სტოკსის თეორემა

$\displaystyle\oint_\redE{C}\blueE{\textbf{F}} \cdot d \textbf{r}$\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

$\displaystyle\oint_\redE{C}\blueE{\textbf{F}} \cdot d \textbf{r}$\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

$\displaystyle \underbrace{ \oint_{\greenE{C_1}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} + \oint_{\goldE{C_2}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\text{გააბათილეთ $\redE{S}$-ზე გამავალი ჭრა}} = \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}$start underbrace, \oint, start subscript, start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, end underbrace, start subscript, start text, გ, ა, ა, ბ, ა, თ, ი, ლ, ე, თ, space, start color #bc2612, S, end color #bc2612, negative, ზ, ე, space, გ, ა, მ, ა, ვ, ა, ლ, ი, space, ჭ, რ, ა, end text, end subscript, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

$\displaystyle \underbrace{ \sum_{k = 1}^n \oint_{\redE{C_k}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\text{გააბათილეთ $\redE{S}$-ზე გამავალი ჭრა}} = \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r}$start underbrace, sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, end underbrace, start subscript, start text, გ, ა, ა, ბ, ა, თ, ი, ლ, ე, თ, space, start color #bc2612, S, end color #bc2612, negative, ზ, ე, space, გ, ა, მ, ა, ვ, ა, ლ, ი, space, ჭ, რ, ა, end text, end subscript, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\text{ინტეგრალი}\\ \text{ნაწილის საზღვრის გარშემო}\end{array}}{\underbrace{{\oint }_{C_k}\mathbf{\text{F}}\cdot d\mathbf{\text{r}}}}\approx \stackrel{\text{როტორის კომპონენტი, რომელიც ნაწილის მართობულია}}{\overbrace{((\text{როტორი}\mathbf{\text{F}}(x_k,y_k,z_k))\cdot \widehat{\mathbf{\text{n}}})}}\underset{\text{ნაწილის ფართობი}}{\underbrace{d\mathrm{\Sigma }}}}$‍

${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}\text{ინტეგრალი}\\ \text{ნაწილის საზღვრის გარშემო}\end{array}}{\underbrace{{\oint }_{C_k}\mathbf{\text{F}}\cdot d\mathbf{\text{r}}}}\approx \stackrel{\text{როტორის კომპონენტი, რომელიც ნაწილის მართობულია}}{\overbrace{((\text{როტორი}\mathbf{\text{F}}(x_k,y_k,z_k))\cdot \widehat{\mathbf{\text{n}}})}}\underset{\text{ნაწილის ფართობი}}{\underbrace{d\mathrm{\Sigma }}}}$‍

$\begin{aligned} &\underbrace{ \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{ინტეგრალი }\\ \text{მთელი ზედაპირის ზღვარზე} }} \\\\ &\qquad\qquad \downarrow \\\\ &\underbrace{ \sum_{k = 1}^n \oint_{\redE{C_k}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\text{მცირე ნაწილების გარშემო აღებული ინტეგრალების ჯამი}} \\\\ &\qquad\qquad \downarrow \\\\ &\underbrace{ \sum_{k = 1}^n \text{curl}\,\blueE{\textbf{F}} \goldE{(x_k, y_k, z_k)} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \;\redE{d\Sigma} }_{\text{გამოიყენეთ როტორით მიახლოება თითოეული ნაწილისთვის}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\sum_{k = 1}^n \text{როტორი}\,\blueE{\textbf{F}} \goldE{(x_k, y_k, z_k)} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \;\redE{d\Sigma} \\\\ &\qquad\qquad \downarrow \small{\gray{\text{რადგან $\redE{S}$ უფრო და უფრო თხლად იჭრება}}} \\\\ &\iint_{\redE{S}} \text{როტორი}\,\blueE{\textbf{F}}\cdot\greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \iint_{\redE{S}} \text{curl}\,\blueE{\textbf{F}}\cdot\greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \iint_{\redE{S}} \text{როტორი}\,\blueE{\textbf{F}}\cdot\greenE{\hat{\textbf{n}}} \; \redE{d\Sigma} = 0 \end{aligned}$

$\displaystyle \overbrace{ \underbrace{ \iint_\redE{S} }_{\text{$\redE{S}$ არის ზედაპირი სამ განზომილებაში}} \!\!\!\!\!\!\!\!\! \big( \text{როტორი}\,\blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \big) d\Sigma }^{\substack{ \text{ზედაპირული ინტეგრალი} \\ \text{როტორის ვექტორული ველი} }} = \!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{წირითი ინტეგრალი} \\ \text{ზედაპირის ზღვრის გარშემო} }}$