If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

სტოკსის თეორემა

ეს არის გრინის თეორემის 3D ვერსია, რომელიც ერთმანეთთან აკავშირებს ვექტორული ველის როტორის ზედაპირულ ინტეგრალსა და ამ ზედაპირის შემომსაზღვრელ მრუდზე აღებულ ხაზობრივ ინტეგრალს.

ფონი

აუცილებელი არ არის, მაგრამ ძალიან გვეხმარება უფრო სიღრმისეულად გაგებაში:

ეს სტატია ფიზიკური ინტუიციის შესაქმნელადაა

თუ გინდათ გამოთვლებისთვის სტოქსის თეორემის გამოყენების მაგალითები, ისინი შეგიძლიათ, იპოვოთ მომდევნო სტატიაში. აქ მიზანი თეორემის ისეთი გზით წარმოდგენაა, რომ კარგად შეიგრძნოთ, თუ სინამდვილეში რას წარმოადგენს და რატომაა ჭეშმარიტი.

რის აგებას ვცდილობთ

  • სტოქსის თეორემა გრინის თეორემის სამგანზომილებიან ვერსიაში.
  • იგი ვექტორული ველის როტორის ზედაპირის ინტეგრალს უკავშირებს ამავე ვექტორული ველის წირით ინტეგრალს ზედაპირის საზღვრის ირგვლივ:
SS არის ზედაპირი 3D-ში ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣(როტორიFn^)dΣვექტორული ველისროტორის ზედაპირის ინტეგრალი= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣CFdrწირითი ინტეგრალიზედაპირის საზღვრის ირგვლივ\displaystyle \overbrace{ \underbrace{ \iint_\redE{S} }_{\text{$\redE{S}$ არის ზედაპირი 3D-ში}} \!\!\!\!\!\!\!\!\! \big( \text{როტორი}\,\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \big) d\Sigma }^{\substack{ \text{ვექტორული ველის} \\ \text{როტორის ზედაპირის ინტეგრალი} }} = \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{წირითი ინტეგრალი} \\ \text{ზედაპირის საზღვრის ირგვლივ} }}

წირით ინტეგრალის 3D-ში ინტეგრება

დავუშვათ, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis წარმოადგენს სამგანზომილებიან ვექტორულ ველს.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ვექტორულ ველზე იფიქრეთ, როგორც რაიმე აირის, რომელიც სივრცეში ხმაურით მოძრაობს, სიჩქარის ვექტორზე.
ახლა დავუშვათ, რომ start color #bc2612, C, end color #bc2612 არის რაიმე დახურული მრუდი ვექტორული ველის შიგნით.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
როგორ შეგიძლიათ start color #bc2612, C, end color #bc2612-ის ირგვლივ start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის წირითი ინტეგრალის ინტერპრეტირება?
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
პირველ რიგში, ეს ინტეგრალი არ არის ლოგიკური, სანამ მრუდს არ მივმართავთ. დიფერენციალური d, start bold text, r, end bold text ვექტორი წარმოადგენს უმცირეს ნაბიჯს მრუდზე, მაგრამ რომელი მიმართულებით? სამ განზომილებაში ვერ იტყვით „საათის ისრის მიმართულებით“ ან „საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით,“ რადგან ეს დამოკიდებული იქნება იმაზე, თუ სად ხართ სივრცეში, როცა მრუდს უყურებთ. ქვემოთ შევეხები იმას, თუ როგორ ვაკონკრეტებთ მიმართულებას მათემატიკაში, მაგრამ ჯერჯერობით უფრო მარტივია, უბრალოდ დავხაზოთ მიმართულება:
წარმოიდგინეთ, რომ ხართ ჩიტი, რომელიც სივრცეში მიფრინავს start color #bc2612, C, end color #bc2612 მრუდის გასწვრივ, ხოლო ქარი უბერავს start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ვექტორული ველის მიხედვით (ამ ანიმაციის მიზნებიდან გამომდგინარე, თქვენ ხართ სფეროს ფორმის ჩიტი).
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
თქვენს start color #bc2612, C, end color #bc2612-ის გასწვრივ მოძრაობის თითოეულ პატარა ნაბიჯზე (ფრთის მოქნევაზე?) იფიქრეთ, როგორც - d, start bold text, r, end bold text პატარა ვექტორზე. განიხილეთ d, start bold text, r, end bold text-ისა და ქარის სიჩქარის ვექტორის იმ start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ვექტორული ველიდან, რომელშიც ხართ, სკალარული ნამრავლი. იგი დადებითი იქნება, როცა ქარი გეხმარებათ და უარყოფითი, როცა სახეში გიბერავთ.
ახლა შევხედოთ იმ წირით ინტეგრალს, რომელზეც თავიდან გკითხეთ:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
მასზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც - იმის დაჯამებაზე, თუ რამდენად გეხმარებოდათ ან ხელს გიშლიდათ ქარი ფრენისას. იგი ზომავს start color #bc2612, C, end color #bc2612-ს ირგვლივ მბრუნავი სითხის ტენდენციას. თუ დადებითია, ქარი ზოგადად გეხმარებოდათ და შეგიძლიათ, თქვათ, რომ იგი ხასიათდება start color #bc2612, C, end color #bc2612-ის ირგვლივ თქვენი დასახელებული მიმართულებით ბრუნვით. თუ უარყოფითია, შეგიძლიათ, თქვათ, რომ საწინააღმდეგოდ ბრუნავს.

ზედაპირის დაშლა

ვინც წაიკითხეთ გრინის თეორემის სტატია, ახლა რაც მოდის, ძალიან გეცნობათ.
განიხილეთ სივრცეში start color #bc2612, S, end color #bc2612 ზედაპირი, რომლის საზღვარია start color #bc2612, C, end color #bc2612 მრუდი, თითქოს start color #bc2612, C, end color #bc2612 არის მავთულის მარყუჟი, რომელიც საპნიან წყალში დაასველეთ და start color #bc2612, S, end color #bc2612 არის იმ საპნის ბუშტის დასაწყისი, რომელიც მარყუჟიდან გამოდის.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ზედაპირი შუაზე გაყავით და მიღებული ორი ნაწილის საზღვრებს დაარქვით start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f და start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05. თუ ორივე მათგანი იგივენაირადაა მიმართული, როგორც start color #bc2612, C, end color #bc2612 იყო, თითოეული პატარა მრუდის ირგვლივ წირითი ინტეგრალი (იმავე start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ვექტორული ველის) ბათილდება იმ ჭრაზე, რომელიც თქვენ გააკეთეთ:
start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f-ისა და start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05-ის დარჩენილი ნაწილები ქმნის თავდაპირველ start color #bc2612, C, end color #bc2612 საზღვარს. ასე რომ, პატარა ნაწილების ირგვლივ წირითი ინტეგრალების ჯამი უდრის start color #bc2612, C, end color #bc2612-ს ირგვლივ სრულ წირით ინტეგრალს:
start underbrace, \oint, start subscript, start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, end underbrace, start subscript, start text, გ, ა, ა, ბ, ა, თ, ი, ლ, ე, თ, space, start color #bc2612, S, end color #bc2612, negative, ზ, ე, space, გ, ა, მ, ა, ვ, ა, ლ, ი, space, ჭ, რ, ა, end text, end subscript, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
უფრო ზოგადად, წარმოიდგინეთ start color #bc2612, S, end color #bc2612-ის დაჭრა ბევრ პატარა ნაწილად, მათ ზღვრებს დაარქვით start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, C, start subscript, n, end subscript, end color #bc2612 და ისინი მიმართეთ start color #bc2612, C, end color #bc2612-სკენ. ამის სამ განზომილებაში დახაზვა ძალიან ჩახლართული ხდება, ასე რომ, უბრალოდ მოვიპარავ სურათს გრინის თეორემის სტატიიდან, რომელიც აჩვენებს ორგანზომილებიან ვერსიას, რაც ფაქტიურად იგივე ინტუიციაა.
ყველა პატარა მარყუჟის ირგვლივ წირითი ინტეგრალი შეიკვეცება start color #bc2612, C, end color #bc2612-ში ჭრების გასწვრივ, რაც დატოვებს მხოლოდ თავად start color #bc2612, C, end color #bc2612-ის ირგვლივ წირითი ინტეგრალის ტოლ რაღაცას.
start underbrace, sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, end underbrace, start subscript, start text, გ, ა, ა, ბ, ა, თ, ი, ლ, ე, თ, space, start color #bc2612, S, end color #bc2612, negative, ზ, ე, space, გ, ა, მ, ა, ვ, ა, ლ, ი, space, ჭ, რ, ა, end text, end subscript, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

როტორი თითოეულ ნაწილზე

start color #bc2612, S, end color #bc2612-ის ასე დაშლის მიზეზი ისაა, რომ ძალიან პატარა მარყუჟის ირგვლივ წირითი ინტეგრალის მიახლოებით შეფასება შეიძლება როტორის გამოყენებით. კონკრეტულად, მიუახლოვდით ნებისმიერ კონკრეტულ მათგანს. თუ ეს საკმარისად პატარაა, შეგიძლიათ, იფიქროთ, რომ ბრტყელია.
  • ამ ნაწილის საზღვარს დაარქვით „, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, “.
  • აირჩიეთ რაიმე start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 წერტილი ამ პატარა მარყუჟის შიგნით.
  • დავუშვათ, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f იყოს ზედაპირის ერთეულოვანი ნორმალური (მართობული) ვექტორი start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 წერტილზე. შეიძლება, იკითხოთ: „რომელ მხარეს მიმართული?“. თქვენი მარჯვენა ხელის თითები შემოახვიეთ start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 პატარა მარყუჟის ირგვლივ, ისე რომ, მიმართულებას დაემთხვენ. ცერა თითი გაშალეთ და ეს იქნება start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f-ის მიმართულება.
  • დავუშვათ, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612 წარმოადენს ამ პატარა ნაწილის ფართობს (რადგან მალე ველით ზედაპირის ინტეგრალის უსასრულოდ მცირე ფართობის გამოყენებას).
მაშინ start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის წირითი ინტეგრალი start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612-ის ირგვლივ მიახლოებით შეიძლება, შეფასდეს შემდეგნაირად:
თუ დარწმუნებული არ ხართ, რომ კარგად გესმით, რას ნიშნავს როტორი ან ვექტორი როგორ წარმოადგენს ბრუნვას, გაიმეორეთ სტატია როტორზე.
აქ წარმოდგენა გვექმნება იმაზე, თუ რატომ გამოდის ეს მიახლოება: start text, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 არის ვექტორი, რომელიც გვეუბნება, როგორი ბრუნვითი ტენდენცია აქვს start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ვექტორული ველის გასწვრივ სითხის დინებას start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 წერტილთან ახლოს. მაგალითად, თუ წარმოიდგენთ სივრცეში მოფარფატე პატარა ტენისის ბურთს, რომლის ცენტრია start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 წერტილი, start text, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 ვექტორი აღწერს გზას, რომლითაც მის ირგვლივ ქარის დაბერვით გამოწვეული ბრუნვა დახასიათდება. ეს იგივე იმის თქმაა, რომ ვექტორი მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ და მისი აბსოლუტური სიდიდე ბრუნვის სიჩქარის პროპორციულია.
როცა ვიღებთ start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f როტორული ვექტორისა და ზედაპირის ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორის სკალარულ ნამრავლს, მივიღებთ როტორული ვექტორის კომპონენტს, რომელიც ზედაპირის მართობულია. ეს აღწერს თავად ზედაპირზე სითხის ბრუნვის სიჩქარეს. მეორე მხრივ, სითხის ეს პატარა ბრუნვაც აღიწერება ამ პატარა ნაწილის საზღვრის ირგვლივ წირითი ინტეგრალით: \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text.
უფრო ზუსტად, წირითი ინტეგრალი იძლევა ძალიან პატარა რიცხვს (რადგან start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 ძალიან მოკლეა), მაგრამ start text, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 იძლევა რიცხვს, რომელსაც არ აინტერესებს start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, comma, z, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05-ის შემცველი ნაწილის ზომა. ამიტომ ჩვენ როტორის შესაბამის კომპონენტს ვამცირებთ პატარა ნაწილის ფართობით.
(ამ მიახლოების უფრო სიღრმისეულად გასაგებად შეხედეთ სამ განზომილებაში როტორის ფორმალურ განმარტებას.)

როტორის ზედაპირის ინტეგრალი

ბოლო ორი სექციის იდეის კომბინირებით შემდეგს ვიღებთ:
CFdrინტეგრალი მთელი ზედაპირის ზღვარზეk=1nCkFdrმცირე ნაწილების გარშემო აღებული ინტეგრალების ჯამიk=1ncurlF(xk,yk,zk)n^  dΣგამოიყენეთ როტორით მიახლოება თითოეული ნაწილისთვის\begin{aligned} &\underbrace{ \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{ინტეგრალი }\\ \text{მთელი ზედაპირის ზღვარზე} }} \\\\ &\qquad\qquad \downarrow \\\\ &\underbrace{ \sum_{k = 1}^n \oint_{\redE{C_k}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\text{მცირე ნაწილების გარშემო აღებული ინტეგრალების ჯამი}} \\\\ &\qquad\qquad \downarrow \\\\ &\underbrace{ \sum_{k = 1}^n \text{curl}\,\blueE{\textbf{F}} \goldE{(x_k, y_k, z_k)} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \;\redE{d\Sigma} }_{\text{გამოიყენეთ როტორით მიახლოება თითოეული ნაწილისთვის}} \end{aligned}
როცა რაღაცებს უფრო და უფრო თხლად ვჭრით, საბოლოო ჯამი უახლოვდება left parenthesis, start text, რ, ო, ტ, ო, რ, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis-ის ზედაპირის ინტეგრალს start color #bc2612, S, end color #bc2612 ზედაპირზე (თუ ეს მართლა არ გეჩვენებათ ლოგიკურად, მიმოიხილეთ სტატია ზედაპირის ინტეგრალებზე)..
k=1nროტორიF(xk,yk,zk)n^  dΣრადგან S უფრო და უფრო თხლად იჭრებაSროტორიFn^  dΣ\begin{aligned} &\sum_{k = 1}^n \text{როტორი}\,\blueE{\textbf{F}} \goldE{(x_k, y_k, z_k)} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \;\redE{d\Sigma} \\\\ &\qquad\qquad \downarrow \small{\gray{\text{რადგან $\redE{S}$ უფრო და უფრო თხლად იჭრება}}} \\\\ &\iint_{\redE{S}} \text{როტორი}\,\blueE{\textbf{F}}\cdot\greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} \end{aligned}
ამ ყველაფრის შეჯმაებით ვიღებთ შემდეგ შესანიშნავ განტოლებას, რომელიც სტოქსის თეორემადაა ცნობილი:
CFdr=ScurlFn^  dΣ\begin{aligned} \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \iint_{\redE{S}} \text{curl}\,\blueE{\textbf{F}}\cdot\greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} \end{aligned}

მიმართულების განლაგება

ზედაპირები მიმართულია ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორების არჩეული მიმართულებით. მაგალითად, თქვენ ხშირად ნახავთ ზედაპირს, რომელიც ორიენტირდება გარეთ მიმართული ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორით (თუმცა, ყველა ზედაპირს არ აქვს გარეთ და შიგნით მიმართული ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორების ჩანაწერი).
მრუდები ორიენტირდება მათი მხები ვექტორების არჩეული მიმართულებით.
სტოქსის თეორემამ რომ იმუშაოს, ზედაპირისა და მისი საზღვრის ორიენტაცია სწორად უნდა „შეესაბამებოდეს“. სხვა შემთხვევაში, განტოლება აცდენილი იქნება minus, 1 მამრავლით. აქ მოცემულია რამდენიმე განსხვავებული გზა, რომლითაც ადამიანები აღწერენ, თუ როგორ გამოიყურება ეს შესაბამება; ყველა მათგანი ერთ რამეს აღწერს:
  • თუ ზედაპირს ისე შეხედავთ, რომ ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორები თქვენი სახისკენ იქნება მიმართული, მრუდი უნდა იყოს მიმართული საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით.
  • მრუდის ორიენტაცია უნდა მიჰყვებოდეს მარჯვენა ხელის წესს იმ ლოგიკით, რომ თუ მარჯვენა ხელის ცერა თითს გაშლით ერთეულოვანი ზედაპირის საზღვართან ახლოს ნორმალური ვექტორის მიმართულებით და თითებს შეკრავთ, მათი მიმართულება მრუდზე უნდა შეესაბამებოდეს მის ორიენტაციას.
  • როცა საზღვარ მრუდზე ისე მოძრაობთ, რომ თქვენი სხეული მიმართული იყოს ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორის საწინააღმდეგოდ, ისე უნდა მოძრაობდეთ, რომ ზედაპირი იყოს თქვენს მარცხენა მხარეს.

ბუშტების გაბერვა

აქ მოცემულია მაგარი რაღაც სტოქსის თეორემაზე: თავად ზედაპირს არ აქვს მნიშვნელობა, მნიშვნელოვანი მხოლოდ თავად საზღვარია.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ კონკრეტული მარყუჯი სივრცეში და იფიქრეთ, რამდენ განსხვავებულ ზედაპირს შეიძლება, ჰქონდეს იგივე მარყუჟი ზღვრად; ყველა განსხვავებული საპნის ბუშტი, რომელიც ამ ერთი მარყუჟიდან შეიძლება, გამოვიდეს:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ნაბისმიერი მოცემული start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis ვექტორული ველისთვის, ზედაპირის ინტეგრალი \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, start text, რ, ო, ტ, ო, რ, ი, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612 იგივე იქნება თითოეული ზედაპირისთვის. სიგიჟეა, არა! ეს ზედაპირის ინტეგრალები მოიცავს სივრცეში სრულიად განსხვავებულ წერტილებზე სრულიად განსხვავებული მნიშვნელობების შეკრებას და ისინი ტოლი გამოდის, მხოლოდ იმიტომ, რომ საერთო ზღვარი აქვთ.
ეს გეუბნებათ, თუ რამდენად განსაკუთრებულია როტორი ვექტორული ველები, რადგან ვექტორული ველების უმეტესობისთვის, ზედაპირის ფართობი აბსოლუტურად დამოკიდებულია კონკრეტულ მოცემულ ზედაპირზე. თუ ისწავლეთ კონსერვატიული ვექტორული ველები, ეს ტრაექტორიაზე დამოუკიდებლობისა და შესაბამისად, გრადინეტი ვექტორული ველების განსაკუთრებულობის იდენტურია.

რა მოხდება, თუ არ გვაქვს საზღვარი?

თუ გაქვთ ჩაკეტილი ზედაპირი, როგორიცაა სფერო ან ტოროიდი, მაშინ არ გვაქვს საზღვარი. ეს იმას ნიშნავს, რომ „ზღვრის გასწვრივს წირითი ინტეგრალი“ ნულია და სტოქსის თეორემა შემდეგნაირად იკითხება:
SროტორიFn^  dΣ=0\begin{aligned} \iint_{\redE{S}} \text{როტორი}\,\blueE{\textbf{F}}\cdot\greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} = 0 \end{aligned}
თუ დაუბრუნდებით ზედაპირის ისე დაშლას, რომ მიიღოთ ბევრი პატარა წირითი ინტეგრალი, ეს ფაქტიურად ამბობს, რომ ყველა პატარა წირითი ინტეგრრალი ისე ბათილდება, რომ მათი მუშაობის მაჩვენებელი არაფერი რჩება.

შეჯამება

  • სტოქსის თეორემა გრინის თეორემის სამგანზომილებიან ვერსიაში.
SS არის ზედაპირი სამ განზომილებაში ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣(როტორიFn^)dΣზედაპირული ინტეგრალიროტორის ვექტორული ველი= ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣CFdrწირითი ინტეგრალიზედაპირის ზღვრის გარშემო\displaystyle \overbrace{ \underbrace{ \iint_\redE{S} }_{\text{$\redE{S}$ არის ზედაპირი სამ განზომილებაში}} \!\!\!\!\!\!\!\!\! \big( \text{როტორი}\,\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \big) d\Sigma }^{\substack{ \text{ზედაპირული ინტეგრალი} \\ \text{როტორის ვექტორული ველი} }} = \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{წირითი ინტეგრალი} \\ \text{ზედაპირის ზღვრის გარშემო} }}
  • integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text წირითი ინტეგრალი გვეუბნება, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99-ის გასწვრივ სითხის დინებას რამდენად ახასიათებს ბრუნვა start color #bc2612, S, end color #bc2612 ზედაპირის start color #bc2612, C, end color #bc2612 საზღვრის ირგვლივ.
  • მარცხენა მხარის ზედაპირის ინტეგრალი შეგვიძლია, დავინახოთ, როგორც თავად start color #bc2612, S, end color #bc2612 ზედაპირზე სითხის ბრუნვის პატარა ნაწილების დაჯამება. start text, c, u, r, l, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ვექტორი აღწერს თითოეული წერტილის სითხის ბრუნვას და თითოეულზე ნიშნავს ზედაპირის ერთეულოვან ნორმალურ ვექტორს, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f-ს, გამოჰყავს სითხის ბრუნვის კომპონენტი, რომელიც თავად ზედაპირზე ხდება.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.