If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

აღნიშვნები მრუდი გასწვრივ ინტეგრებისთვის

არსებობს რკალის სგრძის ინტეგრალების გამოხატვის ძალიან კომპაქტური გზა, რომელიც არის ხაზობრივი ინტეგრალების ჩაწერის საფუძველი.

რის აგებას ვცდილობთ

  • რკალის სიგრძის ინტეგრალი
    dx2+dy2
    მისი ალტერნატიული ჩანაწერია
    Cds
    სადაც C წარმოადგენს მრუდს და ds არის dx2+dy2-ის შემოკლებული ფორმა, რომელიც წარმოადგენს მრუდზე უმცირესი ნაბიჯის სიგრძეს.
  • როცა პარამეტრული მრუდი მოცემულია r(t) ვექტორული ფუნქციით atb დიაპაზონში, რკალის სიგრძის ინტეგრალი შემდეგნაირად გამოიყურება
    ab|r(t)|dt
    სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პატარა ds ნაბიჯი მრუდზე არის r(t)-ის წარმოებულის აბსოლუტური სიდიდე
  • ეს არის წირითი ინტეგრალების სტანდარტული ჩანაწერი, რომელსაც მომდევნო სტატიაში გავიცნობთ.

რკალის სიგრძის კომპაქტურად ჩაწერა

როცა ვისაუბრეთ ფუნქციების გრაფიკების რკალის სიგრძის პოვნასა და პარამეტრული მრუდების რკალის სიგრძეზე, დავიწყეთ შემდეგი ფორმის ინტეგრალის აგებით
dx2+dy2
იმის ნაცვლად, რომ ყოველთვის dx2+dy2 ჩავწეროთ რკალის სიგრძის მცირე ცვლილების წარმოსადგენად, ამ მცირე ცვლილების გამომხატველი გავრცელებული პირობითი ჩანაწერია ds.
ds ისევე უნდა წარმოიდგინოთ უმცირეს ნაბიჯად მოცემულ მრუდში, როგორც dx-ს წარმოიდგენთ x მიმართულებაში ან dy-ს - y მიმართულებაში.

ზღვრის მოუხერხებულობის გასწორება

ბოლო ორ სტატიაში ინტეგრალისთვის ზღვრის მიცემას მომავლისთვის ვდებდით
(dx)2+(dy)2
(ახლა ვიცით, რომ ამის ჩაწერა ds ფორმით შეიძლება.)
თუ ინტეგრალში ყველაფერი ჩაწერილია x-ის გამოყენებით, ზღვრებში გვექნება x მნიშვნელობები. თუ ყველაფერი ჩაწერილია t-ს გამოყენებით, ზღვრებში გვექნება t მნიშვნელობები და ა.შ.
თუ არ მოგწონთ, რომ თქვენი ინტეგრალი ასე გამოიყურება, მაგრამ არ გინდათ, რომ დარწმუნებით დაასახელოთ, რომელი ცვლადია საზღვრებზე, იქცევით შემდეგნაირად. თქვენ ამბობთ:
„დავუშვათ, C არის . . .-ით განსაზღვრული მრუდი“
და შემდეგ განაგრძობთ მრუდის განსაზღვებას. შემდეგ ინტეგრალს ქვემოთ უწერთ პატარა C-ს:
Cds
ეს მკითხველს ეუბნება, რომ იპოვოს, თუ სადაა C მრუდი განსაზღვრული, შემდეგ კი, როცა გამოთვლების დრო დადგება, ჩასვას ზღვრის შესაბამისი მნიშვნელობები.
მეორეს მხრივ, ეს ჩანაწერი ისეთი მარტივია, თითქმის მნიშვნელობა არ აქვს. იგი ხმამაღლა შემდეგნაირად შეგიძლიათ, წაიკითხოთ
C-ს რკალის სიგრძე არის C-ზე უმცირესი ნაბიჯების ინტეგრალი C-ზე“
სულელურად ჟღერს, არა? ეს სრულიად მალავს დეტალებს იმის შესახებ, თუ რას მოიცავს რკალის სიგრძის პოვნა, ds-ის გაშლა და ინტეგრალში C-ს კოდირება.
მაგრამ სინამდვილეში მიზანიც ესაა. რკალის სიგრძის ინტეგრალების სიგრძეზე საუბრის ერთ-ერთი მიზეზი ისაა, რომ მოვემზადოთ უფრო ფართო ცნებისთვის, წირითი ინტეგრალებისთვის. როცა მივდივართ წირით ინტეგრალამდე, ყოველთვის ნამდვილად არ მოგვინდება, გავწეროთ მრუდის შესახებ სრული დეტალები და რკალის ds სიგრძის მცირე ცვლილებები. ამ დროს სხვა საზრუნავი გვექნება. ამ კონტექსტში, რკალის სიგრძის ისეთ რამეში აბსტრაჰირება, როგორიცაა - Cds, ძალზედ სასურველი გამარტივებაა.

ვექტორული კალკულუსის ენით

ვექტორულ კალკულუსში პარამეტრულ მრუდებზე აღარ ვფიქრობთ, როგორც პარამეტრული განტოლებების შემდეგნაირ ერთობლიობებზე:
x(t)=tcos(t)
y(t)=tsin(t)
ამის ნაცვლად, ამ მრუდებზე ვფიქრობთ, როგორც - ერთი ვექტორული ფუნქციის მნიშვნელობაზე,
r(t)=[x(t)y(t)]
ასეთი ვექტორული ფუნქციის წარმოებული სხვა ვექტორულ ფუნქციას გვაძლევს,
r(t)=[x(t)y(t)]
ეს გვაძლევს ds-ის, მრუდზე უმცირესი ნაბიჯის, გამოსახვის ძალიან კარგ გზას:
ds=|r(t)|dt
რატომ არის ეს ჭეშმარიტი? ერთი გზაა ჩვენი გამოსახულების გაშლა |r(t)|dt და გამარტივება. სცადეთ!
ალტერნატიული გზით, იფიქრეთ, როგორ ვახდენთ წარმოებული ვექტორების ინტერპრეტირებას. წარმოიდგინეთ, რომ t0-ზე დგახართ არგუმენტის განსაზღვრის არეში, რომელსაც ასევე პარამეტრული სივრცე ეწოდება და dt-ს ტოლ მცირე გაჩოჩებას t0+dt წერტილამდე მიჰყავხართ.
r(t) წარმოებული ვექტორი არის მიღებული „გაჩოჩება“ მრუდზე მნიშვნელობათა სივრცეში. როცა წარმოებულს ვამრავლებთ უმცირეს dt მნიშვნელობაზე, რომ მივიღოთ
r(t)dt,
ამაზე ფიქრი გამოსადეგია, როგორც მრუდზე უმცირეს ნაბიჯზე.
ტექნიკურად ეს უმცირესი ნაბიჯია მხების მიმართულებით, რომელიც მრუდს შეიძლება, ოდნავ ცდებოდეს. მიუხედავად ამისა, როცა dt უახლოვდება 0-ს, ნაბიჯი მხების მიმართულებით და მრუდის მიმართულებით შეგვიძლია, ერთ რამედ ჩავთვალოთ.
ამ ვექტორის აბსულუტური სიდიდე არის მრუდზე ჩვენი უმცირესი ნაბიჯის ზომა, ds.
ds=|r(t)dt|=|r(t)|dt,
ეს იმას ნიშნავს, რომ t=a-სა და t=b-ს შორის r(t) ფუნქციით განსაზღვრული რკალის სიგრძის ინტეგრალი ასეთი შეიძლება, ყოფილიყო
ab|r(t)|dt
ამის გამოთვლა არ იქნება განსხვავებული იმ შემთხვევისგან, როცა ამ მრუდებს განტოლებათა ერთობლიობად აღვიქვამდით, რადგან |r(t)|dt ყოველთვის გაიშლება dx2+dy2-მდე. მაინც, ხალხს ზოგადად ეს ჩანაწერი ურჩევნია. ჯერ ერთი, იგი კომპაქტურია და მერე მისი განზოგადება უფრო ადვილია მაღალ განზომილებებში.

წინ, წირითი ინტეგრალებისკენ!

ამ ჩანაწერით და იმის ცოდნით აღჭურვილები, თუ როგორ გამოსახოთ უმცირესი ნაბიჯები მრუდზე, ახლა მზათ ხართ, რომ ისწავლოთ წირითი ინტეგრალების შესახებ.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.