If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

სტოკსის თეორემა

ეს არის გრინის თეორემის 3D ვერსია, რომელიც ერთმანეთთან აკავშირებს ვექტორული ველის როტორის ზედაპირულ ინტეგრალსა და ამ ზედაპირის შემომსაზღვრელ მრუდზე აღებულ ხაზობრივ ინტეგრალს.

ფონი

აუცილებელი არ არის, მაგრამ ძალიან გვეხმარება უფრო სიღრმისეულად გაგებაში:

ეს სტატია ფიზიკური ინტუიციის შესაქმნელადაა

თუ გინდათ გამოთვლებისთვის სტოქსის თეორემის გამოყენების მაგალითები, ისინი შეგიძლიათ, იპოვოთ მომდევნო სტატიაში. აქ მიზანი თეორემის ისეთი გზით წარმოდგენაა, რომ კარგად შეიგრძნოთ, თუ სინამდვილეში რას წარმოადგენს და რატომაა ჭეშმარიტი.

რის აგებას ვცდილობთ

  • სტოქსის თეორემა გრინის თეორემის სამგანზომილებიან ვერსიაში.
  • იგი ვექტორული ველის როტორის ზედაპირის ინტეგრალს უკავშირებს ამავე ვექტორული ველის წირით ინტეგრალს ზედაპირის საზღვრის ირგვლივ:
SS არის ზედაპირი 3D-ში(როტორიFn^)dΣვექტორული ველისროტორის ზედაპირის ინტეგრალი=CFdrწირითი ინტეგრალიზედაპირის საზღვრის ირგვლივ

წირით ინტეგრალის 3D-ში ინტეგრება

დავუშვათ, F(x,y,z) წარმოადგენს სამგანზომილებიან ვექტორულ ველს.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ვექტორულ ველზე იფიქრეთ, როგორც რაიმე აირის, რომელიც სივრცეში ხმაურით მოძრაობს, სიჩქარის ვექტორზე.
ახლა დავუშვათ, რომ C არის რაიმე დახურული მრუდი ვექტორული ველის შიგნით.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
როგორ შეგიძლიათ C-ის ირგვლივ F-ის წირითი ინტეგრალის ინტერპრეტირება?
CFdr
პირველ რიგში, ეს ინტეგრალი არ არის ლოგიკური, სანამ მრუდს არ მივმართავთ. დიფერენციალური dr ვექტორი წარმოადგენს უმცირეს ნაბიჯს მრუდზე, მაგრამ რომელი მიმართულებით? სამ განზომილებაში ვერ იტყვით „საათის ისრის მიმართულებით“ ან „საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით,“ რადგან ეს დამოკიდებული იქნება იმაზე, თუ სად ხართ სივრცეში, როცა მრუდს უყურებთ. ქვემოთ შევეხები იმას, თუ როგორ ვაკონკრეტებთ მიმართულებას მათემატიკაში, მაგრამ ჯერჯერობით უფრო მარტივია, უბრალოდ დავხაზოთ მიმართულება:
წარმოიდგინეთ, რომ ხართ ჩიტი, რომელიც სივრცეში მიფრინავს C მრუდის გასწვრივ, ხოლო ქარი უბერავს F ვექტორული ველის მიხედვით (ამ ანიმაციის მიზნებიდან გამომდგინარე, თქვენ ხართ სფეროს ფორმის ჩიტი).
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
თქვენს C-ის გასწვრივ მოძრაობის თითოეულ პატარა ნაბიჯზე (ფრთის მოქნევაზე?) იფიქრეთ, როგორც - dr პატარა ვექტორზე. განიხილეთ dr-ისა და ქარის სიჩქარის ვექტორის იმ F ვექტორული ველიდან, რომელშიც ხართ, სკალარული ნამრავლი. იგი დადებითი იქნება, როცა ქარი გეხმარებათ და უარყოფითი, როცა სახეში გიბერავთ.
ახლა შევხედოთ იმ წირით ინტეგრალს, რომელზეც თავიდან გკითხეთ:
CFdr
მასზე შეგიძლიათ, იფიქროთ, როგორც - იმის დაჯამებაზე, თუ რამდენად გეხმარებოდათ ან ხელს გიშლიდათ ქარი ფრენისას. იგი ზომავს C-ს ირგვლივ მბრუნავი სითხის ტენდენციას. თუ დადებითია, ქარი ზოგადად გეხმარებოდათ და შეგიძლიათ, თქვათ, რომ იგი ხასიათდება C-ის ირგვლივ თქვენი დასახელებული მიმართულებით ბრუნვით. თუ უარყოფითია, შეგიძლიათ, თქვათ, რომ საწინააღმდეგოდ ბრუნავს.

ზედაპირის დაშლა

ვინც წაიკითხეთ გრინის თეორემის სტატია, ახლა რაც მოდის, ძალიან გეცნობათ.
განიხილეთ სივრცეში S ზედაპირი, რომლის საზღვარია C მრუდი, თითქოს C არის მავთულის მარყუჟი, რომელიც საპნიან წყალში დაასველეთ და S არის იმ საპნის ბუშტის დასაწყისი, რომელიც მარყუჟიდან გამოდის.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ზედაპირი შუაზე გაყავით და მიღებული ორი ნაწილის საზღვრებს დაარქვით C1 და C2. თუ ორივე მათგანი იგივენაირადაა მიმართული, როგორც C იყო, თითოეული პატარა მრუდის ირგვლივ წირითი ინტეგრალი (იმავე F ვექტორული ველის) ბათილდება იმ ჭრაზე, რომელიც თქვენ გააკეთეთ:
C1-ისა და C2-ის დარჩენილი ნაწილები ქმნის თავდაპირველ C საზღვარს. ასე რომ, პატარა ნაწილების ირგვლივ წირითი ინტეგრალების ჯამი უდრის C-ს ირგვლივ სრულ წირით ინტეგრალს:
C1Fdr+C2Fdrგააბათილეთ S-ზე გამავალი ჭრა=CFdr
უფრო ზოგადად, წარმოიდგინეთ S-ის დაჭრა ბევრ პატარა ნაწილად, მათ ზღვრებს დაარქვით C1,,Cn და ისინი მიმართეთ C-სკენ. ამის სამ განზომილებაში დახაზვა ძალიან ჩახლართული ხდება, ასე რომ, უბრალოდ მოვიპარავ სურათს გრინის თეორემის სტატიიდან, რომელიც აჩვენებს ორგანზომილებიან ვერსიას, რაც ფაქტიურად იგივე ინტუიციაა.
ყველა პატარა მარყუჟის ირგვლივ წირითი ინტეგრალი შეიკვეცება C-ში ჭრების გასწვრივ, რაც დატოვებს მხოლოდ თავად C-ის ირგვლივ წირითი ინტეგრალის ტოლ რაღაცას.
k=1nCkFdrგააბათილეთ S-ზე გამავალი ჭრა=CFdr

როტორი თითოეულ ნაწილზე

S-ის ასე დაშლის მიზეზი ისაა, რომ ძალიან პატარა მარყუჟის ირგვლივ წირითი ინტეგრალის მიახლოებით შეფასება შეიძლება როტორის გამოყენებით. კონკრეტულად, მიუახლოვდით ნებისმიერ კონკრეტულ მათგანს. თუ ეს საკმარისად პატარაა, შეგიძლიათ, იფიქროთ, რომ ბრტყელია.
  • ამ ნაწილის საზღვარს დაარქვით Ck.
  • აირჩიეთ რაიმე (xk,yk,zk) წერტილი ამ პატარა მარყუჟის შიგნით.
  • დავუშვათ, n^ იყოს ზედაპირის ერთეულოვანი ნორმალური (მართობული) ვექტორი (xk,yk,zk) წერტილზე. შეიძლება, იკითხოთ: „რომელ მხარეს მიმართული?“. თქვენი მარჯვენა ხელის თითები შემოახვიეთ Ck პატარა მარყუჟის ირგვლივ, ისე რომ, მიმართულებას დაემთხვენ. ცერა თითი გაშალეთ და ეს იქნება n^-ის მიმართულება.
  • დავუშვათ, dΣ წარმოადენს ამ პატარა ნაწილის ფართობს (რადგან მალე ველით ზედაპირის ინტეგრალის უსასრულოდ მცირე ფართობის გამოყენებას).
მაშინ F-ის წირითი ინტეგრალი Ck-ის ირგვლივ მიახლოებით შეიძლება, შეფასდეს შემდეგნაირად:
CkFdrინტეგრალინაწილის საზღვრის გარშემო((როტორიF(xk,yk,zk))n^)როტორის კომპონენტი, რომელიც ნაწილის მართობულია dΣნაწილის ფართობი
თუ დარწმუნებული არ ხართ, რომ კარგად გესმით, რას ნიშნავს როტორი ან ვექტორი როგორ წარმოადგენს ბრუნვას, გაიმეორეთ სტატია როტორზე.
აქ წარმოდგენა გვექმნება იმაზე, თუ რატომ გამოდის ეს მიახლოება: როტორიF(xk,yk,zk) არის ვექტორი, რომელიც გვეუბნება, როგორი ბრუნვითი ტენდენცია აქვს F ვექტორული ველის გასწვრივ სითხის დინებას (xk,yk,zk) წერტილთან ახლოს. მაგალითად, თუ წარმოიდგენთ სივრცეში მოფარფატე პატარა ტენისის ბურთს, რომლის ცენტრია (xk,yk,zk) წერტილი, როტორიF(xk,yk,zk) ვექტორი აღწერს გზას, რომლითაც მის ირგვლივ ქარის დაბერვით გამოწვეული ბრუნვა დახასიათდება. ეს იგივე იმის თქმაა, რომ ვექტორი მიმართულია ბრუნვის ღერძის გასწვრივ და მისი აბსოლუტური სიდიდე ბრუნვის სიჩქარის პროპორციულია.
როცა ვიღებთ n^ როტორული ვექტორისა და ზედაპირის ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორის სკალარულ ნამრავლს, მივიღებთ როტორული ვექტორის კომპონენტს, რომელიც ზედაპირის მართობულია. ეს აღწერს თავად ზედაპირზე სითხის ბრუნვის სიჩქარეს. მეორე მხრივ, სითხის ეს პატარა ბრუნვაც აღიწერება ამ პატარა ნაწილის საზღვრის ირგვლივ წირითი ინტეგრალით: CkFdr.
უფრო ზუსტად, წირითი ინტეგრალი იძლევა ძალიან პატარა რიცხვს (რადგან Ck ძალიან მოკლეა), მაგრამ როტორიF(xk,yk,zk) იძლევა რიცხვს, რომელსაც არ აინტერესებს (xk,yk,zk)-ის შემცველი ნაწილის ზომა. ამიტომ ჩვენ როტორის შესაბამის კომპონენტს ვამცირებთ პატარა ნაწილის ფართობით.
CkFdrინტეგრალინაწილის საზღვრის გარშემო((როტორიF(xk,yk,zk))n^)როტორის კომპონენტი, რომელიც ნაწილის მართობულია dΣნაწილის ფართობი
(ამ მიახლოების უფრო სიღრმისეულად გასაგებად შეხედეთ სამ განზომილებაში როტორის ფორმალურ განმარტებას.)

როტორის ზედაპირის ინტეგრალი

ბოლო ორი სექციის იდეის კომბინირებით შემდეგს ვიღებთ:
CFdrინტეგრალი მთელი ზედაპირის ზღვარზეk=1nCkFdrმცირე ნაწილების გარშემო აღებული ინტეგრალების ჯამიk=1ncurlF(xk,yk,zk)n^dΣგამოიყენეთ როტორით მიახლოება თითოეული ნაწილისთვის
როცა რაღაცებს უფრო და უფრო თხლად ვჭრით, საბოლოო ჯამი უახლოვდება (როტორFn^)-ის ზედაპირის ინტეგრალს S ზედაპირზე (თუ ეს მართლა არ გეჩვენებათ ლოგიკურად, მიმოიხილეთ სტატია ზედაპირის ინტეგრალებზე)..
k=1nროტორიF(xk,yk,zk)n^dΣრადგან S უფრო და უფრო თხლად იჭრებაSროტორიFn^dΣ
ამ ყველაფრის შეჯმაებით ვიღებთ შემდეგ შესანიშნავ განტოლებას, რომელიც სტოქსის თეორემადაა ცნობილი:
CFdr=ScurlFn^dΣ

მიმართულების განლაგება

ზედაპირები მიმართულია ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორების არჩეული მიმართულებით. მაგალითად, თქვენ ხშირად ნახავთ ზედაპირს, რომელიც ორიენტირდება გარეთ მიმართული ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორით (თუმცა, ყველა ზედაპირს არ აქვს გარეთ და შიგნით მიმართული ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორების ჩანაწერი).
მრუდები ორიენტირდება მათი მხები ვექტორების არჩეული მიმართულებით.
სტოქსის თეორემამ რომ იმუშაოს, ზედაპირისა და მისი საზღვრის ორიენტაცია სწორად უნდა „შეესაბამებოდეს“. სხვა შემთხვევაში, განტოლება აცდენილი იქნება 1 მამრავლით. აქ მოცემულია რამდენიმე განსხვავებული გზა, რომლითაც ადამიანები აღწერენ, თუ როგორ გამოიყურება ეს შესაბამება; ყველა მათგანი ერთ რამეს აღწერს:
  • თუ ზედაპირს ისე შეხედავთ, რომ ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორები თქვენი სახისკენ იქნება მიმართული, მრუდი უნდა იყოს მიმართული საათის ისრის საწინააღმდეგო მიმართულებით.
  • მრუდის ორიენტაცია უნდა მიჰყვებოდეს მარჯვენა ხელის წესს იმ ლოგიკით, რომ თუ მარჯვენა ხელის ცერა თითს გაშლით ერთეულოვანი ზედაპირის საზღვართან ახლოს ნორმალური ვექტორის მიმართულებით და თითებს შეკრავთ, მათი მიმართულება მრუდზე უნდა შეესაბამებოდეს მის ორიენტაციას.
  • როცა საზღვარ მრუდზე ისე მოძრაობთ, რომ თქვენი სხეული მიმართული იყოს ერთეულოვანი ნორმალური ვექტორის საწინააღმდეგოდ, ისე უნდა მოძრაობდეთ, რომ ზედაპირი იყოს თქვენს მარცხენა მხარეს.

ბუშტების გაბერვა

აქ მოცემულია მაგარი რაღაც სტოქსის თეორემაზე: თავად ზედაპირს არ აქვს მნიშვნელობა, მნიშვნელოვანი მხოლოდ თავად საზღვარია.
მაგალითად, წარმოიდგინეთ კონკრეტული მარყუჯი სივრცეში და იფიქრეთ, რამდენ განსხვავებულ ზედაპირს შეიძლება, ჰქონდეს იგივე მარყუჟი ზღვრად; ყველა განსხვავებული საპნის ბუშტი, რომელიც ამ ერთი მარყუჟიდან შეიძლება, გამოვიდეს:
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი
ნაბისმიერი მოცემული F(x,y,z) ვექტორული ველისთვის, ზედაპირის ინტეგრალი SროტორიFn^dΣ იგივე იქნება თითოეული ზედაპირისთვის. სიგიჟეა, არა! ეს ზედაპირის ინტეგრალები მოიცავს სივრცეში სრულიად განსხვავებულ წერტილებზე სრულიად განსხვავებული მნიშვნელობების შეკრებას და ისინი ტოლი გამოდის, მხოლოდ იმიტომ, რომ საერთო ზღვარი აქვთ.
ეს გეუბნებათ, თუ რამდენად განსაკუთრებულია როტორი ვექტორული ველები, რადგან ვექტორული ველების უმეტესობისთვის, ზედაპირის ფართობი აბსოლუტურად დამოკიდებულია კონკრეტულ მოცემულ ზედაპირზე. თუ ისწავლეთ კონსერვატიული ვექტორული ველები, ეს ტრაექტორიაზე დამოუკიდებლობისა და შესაბამისად, გრადინეტი ვექტორული ველების განსაკუთრებულობის იდენტურია.

რა მოხდება, თუ არ გვაქვს საზღვარი?

თუ გაქვთ ჩაკეტილი ზედაპირი, როგორიცაა სფერო ან ტოროიდი, მაშინ არ გვაქვს საზღვარი. ეს იმას ნიშნავს, რომ „ზღვრის გასწვრივს წირითი ინტეგრალი“ ნულია და სტოქსის თეორემა შემდეგნაირად იკითხება:
SროტორიFn^dΣ=0
თუ დაუბრუნდებით ზედაპირის ისე დაშლას, რომ მიიღოთ ბევრი პატარა წირითი ინტეგრალი, ეს ფაქტიურად ამბობს, რომ ყველა პატარა წირითი ინტეგრრალი ისე ბათილდება, რომ მათი მუშაობის მაჩვენებელი არაფერი რჩება.

შეჯამება

  • სტოქსის თეორემა გრინის თეორემის სამგანზომილებიან ვერსიაში.
SS არის ზედაპირი სამ განზომილებაში(როტორიFn^)dΣზედაპირული ინტეგრალიროტორის ვექტორული ველი=CFdrწირითი ინტეგრალიზედაპირის ზღვრის გარშემო
  • CFdr წირითი ინტეგრალი გვეუბნება, F-ის გასწვრივ სითხის დინებას რამდენად ახასიათებს ბრუნვა S ზედაპირის C საზღვრის ირგვლივ.
  • მარცხენა მხარის ზედაპირის ინტეგრალი შეგვიძლია, დავინახოთ, როგორც თავად S ზედაპირზე სითხის ბრუნვის პატარა ნაწილების დაჯამება. curlF ვექტორი აღწერს თითოეული წერტილის სითხის ბრუნვას და თითოეულზე ნიშნავს ზედაპირის ერთეულოვან ნორმალურ ვექტორს, n^-ს, გამოჰყავს სითხის ბრუნვის კომპონენტი, რომელიც თავად ზედაპირზე ხდება.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.