ძირითადი მასალა

კურსი: ალგებრა II > თემა 8

გაკვეთილი 1: რა არის ლოგარითმები

ლოგარითმები (შესავალი)

გაიგეთ, რა არის ლოგარითმები და როგორ ამოვხსნათ ისინი.

რა უნდა იცოდეთ, სანამ ამ გაკვეთილს დაიწყებთ

ხარისხებს უკვე უნდა იცნობდეთ, მათ შორის, სასურველია, უარყოფით ხარისხებსაც.

რას ისწავლით ამ გაკვეთილში

ისწავლით, თუ რა არის ლოგარითმი და როგორ ამოხსნათ მარტივი ლოგარითმები. ეს მოგამზადებთ ლოგარითმულ გამოსახულებებთან და ფუნქციებთან სამუშაოდ.

რა არის ლოგარითმი?

ლოგარითმები ხარისხებზე ფიქრის ახალი გზაა.

მაგალითად, ვიცით, რომ

2

აყვანილი მე–

4^{}

ხარისხში უდრის

16

–ს. ეს გამოიხატება

2^{4} = 16

მაჩვენებლიანი ტოლობით.

ახლა ვთქვათ, ვინმემ გვკითხა „რომელ ხარისხში აყვანილი

2

უდრის

16

–ს?" პასუხი იქნებოდა

4

. ეს გამოისახება

\log_{2} (16) = 4

ლოგარითმული ტოლობით, რომელიც იკითხება, როგორც „ლოგარითმი ორის ფუძით თექვსმეტი არის ოთხი".

$2^{4} = 16 ⟺ \log_{2} (16) = 4$ ‍

ორივე ტოლობა ერთსა და იმავე დამოკიდებულებას გამოსახავს

2

4

და

16

რიცხვებს შორის, სადაც

2

არის ფუძე და

4

- მაჩვენებელი.

განსხვავება არის ის, რომ მაჩვენებლიანი ფორმა გამოყოფს ხარისხ

16

–ს, ხოლო ლოგარითმული ფორმა – მაჩვენებელ

4

–ს.

აქ მოცემულია ტოლფასი ლოგარითმული და მაჩვენებლიანი განტოლებების მეტი მაგალითი.

ლოგარითმული ფორმა		მაჩვენებლიანი ფორმა
$\log_{2} (8) = 3$ ‍	$⟺$ ‍	$2^{3} = 8$ ‍
$\log_{3} (81) = 4$ ‍	$⟺$ ‍	$3^{4} = 81$ ‍
$\log_{5} (25) = 2$ ‍	$⟺$ ‍	$5^{2} = 25$ ‍

ლოგარითმის განმარტება

ზემოთ მოცემული მაგალითების განზოგადებას მივყავართ ლოგარითმის განსაზღვრებამდე.

$\log_{b} (a) = c ⟺ b^{c} = a$ ‍

ორივე გამოსახულება აღწერს ერთსა და იმავე დამოკიდებულებას

a

–ს,

b

–სა და

c

–ს შორის:

$b$ ‍ არის $ფუძე$ ‍,
$c$ ‍ არის $მაჩვენებელი$ ‍ და
$a$ ‍-ს ეწოდება $არგუმენტი$ ‍.

სასარგებლო შენიშვნა

მაჩვენებლიანი განტოლების ლოგარითმული ფორმით დაწერის შემთხვევაში ან ლოგარითმული განტოლების მაჩვენებლიანი ფორმით დაწერის შემთხვევაში გამოგადგებათ, თუ დაიმახსოვრებთ, რომ ლოგარითმის ფუძე არის იგივე, რაც ხარისხის ფუძე.

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

შემდეგ ამოცანებში თქვენ განტოლებებს გარდაქმნით მაჩვენებლიან და ლოგარითმულ ფორმებში.

1) ჩამოთვლილთაგან, რომელია $2^{5} = 32$ ‍-ის ტოლფასი?

2) ჩამოთვლილთაგან, რომელია $5^{3} = 125$ ‍-ის ტოლფასი?

3) ჩაწერეთ $\log_{2} (64) = 6$ ‍ მაჩვენებლიანი ფორმით.

4) ჩაწერეთ $\log_{4} (16) = 2$ ‍ მაჩვენებლიანი ფორმით.

ლოგარითმების ამოხსნა

მშვენიერია! ახლა, როცა ხარისხის მაჩვენებლებსა და ლოგარითმებს შორის დამოკიდებულება გესმით, ვნახოთ, თუ შევძლებთ ლოგარითმების შეფასებას.

მაგალითად, გამოვთვალოთ

\log_{4} (64)

დავიწყოთ ამ გამოსახულების

x

-ისთვის გატოლებით.

$\log_{4} (64) = x$ ‍

ამის მაჩვენებლიანი განტოლების სახით ჩაწერა გვაძლევს შემდეგს:

$4^{x} = 64$ ‍

რომელ ხარისხში აყვანილი

4

უდრის

64

-ს? მოკლედ,

4^{3} = 64

, ასე რომ,

\log_{4} (64) = 3

რაც უფრო გაიწაფებით, შეიძლება, დაიწყოთ რამდენიმე ნაბიჯის გაერთიანება და

\log_{4} (64)

–ის ამოხსნისას პირდაპირ კითხოთ თავს „ $4$ ‍–ის რომელი ხარისხი არის $64$ ‍?"

შეამოწმეთ, როგორ გესმით

გახსოვდეთ,

\log_{b} (a)

–ის ამოხსნისას პირდაპირ შეგიძლიათ იკითხოთ: „

b

რომელ ხარისხში უდრის

a

–ს?"

5) $\log_{6} (36) =$ ‍
თქვენი პასუხი უნდა იყოს
მთელი რიცხვი, როგორიცაა $6$ ‍
გამარტივებული წესიერი წილადი, მაგალითად $3 / 5$ ‍
გამარტივებული არაწესიერი წილადი, მაგალითად $7 / 4$ ‍
შერეული რიცხვი, როგორიცაა $1 3 / 4$ ‍
ზუსტი ათწილადი, მაგალითად $0.75$ ‍
pi-ს ჯერადი, როგორიცაა $12 pi$ ‍ ან $2 / 3 pi$ ‍

\log_{3} (27) =

\log_{4} (4) =

\log_{5} (1) =

დავუშვათ,

\log_{5} (1) = x

. ეს იგივეა, რაც

5^{x} = 1

რომელ ხარისხში აყვანილი

5

უდრის

1

-ს?

5^{0} = 1

, ანუ,

\log_{5} (1) = 0

სინამდვილეში, ნებისმიერი შესაძლო ფუძისთვის

\log_{b} (1) = 0

. ამის მიზეზი არის ის, რომ ნებისმიერი რიცხვი ნულ ხარისხში არის

1

რთული ამოცანა

9*)

\log_{3} (\frac{1}{9}) =

შეზღუდვები ცვლადებზე

\log_{b} (a)

განსაზღვრულია, როცა

b

არის დადებითი — და არ უდრის

1

–ს, და

a

არგუმენტი დადებითია. ეს შეზღუდვები არის ლოგარითმებსა და ხარისხებს შორის კავშირის შედეგი.

შეზღუდვა	მიზეზი
$b > 0$ ‍	მაჩვენებლიან ფუნქციაში $b$ ‍ არის ყოველთვის დადებითად განსაზღვრული.
$a > 0$ ‍	$\log_{b} (a) = c$ ‍ ნიშნავს, რომ $b^{c} = a$ ‍. რადგან დადებითი რიცხვი ნებისმიერ ხარისხში დადებითია, $b^{c} > 0$ ‍, აქედან გამომდინარეობს, რომ $a > 0$ ‍.
$b \neq 1$ ‍	ერთი წუთით დავუშვათ, რომ $b$ ‍ შეიძლება იყოს $1$ ‍. ახლა განვიხილოთ $\log_{1} (3) = x$ ‍ განტოლება. ტოლფასი მაჩვენებლიანი ფორმა იქნება $1^{x} = 3$ ‍. მაგრამ ეს ვერასოდეს იქნება ჭეშმარიტი, რადგან $1$ ‍ ნებისმიერ ხარისხში არის $1$ ‍. შესაბამისად, აქედან გამომდინარეობს, რომ $b \neq 1$ ‍.

განსაკუთრებული ლოგარითმები

ლოგარითმს ბევრი განსხვავებული ფუძე შეიძლება, ჰქონდეს, მაგრამ ორი ფუძე სხვებზე ხშირად გამოიყენება.

კალკულატორების უმეტესობას მხოლოდ ამ ორი ტიპის ლოგარითმისთვის აქვს ღილაკი. მოდით, ვნახოთ ისინი.

ათობითი ლოგარითმი

ათობითი ლოგარითმი არის ლოგარითმი, რომლის ფუძე არის

10

(„ლოგარითმი

10

–ის ფუძით").

ასეთი ლოგარითმის მათემატიკურად ჩაწერისას ფუძეს ვტოვებთ. ყველასთვის გასაგებია, რომ ის არის

10

$\log_{10} (x) = \log (x)$ ‍

ნატურალური ლოგარითმი

ნატურალური ლოგარითმი არის ლოგარითმი, რომლის ფუძე არის

e

რიცხვი („ლოგარითმი

e

–ს ფუძით").

e

არის მათემატიკური მუდმივა. ეს არის ირაციონალური რიცხვი, რომელიც დაახლოებით უდრის 2,718–ს. იგი ხშირად გვხვდება ზღვრებთან დაკავშირებულ კონტექსტებში, რომელსაც ალბათ ისწავლით კალკულუსში. ჯერჯერობით

e

–ს ისე მოეპყარით, როგორც – ნებისმიერ სხვა რიცხვს.

ფუძედ

e

–ს დაწერის ნაცვლად ლოგარითმს აღვნიშნავთ

\ln

–ით.

$\log_{e} (x) = \ln (x)$ ‍

ეს ცხრილი აერთიანებს იმას, რაც უნდა ვიცოდით ამ ორი განსაკუთრებული ლოგარითმის შესახებ:

სახელი	ფუძე	ჩვეულებრივი ჩანაწერი	განსაკუთრებული ჩანაწერი
ათობითი ლოგარითმი	$10$ ‍	$\log_{10} (x)$ ‍	$\log (x)$ ‍
ნატურალური ლოგარითმი	$e$ ‍	$\log_{e} (x)$ ‍	$\ln (x)$ ‍

მიუხედავად იმისა, რომ ჩანაწერი განსხვავებულია, ლოგარითმის ამოხსნის გზა იდენტურია!

რა თქმა უნდა! აქ არის ორი მაგალითი თავიანთი ამოხსნებით.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ

\log (100)

ამოხსნა 1

განმარტების მიხედვით,

\log (100) = \log_{10} (100)

რომელ ხარისხში აყვანილი

10

უდრის

100

-ს?

10^{2} = 100

, ასე რომ,

\log (100) = 2

მაგალითი 2

გამოთვალეთ

\ln (e^{3})

ამოხსნა 2

განმარტების მიხედვით,

\ln (e^{3}) = \log_{e} (e^{3})

რომელ ხარისხში აყვანილი

e

უდრის

e^{3}

-ს?

e^{3} = e^{3}

, ასე რომ,

\ln (e^{3}) = 3

რატომ ვსწავლობთ ლოგარითმებს?

როგორც ახლა ისწავლეთ, ლოგარითმები მაჩვენებლიანი გამოსახულების შებრუნებულია. ამის გამო ისინი ძალიან გვეხმარება მაჩვენებლიანი განტოლებების ამოხსნისას.

მაგალითად,

2^{x} = 5

-ის პასუხი შეიძლება ლოგარითმის სახით იყოს მოცემული,

x = \log_{2} (5)

. თქვენ ამ ლოგარითმული გამოსახულების ამოხსნას შემდეგ გაკვეთილებში ისწავლით.

ლოგარითმული გამოსახულებები და ფუნქციები თავადაც ძალიან საინტერესოა და საკმაოდ გავრცელებულია ჩვენს ირგვლივ. მაგალითად, ბევრი ფიზიკური მოვლენა იზომება ლოგარითმული სკალით.

შემდეგ რა მოდის?

გაეცანით ლოგარითმის თვისებებს რომლებიც გვეხმარება, გადავწეროთ ლოგარითმული გამოსახულები. გაეცანით, ასევე ფუძის შეცვლის წესს, რომლის მეშვეობითაც შეგვიძლია, შევაფასოთ ნებისმიერი ლოგარითმი კალკულატორის გარეშე.

გსურთ, შეუერთდეთ დისკუსიას?

შესვლა

დავალაგოთ:

Shorena Lursmanashvili
გამოქვეყნების თარიღია 6 წლის წინ. მომხმარებლის Shorena Lursmanashvili გზავნილზე „რატომაა მაჩვენებლიანში b ...“ პირდაპირი ბმული
რატომაა მაჩვენებლიანში b (ფუძე ) ყოველთვის დადებითად განსაზღვრული?
Button navigates to signup pageButton navigates to signup page
(3 მოწონება)
პასუხი
- Ismael Shakverdiev
  გამოქვეყნების თარიღია 3 წლის წინ. მომხმარებლის Ismael Shakverdiev გზავნილზე „ფუძე არ შეიძელბა რომ იყოს...“ პირდაპირი ბმული
  ფუძე არ შეიძელბა რომ იყოს 0, 1 და ნეგატიური რიცხვი, თუმცა შეიძლება მაგრამ არ არისახება ეგ
  Button navigates to signup page
  (1 მოწონება)

გესმით ინგლისური? დააწკაპუნეთ აქ და გაეცანით განხილვას ხანის აკადემიის ინგლისურენოვან გვერდზე.