ძირითადი მასალა

კურსი: მრავალცვლადიანი კალკულუსი > თემა 4

გაკვეთილი 2: წრფივი ინტეგრალები სკალარული ფუნქციებისთვის (სტატიები)

ფუნქციების გრაფიკების რკალის სიგრძე, შესავალი

Google–ის საკლასო ოთახი

მრუდის სიგრძე, სახელად „რკალის სიგრძე“, გაკრვეული ინტეგრალის აღებით შეგვიძლია ვიპოვოთ.

ფონი

ჩვეულებრივი ინტეგრალები

რა არის რკალის სიგრძე?

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

სიგრძეს ჩვეულებრივ სწორი ხაზით ვზომავთ, მაგრამ მრუდებსაც აქვთ სიგრძე. ცნობილი მაგალითია წრეწირის პერიმეტრი, რომელიც

2 π r

-ს უდრის

r

-ის ტოლი რადიუსისთვის. ზოგადად, მრუდის სიგრძეს ეწოდება რკალის სიგრძე. მაგრამ როგორ ვპულობთ ნებისმიერი მრუდის რკალის სიგრძეს? მოდით, ვიპოვოთ.

რის აგებას ვცდილობთ

მრუდის რკალის სიგრძე შეგიძლიათ, იპოვოთ ინტეგრალით, რომელიც დაახლოებით ასე გამოიყურება:
$\int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}$ ‍
ამ ინტეგრალის ზღვრები დამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ განვსაზღვრავთ მრუდს.
თუ მრუდი არის $y = f (x)$ ‍ ფუნქციის გრაფიკი, ინტეგრალში $d y$ ‍ წევრი შეცვალეთ $f^{'} (x) d x$ ‍-ით და შემდეგ ფრჩხილებს გარეთ გაიტანეთ $d x$ ‍.

მოთელვა: რკალის სიგრძის მიახლოებით პოვნა

მოდით, შევხედოთ შემდეგი განტოლებით განსაზღვრულ პარაბოლას:

$y = f (x) = x^{2}$ ‍

განიხილეთ მრუდის წილი

x = - 2

-სა და

x = 2

-ს შორის.

საკვანძო შეკითხვა: რას უდრის ამ მრუდის რკალის სიგრძე?

შეკითხვა ნათელი რომ გავხადოთ, წარმოიდგინეთ, რომ მრუდი არის სიმი. თქვენ ამ მრუდს ჭიმავთ და ზომავთ სახაზავით.

ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ვიდეოს ტრანსკრიპტის ნახვა

გამოცნობა რომ ყოფილიყო საჭირო, შეგეძლოთ ამ მრუდის მიახლოებით გაზომვა რაიმე ხაზებით. აი, როგორ შეიძლება, ეს გამოიყურებოდეს:

ხაზი $(- 2, 4)$ ‍-დან $(- 1, 1)$ ‍-მდე
ხაზი $(- 1, 1)$ ‍-დან $(0, 0)$ ‍-მდე
ხაზი $(0, 0)$ ‍-დან $(1, 1)$ ‍-მდე
ხაზი $(1, 1)$ ‍-დან $(2, 4)$ ‍-მდე

მოსაბეზრებელი იქნებოდა, მაგრამ შეგეძლოთ, გამოგეთვალათ თითოეული მონაკვეთის სიგრძე პითაგორას თეორემის გამოყენებით და შემდეგ შეგეკრიბათ.

კონცეფციის შემოწმება: რას უდრის

(- 2, 4)

და

(- 1, 1)

წერტილებს შემაერთებელი მონაკვეთის სიგრძე?

პასუხი შეიყვანეთ ზუსტი ფორმით, კვადრატული ფესვით:

განიხილეთ აქ გამოსახული სამკუთხედი:

ჰიპოტენუზა არის მონაკვეთი (ხაზი), რომლის სიგრძის გამოთვლაც გვინდა. ერთი კათეტი

x

ღერძის პარალელურია და მისი სიგრძეა

$- 1 - (- 2) = 1$ ‍,

მეორე კათეტი

y

ღერძის პარალელურია და მისი სიგრძეა

$4 - 1 = 3$ ‍.

შესაბამისად, ჰიპოტენუზის სიგრძეა

$\sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$ ‍

უფრო ზუსტი შეფასებისთვის, შეგეძლოთ გამოგეყენებინათ ბევრი პატარა ხაზი.

თითოეული მათგანის სიგრძის გამოთვლა საშინლად დამღლელი იქნებოდა, მაგრამ მოდით, დავშალოთ, რომ ვნახოთ, თუ როგორი იქნებოდა. მიუახლოვდით ერთ-ერთ პატარა ხაზს.

მოდით, ჯერ შევხედოთ

x

მნიშვნელობის ცვლილებას მონაკვეთის თავიდან ბოლომდე. მოდით, ამას ვუწოდოთ

Δ x

. ამის მსგავსად,

y

მნიშვნელობის ცვლილება იყოს

Δ y

. მაშინ, პითაგორას თეორემის გამოყენებით, ამ მონაკვეთის სიგრძე შემდეგნაირად შეგვიძლია, დავწეროთ

$\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ ‍

მაშინ ამ მრუდის სიგრძის მიახლოებითი მნიშვნელობა იქნება ყველა ამ პატარა მონაკვეთის სიგრძეების ჯამი. როცა ასეთ იდეას სიმბოლოებით გამოვხატავთ, დამწერი ჩვეულებრივ ამდაგვარ მსუბუქ ჩანაწერს იყენებს:

$\sum_{ყველა წრფე} \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ ‍

შეიძლება, მიჩვეული ხართ ასეთი ჯამების წაკითხვას:

$\begin{array}{r} \sum_{n = 1}^{100} n^{2} \end{array}$ ‍

$n$ ‍ ცვლადი ცნობილია, როგორც საინდექსო ცვლადი.
ამ საინდექსო ცვლადს აქვს კონკრეტული დიაპაზონი, ამ შემთხვევაში - $1$ ‍-დან $100$ ‍-მდე.
ჯამის შიგნით მოცემულ ნაწილს, ამ შემთხვევაში $n^{2}$ ‍-ს, ეწოდება შესაკრები და იწერება $n$ ‍-ის მიმართ.

რომ შევადაროთ, ჯამი, რომელიც დავწერრე პარაბოლას სიგრძის მიახლოებით გამოსათვლელად, სულაც არაა მკაცრი ჩანაწერი.

$\begin{array}{r} \sum_{ყველა პატარა ხაზი} \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}} \end{array}$ ‍

მას არ აქვს საინდექსო ცვლადი,
არ არის დასახელებული დიაპაზონი,
შესაკრები ნამდვილად არაა ჩაწერილი საინდექსო ცვლადით (რადგან იგი საერთოდ არ გვაქვს).

სიზარმაცის გამო ეს გრჩებათ თქვენ, ჭკვიან მკითხველს, რომ მიხვდეთ მას კონტექსტში. კონკრეტულად ჩვენი მსჯელობის კონტექსტში არის ბევრი პატარა მონაკვეთი, რომელიც მიახლოებით აფასებს პარაბოლას, ასე რომ, სიტყვები „ყველა პატარა ხაზი“ მოვათავსე

Σ

-ს ქვეშ. ასევე გასაგები უნდა იყოს, რომ

\sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}

შესაკრები დამოკიდებულია იმაზე, თუ კონკრეტულად რომელი პატარა ხაზი განიხილება. ასევე

Δ x

და

Δ y

გამოსახულებები არაა მოცემული ფორმულით, მაგრამ წინა პარაგრაფში ქართული სიტყვების გამოყენებით იყო ახსნილი.

მნიშვნელოვანია, შეგვეძლოს ასეთი მსუბუქი ჩანაწერის კითხვა და იმის გაგება, თუ რას ნიშნავს ის. მრავალცვლადიან კალკულუსში რაღაც მსგავსი ხდება ინტეგრალების ჩაწერისისას, სადაც წევრები და ზღვრები სადისკურსიო კონტექსტიდან გამომდინარეობს. სხვათა შორის, ერთ ასეთ მაგალითს მომდევნო სექციაში ნახავთ.

მწერლები ასეთ ჩანაწერს იყენებენ, როცა საკვანძო მიგნება არის უფრო ფართო კონცეპტუალური იდეა და არა კონკრეტული ჩანაწერი, თუმცა, როცა საქმე გამოთვლებამდე მივა, ასეთი ჩანაწერი უფრო მკაცრად განსაზღვრული რაიმეთი მყარდება.

ინტეგრალების შემოტანა

ვნახოთ... მრუდს მიახლოებით ვაფასებთ ბევრი პატარა ნაბიჯით და შემდეგ ვაჯამებთ ძალიან ბევრ და ძალიან პატარა რაღაცებს. რაც უფრო მოკლენაბიჯებიანი და ფართო ჯამი გვექნება, უფრო ზუსტი იქნება შეფასება. გეცნობათ?

სწორედ ასეთი ამოცანებისთვის შეიქმნა ინტეგრალები .

უმეტესობა ინტეგრაციის შესახებ სწავლობს მრუდის ქვეშ ფართობის გამოთვლის კონტექსტში. ამ ფართობის მიახლოებით მნიშვნელობას წარმოიდგენთ ბევრი ვიწრო მართკუთხედით. თითოეულის სიგანე ითვლება

d x

-ად,

x

მნიშვნელობაში რაღაც მცირე ცვლილებად. მართკუთხედის სიმაღლე

x

-ის მოცემულ მნიშვნელობაზე არის

f (x)

. შესაბამისად, თითოეული მართკუთხედის ფართობია

$\overset{სიმაღლე}{\overset{⏞}{f (x)}} \underset{სიგანე}{\underset{⏟}{d x}}$ ‍

სრული ფართობი მრუდის ქვეშ გამოიხატება ინტეგრალით:

$\int_{a}^{b} f (x) d x$ ‍

ინტეგრალი ძლიერი ინსტუმენტია, როგორც - სტეროიდებზე მყოფი

Σ

. ის უბრალოდ კი არ აჯამებს

f (x) d x

მნიშვნელობებს

d x

-ის კონკრეტული მცირე მნიშვნელობისთვის; იგი ასეთი ჯამის ზღვრულ მნიშვნელობას განიხილავს, როცა მცირე

d x

სიგანე მიისწრავფვის

0

-ისკენ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მართკუთხედების გამოყენებით მიღებული მიახლოებითი მნიშვნელობა სულ უფრო უახლოვდება მრუდის ქვეშ რეალურ ფართობს.

მაგრამ ამ ძლიერი ინსტრუმენტის გამოყენება ბევრ ისეთ კონტექსტშია შესაძლებელი, რომელიც არ უკავშირდება მრუდის ქვეშ ფართობს. ყოველ ჯერზე, როცა გრძნობა გაგიჩნდებათ, რომ გინდათ შეკრიბოთ ძალიან ბევრი და ძალიან პატარა რაღაცები, მაშინვე შემოდის ინტეგრალი, რომ ყველაფერი ნაკლებად დამღლელი და უფრო ზუსტი გახადოს.

მაგალითად, ასეთი გრძნობა გიჩნდებათ, როცა რკალის სიგრძეს მიახლოებით აფასებთ ბუნდოვანი ჯამით:

$\sum_{ყველა წრფე} \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}}$ ‍

ასე რომ, მას ინტეგრალად ვაქცევთ:

$\begin{array}{r} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} \end{array}$ ‍

ერთი რამ, რასაც ეს ჩანაწერი კარგად არ ითავსებს, არის ის, რომ

d y

, ერთ-ერთი პატარა შემფასებელი მონაკვეთის სიმაღლის ცვლილება დამოკიდებულია

d x

-ზე, ამ მონაკვეთის ჰორიზონტალურ კომპონენტზე. კონკრეტულად, რადგან მრუდი განსაზღვრულია

y = x^{2}

მობრუნებით, შეგვიძლია, ორივე მხარე გავაწარმოოთ, რათა ვნახოთ, თუ როგორაა

d y

დამოკიდებული

d x

-ზე,

$\begin{aligned} y & = x^{2} \\ d (y) & = d (x^{2}) \\ d y & = 2 x d x \end{aligned}$ ‍

თუ ეს გეუცხოვებათ, განიხილეთ არაცხადი გაწარმოება.

თუ გირჩევნიათ, შეგიძლიათ, წარმოიდგინოთ ორივე მხრიდან

\frac{d}{d x}

ტიპის წარმოებულის აღება და შემდეგ

\frac{d y}{d x}

წილადის გადაჯგუფება.

$\begin{aligned} \frac{d}{d x} y & = \frac{d}{d x} x^{2} \\ \frac{d y}{d x} & = 2 x \\ d y & = 2 x d x \end{aligned}$ ‍

როცა ამას ჩვენს ინტეგრალში ჩავსვამთ, რაღაც უფრო ნაცნობს მივიღებთ.

$\begin{aligned} \int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} & = \int \sqrt{(d x)^{2} + (2 x d x)^{2}} \\ = \int \sqrt{(1 + (2 x)^{2}) (d x)^{2}} \\ = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \end{aligned}$ ‍

მე სპეციალურად ვიზარმაცე, რომ ამ ინტეგრალზე არ მომეთავსებინა ზღვრები, თუმცა, ახლა, როცა ყველაფერი ინტეგრალის შიგნით ჩაწერილია

x

-ის გამოყენებით და

d y

's აღარ გვაფერხებს, ლოგიკურია, რომ ინტეგრების ზღვრები განვსაზღვროთ

x

მნიშვნელობის მიმართ, რაც ამ შემთხვევაში არის

- 2

-დან

2

-მდე.

$\begin{array}{r} \int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \end{array}$ ‍

ახლა, როგორც ჩანს, გვაქვს ისეთი რამ, რისი გამოთვლაც შეგვიძლია. ამ შემთხვევაში ეს საკმაოდ რთული ინტეგრალი აღმოჩნდა, მაგრამ ამ ეპოქაში, საჭიროების შემთხვევაში, შეგვიძლია, კომპიუტერში შევიყვანოთ ინტეგრალები. აზრი იმაშია, რომ მრუდის სიგრძის მიახლოებით შეფასების იდეა პატარა მონაკვეთებით, რაც თავდაპირველად ბუნდოვნად იყო ჩაწერილი მსუბუქი ჩანაწერით, ახლა გადაიქცა კონკრეტულ, გამოთვლად ინტეგრალად.

ჯერჯერობით ამ ინტეგრალის დეტალებზე შეჩერების ნაცვლად (მომდევნო სტატიაში ეს საკმარისზე მეტი გვექნება) მინდა, გამოვკვეთო ამ მაგალითის რამდენიმე მონაკვეთი.

მიგნებები

დასამახსოვრებელი ცენტრალური გამოსახულებაა $\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}$ ‍, რომელიც წარმოადგენს რკალის სიგრძის პატარა ერთეულს $x$ ‍-ისა და $y$ ‍-ის გამოყენებით.
თქვენს მიერ აგებული რკალის სიგრძის ინტეგრალი თავიდან დაახლოებით ასე გამოიყურება:
$\int \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}}$ ‍
ინტეგრალის გამოთვლამდე ჩვენ უნდა ჩაგვეწერა $d y$ ‍ დიფერენციალი $d x$ ‍ დიფერენციალის გამოყენებით. ამის გასაკეთებლად ჩვენ ავიღეთ იმ ფუნქციის წარმოებული, რომელიც განსაზღვრავს მრუდს.
ზოგადად, ინტეგრალის გამოთვლა შეიძლება მხოლოდ ერთი დიფერენციალის მიმართ და დიფერენციალებს შორის კავშირის პოვნა შეიძლება წარმოებულის გამოყენებით.
შეიძლება, აქ ყველაზე დასამახსოვრებელი გაკვეთილი არის ის, რომ ინტეგრალის გამოყენება შეიძლება მრუდის ქვეშ ფართობის გარდა სხვა რაღაცების საპოვნელადაც.

ვარჯიში

თქვენი აღქმის განსამტკიცებლად, რკალის სიგრძის ამოცანებზე შეგიძლიათ, ივარჯიშოთ შემდეგ სტატიაში.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.