სტოკსის თეორემა და კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემა

გრინის თეორემაც და სტოკსის თეორემაც არის კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემის უფრო მაღალგანზომილებიანი ვერსიები. იხილეთ, რატომ არის ასე!

ფონი

რის აგებას ვცდილობთ

გრინის და სტოქსის თეორემები, ისევე, როგორც მრავალცვლადიან კალკულუსსში კიდევ რამდენიმე შედეგი, არის უბრალოდ კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემის ანალოგი უფრო მაღალ განზომილებებში.

კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემის სწრაფი მიმოხილვა

გახსოვთ კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემა?

აი, რას ამბობს:

$\int_{a}^{b} f^{'} (x) = f (b) - f (a)$ ‍

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როცა ფუნქციის წარმოებულის რიცხვითი ღერძის

[a, b]

რეგიონზე გაინტეგრება იგივეა, რაც - თავად ფუნქციის გამოთვლა ამ რეგიონის საზღვრებზე, ანუ,

a

და

b

წერტილები და მათი სხვაობის პოვნა.

გრინის თეორემა

გრინის თეორემა ფუნდამენტური თეორემის სრული ანალოგია ორი განზომილებისთვის.

$\iint_{R} 2d-curl F d A = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

$f$ ‍ ერთცვლადიანი ფუნქციის წარმოებულის აღების ნაცვლად, ეს მოიცავს $F (x, y)$ ‍ ვექტორული ფუნქციის $2d-როტორს$ ‍.
რიცხვითი ღერძის $[a, b]$ ‍ რეგიონზე მისი ინტეგრების ნაცვლად, აიღეთ ეს ორჯერადი ინტეგრალი $x y$ ‍ სიბრტყის $R$ ‍ რეგიონზე.
ერთანზომილებიანი $[a, b]$ ‍ დიაპაზონის ზღვრები $a$ ‍ და $b$ ‍ წერტილებია. მაგრამ, რადგან $R$ ‍ ორგანზომილებიანია, მისი ზღვარი არის $C$ ‍ მრუდი.
საზღვრის ორ წერტილზე, $a$ ‍-სა და $b$ ‍-ზე $f$ ‍-ის გამოთვლისა და სხვაობის პოვნის ნაცვლად აიღეთ, $F$ ‍-ის წირითი ინტეგრალი საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მიმართული $C$ ‍ ზღვრის ირგვლივ.

აქ ხაზგასმული იდეა ისაა, რომ, როცა რაიმეს რეგიონზე წარმოებულს აინტეგრალებთ, მნიშვნელობა დამოკიდებულია მხოლოდ ამ რაღაცის მნიშვნელობაზე ამ რეგიონის საზღავრზე. მხოლოდ ესაა, რომ ორ განზომილებაში წარმოებულის შესაბამისი ჩანაწერია

2d-როტორი

და რეგიონის ზღვარი მოიცავს მთლიან მრუდს და არა მხოლოდ - წერტილების წყვილს.

სტოქსის თეორემა

სტოქსის თეორემას ეს სამ განზომილებაში გადაჰყავს.

x y

სიბრტყის ბრტყელ

R

რეგიონზე ფიქრის ნაცვლად, თქვენ ფიქრობთ სივრცეში არსებულ

S

ზედაპირზე. ამ შემთხვევაში,

C

წარმოადგენდეს ამ ზედაპირის ზღვარს.

$\begin{array}{r} \iint_{S} curl F \cdot \hat{n} d Σ = \oint_{C} F \cdot d r \end{array}$ ‍

ერთცვლადიანი $f$ ‍ ფუნქციის ან $F (x, y, z)$ ‍ ორცვლადიანი ვექტორული ველის ნაცვლად არის სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი.
$f^{'} (x)$ ‍-ის წარმობულის ან $2d-როტორის$ ‍ აღების ნაცვლად აიღეთ $F$ ‍-ის სრული სამგანზომილებიანი როტორი.
$[a, b]$ ‍, ინტერვალზე ერთი ინტეგრალის აღების ან ორგანზომილებიან რეგიონში ორჯერადი ინტეგრალის აღების ნაცვლად აიღეთ $S$ ‍-ის ზედაპირის ინტეგრალი სამ განზომილებაში. ვექტორული ველის ზედაპირის ინტეგრალის აღება მოიცავს ვექტორული ველის მონიშვნავს ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორებით.
მარჯვენა მხარეს $f (b) - f (a)$ ‍-ის ჩაწერის ნაცვლად, რაც მოიცავს $f$ ‍-ის გამოთვლას $[a, b]$ ‍ ინტერვალზე და სხვაობის აღებას, გვაქვს $F$ ‍ ფუნქციის წირითი ინტეგრალი $S$ ‍ ზედაპირის $C$ ‍ ზღვარზე, როგორც გრინის თეორემის შემთხვევაში.

უფრო განზოგადება

დივერგენციის თეორემა, რომელსაც სულ მალე გავეცნობით, ამ ფენომენის კიდევ ერთი მაგალითია. იგი სამგანზომილებიანი ველის განშლადობას აკავშირებს მოცულობის საზღვარზე ვექტორული ველის ზედაპირის ინტეგრალის სამგაზნომილებიან მოცულობასთან.

წირითი ინტეგრალების ფუნდამენტური თეორემა იგივე წარმოქნის პრინციპს ეყრდნობა და ფუნქციის გრადიენტის წირით ინტეგრალს აკავშირებს ხაზის ბოლოებზე ამ ფუნქციის მნიშვნელობებთან.

ზოგადად, თითქოს სამყარო გვეუბნება, რომ როცა რეგიონის შიგნით ფუნქციის წარმოებულს აინტეგრებთ, სადაც ინტეგრება/წარმოებული/რეგიონი/ფუნქცია მრავალგანზომილებიანი შეიძლება იყოს, თქვენ იღებთ რაღაცას, რაც დამოკიდებულია ამ ფუნქციის მნიშვნელობაზე რეგიონის საზღვრებზე. ჩემი აზრით, ეს მათემატიკაში ერთ-ერთი ყველაზე ლამაზი რამ არის.

განზოგადებული სტოქსის თეორემა

თუ გაინტერესებთ, ნამდვილ მათემატიკას აქვს უფრო ღრმა თეორემა, რომელიც აერთიანებს სამივე თეორემას (და მეტს) ძალიან კომპაქტურ ფორმულაში. მას ეწოდება განზოგადებული სტოქსის თეორემა. აღწერისთვის გამოყენებული ფრაზები ცოტა ტექნიკურია და მოიცავს ისეთ იდეებს, როგორებიცაა „დიფერენციალური ფორმები“და „მრავალგვარები“, ასე რომ, აქ უფრო შორს არ წავალ, მაგრამ, თუ გაიგეთ ზემოთ მოცემული ყველა მაგალითი, უკვე გესმით ინტუიციის საფუძველი და ამ გამაერთიანებელი თეორემის სილამაზე.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.