოთვლისა და სხვაობის პოვნის ნაცვლად აიღეთ, $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის წირითი ინტეგრალი საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მიმართული $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 ზღვრის ირგვლივ.

სტოქსის თეორემა

• ერთცვლადიანი $f$f ფუნქციის ან $\blueE{\textbf{F}}(x, y, z)$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis ორცვლადიანი ვექტორული ველის ნაცვლად არის სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი.
• $f'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis-ის წარმობულის ან $\text{2d-როტორის}$start text, 2, d, negative, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, ს, end text აღების ნაცვლად აიღეთ $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის სრული სამგანზომილებიანი როტორი.
• $[a, b]$open bracket, a, comma, b, close bracket, ინტერვალზე ერთი ინტეგრალის აღების ან ორგანზომილებიან რეგიონში ორჯერადი ინტეგრალის აღების ნაცვლად აიღეთ $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612-ის ზედაპირის ინტეგრალი სამ განზომილებაში. ვექტორული ველის ზედაპირის ინტეგრალის აღება მოიცავს ვექტორული ველის მონიშვნავს ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორებით.
• მარჯვენა მხარეს $f(b) - f(a)$f, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, a, right parenthesis-ის ჩაწერის ნაცვლად, რაც მოიცავს $f$f-ის გამოთვლას $[a, b]$open bracket, a, comma, b, close bracket ინტერვალზე და სხვაობის აღებას, გვაქვს $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ფუნქციის წირითი ინტეგრალი $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612 ზედაპირის $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 ზღვარზე, როგორც გრინის თეორემის შემთხვევაში.

უფრო განზოგადება

განზოგადებული სტოქსის თეორემა