ძირითადი მასალა
ალგებრა II
კურსი: ალგებრა II > თემა 8
გაკვეთილი 1: რა არის ლოგარითმები- რა არის ლოგარითმი
- ლოგარითმები (შესავალი)
- ამოხსენით ლოგარითმები
- ლოგარითმების ამოხსნა (გაძლიერებული)
- ამოხსენით ლოგარითმები (რთული)
- მიმართება მაჩვენებლებსა და ლოგარითმებს შორის
- მიმართება მაჩვენებლებსა და ლოგარითმებს შორის: გრაფიკი
- მიმართება მაჩვენებლებსა და ლოგარითმებს შორის: ცხრილები
- მიმართება მაჩვენებლებსა და ლოგარითმებს შორის
© 2023 Khan Academyგამოყენების პირობებიკონფიდენციალურობის პოლიტიკაშენიშვნა ქუქი-ჩანაწერებზე
ლოგარითმები (შესავალი)
გაიგეთ, რა არის ლოგარითმები და როგორ ამოვხსნათ ისინი.
რა უნდა იცოდეთ, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ
ხარისხებს უკვე უნდა იცნობდეთ, მათ შორის, სასურველია, უარყოფით ხარისხებსაც.
რას ისწავლით ამ გაკვეთილში
ისწავლით, თუ რა არის ლოგარითმი და როგორ ამოხსნათ მარტივი ლოგარითმები. ეს მოგამზადებთ ლოგარითმულ გამოსახულებებთან და ფუნქციებთან სამუშაოდ.
რა არის ლოგარითმი?
ლოგარითმები ხარისხებზე ფიქრის ახალი გზაა.
მაგალითად, ვიცით, რომ start color #11accd, 2, end color #11accd აყვანილი მე–start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start superscript, start text, end text, end superscript ხარისხში უდრის start color #e07d10, 16, end color #e07d10–ს. ეს გამოიხატება start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10 მაჩვენებლიანი ტოლობით.
ახლა ვთქვათ, ვინმემ გვკითხა „რომელ ხარისხში აყვანილი start color #11accd, 2, end color #11accd უდრის start color #e07d10, 16, end color #e07d10–ს?" პასუხი იქნებოდა start color #0d923f, 4, end color #0d923f. ეს გამოისახება log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f ლოგარითმული ტოლობით, რომელიც იკითხება, როგორც „ლოგარითმი ორის ფუძით თექვსმეტი არის ოთხი".
ორივე ტოლობა ერთსა და იმავე დამოკიდებულებას გამოსახავს start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f და start color #e07d10, 16, end color #e07d10 რიცხვებს შორის, სადაც start color #11accd, 2, end color #11accd არის ფუძე და start color #0d923f, 4, end color #0d923f - მაჩვენებელი.
განსხვავება არის ის, რომ მაჩვენებლიანი ფორმა გამოყოფს ხარისხ start color #e07d10, 16, end color #e07d10–ს, ხოლო ლოგარითმული ფორმა – მაჩვენებელ start color #1fab54, 4, end color #1fab54–ს.
აქ მოცემულია ტოლფასი ლოგარითმული და მაჩვენებლიანი განტოლებების მეტი მაგალითი.
| ლოგარითმული ფორმა | მაჩვენებლიანი ფორმა | |
|---|---|---|
| log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10 |
| log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10 |
| log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10 |
ლოგარითმის განმარტება
ზემოთ მოცემული მაგალითების განზოგადებას მივყავართ ლოგარითმის განსაზღვრებამდე.
ორივე გამოსახულება აღწერს ერთსა და იმავე დამოკიდებულებას start color #e07d10, a, end color #e07d10–ს, start color #11accd, b, end color #11accd–სა და start color #0d923f, c, end color #0d923f–ს შორის:
- start color #11accd, b, end color #11accd არის start color #11accd, start text, ფ, უ, ძ, ე, end text, end color #11accd,
- start color #0d923f, c, end color #0d923f არის start color #0d923f, start text, მ, ა, ჩ, ვ, ე, ნ, ე, ბ, ე, ლ, ი, end text, end color #0d923f და
- start color #e07d10, a, end color #e07d10-ს ეწოდება start color #e07d10, start text, ა, რ, გ, უ, მ, ე, ნ, ტ, ი, end text, end color #e07d10.
სასარგებლო შენიშვნა
მაჩვენებლიანი განტოლების ლოგარითმული ფორმით დაწერის შემთხვევაში ან ლოგარითმული განტოლების მაჩვენებლიანი ფორმით დაწერის შემთხვევაში გამოგადგებათ, თუ დაიმახსოვრებთ, რომ ლოგარითმის ფუძე არის იგივე, რაც ხარისხის ფუძე.
შეამოწმეთ, როგორ გესმით
შემდეგ ამოცანებში თქვენ განტოლებებს გარდაქმნით მაჩვენებლიან და ლოგარითმულ ფორმებში.
ლოგარითმების ამოხსნა
მშვენიერია! ახლა, როცა ხარისხის მაჩვენებლებსა და ლოგარითმებს შორის დამოკიდებულება გესმით, ვნახოთ, თუ შევძლებთ ლოგარითმების შეფასებას.
მაგალითად, გამოვთვალოთ log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
დავიწყოთ ამ გამოსახულების x-ისთვის გატოლებით.
ამის მაჩვენებლიანი განტოლების სახით ჩაწერა გვაძლევს შემდეგს:
რომელ ხარისხში აყვანილი 4 უდრის 64-ს? მოკლედ, start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, ასე რომ, log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
რაც უფრო გაიწაფებით, შეიძლება, დაიწყოთ რამდენიმე ნაბიჯის გაერთიანება და log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis–ის ამოხსნისას პირდაპირ კითხოთ თავს „4–ის რომელი ხარისხი არის 64?"
შეამოწმეთ, როგორ გესმით
გახსოვდეთ, log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis–ის ამოხსნისას პირდაპირ შეგიძლიათ იკითხოთ: „start color #11accd, b, end color #11accd რომელ ხარისხში უდრის start color #e07d10, a, end color #e07d10–ს?"
რთული ამოცანა
შეზღუდვები ცვლადებზე
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis განსაზღვრულია, როცა b არის დადებითი — და არ უდრის 1–ს, და a არგუმენტი დადებითია. ეს შეზღუდვები არის ლოგარითმებსა და ხარისხებს შორის კავშირის შედეგი.
| შეზღუდვა | მიზეზი |
|---|---|
| b, is greater than, 0 | მაჩვენებლიან ფუნქციაში b არის ყოველთვის დადებითად განსაზღვრული. |
| a, is greater than, 0 | log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c ნიშნავს, რომ b, start superscript, c, end superscript, equals, a. რადგან დადებითი რიცხვი ნებისმიერ ხარისხში დადებითია, b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0, აქედან გამომდინარეობს, რომ a, is greater than, 0. |
| b, does not equal, 1 | ერთი წუთით დავუშვათ, რომ b შეიძლება იყოს 1. ახლა განვიხილოთ log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x განტოლება. ტოლფასი მაჩვენებლიანი ფორმა იქნება 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. მაგრამ ეს ვერასოდეს იქნება ჭეშმარიტი, რადგან 1 ნებისმიერ ხარისხში არის 1. შესაბამისად, აქედან გამომდინარეობს, რომ b, does not equal, 1. |
განსაკუთრებული ლოგარითმები
ლოგარითმს ბევრი განსხვავებული ფუძე შეიძლება, ჰქონდეს, მაგრამ ორი ფუძე სხვებზე ხშირად გამოიყენება.
კალკულატორების უმეტესობას მხოლოდ ამ ორი ტიპის ლოგარითმისთვის აქვს ღილაკი. მოდით, ვნახოთ ისინი.
ათობითი ლოგარითმი
ათობითი ლოგარითმი არის ლოგარითმი, რომლის ფუძე არის 10 („ლოგარითმი 10–ის ფუძით").
ასეთი ლოგარითმის მათემატიკურად ჩაწერისას ფუძეს ვტოვებთ. ყველასთვის გასაგებია, რომ ის არის 10.
ნატურალური ლოგარითმი
ნატურალური ლოგარითმი არის ლოგარითმი, რომლის ფუძე არის e რიცხვი („ლოგარითმი e–ს ფუძით").
ფუძედ e–ს დაწერის ნაცვლად ლოგარითმს აღვნიშნავთ natural log–ით.
ეს ცხრილი აერთიანებს იმას, რაც უნდა ვიცოდით ამ ორი განსაკუთრებული ლოგარითმის შესახებ:
| სახელი | ფუძე | ჩვეულებრივი ჩანაწერი | განსაკუთრებული ჩანაწერი |
|---|---|---|---|
| ათობითი ლოგარითმი | 10 | log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | log, left parenthesis, x, right parenthesis |
| ნატურალური ლოგარითმი | e | log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | natural log, left parenthesis, x, right parenthesis |
მიუხედავად იმისა, რომ ჩანაწერი განსხვავებულია, ლოგარითმის ამოხსნის გზა იდენტურია!
რატომ ვსწავლობთ ლოგარითმებს?
როგორც ახლა ისწავლეთ, ლოგარითმები მაჩვენებლიანი გამოსახულების შებრუნებულია. ამის გამო ისინი ძალიან გვეხმარება მაჩვენებლიანი განტოლებების ამოხსნისას.
მაგალითად, 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5-ის პასუხი შეიძლება ლოგარითმის სახით იყოს მოცემული, x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. თქვენ ამ ლოგარითმული გამოსახულების ამოხსნას შემდეგ გაკვეთილებში ისწავლით.
ლოგარითმული გამოსახულებები და ფუნქციები თავადაც ძალიან საინტერესოა და საკმაოდ გავრცელებულია ჩვენს ირგვლივ. მაგალითად, ბევრი ფიზიკური მოვლენა იზომება ლოგარითმული სკალით.
შემდეგ რა მოდის?
გაეცანით ლოგარითმის თვისებებს რომლებიც გვეხმარება, გადავწეროთ ლოგარითმული გამოსახულები. გაეცანით, ასევე ფუძის შეცვლის წესს, რომლის მეშვეობითაც შეგვიძლია, შევაფასოთ ნებისმიერი ლოგარითმი კალკულატორის გარეშე.
გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?
რატომაა მაჩვენებლიანში b (ფუძე ) ყოველთვის დადებითად განსაზღვრული?(3 მოწონება)- ფუძე არ შეიძელბა რომ იყოს 0, 1 და ნეგატიური რიცხვი, თუმცა შეიძლება მაგრამ არ არისახება ეგ(1 მოწონება)