ძირითადი მასალა

ალგებრა (ყველა მასალა)

კურსი: ალგებრა (ყველა მასალა) > თემა 9

გაკვეთილი 7: კვადრატული განტოლების ფორმულა

რა არის კვადრატული ფორმულა

უფრო ღრმად გაეცანით კვადრატული განტოლების ფორმულას და ისწავლეთ, როგორ გამოიყენება ის კვადრატულ განტოლებებში.

კვადრატული განტოლების ფორმულა გეხმარებათ კვადრატული განტოლებების ამოხსნაში და ხუთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკური ფორმულიდან ერთ-ერთია. ჩვენ არ გვინდა, რომ ფორმულებს იზეპირებდეთ, მაგრამ ეს ფორმულა ძალიან გამოსადეგია (და ვფიქრობთ, უნდა იცოდეთ, როგორ ხდება ამ ფორმულის გაწარმოებაც, მაგრამ ამაზე მომდევნო ვიდეოში ვისაუბრებთ!).
თუ ასეთი ზოგადი კვადრატული განტოლება გაქვთ:

a x^{2} + b x + c = 0

ეს ფორმულა დაგეხმარებათ კვადრატული განტოლების ფესვების პოვნაში, ანუ,

x

-ის იმ მნიშვნელობების პოვნაში, რომლებისთვისაც ეს განტოლება სრულდება.

კვადრატული განტოლების ფორმულა

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

შეიძლება, ცოტა რთული გეჩვენოთ, მაგრამ მალე მიეჩვევით!
ახლა დაიწყეთ ვარჯიში ამ ფორმულის გამოყენებაში.

დამუშავებული მაგალითი

პირველ რიგში, დავადგინოთ a-ს, b-სა და c-ს (კოეფიციენტები) მნიშვნელობები. თავდაპირველად, დარწმუნდით, რომ ეს განტოლება ზემოთ მოცემული მაგალითის სახითაა ჩაწერილი,

a x^{2} + b x + c = 0

x^{2} + 4 x - 21 = 0

$a$ ‍ არის $x^{2}$ ‍–ის კოეფიციენტი, ანუ, ამ შემთხვევაში $a = 1$ ‍ (მიაქციეთ ყურადღება, რომ $a$ ‍ ვერ იქნება $0$ ‍ -- $x^{2}$ ‍ გამოსახულებას კვადრატულს ხდის).
$b$ ‍ არის $x$ ‍–ის კოეფიციენტი, ანუ, ამ შემთხვევაში $b = 4$ ‍.
$c$ ‍ არის მუდმივა, ანუ, წევრი რომელიც არ შეიცავს $x$ ‍–ს, აქ $c = - 21$ ‍.

შემდეგ ჩავსვათ

a

b

და

c

ფორმულაში:

x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2}

ამ განტოლების ამოხსნა ასე გამოიყურება:

\begin{aligned} x & = \frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2} \\ = \frac{- 4 \pm 10}{2} \\ = - 2 \pm 5 \end{aligned}

ანუ,

x = 3

x = - 7

რას გვეუბნება ამონახსნი?

ეს ორი მნიშვნელობა განტოლების x ღერძთან გადაკვეთის წერტილია, ანუ, სწორედ ამ წერტილებში გადაკვეთს მრუდი x ღერძს. გრაფიკულად

x^{2} + 3 x - 4 = 0

lასე გამოიყურება:

სადაც კვადრატული განტოლების ფორმულის ამონახსნები და გადაკვეთის წერტილებია

x = - 4

და

x = 1

ახლა კვადრატული განტოლების ამოხსნა მამრავლებად დაშლით, სრულ კვადრატამდე შევსებითა ან გრაფიკულად ასახვით შეგიძლიათ. ფორმულა რაღად გვჭირდება?

იმიტომ რომ ხანდახან კვადრატული განტოლებების ამოხსნა გაცილებით რთულია, ვიდრე პირველი მაგალითის.

მეორე დამუშავებული მაგალითი

ვცადოთ ეს მეთოდი იმ განტოლებასთან მიმართებით, რომლის მამრავლებად დაშლა რთულია:

3 x^{2} + 6 x = - 10

პირველ რიგში, ისეთ სახემდე მივიყვანოთ, სადაც ყველა წევრი მარცხენა მხარეს იქნება თავმოყრილი:

\underset{a}{\underset{⏟}{(3)}} x^{2} + \underset{b}{\underset{⏟}{(6)}} x + \underset{c}{\underset{⏟}{(10)}} = 0

ფორმულა გვაძლევს შემდეგს:

\begin{aligned} x & = \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 120}}{6} \\ = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 84}}{6} \end{aligned}

ვიცით, რომ უარყოფითი რიცხვიდან ფესვს ვერ ამოვიღებთ, თუკი წარმოსახვით რიცხვებს არ გამოვიყენებთ, ეს კი იმას ნიშნავს, რომ ამ განტოლებას ნამდვილი ამონახსნი არ აქვს. ეს ნიშნავს, რომ ვერცერთ წერტილში ვერ გვექნება

y = 0

, ანუ, ფუნქცია არ გადაკვეთს x ღერძს. ეს კარგად ჩანს კალკულატორში აგებული გრაფიკიდანაც:

ახლა უკვე იცით კვადრატული ფორმულის საფუძვლები!
ვიდეოებში კიდევ ბევრი ამოხსნილი მაგალითის ნახვა შეგიძლიათ.

რჩევები კვადრატული განტოლების ფორმულის გამოყენებისას

გადაამოწმეთ, რომ განტოლება სწორად გქონდეთ დალაგებული: $a x^{2} + b x + c = 0$ ‍, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ის არ იმუშავებს!
დარწმუნდით, რომ მთელი $(b^{2} - 4 a c)$ ‍-დან იღებთ კვადრატულ ფესვს და რომ $2 a$ ‍ არის იმ ყველაფრის მნიშვნელი, რაც მის ზემოთ წერია
დააკვირდით უარყოფით რიცხვებს: $b^{2}$ ‍ ვერ იქნება უარყოფითი, ამიტომ, თუ $b$ ‍ თავდაპირველად არის უარყოფითი, დარწმუნებული იყავით, რომ ის დადებითი გახდება კვადრატში აყვანისთანავე, რადგან კვადრატში აყვანილი რიცხვი, უაყოფითია ის თუ დადებითი, მაინც დადებითი იქნება
შეინარჩუნეთ $+ / -$ ‍ და ყოველთვის ეძებეთ ორი ამონახსნი
კალკულატორის გამოყენებისას გაითვალისწინეთ, რომ პასუხი შეიძლება რიცხვის რომელიმე თანრიგამდე იყოს დამრგვალებული. თუ ზუსტ პასუხს გეკითხებიან (როგორც ეს ძირითადად ხდება) და კვადრატული ფესვი ადვილად არ მარტივდება, დატოვეთ პასუხში კვადრატული ფესვები, მაგ. $\frac{2 - \sqrt{10}}{2}$ ‍ და $\frac{2 + \sqrt{10}}{2}$ ‍

შემდეგი ნაბიჯი:

ივარჯიშეთ კვადრატული განტოლების გამოყენებაში.
უყურეთ, როგორ ხსნის სალი მაგალითს:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

Worked example: quadratic formulaვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

დაამტკიცეთ კვადრატული განტოლების ფორმულა:

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

Proof of the quadratic formulaვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.