ნაწილობითი ინტეგრების მიმოხილვა

შეამოწმეთ თქვენი უნარები ნაწილობით ინტეგრებაში.

რა არის ნაწილობითი ინტეგრება?

ნაწილობითი ინტეგრება არის ინტეგრალების ნამრავლების პოვნის მეთოდი:

\int u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) d x

ან უფრო მოკლედ:

\int u d v = u v - \int v d u

ეს მეთოდი, რომელიც შეიძლება, ჩაითვლოს „შებრუნებულ ნამრავლის წესად“, შეგვიძლია გამოვიყენოთ ერთ-ერთი მამრავლის სხვა ფუნქციის წარმოებულად განხილვით.

გინდათ, მეტი გაიგოთ ნაწილობითი ინტეგრების შესახებ? ნახეთ ეს ვიდეო.

მოდით, მაგალითისთვის ვიპოვოთ

\int x \cos x d x

განუსაზღვრელი ინტეგრალი. ამისათვის გავუტულოთ

u = x

და

d v = \cos (x) d x

\int x \cos (x) d x = \int u d v

u = x

ნიშნავს, რომ

d u = d x

d v = \cos (x) d x

ნიშნავს, რომ

v = \sin (x)

ახლა ვაინტეგრალებთ ნაწილ-ნაწილ!

\begin{aligned} \int x \cos (x) d x & = \int u d v \\ = u v - \int v d u \\ = x \sin (x) - \int \sin (x) d x \\ = x \sin (x) + \cos (x) + C \end{aligned}

გახსოვდეთ, თქვენი ნამუშევარი ყოველთვის შეგიძლიათ, შეამოწმოთ შედეგის გაწარმოებით!

ამოცანა 1,1

\int x e^{5 x} d x = ?

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

მოდით, მაგალითისთვის ვიპოვოთ

\int_{0}^{5} x e^{- x} d x

განსაზღვრული ინტეგრალი. ამისთვის გავუტულოთ

u = x

და

d v = e^{- x} d x

u = x

ნიშნავს, რომ

d u = d x

d v = e^{- x} d x

ნიშნავს, რომ

v = - e^{- x}

ახლა ვაინტეგრალებთ ნაწილ-ნაწილ:

\begin{aligned} \int_{0}^{5} x e^{- x} d x \\ = \int_{0}^{5} u d v \\ = [u v]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} v d u \\ = [- x e^{- x}]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} - e^{- x} d x \\ = [- x e^{- x} - e^{- x}]_{0}^{5} \\ = [- e^{- x} (x + 1)]_{0}^{5} \\ = - e^{- 5} (6) + e^{0} (1) \\ = - 6 e^{- 5} + 1 \end{aligned}

ამოცანა 2,1

\int_{1}^{e} x^{3} \ln x d x = ?

გინდათ, მეტი ასეთი ამოცანა სცადოთ? ნახეთ ეს სავარჯიშო.

დავალაგოთ:

პოსტები ჯერ არ არის.