ძირითადი მასალა
მრავალცვლადიანი კალკულუსი
კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 5
გაკვეთილი 6: სტოკსის თეორემა (სტატიები)სტოკსის თეორემა და კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემა
გრინის თეორემაც და სტოკსის თეორემაც არის კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემის უფრო მაღალგანზომილებიანი ვერსიები. იხილეთ, რატომ არის ასე!
რის აგებას ვცდილობთ
- გრინის და სტოქსის თეორემები, ისევე, როგორც მრავალცვლადიან კალკულუსსში კიდევ რამდენიმე შედეგი, არის უბრალოდ კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემის ანალოგი უფრო მაღალ განზომილებებში.
კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემის სწრაფი მიმოხილვა
გახსოვთ კალკულუსის ფუნდამენტური თეორემა?
აი, რას ამბობს:
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როცა ფუნქციის წარმოებულის რიცხვითი ღერძის open bracket, a, comma, b, close bracket რეგიონზე გაინტეგრება იგივეა, რაც - თავად ფუნქციის გამოთვლა ამ რეგიონის საზღვრებზე, ანუ, a და b წერტილები და მათი სხვაობის პოვნა.
გრინის თეორემა
გრინის თეორემა ფუნდამენტური თეორემის სრული ანალოგია ორი განზომილებისთვის.
- f ერთცვლადიანი ფუნქციის წარმოებულის აღების ნაცვლად, ეს მოიცავს start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ვექტორული ფუნქციის start text, 2, d, negative, რ, ო, ტ, ო, რ, ს, end text.
- რიცხვითი ღერძის open bracket, a, comma, b, close bracket რეგიონზე მისი ინტეგრების ნაცვლად, აიღეთ ეს ორჯერადი ინტეგრალი x, y სიბრტყის start color #bc2612, R, end color #bc2612 რეგიონზე.
- ერთანზომილებიანი open bracket, a, comma, b, close bracket დიაპაზონის ზღვრები a და b წერტილებია. მაგრამ, რადგან start color #bc2612, R, end color #bc2612 ორგანზომილებიანია, მისი ზღვარი არის start color #bc2612, C, end color #bc2612 მრუდი.
- საზღვრის ორ წერტილზე, a-სა და b-ზე f-ის გამოთვლისა და სხვაობის პოვნის ნაცვლად აიღეთ, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის წირითი ინტეგრალი საათის ისრის საწინააღმდეგოდ მიმართული start color #bc2612, C, end color #bc2612 ზღვრის ირგვლივ.
აქ ხაზგასმული იდეა ისაა, რომ, როცა რაიმეს რეგიონზე წარმოებულს აინტეგრალებთ, მნიშვნელობა დამოკიდებულია მხოლოდ ამ რაღაცის მნიშვნელობაზე ამ რეგიონის საზღავრზე. მხოლოდ ესაა, რომ ორ განზომილებაში წარმოებულის შესაბამისი ჩანაწერია start text, 2, d, negative, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text და რეგიონის ზღვარი მოიცავს მთლიან მრუდს და არა მხოლოდ - წერტილების წყვილს.
სტოქსის თეორემა
სტოქსის თეორემას ეს სამ განზომილებაში გადაჰყავს. x, y სიბრტყის ბრტყელ start color #bc2612, R, end color #bc2612 რეგიონზე ფიქრის ნაცვლად, თქვენ ფიქრობთ სივრცეში არსებულ start color #bc2612, S, end color #bc2612 ზედაპირზე. ამ შემთხვევაში, start color #bc2612, C, end color #bc2612 წარმოადგენდეს ამ ზედაპირის ზღვარს.
- ერთცვლადიანი f ფუნქციის ან start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis ორცვლადიანი ვექტორული ველის ნაცვლად არის სამგანზომილებიანი ვექტორული ველი.
- f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis-ის წარმობულის ან start text, 2, d, negative, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, ს, end text აღების ნაცვლად აიღეთ start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის სრული სამგანზომილებიანი როტორი.
- open bracket, a, comma, b, close bracket, ინტერვალზე ერთი ინტეგრალის აღების ან ორგანზომილებიან რეგიონში ორჯერადი ინტეგრალის აღების ნაცვლად აიღეთ start color #bc2612, S, end color #bc2612-ის ზედაპირის ინტეგრალი სამ განზომილებაში. ვექტორული ველის ზედაპირის ინტეგრალის აღება მოიცავს ვექტორული ველის მონიშვნავს ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორებით.
- მარჯვენა მხარეს f, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, a, right parenthesis-ის ჩაწერის ნაცვლად, რაც მოიცავს f-ის გამოთვლას open bracket, a, comma, b, close bracket ინტერვალზე და სხვაობის აღებას, გვაქვს start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ფუნქციის წირითი ინტეგრალი start color #bc2612, S, end color #bc2612 ზედაპირის start color #bc2612, C, end color #bc2612 ზღვარზე, როგორც გრინის თეორემის შემთხვევაში.
უფრო განზოგადება
დივერგენციის თეორემა, რომელსაც სულ მალე გავეცნობით, ამ ფენომენის კიდევ ერთი მაგალითია. იგი სამგანზომილებიანი ველის განშლადობას აკავშირებს მოცულობის საზღვარზე ვექტორული ველის ზედაპირის ინტეგრალის სამგაზნომილებიან მოცულობასთან.
წირითი ინტეგრალების ფუნდამენტური თეორემა იგივე წარმოქნის პრინციპს ეყრდნობა და ფუნქციის გრადიენტის წირით ინტეგრალს აკავშირებს ხაზის ბოლოებზე ამ ფუნქციის მნიშვნელობებთან.
ზოგადად, თითქოს სამყარო გვეუბნება, რომ როცა რეგიონის შიგნით ფუნქციის წარმოებულს აინტეგრებთ, სადაც ინტეგრება/წარმოებული/რეგიონი/ფუნქცია მრავალგანზომილებიანი შეიძლება იყოს, თქვენ იღებთ რაღაცას, რაც დამოკიდებულია ამ ფუნქციის მნიშვნელობაზე რეგიონის საზღვრებზე. ჩემი აზრით, ეს მათემატიკაში ერთ-ერთი ყველაზე ლამაზი რამ არის.
განზოგადებული სტოქსის თეორემა
თუ გაინტერესებთ, ნამდვილ მათემატიკას აქვს უფრო ღრმა თეორემა, რომელიც აერთიანებს სამივე თეორემას (და მეტს) ძალიან კომპაქტურ ფორმულაში. მას ეწოდება განზოგადებული სტოქსის თეორემა. აღწერისთვის გამოყენებული ფრაზები ცოტა ტექნიკურია და მოიცავს ისეთ იდეებს, როგორებიცაა „დიფერენციალური ფორმები“და „მრავალგვარები“, ასე რომ, აქ უფრო შორს არ წავალ, მაგრამ, თუ გაიგეთ ზემოთ მოცემული ყველა მაგალითი, უკვე გესმით ინტუიციის საფუძველი და ამ გამაერთიანებელი თეორემის სილამაზე.
გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?
პოსტები ჯერ არ არის.