პერიოდული ათწილადის გადაქცევა წილადად (ნაწილი 2 2-დან)

წინა ვიდეოში გავაკეთეთ რამდენიმე სავარჯიშო, სადაც ერთი ციფრი უსასრულოდ მეორდებოდა. შევძელით და ისინი გადავაქციეთ წილადებად. ამ ვიდეოში გვინდა, რომ უფრო რთულსა და საინტერესო საკითხს შევეხოთ, რაც რამდენიმე ციფრის უსასრულოდ გამეორებას გულისხმობს. ვთქვათ, გვაქვს უსასრულოდ განმეორებადი 0.36, რაც იგივეა-- რადგან ხაზი ორივეს თავზეა, ანუ სამიც მეორდება და ექვსიც: სამი ექვსი, სამი ექვსი, სამი ექვსი... და ასე გრძელდება უსასრულოდ. ასეთი ამოცანების ამოხსნის მთავარი იდეაა, რომ ათზე გამრავლების ნაცვლად-- წინა ვიდეოში როგორც გავაკეთეთ: ვთქვით, რომ ეს უდრის x-ს. ათზე გამრავლება არ გამოგვადგება, რადგან მხოლოდ ერთით გადაგვინაცვლებს. ჩვენ ისე უნდა გადავწიოთ რომ შეგვეძლოს... როდესაც ჩამოვწერთ, მეათედების ადგილზე ,ანუ მძიმის მარჯვნივ, ერთმანეთის გასწვრივ უნდა განთავსდნენ. ამისთვის მძიმე ორით უნდა გადავწიოთ. ანუ ასზე, ანუ ათი ხარისხად ორზე უნდა გავამრავლოთ. რა გამოვიდა, რისი ტოლი იქნება 100 x? ორით მარჯვნივ ვწევთ: ერთი, ორი, ანუ 100 x იქნება... მძიმე აქ გვექნება: ანუ 36.36....36....36 და ასე უსასრულოდ. x გადმოვწეროთ ქვემოთ. შემდეგ ამას გამოვაკლებთ 100 x-ს. x ტოლია 0.363636...-ის, რომელიც მეორდება უსასრულოდ. ალბათ შენიშნეთ, რომ 100-ზე გამრავლებისას სამიანები და ექვსიანები კვლავ ერთად არიან. მეათედებს რომ ვამწკრივებთ, უნდა დააკვირდეთ, რომ ისინი სწორად მწკრივდებიან. მიზეზი რის გამოც ეს საჭიროა ისაა, რომ როცა 100 x-ს გამოვაკლებთ x-ს, განმეორებადი ნაწილები გაბათილდება. მოდით, გავიგოთ ამათი სხვაობა. მარცხენივ გვაქვს 100x-ს მინუს x, ანუ 99x. მარჯვნივ კი, ეს ნაწილები ბათილდება და გვრჩება 36. ორივე მხარე გავყოთ 99-ზე და მივიღებთ, რომ x უდრის 36/99-ს. მრიცხველიც და მნიშვნელიც იყოფა ცხრაზე, ამიტომ შევკვეცოთ ისინი. მრიცხველის ცხრაზე გაყოფით ოთხს ვიღებთ, მნიშვნელის ცხრაზე გაყოფით კი 11-ს. ანუ უსასრულო ათწილადი 0.363636 არის ოთხი მეთერთმეტედი. კიდევ ერთი საინტერესო რამ გავაკეთოთ. დავუშვათ, გვაქვს... - x-ს გავუტოლებ - დავუშვათ, მოცემული გვაქვს რიცხვი 0.714, სადაც 14 მეორდება. დაუკვირდით, 7, 1, 4 არ მეორდება, მხოლოდ 14 მეორდება. ანუ ეს იქნება 0.714, 14, 14.. და ასე უსასრულოდ. ეს გავუტოლოთ x-ს. შეიძლება, ხელი გაგექცეთ და 1000-ზე გაამრავლოთ, რომ ათწილადი მოიშოროთ და 714 მიიღოთ. თუმცა ამის გაკეთება არ გვჭირდება, ნიშნის ცოტათი გადაწევა გვინდა, რომ განმეორებადი ნაწილი თავისი თავის ქვეშ იყოს, როცა გამოვაკლებთ. მიუხედავად იმისა, რომ სამი ციფრი გვაქვს ათწილადის ნიშნის მარჯვნივ, რადგან ორი მათგანი მეორდება, უნდა გავამრავლოთ ათი ხარისხად ორზე, ანუ 100-ზე. 100x უდრის... - ათწილადის ნიშანი ორით მარჯვნივ გადავწიოთ - ერთი... ორი... ანუ, გვექნება 71.414141 და ა.შ. ქვეშ x დავუწეროთ. გვაქვს x უდრის 0.1714, 14, 14 ... ყურადღება მიაქციეთ, ახლა 14, 14, 14-ები ერთმანეთის გასწვრივაა. ანუ სწორად გამოკლება გამოგვივა. ახლა გამოვაკლოთ: 100x-ს მინუს x 99x-ია, რაც ტოლი იქნება... ეს 14-ები გაბათილდება და 71.4-ს უნდა გამოვაკლოთ 0.7, ზეპირადაც შეგვიძლია გამოკლება. ან დავწეროთ: ეს იქნება 14, ეს ნული. ანუ 14-ს ვაკლებთ შვიდს, შემდეგ კი 70-ს ვაკლებთ ნულს, ანუ 99x უდრის 70.7-ს. ორივე მხარე გავყოთ 99-ზე. შენიშნავდით, რომ რაღაც უცნაური ხდება, რადგან კვლავ ათწილადი გვაქვს, მაგრამ ბოლოს გამოვასწოროთ ეს. ორივე მხარე 99-ზე გავყოთ: მივიღებთ, რომ x უდრის 70.7 გავყოთ 99-ზე. წმინდა წილადად ჯერ არ გადაგვიქცევია, მრიცხველში ისევ ათწილადი გვაქვს, მაგრამ ეს მარტივად მოგვარებადია. უბრალოდ ათზე უნდა გავამრავლოთ მრიცხველიც და მნიშვნელიც და ასე მოვიშორებთ ათწილადს. გავამრავლოთ მრიცხველიც და მნიშვნელიც ათზე და მივიღებთ 707/990-ს. კიდევ ერთი მაგალითი გავაკეთოთ. ვთქვათ, რაღაც ასეთი გავქვს: 3.257, რომელიც უსასრულო, ანუ პერიოდული ათწილადია და გვინდა, რომ მისგან მივიღოთ წილადი. კვლავ x-ს გავუტოლოთ. ორი ხუთი შვიდი მეორდება უსასრულოდ. რადგან სამი ციფრი მეორდება, 1000-ზე უნდა გავამრავლოთ ორივე მხარე. გვექნება ათი ხარისხად სამი x. აქ კი მძიმე სამით მარჯვნივ გადმოვა, რათა განმეორებადი ნაწილები გაბათილდეს. რისი ტოლი იქნება 1000x? მძიმე გადავწიოთ მარჯვნივ, ერთი, ორი, სამი... მივიღებთ 3257 მთელ 257-ს, რომელიც მეორდება. 257, 257, 257 და ასე უსასრულოდ. ამას უნდა გამოვაკლოთ x. ესეც ჩვენი x: x უდრის სამ-- უნდა დავრწმუნდეთ, რომ გასწვრივ გვიწერია მეათედები. 3.257 257 257... ასე გრძელდება უსასრულოდ. ყურადღება მიაქციეთ, 1000-ზე გამრავლებით ისე ლაგდება 257-ები, რომ გამოკლებისას განმეორებადი ნაწილი ბათილდება. მოდით, გამოვაკლოთ. მარცხნივ, 1000-ს მინუს ერთი იქნება 999. ეს უდრის: ესენი გაბათილდება, ეს უდრის: მოდით, ვნახოთ: შვიდს მინუს სამი ოთხია, კიდევ გვაქვს ხუთი, ორი და სამი. ანუ 999x უდრის 3254-ს. ორივე მხარე გავყოთ 999-ზე. მივიღებთ, რომ x უდრის 3254/999-ს. არაწესიერი წილადია, რადგან მრიცხველი მნიშვნელზე მეტია. წესიერ წილადად რომ ვაქციოთ, რას უდრის პერიოდული ათწილადი 0.257, სამი კი შერეული წილადის მთელი ნაწილი იყოს. ან შეგვიძლია 3254 გავყოთ 999-ზე. ამის გაკეთება საკმაოდ მარტივია: 999 სამჯერ მოთავსდება 3254-ში, ნაშთი კი: 999 3254-ში სამჯერ ეტევა, ეს ვიცით იქიდან, რომ თავიდანვე მოცემული გვქონდა, რომ ეს 3.257-ია. ახლა ნაშთი უნდა ვიპოვოთ. სამჯერ ცხრა 27-ია, ამ ორს ვამატებთ და ვიღებთ 29-ს. სამჯერ ცხრა 27-ს უდრის, ორი დავამატეთ, მივიღეთ 29. თუ გამოვაკლებთ, თუ გადავაჯგუფებთ ან ვისესხებთ - როგორც გინდათ, ისე უწოდეთ, ეს იქნება 14, ეს კი ოთხი. (ახალ ფერს გამოვიყენებ) ეს იქნება ოთხი, ოთხი კვლავ ნაკლებია ცხრაზე, ანუ ისევ უნდა ვისესხოთ. ეს 14-ია, ეს კი ერთი, მაგრამ ეს ისევ ცხრაზე ნაკლებია, ანუ კიდევ ვსესხულობთ. ეს იქნება 11, ეს კი ორი. 14-ს მინუს შვიდი შვიდია, 14-ს მინუს ცხრა ხუთია, 11-ს მინუს ცხრა კი ორია, ანუ მივიღეთ-- სწორად გავაკეთე? სწორად გამიკეთებია. ეს იქნება სამი მთელი 257/999-ის ტოლი. ესეც ასე! მოვრჩით.