If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

თუ ვებფილტრს იყენებთ, დარწმუნდით, რომ *.kastatic.org და *.kasandbox.org დომენები არ არის დაბლოკილი.

ძირითადი მასალა

ინტეგრალური კალკულუსი

კურსი: ინტეგრალური კალკულუსი > თემა 1

გაკვეთილი 17: ნაწილობითი ინტეგრალი
მათემატიკა
ინტეგრალური კალკულუსი
ინტეგრალები
ნაწილობითი ინტეგრალი
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე

ნაწილობითი ინტეგრების მიმოხილვა

Google–ის საკლასო ოთახი
შეამოწმეთ თქვენი უნარები ნაწილობით ინტეგრებაში.

რა არის ნაწილობითი ინტეგრება?

ნაწილობითი ინტეგრება არის ინტეგრალების ნამრავლების პოვნის მეთოდი:
integral, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, u, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, minus, integral, u, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, v, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x
ან უფრო მოკლედ:
integral, u, space, d, v, equals, u, v, minus, integral, v, space, d, u
ეს მეთოდი, რომელიც შეიძლება, ჩაითვლოს „შებრუნებულ ნამრავლის წესად“, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ერთ-ერთი მამრავლის სხვა ფუნქციის წარმოებულად განხილვით.
გინდათ, მეტი გაიგოთ ნაწილობითი ინტეგრების შესახებ? ნახეთ ეს ვიდეო.

სავარჯიშოების ნაკრები 1: განუსაზღვრელი ინტეგრალების ნაწილობითი ინტეგრება

მოდით, მაგალითისთვის ვიპოვოთ integral, x, cosine, x, d, x განუსაზღვრელი ინტეგრალი. ამისათვის გავუტულოთ u, equals, x და d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x:
integral, x, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x, equals, integral, u, d, v
u, equals, x ნიშნავს, რომ d, u, equals, d, x.
d, v, equals, cosine, left parenthesis, x, right parenthesis, d, x ნიშნავს, რომ v, equals, sine, left parenthesis, x, right parenthesis.
ახლა ვაინტეგრალებთ ნაწილ-ნაწილ!
∫xcos⁡(x) dx=∫u dv=uv−∫v du=xsin⁡(x)−∫sin⁡(x) dx=xsin⁡(x)+cos⁡(x)+C\begin{aligned} \displaystyle\int x\cos(x)\,dx &=\displaystyle\int u\,dv \\\\ &=uv-\displaystyle\int v\,du \\\\ &=\displaystyle x\sin(x)-\int\sin(x)\,dx \\\\ &=x\sin(x)+\cos(x)+C \end{aligned}
გახსოვდეთ, თქვენი ნამუშევარი ყოველთვის შეგიძლიათ, შეამოწმოთ შედეგის გაწარმოებით!
ამოცანა 1,1
  • მიმდინარე
integral, x, e, start superscript, 5, x, end superscript, d, x, equals, question mark
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

სავარჯიშოების ნაკრები 2: განსაზღვრული ინტეგრალების ნაწილობითი ინტეგრება

მოდით, მაგალითისთვის ვიპოვოთ integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 5, end superscript, x, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x განსაზღვრული ინტეგრალი. ამისთვის გავუტულოთ u, equals, x და d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x:
u, equals, x ნიშნავს, რომ d, u, equals, d, x.
d, v, equals, e, start superscript, minus, x, end superscript, d, x ნიშნავს, რომ v, equals, minus, e, start superscript, minus, x, end superscript.
ახლა ვაინტეგრალებთ ნაწილ-ნაწილ:
=∫05xe−x dx=∫05u dv=[uv]05−∫05v du=[−xe−x]05−∫05−e−x dx=[−xe−x−e−x]05=[−e−x(x+1)]05=−e−5(6)+e0(1)=−6e−5+1\begin{aligned} &\phantom{=}\displaystyle\int_0^5 xe^{-x}\,dx \\\\ &=\displaystyle\int_0^5 u\,dv \\\\ &=\Big[uv\Big]_0^5-\displaystyle\int_0^5 v\,du \\\\ &=\displaystyle\Big[ -xe^{-x}\Big]_0^5-\int_0^5-e^{-x}\,dx \\\\ &=\Big[-xe^{-x}-e^{-x}\Big]_0^5 \\\\ &=\Big[-e^{-x}(x+1)\Big]_0^5 \\\\ &=-e^{-5}(6)+e^0(1) \\\\ &=-6e^{-5}+1 \end{aligned}
ამოცანა 2,1
  • მიმდინარე
integral, start subscript, 1, end subscript, start superscript, e, end superscript, x, cubed, natural log, x, space, d, x, equals, question mark
აირჩიეთ 1 პასუხი:

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა
პოსტები ჯერ არ არის.
გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.