If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

წრფივი ინტეგრალები სკალარულ ველში

ისწავლეთ, როგორ უნდა გამოთვალოთ და გამოიყენოთ ხაზობრივი ინტეგრალები, რომელსაც ასევე უწოდებენ ინტეგრალებს მრუდზე.

რის აგებას ვცდილობთ

  • იმავე გზით, რითაც ჩვეულებრივი abf(x)dx ინტეგრალი გამოძრავებთ x ღერძზე და გაკრებინებთ კონკრეტულ უმცირეს ოდენობებს, წრფივი Cf(x,y)ds ინტეგრალი გამოძრავებთ მრუდზე xy სიბრტყეზე და გაკრებინებთ კონკრეტულ მნიშვნელობებს, რომლებიც დამოკიდებულია f(x,y) მრავალცვლადიან ფუნქციაზე.
  • თუ C მრუდი პარამეტრიზებულია ვექტორული r(t) ფუნქციით t=a და t=b მნიშვნელობებს შორის, წირითი ინტეგრალი შემდეგნაირად ჩაიწერება:
Cfds=abf(r(t))|r(t)|dt
  • ამ შემთხვევაში f სკალარული ფუნქციაა, ასე რომ, ამ პროცესს ვუწოდებთ „წირით ინტეგრებას სკალარულ ველში“, რომ განვასხვავოთ მსგავსი თემისგან, რომელსაც შემდეგ გავივლით: წირითი ინტეგრება ვექტორულ ველში.

რა არის წირითი ინტეგრალი

ბოლო თემაში, გაგაცანით რკალის სიგრძის ინტეგრალის კომპაქტური ჩანაწერი:
Cds
  • ds ტერმინი წარმოადგენს სიგრძის უმცირეს ცვლილებას მრუდზე.
  • C უბრალოდ სახელია, რომელიც მრუდს დავარქვით. მისი მოთავსება ინტეგრალის ფუძეში C ფორმით არის გზა, რომლითაც ვავადებთ ინტეგრალზე ზღვრების დაწერის საჭიროებას.
წირითი ინტეგრალები ამ იდეას აფართოებენ მრავალცლადიანი ფუნქციის ინტეგრალის შიგნით მოთავსებით,
Cf(x,y)ds
შეგიძლიათ, იფიქროთ, რომ ეს ინტეგრალი შემდეგს ამბობს
„როცა მრუდზე მოძრაობთ და დგამთ უმცირეს ds-ის ტოლ ნაბიჯებს, ამ ნაბიჯების ზომების შეკრების ნაცვლად თითეული ნაბიჯის ზომა გაამრავლეთ f(x,y) ფუნქციის მნიშვნელობაზე ამ წერტილზე, რომელზეც დგახართ."
შემდეგი ანიმაცია ამას უკავშირებს უფრო ცნობილ თემას, მრუდის ქვეშ ფართობის პოვნას. წარმოიდგინეთ ჩამოფარებული ფარდა f(x,y)-ის სამგანზომილებიანი გრაფიკის ქვეშ xy სიბრტყის C მრუდის გასწვრივ. წირითი ინტეგრალი გვაძლევს ამ ფარდის ფართობს (თავდაპირველი სურათი არის f ფუნქციის გაფერადებული კონტურული გრაფიკი ).
წარმოიდგინეთ, რომ ამ ფარდის ფართობი დაიშალა უსასრულოდ ბევრ უსასრულოდ ვიწრო მართკუთხედად. თითოეული მართკუთხედის უსასრულოდ მცირე ფუძეა ds=|r(t)|, მრუდზე უმცირესი ნაბიჯის სიგრძე. თითოეული მართკუთხედის სიგრძე არის f(x,y), f გრაფიკის სიმაღლე ამ წერტილზე.

ვექტორული ჩანაწერი წირითი ინტეგრალებისთვის

ზემოთ მოცემული ანიმაციის ბოლოს წირითი ინტეგრალი ასე იწერება:
Cfds=abf(r(t))|r(t)|dt
მოდით, დავშალოთ ამ საშუალოს თითოეული ნაწილი.

C-ს პარამეტრიზაცია

r(t) არის რაიმე ვექტორული ფუნქცია, რომელიც ახდენს C მრუდის პარამეტრიზაციას. ორ განზომილებაში ეს დაახლოებით ასე გამოიყურება:
r(t)=[x(t)y(t)]
ინტეგრალის ზღვრები, a და b, არის t-ს ისეთი მნიშვნელობები, რომელებიც განსაზღვრავს, მრუდის თავსა და ბოლოს.
ეს ნიშნავს, რომ, როცა t-ს მნიშვნელობა მოძრაობს a-სა და b-ს შორის, r(t) ვექტორის წვერო შემოწერს C მრუდს.

f-ის შედგენა პარამეტრიზაციით

f(r(t))-ის გამოთვლა ნიშნავს r(t)-ის x(t) და y(t) კომპონენტის აღებას და მათი ჩასმას f(x,y)-ის არგუმენტების სახით:
f(r(t))=f(x(t),y(t))
ამაზე შემდეგნაირად შეგიძლიათ, იფიქროთ: t-ს მოცემული მნიშვნელობა ჩვენ გვათავსებს xy სიბრტყის რაიმე წერტილზე, რომელიც გამოისახება, როგორც - r(t) ვექტორის წვერო. მაშინ f(r(t)) გვაძლევს f ფუნქციის რაიმე მნიშვნელობას სიბრტყის ამ წერტილზე.

ds არის წარმოებულის აბსოლუტური სიდიდე (გამრავლებული dt-ზე)

ds წევრი, რომელიც წარმოადგენს უმცირეს ნაბიჯს მრუდზე, იშლება, როგორც - |r(t)|dt, r(t)-ის წამოებულის აბსოლუტური სიდიდე გამრავლებული dt-ზე.
ინტუიციურად ეს ასე იმიტომ არის, რომ წარმოებული პასუხობს კითხვას „რა ხდება, თუ არგუმენტს ოდნავ წაანაცვლებთ dt მნიშვნელობით?“ პასუხი არის ის, რომ მნიშვნელობა ნაცვლდება r(t)dt ვექტორის გასწვრივ xy სიბრტყეზე. ამ წანაცვლების აბსოლუტური სიდიდე მნიშვნელობის სივრცეში გვაძლევს ds ნაბიჯის სიდიდეს მრუდზე, როგორც პარამეტრულ სივრცეში ამ ნაბიჯის dt სიდიდის ფუნქციას.
ეს ასევე შეგიძლიათ, განიხილოთ, როგორც dx2+dy2-ის თქმის კომპაქტური ვექტორული ჩანაწერი:
|r(t)|dt=|[x(t)y(t)]|dt=(x(t))2+(y(t))2dt=(x(t))2dt2+(y(t))2dt2=(x(t)dt)2+(y(t)dt)2=(dx)2+(dy)2
ამ ყველაფრის შეჯამებით ვიღებთ წირითი ინტეგრალის ვექტორულ წარმოდგენას:
Cfds=abf(r(t))|r(t)|dt

მაგალითი 1: გამოთვალეთ მარტივი წირითი ინტეგრალი

დავუშვათ, C იყოს იმ მრუდის მეოთხედი, რომლის რადიუსია 2 და ცენტრი სათავეზეა. კონკრეტულად, მეოთხედი პირველ მეოთხედში.
ეს მეოთხედი წრე პარამეტრულად შეგვიძლია, აღვწეროთ შემდეგი ფუნქციით:
r(t)=[2cos(t)2sin(t)]
თუ t-ს ვამოძრავებთ 0-დან π/2-მდე, იგი შემოიწერება C-ს ირგვლივ.
ახლა f მრავალცვლადიანი ფუნქცია განსაზღვრეთ შემდეგნაირად:
f(x,y)=x+y
ჩვენი მიზანია, გამოვთვალოთ წირითი ინტეგრალი
Cf(x,y)ds
შემდეგი ვიდეო გვიჩვენებს, როგორ გამოიყურება ფარდა f-ის გრაფიკის ქვეშ C მრუდის გასწვრივ. გამჭვირვალე თეთრი სიბრტყე არის f(x,y)=x+y-ის გრაფიკი და ლურჯი ზედაპირი არის ფარდა, რომლის ფართობსაც ვითვლით.
ხანის აკადემიის ვიდეოების მომთავსებელი

ნაბიჯი 1: ds ჩაწერთ dt-ს გამოყენებით

თუ მრუდზე ds-ს უმცირესი ნაბიჯი მოცემულია r(t)-ის წარმოებულის აბსოლუტური სიდიდისა და dt-ს ნამრავლის სახით,
ds=|r(t)|dt
იპოვეთ ds ჩვენს მაგალითში.
შეგახსენებთ, რომ ჩვენი მრუდის პარამეტრიზაციაა r(t)=[2cos(t)2sin(t)]
ds=
dt

ნაბიჯი 2: f(x,y) ჩაწერთ t-ს გამოყენებით

ამ შემთხვევაში რას უდრის f(r(t))?
f(r(t))=

ნაბიჯი 3: ინტეგრალი ჩაწერეთ მხოლოდ t წევრების გამოყენებით და ამოხსენით

წინა ორი ნაბიჯიდან ჩვენი ინტეგრალი ხდება შემდეგნაირი:
Cf(x,y)ds=C(2cos(t)+2sin(t))2dt
რადგან C-ს ჩვენს პარამეტრიზაციაში t მოძრაობს 0-დან π2-მდე, ესენია ჩვენი ინტეგრალის საზღვრები. ახლა ამოვხსნათ ინტეგრალი.
0π/2(2cos(t)+2sin(t))2dt=

მაგალითი 2: უფრო ჩახლართული სავარჯიშო

წირითი ინტეგრალი არც ისე ცუდია, როცა ალღოს აუღებთ. უბრალოდ უნდა იცოდეთ, როგორ გაშალოთ ds წევრი და გადაწეროთ f(x,y) ფუნქციის არგუმენტები პარამეტრიზაციით. ამ ყველაფრის გაკეთება რომ ისწავლოთ, ცოტა ვარჯიშია საჭირო და აქ სწორედ ამას ვაკეთებთ.
თუმცა, წირითი ინტეგრალი შეიძლება, ძალიან რთული გამოსათვლელი იყოს. მათი უმეტესობა იმ დონემდე მიდის, რომ პასუხის მისაღებად ინტეგრალი კომპოიტერში უნდა შეიყვანოთ, მაგრამ მაშინაც კი, როცა ინტეგრალი ამოხსნადია, შემავალ რიცხვებზე მუშაობა ძალიან რთულდება.
შემდეგი მაგალითი გვიჩვენებს, რომ შედარებით მარტივი ფუნქციის შემთხვევაშიც კი, წირითი ინტეგრალის ბოლომდე გამოთვლა ძალიან ჩახლართული ამოცანა შეიძლება იყოს. ნამდვილად დაგჭირდებათ ფანქარი და შავი ფურცელი, თუ ამ მაგალითზე მიყოლას აპირებთ.
დავუშვათ, C არის შემდეგი ფუნქციით განსაზღვრული მრუდი
s(t)=[1t+15t5t2]
1t2 ინტერვალზე.
დავუშვათ, f არის ფუნქცია
f(x,y)=xy2
გამოთვალეთ ინტეგრალი
Cf(x,y)ds

ნაბიჯი 1: ds ჩაწერთ dt-ს გამოყენებით

ds=
dt

ნაბიჯი 2: f(x,y) შეცვალეთ f(s(t))-ით

რას მიიღებთ, როცა ჩასვამთ s(t)-ის კომპონენტებს f(x,y)=xy2-ში?
f(s(t))=

ნაბიჯი 3: გამოთვალეთ ინტეგრალი

ინტეგრალში ჩავსით პასუხები წინა ორი ნაბიჯიდან და შემდეგ გამოთვალეთ. რადგან მრუდი განსაზღვრულია 1t2-ისთვის და ჩვენი ინტეგრალი ახლა მოცემულია t-ს მიმართ, ინტეგრალის საზღვრებია 1 და 2.
(გაფრთხილებთ, ეს ძალიან რთული გამოსათვლელი ხდება, ასე რომ, გამოიყენეთ კალკულატორი, როცა საჭირო გახდება).
12f(s(t))|s(t)|dt=

ყურადღება მიაქციეთ, რომ ამ ამოცანის რთული ნაწილი არ არის წირითი ინტეგრალის ახალი პრინციპები, როგორიცაა ds-ის გაშლა და ა.შ.. სირთულეს ის იწვევს, რომ შემავალი წევრები სულ უფრო კომპლექსური ხდება.
(თუ ფიქრობთ, რომ ეს არის რთული, მოიცადეთ, სანამ ზედაპირის ინტეგრალებზე გადავალთ).

წირითი ინტეგრალები სკალარულ ველში

ზემოთ დაწერილიდან ყველაფერში f ფუნქცია სკალარული ფუნქციაა, რაც იმას ნიშნავს, რომ მისი მნიშვნელობა რიცხვია (და არა ვექტორი). მცირე ცვლილება წირით ინტეგრალებზე, სადაც ახდენთ ვექტორული ფუნქციის ინტეგრებას მრუდზე, რომელსაც მომდევნო სტატიაში განვიხილავთ.
ეს იდეები რომ განვაცალკევოთ, ყველაფერი, რაც ახლა გავიარეთ, არის წირითი ინტეგრება სკალარულ ველზე და ალტერნატივას ეწოდება წირითი ინტეგრება ვექტორულ ველზე. ტერმინი სკალარული ველი კიდევ ერთი გზაა იმაზე ფიქრის, თუ რას აკეთებს მრავალცვლადიანი ფუნქცია: იგი xy სიბრტყის თითოეულ წერტილს აკავშირებს რაიმე სკალართან (ანუ რიცხვთან) ისე, რომ მთელი სიბრტყე ჰგავს რიცხვების ველს, რომელიც ელოდება, რომ ვინმე ჩაივლის ამ ველზე და მათი მნიშვნელობების ინტეგრებას მოახდენს.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.